Presentatie voor werkgroep op de JCU Docentenconferentie 2010 over de wiskunde D-module Combinatoriek en Partities, door Johan van de Leur en Valentijn de Marez Oyens

1. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Combinatoriek en Partities
Johan van de Leur Valentijn de Marez Oyens
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

2. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Fields medaille, Perelman
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

3. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Fields medaille, Okounkov
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

4. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
smeltend kristal
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

5. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
3-dimensionale partitie
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

6. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Regels
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

7. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Regels
We hebben een hoek met een vloer en twee
zijwanden;
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

8. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Regels
We hebben een hoek met een vloer en twee
zijwanden;
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

9. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Regels
We hebben een hoek met een vloer en twee
zijwanden;
De kubusjes stapelen we recht boven en of naast
elkaar, zonder tussenruimte en aansluitend tegen
vloer en zijwanden;
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

10. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Regels
Indien we vanaf een stapel kubusjes in een rechte
lijn naar ´´n van de twee zijwanden bewegen en de
ee
stapel kubusjes ligt niet direct tegen deze zijwand
aan, dan treffen we een stapel kubusjes die niet
kleiner is dan de stapel waar we vandaan komen.
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

11. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Regels
Indien we vanaf een stapel kubusjes in een rechte
lijn naar ´´n van de twee zijwanden bewegen en de
ee
stapel kubusjes ligt niet direct tegen deze zijwand
aan, dan treffen we een stapel kubusjes die niet
kleiner is dan de stapel waar we vandaan komen.
Met andere woorden: als je op een stapel kubusjes
staat en je loopt richting een zijwand, dan moet je
soms klimmen, maar je hoeft nooit te dalen.
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

12. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Wat zijn 3-d partities?
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

13. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Wat zijn 3-d partities?
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

14. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Wat zijn 3-d partities?
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

15. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Wat zijn 3-d partities?
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

16. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Wat zijn 3-d partities?
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

17. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Wat zijn 3-d partities?
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

18. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Wat zijn 3-d partities?
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

19. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Wat zijn 3-d partities?
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

20. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Wat zijn 3-d partities?
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

21. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Wat zijn 3-d partities?
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

22. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Wat zijn geen 3-d partities?
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

23. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Wat zijn geen 3-d partities?
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

24. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Wat zijn geen 3-d partities?
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

25. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Wat zijn geen 3-d partities?
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

26. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Wat zijn geen 3-d partities?
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

27. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Doel:
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

28. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Doel:
1. Het vinden van een functie die het aantal 3-d
partities telt
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

29. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Doel:
1. Het vinden van een functie die het aantal 3-d
partities telt voor elke hoeveelheid blokjes
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

30. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Doel:
1. Het vinden van een functie die het aantal 3-d
partities telt voor elke hoeveelheid blokjes
1
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

31. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Doel:
1. Het vinden van een functie die het aantal 3-d
partities telt voor elke hoeveelheid blokjes
1+1
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

32. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Doel:
1. Het vinden van een functie die het aantal 3-d
partities telt voor elke hoeveelheid blokjes
1 + 1x
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

33. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Doel:
1. Het vinden van een functie die het aantal 3-d
partities telt voor elke hoeveelheid blokjes
1 + 1x + 3x 2
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

34. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Doel:
1. Het vinden van een functie die het aantal 3-d
partities telt voor elke hoeveelheid blokjes
1 + 1x + 3x 2 + 6x 3
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

35. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Doel:
1. Het vinden van een functie die het aantal 3-d
partities telt voor elke hoeveelheid blokjes
1 + 1x + 3x 2 + 6x 3 + 13x 4
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

36. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Doel:
1. Het vinden van een functie die het aantal 3-d
partities telt voor elke hoeveelheid blokjes
1 + 1x + 3x 2 + 6x 3 + 13x 4 + 24x 5
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

37. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Doel:
1. Het vinden van een functie die het aantal 3-d
partities telt voor elke hoeveelheid blokjes
1 + 1x + 3x 2 + 6x 3 + 13x 4 + 24x 5 + 48x 6
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

38. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Doel:
1. Het vinden van een functie die het aantal 3-d
partities telt voor elke hoeveelheid blokjes
1 + 1x + 3x 2 + 6x 3 + 13x 4 + 24x 5 + 48x 6 + · · ·
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

39. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Doel:
1. Het vinden van een functie die het aantal 3-d
partities telt voor elke hoeveelheid blokjes
1 + 1x + 3x 2 + 6x 3 + 13x 4 + 24x 5 + 48x 6 + · · ·
· · · + 99206066030052023x 100 + . . .
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

40. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Doel:
1. Het vinden van een functie die het aantal 3-d
partities telt voor elke hoeveelheid blokjes
1 + 1x + 3x 2 + 6x 3 + 13x 4 + 24x 5 + 48x 6 + · · ·
· · · + 99206066030052023x 100 + . . .
2. Welke objecten tellen we zo ook?
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

41. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
niet snijdende paden
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

42. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
niet snijdende paden
6
4
2
0
2
4
6 4 2 0 2 4 6
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

43. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
ruitbetegelingen
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

44. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
ruitbetegelingen
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

45. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
honingraatbetegeling
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

46. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
honingraatbetegeling
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

47. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
honingraatbetegeling
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

48. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
honingraatbetegeling
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

49. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

50. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

51. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

52. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

53. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

54. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

55. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
(1 + x)4
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

56. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
(1 + x)4 =(1 + x)(1 + x)(1 + x)(1 + x)
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

57. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
(1 + x)4 =(1 + x)(1 + x)(1 + x)(1 + x)
=1+
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

58. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
(1 + x)4 =(1 + x)(1 + x)(1 + x)(1 + x)
=1+
x + x + x + x+
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

59. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
(1 + x)4 =(1 + x)(1 + x)(1 + x)(1 + x)
=1+
x + x + x + x+
xx + xx + xx + xx + xx + xx+
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

60. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
(1 + x)4 =(1 + x)(1 + x)(1 + x)(1 + x)
=1+
x + x + x + x+
xx + xx + xx + xx + xx + xx+
xxx + xxx + xxx + xxx+
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

61. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
(1 + x)4 =(1 + x)(1 + x)(1 + x)(1 + x)
=1+
x + x + x + x+
xx + xx + xx + xx + xx + xx+
xxx + xxx + xxx + xxx+
xxxx
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

62. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
(1 + x)4 =(1 + x)(1 + x)(1 + x)(1 + x)
=1+
x + x + x + x+
xx + xx + xx + xx + xx + xx+
xxx + xxx + xxx + xxx+
xxxx
=1 + 4x + 6x 2 + 4x 3 + x 4 .
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

63. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
(1 + x)(1 + x 2 )(1 + x 3 )(1 + x 4 )(1 + x 5 )
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

64. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
(1 + x)(1 + x 2 )(1 + x 3 )(1 + x 4 )(1 + x 5 )
=(1 + x 1 )(1 + x 2 )(1 + x 3 )(1 + x 4 )(1 + x 5 )
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

65. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
(1 + x)(1 + x 2 )(1 + x 3 )(1 + x 4 )(1 + x 5 )
=(1 + x 1 )(1 + x 2 )(1 + x 3 )(1 + x 4 )(1 + x 5 )
=1 + x 1 + x 2 + x 1 x 2 + x 3 + x 1 x 3 + x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3
+ x 4 + x 1 x 4 + x 2 x 4 + +x 1 x 2 x 4 + x 3 x 4 + x 1 x 3 x 4
+ x 2x 3x 4 + x 1x 2x 3x 4 + x 5 + x 1x 5 + x 2x 5 + x 1x 2x 5
+ x 3x 5 + x 1x 3x 5 + x 2x 3x 5 + x 1x 2x 3x 5 + x 4x 5
+ x 1x 4x 5 + x 2x 4x 5 + x 1x 2x 4x 5 + x 3x 4x 5
+ x 1x 3x 4x 5 + x 2x 3x 4x 5 + x 1x 2x 3x 4x 5
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

66. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
(1 + x 1 )(1 + x 2 )(1 + x 3 )(1 + x 4 )(1 + x 5 )
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

67. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
(1 + x 1 )(1 + x 2 )(1 + x 3 )(1 + x 4 )(1 + x 5 )
= 1 + x 1 + x 2 + (x 1+2 + x 3 ) + (x 1+3 + x 4 )
+ (x 1+4 + x 2+3 + x 5 ) + (x 1+5 + x 2+4 + x 1+2+3 )
+ (x 2+5 + x 3+4 + x 1+2+4 ) + (x 1+2+5 + x 1+3+4 + x 3+5 )
+ (x 1+3+5 + x 2+3+4 + x 4+5 ) + (x 1+2+3+4 +
+ x 1+4+5 + x 2+3+5 ) + (x 1+2+3+5 + x 2+4+5 )
+ (x 1+2+4+5 + x 3+4+5 )+
+ x 1+3+4+5 + x 2+3+4+5 + x 1+2+3+4+5 .
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

68. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
(1 + x + x 2 )(1 + x 2 + x 4 )(1 + x 3 + x 6 ) =
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

69. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
(1 + x + x 2 )(1 + x 2 + x 4 )(1 + x 3 + x 6 ) =
(1 + x + x 1+1 )(1 + x 2 + x 2+2 )(1 + x 3 + x 3+3 ) =
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities

70. Intro 3-dim partities doel andere vormen (1 + x)n product 2 product 3
(1 + x + x 2 )(1 + x 2 + x 4 )(1 + x 3 + x 6 ) =
(1 + x + x 1+1 )(1 + x 2 + x 2+2 )(1 + x 3 + x 3+3 ) =
1 + x 1 + (x 1+1 + x 2 ) + (x 1+2 + x 3 )
+ (x 1+1+2 + x 1+3 + x 2+2 ) + (x 1+1+3 + x 1+2+2 + x 2+3 )
+ (x 1+1+2+2 + x 1+2+3 + x 3+3 ) + (x 1+1+2+3 + x 1+3+3 +
+ x 2+2+3 ) + (x 1+1+3+3 + x 1+2+2+3 + x 2+3+3 )+
+ (x 1+1+2+2+3 + x 1+2+3+3 ) + (x 1+1+2+3+3 + x 2+2+3+3 )+
+ x 1+2+2+3+3 + x 1+1+2+2+3+3 .
Johan van de Leur, Valentijn de Marez Oyens
Combinatoriek en Partities