1. Matemática Financiera USMP Matemática Financiera Juan Carlos Ruiz S. Facultad de Ciencias Contables, Económicas y Financieras Universidad de San Martín de Porres 6 de agosto de 2010 Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

2. Matemática Financiera USMP Introducción Desde el punto de vista matemático, la base de la matemática financiera la encontramos en la relación resultante de recibir una suma de dinero hoy (Valor actual) y otra diferente (Valor Futuro) de mayor cantidad transcurrido un período. La diferencia entre VA y VF responde por el “valor” asignado por las personas al sacrificio de consumo actual y al riesgo que perciben y asumen al posponer el ingreso. “El dinero, el fuego y la rueda, han estado con nosotros muchos años. Nadie sabe con certeza desde cuándo existe –el dinero-, ni cuál es su origen” Michael Parkin “El interés es el perfume del capital” Voltaire Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

4. Derecho: Por cuanto las leyes regulan las transacciones financieras.

5. Economía: Por cuanto brinda la posibilidad de determinar los mercados en los cuales un negocio podría obtener mayores rendimientos.

6. Informática: Permite optimizar procedimientos manuales relacionados con movimientos económicos, inversiones y negociaciones.

7. Finanzas: Disciplina que trabaja con activos financieros otorgados por instituciones que forman parte fundamental de la matemática financiera.Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

9. La oportunidad de invertirlos en alguna actividad, que produzca rentabilidad. (cok)

10. Riesgo de crédito.Cantidades iguales de dinero no tendrán el mismo valor si se encuentran ubicadas en diferentes momentos en el tiempo, si y solo si, cuando la tasa de interés que las afecta sea diferente a cero. Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

11. Matemática Financiera USMP Introducción Encontramos los conceptos del valor del dinero en el tiempo agrupados en dos áreas: Valor Futuro (VF) Describe el proceso de crecimiento de la inversión a futuro a un interés y período determinado. Valor Actual (VA) Describe el proceso de flujos de dinero futuro que a una tasa de descuento y período dados representa valores actuales. Las cantidades solo pueden sumarse o restarse cuando se encuentran en el mismo punto en el tiempo. Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

12. Matemática Financiera USMP Introducción Interés “El concepto de interés, sin ser intuitivo, está profundamente arraigado en la mentalidad de quienes viven en un sistema capitalista. No necesitamos formación académica para entender que cuando recibimos dinero en calidad de préstamo, es ”justo” pagar una suma adicional al devolverlo” Es el monto pagado por una determinada institución financiera para captar recursos (interés pasivo), así como el monto cobrado por prestar recursos (interés activo) De manera sencilla; El interés es la diferencia entre la cantidad acumulada menos el valor inicial. Puede ser SIMPLE o COMPUESTO. Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

13. Matemática Financiera USMP Introducción Tasa de Interés La tasa de interés es la proporción que representa el Interés respecto del monto transado. Es un precio, el cual expresa el valor de un recurso o bien sujeto a intercambio. Es un factor de equilibrio, hace que el dinero tenga el mismo valor en el tiempo. Cuando el costo se refiere al interés que se paga por el uso del dinero prestado o dicho de otra manera, es explícito se denomina Interés. Cuando se refiere al interés obtenido en una inversión, o es implícito, se le denomina Costo de Oportunidad. Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

15. La preferencia por tener los recursos a la promesa de recursos futuros. (liquidez).

16. La productividad o rentabilidad de la inversión.

17. El riesgo del proyecto, negocio y/o individuo.Es un indicador muy importante en la economía de un país, porque le coloca valor al dinero en el tiempo (Tasa de interés de referencia – BRCP) Si no se especifica la unidad temporal de la tasa de interés, por default, se considera como una tasa anual. Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

18. Matemática Financiera USMP Introducción Clasificación de las tasas Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

19. Matemática Financiera USMP Introducción Diagrama de tiempo o flujo de caja El diagrama de tiempo, también es conocido con los nombres de diagrama económico o diagrama de flujo de caja. Un diagrama de tiempo, es un eje horizontal que permite visualizar el comportamiento del dinero a medida que transcurren los periodos de tiempo, perpendicular al eje horizontal se colocan flechas que representan las cantidades monetarias, que se han recibido o desembolsado Por convención los ingresos se representan con flechas hacia arriba (↑) y los egresos con flechas hacia abajo (↓). Al diagrama económico, hay que indicarle la tasa de interés que afecta los flujos de caja, la cual debe ser concordante u homogénea con los períodos de tiempo que se están manejando Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

20. Matemática Financiera USMP Introducción Un diagrama de tiempo tiene un principio y un fin, el principio es conocido como el hoy (ubicado en el cero del diagrama), y allí se encontrará el valor presente (VP) mientras que en el fin, se ubicará el valor futuro (VF). Sólo se permiten sumar, restar o comparar flujos de caja (ingresos y/o egresos) ubicados en los mismos periodos del diagrama económico. Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

21. Matemática Financiera USMP Introducción Período de tiempo entre dos fechas Es importante mencionar que para calcular el período de tiempo comprendido entre dos fechas, la primera se excluye y la segunda se incluye. Ejemplo: Hallar el tiempo transcurrido entre el 13.01.2010 al 01.03.2010. Calcule el número de días comprendidos entre el 24.06.2009 y el 12.08.2009 Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

22. Matemática Financiera USMP Interés Simple Interés Simple Se calcula sobre un capital que permanece constante en el tiempo y el interés ganado se acumula solo al termino de la transacción. La falta de capitalización de los intereses implica que con el tiempo se perderá poder adquisitivo y al final de la operación financiera se obtendrá una suma total no equivalente a la original, por lo tanto, el valor acumulado no será representativo del capital inicial. Donde: P: Capital inicial i: Tasa de interés n: Plazo de la operación Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

24. El stock final o monto crece en forma lineal a lo largo del tiempo.

25. Es susceptible de multiplicarse o dividirse para ser expresada en otra unidad de tiempo.

26. La tasa de interés se debe usar en tanto por uno y/o en forma decimal; es decir, sin el símbolo de porcentaje.

27. A la tasa utilizada se le conoce como Tasa Nominal.

28. Se utiliza en la tasa expresada de los Bonos.

30. No considera eficientemente el valor del dinero en el tiempo, por consiguiente el valor final no es representativo del valor inicial.

31. No capitaliza los intereses no pagados en los períodos anteriores y, por consiguiente, pierden poder adquisitivo.Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

32. Matemática Financiera USMP Interés Simple Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

33. Matemática Financiera USMP Interés Simple Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

34. Matemática Financiera USMP Interés Simple Tipos de plazos de los intereses Interés Bancario Presupone que un año tiene 360 días y cada mes 30 días. En los mercados financieros se le conoce como Actual 360. Interés Exacto Tiene su base en el calendario natural: un año 365 o 366 días y el mes entre 28, 29, 30 o 31 días. El uso del año de 360 días simplifica los cálculos, pero aumenta el interés cobrado por el acreedor, es de uso normal por las entidades financieras. Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

35. Matemática Financiera USMP Interés Simple Ejemplos. Calcular el interés que debe pagarse por un préstamo de PEN 6,000 durante 120 días al 7.5% mensual (R. 1,800) Calcular el interés simple bancario y exacto de un préstamo por PEN 600 con una tasa de interés del 15% durante un año. (R. a. 90 ; b. 88.77) 3. ¿Cuál será la tasa de interés simple mensual en el financiamiento a 70 días, sobre un artefacto eléctrico cuyo precio de contado es de PEN 3,200 y por el cual, se pagan unos intereses de PEN 550? (R. 0.0737) 4. ¿Cuánto tiempo será necesario para que con una inversión de USD 1,800 se obtenga en USD 850 de intereses; con una tasa de interés simple del 6.5% anual? (R. 7.26 años) 5. Una persona invierte USD 50,000 a una tasa del 12% de interés simple anual; al cabo de 3 años invierte la utilidad a una tasa del 3% de interés simple mensual. Si luego de transcurrido un tiempo “n” la utilidad de la segunda inversión es el 75% de la utilidad de la primera (en los tres años), y como no va a retirar la inversión inicial, entonces, ¿A cuánto asciende el monto total? (R. 94,000) Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

36. Matemática Financiera USMP Interés Simple Valor Futuro Es el capital inicial (P) más los intereses (I) ganados en un período de tiempo; y está representado por la letra (S) o las siglas (VF). También se le conoce como Monto. Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

37. Matemática Financiera USMP Interés Simple Ejemplos. 6. Si se hace un depósito de PEN 5,000 a una tasa de interés simple anual del 12% durante 1 año. ¿Cuál será el monto a obtener? (R. 5,600) 7. Un artículo tiene un valor de contado de $ 1,585. Se adquiere crédito con una cuota inicial del 30% del valor de contado y un pago de $ 1,404 dentro de nueve meses. Hallar la tasa de interés simple anual que se cobra por la financiación. (R. 0.3539) 8. Cierto individuo ofrece préstamos que él llama “cincuenta sobre mil por quincena”. Esto significa que por cada $1,000 tomados en préstamo, durante una quincena, se le debe de devolver al prestamista $1,050. Calcule la tasa de interés simple anual cobrada por el prestamista. (R. 120% anual) 9. Un señor tiene hoy una deuda por el valor de S/. 6,500 y le cobran una tasa de interés simple del 3% anual. A su vez, el señor dispone de S/. 4,500; los cuales deposita en una cuenta de fondos mutuos que gana un rendimiento del 5% anual. ¿Dentro de cuánto tiempo el monto que tenga en la cuenta será suficiente para pagar la deuda existente en ese momento? (R. 66.67 años) Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

38. Matemática Financiera USMP Interés Simple Valor Actual También llamado Valor presente (P); corresponde a la cantidad de dinero que se invierte o se presta ahora, a la tasa de interés i y durante un período de tiempo n. Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

39. Matemática Financiera USMP Interés Simple Ejemplos. 10.Encontrar el valor actual, al 5% de interés simple de PEN 1,800 con vencimiento en 9 meses. (R. 1,734.94) 11.Hace algún tiempo se colocó un capital al 55% al cabo del cual se convirtió en S/. 1`050,000. Si se hubiese colocado al 50.5% anual y un año menos que en el caso anterior, el interés sería de S/. 252,000. Hallar el capital inicial. (R. 500,000) 12.Dos hermanos tienen ahorrado cierto capital que difiere en PEN 100,000. Un prestamista les paga por ese capital el 2% y 6% anuales respectivamente, la operación es por medio año. Se sabe, además, que si estos hermanos juntaran sus capitales, les pagarían 8% anual y sería superior en PEN 15,000 al total de los intereses por separado. ¿Cuál es el capital que tienen ahorrado estos hermanos? (R. P=400,000) 13.Una persona tiene dos opciones; la primera, depositar su dinero al 1.2% trimestral por un período de 2 años. Una segunda opción, en el caso de que incremente el primer deposito en PEN 12,000 durante 1 año, le pagarían 2.6% semestral con lo que se generaría un monto igual al doble del capital original. ¿Cuál es el dinero depositado y el monto de la primera opción? (R. P=13,316.46 S=14,594.84) Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

40. Matemática Financiera USMP Interés Simple Variaciones de tasa de interés En un horizonte de tiempo con períodos pueden suceder variaciones de tasa . Un ejemplo de este tipo de tasa es la LIBOR. También puede darse cuando se estipula dicha situación en un contrato. Sea I1 el interés generado por la tasa r1 y el período de tiempo n1. Aplicando la fórmula de interés simple de manera sucesiva, el interés total será igual a la suma de los intereses parciales. Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

41. Matemática Financiera USMP Interés Simple Ejemplos. 14.Calcular el interés simple de un depósito de ahorro de USD 14,000 colocado en el banco UBS del 6 de junio al 30 de noviembre del mismo año. Ganando una tasa anual del 30%. La tasa bajó al 20% a partir del 6 de julio y al 15% a partir del 16 de setiembre. (R. 1,347.5) 15.Un inversionista colocó su capital de PEN 150,000, como préstamo a un particular por 6 años y a interés simple. Se sabe que durante este lapso de tiempo, la tasa de interés tuvo las siguientes variaciones: 0.5% quincenal durante los 6 primeros meses 1.5% semestral por los 6 meses consecutivos 2% mensual por los siguientes 4 trimestres 1.5% anual por los siguientes 5 semestres 0.012% diario por los siguientes 2 meses 1.25% bimestral por el tiempo restante. El inversionista desea conocer el interés generado por su capital. (R. 68,955) Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

42. Matemática Financiera USMP Interés Simple Variaciones en el Principal Cambios en el saldo de una cuenta debido a los movimientos que se le genere. El cálculo, se efectúa usando numerales. Numerales Producto de cada nuevo saldo de una cuenta y el número de días de permanencia de ese saldo. Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

43. Matemática Financiera USMP Interés Simple 16. Usted abre una cuenta de ahorros con USD 1,100 y efectúa durante esa fecha las siguientes operaciones durante todo el mes de junio. El banco paga una tasa de 10%. (R. 8.597) 17. Dentro de cuántos años se tendrá en una cuenta de ahorros un saldo de S/. 9,100 sabiendo que hoy se hace un depósito de S/. 8,000 y luego retiros así: S/. 800 dentro de 2 años y S/. 1,200 dentro de 4 años, si la cuenta de ahorros está depositada en un fondo de inversión que genera un interés simple del 5.5% anual (R. 4.327 años) Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

44. Matemática Financiera USMP Interés Simple Ecuaciones de valor Cuando disponemos de diversos capitales de importes diferentes, situados en distintos momentos, es conveniente saber cuál de ellos es más atractivo desde el punto de vista financiero. Al compararlos, debemos fijarnos fundamentalmente el instante en que se encuentran ubicados; es decir, hallar el equivalente de los mismos en un mismo momento y recién podremos compararlos. Dos capitales VA1 y VA2, que vencen en los momentos n1 y n2 respectivamente, son equivalentes cuando, comparados en un mismo momento n, tienen igual valor. El momento de valoración se le conoce como fecha focal. Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

45. Matemática Financiera USMP Interés Simple Ejemplos. 18.Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de USD 1,000; 3,000; 3,800 y 4,600 con vencimiento a los 3,6,8 y 11 meses respectivamente. Para pagar estas deudas propone canjear las cuatro obligaciones en una sola armada dentro de 10 meses. Determinar el monto que tendría que abonar si la tasa de interés simple fuera de 15% anual. (R. 12,676) 19.El Gerente de Logística de una empresa tiene que afrontar dos deudas, una de PEN 4,500 a pagar dentro de 4 meses y otra de PEN 8,500 a pagar en el 10mo mes. Se deben cancelar estas deudas con un pago inicial de PEN 6,000 ahora mismo y otro pago “X” al final del 6to mes. ¿A cuánto ascendería el pago “X”, si se considera una tasa de interés simple del 5% bimestral? Considere fecha focal al final del 6to mes. (R. 5,920.24) 20.Un empresario tiene cuatro obligaciones pendientes de USD 5,000; 2,000; 4,500 y 6,300 con vencimiento a los 2,7,9 y 12 meses respectivamente. De acuerdo con el acreedor deciden hoy sustituir las cuatro obligaciones por una sola de USD 18,270.38 Determinar el momento del abono con una tasa de interés simple de 15% anual. La fecha focal es el momento 0. (R. 8 meses) Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera

46. Matemática Financiera USMP Interés Simple 21.Se adquiere una máquina agrícola financiada y se pacta cubrir en tres pagos de S/. 6,000; S/. 8,000 y S/. 10,000 en los meses 6, 9 y 12 respectivamente. Hallar el valor de contado sabiendo que la financiación contempla una tasa de interés sobre el saldo del 10% anual para los primeros seis meses y del 12% anual de allí en adelante. (R. 22,347) 22.Una máquina de coser industrial tiene un valor de contado de $ 8,200. Se desea financiar en cuatro pagos a seis, quince y dieciocho meses de tal manera que cada pago sea igual a los tres cuartos del pago anterior. Hallar el valor de cada pago sabiendo que se cobra un interés simple de 12% anual. (R1. 3,317.33 R2. 2,488 R3. 1,866 R4. 1,400) Juan Carlos Ruiz S. Matemática Financiera