Definición formal de la deriva y sus teoremas

1. Derivada
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La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta
tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está
dibujada en rojo).
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que
cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La
derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la
rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo
considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se
habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la
posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho
objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las
18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a
velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las
15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para
conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la
velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre
las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente,
ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en
dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de
la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el
caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor
en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El
proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una
de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.

2. Índice
• 1 Historia de la derivada
o 1.1 Siglo XVII
o 1.2 Newton y Leibniz
• 2 Conceptos y aplicaciones
• 3 Condiciones de continuidad de una función
o 3.1 Condición no recíproca
• 4 Definición analítica de derivada como un límite
• 5 Notación
• 6 Diferenciabilidad
• 7 Cociente de diferencias de Newton
• 8 Lista de derivadas de funciones elementales
• 9 Ejemplos
o 9.1 Ejemplo #1
o 9.2 Ejemplo #2
o 9.3 Ejemplo #3
• 10 Generalizaciones
• 11 Véase también
• 12 Referencias
• 13 Enlaces externos
[editar] Historia de la derivada
Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a
plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron
métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por
obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).
En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron
origen:
• El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge)
• El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)

3. En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo
diferencial.
[editar] Siglo XVII
Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos:
Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a
andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal.
A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas
para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían
origen al cálculo diferencial, los otros al integral.
[editar] Newton y Leibniz
Artículos principales: Newton y Leibniz.
A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus
predecesores los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas
para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos
eran inversos (teorema fundamental del cálculo).
Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En
1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el
descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su
cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión,
que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo.
Leibniz, por su parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675.
Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10 años
antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como
un cociente incremental y no como una velocidad. Fue quizás el mayor inventor de
símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo
integral, así como los símbolos y el símbolo de la integral .
[editar] Conceptos y aplicaciones
El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal.
El otro concepto es la «antiderivada» o integral; ambos están relacionados por el
teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están
basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el
Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el
concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos
donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o
situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química
y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo,

4. cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como la
pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se puede aproximar la
pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que
determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en
una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades
geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo,
una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una
discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones
que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por
lo que es susceptible de derivación.
Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son
aproximables linealmente.
[editar] Condiciones de continuidad de una función
Una función continua es aquella cuya regla de correspondencia asigna incrementos
pequeños en la variable dependiente a pequeños incrementos de los elementos del
dominio de dicha función, es decir, , y usando la expresión
, queda donde en este caso,
. Ello quiere decir que , y si este último límite existe
significa en consecuencia por un teorema de límites (un límite existe si y sólo si los dos
límites laterales existen y son iguales) que toda función que cumpla con
es continua en el punto .
[editar] Condición no recíproca
La relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su
derivabilidad. Es posible que los límites laterales sean equivalentes pero las derivadas
laterales no; en este caso la función presenta un punto anguloso en dicho punto.
Un ejemplo puede ser la función valor absoluto (también llamada módulo) en el punto
. Dicha función se expresa:

5. Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el
resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las
derivadas resultan:
Cuando vale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto, no existe
derivada en el punto, a pesar de que sea continuo.
De manera informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o
tiene saltos, no es derivable.
[editar] Definición analítica de derivada como un
límite
Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y.
En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad
cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad .
En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto
como una variable, un vector unitario, una función base, etc.
En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula
determina las características o propiedades de un cuerpo.

6. En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos
vendría representado en el punto de la función por el resultado de la división
representada por la relación , que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor
que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en
el punto de la función. Esto es fácil de entender puesto que el tríangulo rectángulo
formado en la gráfica con vértice en el punto , por mucho que lo dibujemos más
grande, al ser una figura proporcional el resultado de es siempre el mismo.
Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el
acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la
izquierda de manera simultánea.
Considerando la función f definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I, se
tiene que la derivada de la función f en el punto se define como sigue:
,
si este límite existe, de lo contrario, , la derivada, no está definida. Esta última
expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme
acelerado en cinemática.
Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada
como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el
cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de
acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite. Tales reglas son
consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede
apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.
También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto
de su dominio de la siguiente manera:
,
La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la
tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de . El aspecto de este
límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente
acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.
No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con
cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo
resultado.

7. [editar] Notación
Existen diversas formas para nombrar a la derivada.
f es una función, se escribe la derivada de la función respecto al
valor en varios modos:
• {Notación de Lagrange}
se lee «efe prima de equis»
• o {Notaciones de Cauchy y Jacobi, respectivamente}
se lee « sub de », y los símbolos D y d deben entenderse como operadores.
• { Notación de Newton}
se lee «punto » o « punto». Actualmente está en desuso en Matemáticas puras, sin
embargo se sigue usando en áreas de la física como la mecánica, donde otras notaciones
de la derivada se pueden confundir con la notación de velocidad relativa. Se usa para
definir la derivada temporal de una variable.
• , ó {Notación de Leibniz}
se lee «derivada de ( ó de ) con respecto a ». Esta notación tiene la ventaja de
sugerir a la derivada de una función con respecto a otra como un cociente de
diferenciales.
La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para
identificar las derivadas de en el punto , se escribe:
para la primera derivada,
para la segunda derivada,
para la tercera derivada,
para la enésima derivada ( ). (También se pueden usar números
romanos).
Para la función derivada de en , se escribe . De modo parecido, para la
segunda derivada de en , se escribe , y así sucesivamente.
La otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función
derivada de , se escribe:

8. Con esta notación, se puede escribir la derivada de en el punto de dos modos
diferentes:
Si , se puede escribir la derivada como
Las derivadas sucesivas se expresan como
o
para la enésima derivada de o de respectivamente. Históricamente, esto viene del
hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es
la cual se puede escribir como
La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de
diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación
parcial. También facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos «d» parecen
cancelarse simbólicamente:
En la formulación popular del cálculo mediante límites, los términos «d» no pueden
cancelarse literalmente, porque por sí mismos son indefinidos; son definidos solamente
cuando se usan juntos para expresar una derivada. En análisis no-estándar, no obstante,
se puede ver como números infinitesimales que se cancelan.
La notación de Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto
arriba del nombre de la función:

9. y así sucesivamente.
Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para
derivadas de tiempo tales comos velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones
diferenciales ordinarias. Usualmente solo se usa para las primeras y segundas derivadas.
[editar] Diferenciabilidad
Una función con dominio en un subconjunto de los reales es diferenciable en un punto
si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si es
diferenciable en todos los puntos del intervalo.
Si una función es diferenciable en un punto , la función es continua en ese punto. Sin
embargo, una función continua en , puede no ser diferenciable en dicho punto. En
otras palabras, diferenciabilidad implica continuidad, pero no su recíproco.
La derivada de una función diferenciable puede ser, a su vez, diferenciable. La derivada
de una primera derivada se llama derivada segunda. De un modo parecido, la derivada
de una derivada segunda es la derivada tercera, y así sucesivamente. Esto también
recibe el nombre de derivación sucesiva o derivadas de orden superior.
[editar] Cociente de diferencias de Newton
La derivada de una función es la pendiente geométrica de la recta tangente del gráfico
de en . Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la
pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto
en la línea tangente: . La idea es aproximar la línea tangente con múltiples
líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos
puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de
esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la

10. derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea
tangente.
Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número
relativamente pequeño. representa un cambio relativamente pequeño en , el cual
puede ser positivo o negativo. La pendiente de la línea que cruza los dos puntos
y es
.
Inclinación de la secante de la curva y=f(x).
Esta expresión es el cociente de diferencias de Newton. La derivada de en es el
límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la
línea tangente:
.
Si la derivada de existe en todos los puntos , se puede definir la derivada de como
la función cuyo valor en cada punto es la derivada de en .
Puesto que sustituir por 0 produce una división por cero, calcular directamente la
derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador,
de manera que se pueda cancelar la del denominador. Y eso es posible fácilmente en
los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto.
Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las
funciones simples.
Sea una función continua, y su curva. Sea la abscisa de un punto regular, es
decir donde no hace un ángulo. En el punto de se puede trazar la
tangente a la curva. Su coeficiente director, o sea su pendiente, es , el número
derivado de en .
La función es la derivada de .

11. En el punto de contacto, conociendo la pendiente de la tangente, es decir , se
puede saber a qué ritmo crece o decrece la función. El signo de determina si la
función crece o decrece.
En este gráfico se ve que donde es creciente, las tangentes apuntan hacia arriba
(mirando de izquierda a derecha), y por lo tanto es positiva, como en el punto (
), mientras que donde es decreciente, las tangentes apuntan hacia abajo y es
negativa, como en el punto ( ). En los puntos y , que son máximo y
mínimo local, la tangente es horizontal, luego .
La función derivada se puede calcular sin dibujar la curva de . En efecto, gracias a una
propiedad geométrica de la tangente, se tiene la fórmula:
Por ejemplo, sea
entonces:

12. [editar] Lista de derivadas de funciones elementales
Artículo principal: Anexo:Derivadas.
En las fórmulas siguientes se considera que :

13. (regla
de la cadena)
[editar] Ejemplos
[editar] Ejemplo #1
Sea la función , definida sobre el conjunto de los
números reales (denotado por ). Para conocer sus variaciones se observa su derivada:
Para encontrar el signo de , se tiene que factorizar:
lo anterior que se hace resolviendo una ecuación de segundo grado.
También se observa su segunda derivada:
Dado que y entonces tiene un mínimo local en 1 y su valor es
.
Dado que y entonces tiene un máximo local en -4 y su
valor es .

14. Nótese que la derivada es diferenciable en todo su dominio y hay exactamente 2 valores
de tales que , los cuales son y , tomando en cuenta el
teorema del valor medio y que entonces la derivada es negativa en el
intervalo por lo tanto la función es decreciente en el intervalo .
Al ser una función basada en un polinomio cúbico no está acotada ni por arriba ni por
abajo y como su derivada es una función cuadrática entonces no tiene más de 2 puntos
con derivada igual a cero, por tanto la función es creciente en el intervalo y en el
intervalo .
[editar] Ejemplo #2
Utilizando la definición de derivada de una función, determinar la derivada de la
función.
Sustituir datos:
Desarrollar:
Entonces, la derivada de la función es:
[editar] Ejemplo #3
Encuentra la derivada de:

15. Racionalizando:
Calculamos el límite:
[editar] Generalizaciones
El concepto simple de derivada de una función real de una sola variable ha sido
generalizado de varias maneras:
• Para funciones de varias variables:
o Derivada parcial, que se aplica a funciones reales de varias variables.
o Derivada direccional, extiende el concepto de derivada parcial.
• En análisis complejo:
• Función holomorfa, que extiende el concepto de derivada a cierto tipo de
funciones de variables complejas
• En análisis funcional:

16. o Derivada fraccional, que extiende el concepto de derivada de orden
superior a orden r, r no necesita ser necesariamente un número entero
como sucede en las derivadas convencionales.
o Derivada funcional, que se aplica a funcionales cuyos argumentos son
funciones de un espacio vectorial de dimensión no finita.
o Derivada en el sentido de las distribuciones, extiende el concepto de
derivada a funciones generalizadas o distribuciones, así puede definirse
la derivada de una función discontinua como una distribución.
• Diferenciablidad, otra generalización posible para funciones de varias variables
cuando existen derivadas continuas en todas direcciones es el de:
• Función diferenciable, que se aplica a funciones reales de varias variables que
poseen derivadas parciales según cualquiera de las variables (El argumento de
una función de varias variables pertenece a un espacio del tipo de dimensión
n finita).
• La diferenciación en el sentido de Fréchet generaliza el concepto de función
diferenciable a espacios de Banach de dimensión infinita.