CUANTIFICADORES LÓGICA

CENTRO UNIVERSITARIO DE LA COSTA
NORTE
LÓGICA Y CONJUNTOS
UNIDAD 4. PROPOSICIONES Y CUANTIFICADORES
ING. EN COMPUTACIÓN
Jazmín Aguirre Suárez
Puerto Vallarta, Jalisco, 01 de Diciembre del 2012

ING. JAZMÍNAGUIRRESUÁREZ Página 2
C O N T E N I D O
UNIDAD 4. PROPOSICIONES Y CUANTIFICADORES
TEMA PAGINA
4.1 Proposiciones singulares, particulares, universales 3
4.2 Traducción del lenguaje natural al simbólico utilizando
cuantificadores
5
4.3 Reglas de cuantificación y demostración de validez (Prueba formal
de validez y prueba condicional reforzada).
9
4.4 Prueba de invalidez. 11
4.5 Proposiciones múltiplemente generales.
12
4.6 Negación de cuantificadores.
15
4.7 Cuadro tradicional de oposición: contradictorias, contrarias y
subcontrarias, alternas y subalternas.
16
4.8 Forma, figura del silogismo y demostración de validez e invalidez del
mismo mediante diagramas de Venn-Euler.
18
4.9 Identidad y relaciones.
20
4.10 Cuantificadores múltiples.
22

4.1. PROPOSICIONES SINGULARES, PARTICULARES Y UNIVERSALES.
Preposiciones Singulares
Expresan un hecho concreto que ocurre en un momento determinado del tiempo.
Sólo son verdaderas aquí y ahora: “La pizarra de la clase es verde”, “El presidente
del gobierno del estado español es José Luis Rodríguez Zapatero”, “Todos los
alumnos de 1º A son inteligentes” (Aunque parece universal equivale a un número
finito de proposiciones singulares: el 1º de la lista de 1º A es inteligente, el 2º de la
lista de 1º A es inteligente….”)
Es decir si el sujeto es un sólo individuo, se habla de una proposición singular por
ejemplo: “Juan corre”. En las proposiciones singulares el sujeto no es un concepto,
sino un nombre propio. En el simbolismo lógico, estos individuos se expresan con
las letras minúsculas a, b, c…
Por ejemplo: “la torre Eiffel mide 325 metros”; “la torre Eiffel”(a) es el
individuo, y “mide 325 metros” es predicado (F); Los predicados se
expresan con las letras mayúsculas F, G, H… Entonces podemos simbolizar la
proposición singular anterior: (Fa).
Preposiciones particulares
Expresan que una propiedad determinada es poseída por un número indefinido de
una clase dada: “Algunas personas se enfadan si se les dice que no”, “cuando hay
cirros, casi nunca llueve”.
En las proposiciones particulares el sujeto es un concepto cuantificado. Como no
está definido como individuo concreto, sino como concepto abstracto. En el
simbolismo se usan las letras para lo desconocido, o sea las letras x, y, z…En
estricto sentido lógico la proposición singulares un sub caso de las proposiciones
particulares, porque ‘algunos’ también significa ‘por lo menos uno’.

Ejemplo: “algunos hombres son varones”; aquí “hombres” no es un individuo, sino
un concepto universal cuantificado (“algunos”).
Preposiciones Universales
Si el sujeto incluye todos los entes de una cierta clase, hablamos de una
proposición universal. Aquí el sujeto también es un concepto cuantificado, pero
con el cuantificador universal (‘todos’).Ejemplo: ‘el hombre es mortal’; esta misma
pro-posición puede expresarse de diferentes maneras:‘ todos los hombres son
mortales’; ‘ningún hombrees inmortal’. Una vez más, no hay que engañarse por la
forma lingüística
EN CONCLUSIÓN
Preposición Modalidad
Singular Uno Real
Particular Algunos Posible
Universal Todos Necesaria

4.2 TRADUCCIÓN DEL LENGUAJE NATURAL AL SIMBOLICO
UTILIZANDO CUANTIFICADORES
DEFINICIÓN DE CUANTIFICADORES
Los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos elementos de
un conjunto cumplen con cierta propiedad. Cuando utilizamos funciones
proposicionales podemos incorporar dos nuevos símbolos denominados
cuantificadores.
Hay dos formas de cuantificar una función proposicional:
Cuantificador Existencial
Denota que existe “al menos” un elemento x del Universo, para el cual p(x) es
verdadera.
Notación
x p(x) ó
x y p(x, y) x, y p(x, y)
En lenguaje natural decimos...
Formas de expresarlo:
“Hay un x”
“Para algún x”
“Para al menos un x”
“Existe un x tal que”
La proposición es Verdadera, si existe al menos un elemento x del universo tal que
p(x) sea verdadera. De lo contrario es falsa.
Si p(x) es una función proposicional en U, entonces la expresión:
x; p(x) Se lee “existe x tal que p(x)”
y significa que hay al menos un elemento “a” que pertenece al universo, de modo
que p(a) es verdadera.
Observación Dentro de este cuantificador nos encontramos con el cuantificador
! que se lee existe un único y que es verdadero si y solo si la proposición es
solamente verdadera en una ocasión.

Ejemplos:
1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, considerando que
U = {1,2,3,4,5,6,7}
a)
Valor de x Operación Conclusión
X=1 12
-1=13 Falso
X=2 22
-2=13 Falso
X=3 32
-3=13 Falso
X=4 42
-4=13 Falso
X=5 52
-5=13 Falso
X=6 62
-6=13 Falso
X=7 72
-7=13 Falso
La proposición es falsa, ya que para todos los elementos de U la proposición es falsa
b)
X=1 12
-1>20 Falso
X=2 22
-2>20 Falso
X=3 32
-3>20 Falso
X=4 42
-4>20 Falso
X=5 52
-5>20 Falso
X=6 62
-6>20 Verdadero
X=7 72
-7>20 Verdadero
La proposición es verdadera, ya que existen dos elemento de U que satisface la
proposición.
Ejemplos:
 q(x)=x/x estudia en la universidad de Guadalajara
 r(x)=x/x es mujer
Existen estudiantes de la universidad de Guadalajara que son mujeres
x:q(x)r(x)
 q(x)=x/x estudia en la universidad de Guadalajara
 r(x)=x/x estudia lógica

Existen estudiantes de la universidad que estudian lógica
x:q(x)r(x)
 q(x)=x/x estudia lógica
 r(x)=x/x gana el curso de lógica
Existen estudiantes que si estudian lógica, ganan el curso.
x:q(x)r(x)
Cuantificador Universal
Indica que una proposición es Verdadera para todos los valores de una variable en un
“universo” en particular. p(x) es verdadera, para todos los valores de x en el dominio.
Notación
En lenguaje natural decimos...
Formas de expresarlo:
“Para todo x”
“Para cada x”
“Para cualquier x”
“Para todo x y y”
“Para todo x,y”
La proposición es Verdadera, si para cada reemplazo de x, p(x) es verdadera. Es falsa, si
existe al menos un x para el cual p(x) es falsa.
Si p(x) es una función proposicional en U, entonces la expresión:
Se lee “para todo x, p(x)”
y significa que todos los elementos x de U hacen que p(x) sea verdadera.

Ejemplos
2. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, considerando que
a)
X=1 12
<34 Verdadero
X=2 22
-<34 Verdadero
X=3 32
<34 Verdadero
X=4 42
<34 Verdadero
X=5 52
<34 Verdadero
X=6 62
<34 Falso
La proposición es falsa, ya que no todos los elementos de U satisfacen la proposición.
b)
X=1 (5)(1)-1>2 Verdadero
La proposición es verdadera, ya que todos los elementos de U satisfacen p(x).
Ejemplos:
 P(x)=x/x pertenece a la universidad de Guadalajara
 x:p(x)=“Para todo x, x es estudiante de la universidad de Guadalajara
 P(x):x/x profesor de la universidad
 x:p(x)=“Para todo x, x es profesor de la universidad de Guadalajara
 p(x)=x/x es estudiante de la universidad de Guadalajara
 q(x):x/x es mayor de 30 años
Todos los estudiantes de la universidad mayores de 30
 x:p(x)q(x)=“Para todo x, x es estudiante y es mayor de 30 años

4.3 REGLAS DE CUANTIFICACIÓN Y DEMOSTRACIÓN DE
VALIDEZ (PRUEBA FORMAL DE VALIDEZ Y PRUEBA
CONDICIONAL REFORZADA)
Cuantificación Universal
(con restricciones)
IU EU
Cuantificación Existencial
IE
(con restricciones)
EE
Reglas de Inferencia
Las reglas de inferencia son las fórmulas y métodos sintácticos que permiten
obtener conclusiones correctas (desde el punto de vista lógico, sin tener en cuenta
la semántica) a partir de otras denominadas premisas o hipótesis.
Existen cinco reglas clásicas fundamentales:
Regla uno: “Si p es condición suficiente para q y p es verdadera, entonces, q
también lo es”. Esta regla se denomina también “modus ponendo ponens”, del
latín ponerse=afirmar. En formulas se suele escribir así:
, aunque hay otras formas alternativas. En matemáticas describe lo que se
conoce como “demostración directa”.
Por ejemplo, sean
El queso de cabra es bueno
Deducimos que es cierto que “mi queso es bueno”

Otro ejemplo: éste más familiar sean
x es derivable : entonces
deducimos que es cierto que “ es continua.
Regla dos: “Si p es condición suficiente para que q y q no es verdadera, entonces
q p tampoco lo es”. Esta regla se denomina también “modus tollendo tollens” del
latín Tollere=negar.
En formulas: en Matemáticas describe lo que se conoce como
“demostración indirecta por contrarecíproco”.
Regla tres: “Si p condición suficiente para q, y q es condición sufiente para r,
entonces p es condición suficiente para r”.
Esta regla es el “silogismo hipotético”. Del griego syn(juntar)+lógos
(razonamiento).
Su fórmula:
El ejemplo clásico es “todos los hombres son mortales, “Sócrates es hombre”,
luego “Sócrates es mortal”.
Regla cuatro: “Si uno de los dos, p ó q, es cierto y p es falso, entonces q es
cierto” esta regla es un “silogismo disyuntivo”. En fórmulas:
Regla cinco: “Si ~p es condición suficiente para que se dé una contradicción,
entonces p es cierto”. En fórmulas:
En matemáticas se conoce como “demostración por contradicción”

4.4 PRUEBA DE INVALIDEZ
Se trata de una demostración indirecta por reducción al absurdo. Si la conclusión
tiene valor 0, es falsa, y las premisas pueden tener valor 1, el razonamiento es
inválido.
Modus operandi:
Se da valor 0 a la conclusión y se intenta que todas las premisas adquieran valor
de verdad - operando como hacíamos en las tablas veritativas.
Si las premisas son verdaderas y la conclusión falsa, el razonamiento es inválido.
Por ejemplo:
1 2 3
Operamos así:
1 2 3
1/0 1 1 1 1 0 1 1 0
0
El razonamiento es inválido, ya que hemos podido dar valor 1 a las premisas,
siendo falsa la conclusión.
Consideremos ahora el siguiente razonamiento:
1 2
0 11 1 0 1 0 0
Como la segunda premisa no puede tener valor 1, no se puede probar la invalidez
del razonamiento.
Sin embargo, para probar la validez de un razonamiento, es necesario además
realizar la prueba formal de validez.

4.5 PROPOSICIONES MÚLTIPLEMENTE GENERALES
Consiste en proposiciones con varios cuantificadores.
Por ejemplo:
"Si todos los perros son carnívoros, entonces algunos animales son carnívoros."
"Si todos los P son C, entonces algunos A son C."
P(x) [Px  Cx]  (x) [Ax . Cx]
Distinguiremos:
- función (no posee ninguna constante) —f(x,y, etc.).
- proposición
- función proposicional (posee por lo menos una variable independiente) —f(x,a, etc.).
Supongamos ahora la proposición
Fa . Gb  proposición
que puede ser ejemplificada por las siguientes tres funciones proposicionales
Fx . Gb  función proposicional
Fa . Gx  función proposicional
Fx . Gy  función proposicional
Si el perro del ejemplo tiene por nombre Lassie resulta
P(x) [Px  Cx]  Cl proposición
que a su vez es ejemplo de
P(x) [Px  Cx]  Cx  función proposicional
y donde se observa que hay dos tipos de «x»
- las ligadas al cuantificador «(x)» y su extensión «[...]»
- en este caso sólo es una: las «x» del primer miembro
- las libres del cuantificador «(x)» y su extensión «[...]»
- en este caso sólo es una: la «x» del segundo miembro

Recomendaciones
Las proposiciones no tienen variables ligadas o libres «x», sino que son sólo V o F.
Los conectivos «  » tienen mayor alcance que los cuantificadores «(x)».
Dada una función proposicional cualquiera, por ejemplo: Px  Cx
Si se diera que se trabajo con la sustitución proposicional
Pa  Ca  bien
No es correcto luego trabajar con una segunda sustitución que reemplace la constante
Pa  Cb  mal
Pero sí se puede hacer
Fx  Gy
Fa  Gb  bien
En suma:
al reemplazar variables por constantes, la misma variable debe ser reemplazada
siempre por la misma constante.
es posible reemplazar distintas variables por la misma constante.
Si ahora tenemos por ejemplo las siguientes dos funciones:
P(x) Fx
P(x) Fy
Podemos distinguirlas como iguales con la única diferencia el aspecto notacional. Pero no
es lo mismo con estas dos:
P(x) [Fx . Gy]
P(y) [Fx . Gy]
Porque a la v
segunda; y viceversa.
También se puede hacer el siguiente reemplazo para trabajar con claridad y utilidad:
P(x) [Px  Cx]  (x) [Ax . Cx]
P(x) [Px  Cx]  (y) [Ay . Cy]

Ejemplos:
1) "Si algo está mal en la casa, entonces todos en la casa se quejan."
"Si algo está M en la casa, entonces [todas las Personas] en la casa se Q."
(x) [Mx]  (y) [Py  Qy]
2) "Si algo anda mal, debe ser rectificado."
"Si algo anda M, debe ser R."
(x) [Mx]  Rx  mal
(x) [Mx  Rx  mal
(x) [Mx  Rx]  bien (el vocablo «algo» denota universalidad)
3) "Si algo se pierde, entonces si nadie llama a la policía, habrá un descontento."
"Si algo se M, entonces si [ninguna Persona] llama a la C, habrá un D."
(x) [Mx]  { (y) [Py  -Cy]  (z) [Pz . Dz] }
4) "Si algo se perdió, y entonces nadie llama a la policía, no será recobrado."
"Si algo se M, y entonces [ninguna Persona] llama a la C, no será R."
(x) [Mx]  { (y) [Py  -Cy]  -Rx } mal (la variable libre «x» no es
alcanzada por el cuantificador
«(x)»)
(x) { [Mx]  { (y) [Py  -Cy]  -Rx } }  bien
5) "Si algo se descompone, alguien será culpado."
"Si algo se D, [alguna Persona] será C."
P(x) [Dx]  (y) [Py  Cy] bien
P(x) [Dx]  (x) [Px  Cx] bien
6) "Si algo se pierde, alguien llamará a la policía."
"Si algo se M, [alguna Persona] llamará a la C."
P(x) [Mx]  (y) [Py . Cy]
7) "Si algo se pierde, entonces lo tomó la mucama."
"Si algo se M, entonces lo T la mucama."
P(x) [Mx  Tx]
8) "Si todos los diamantes son grandes, entonces algunos diamantes son caros."
"Si todos los D son G, entonces algunos D son $."
P(x) [Dx  Gx]  (y) [Dy . $y]

4.6 NEGACIÓN DE CUANTIFICADORES
La negación de la proposición en la cual se ha utilizado el cuantificador universal,
corresponde a una proposición en la cual se utiliza el cuantificador existencial; a
su vez, la negación de una proposición en la cual se ha usado el cuantificador
existencial, corresponde a una proposición en la cual se utiliza el cuantificador
universal.
EJEMPLOS
Negar las siguientes proposiciones cuantificadas. Luego, simbolizar la proposición
y la negación.
a. Todos los números naturales son impares
Negación: Existe por lo menos un números natural que no es impar
simbólicamente.
b. Existe un número par que no es múltiplo de 4.
Negación: Todos los números pares son múltiplos de 4
simbólicamente.
Sea p(x) una función proposicional con extensión A, entonces
¬( x A) p(x)≡( x A) ¬p(x)
¬ ( x A) p(x) ≡ ( x A) ¬p(x)
Ejemplos
1) Sea A = {1, 2, 3, 4, 5}
Determine el valor de verdad de cada uno de los enunciados siguiente
a) ( x A) (x+3 =10)
Solución: Es falso porque ningún número de A es una solución de x + 3 = 10
b) b) ( x A)(x+3<10)
Solución: Es Verdadero. Cualquier número de A cumple que x + 3<10

4.7 CUADRO TRADICIONAL DE OPOSICIÓN: CONTRADICTORIAS,
CONTRARIAS Y SUBCONTRARIAS, ALTERNAS Y SUBALTERNAS
CUADRO DE LA OPOSICIÓN:
Se llama cuadro de oposición de los juicios al esquema mediante el que se
estudian las relaciones formales entre los diversos tipos de juicios aristotélicos, A,
E, I, O, considerando cada juicio con términos idénticos. En su día fue considerado
por el mismo Aristóteles.
A = UNIVERSAL AFIRMATIVO. Término Sujeto tomado en su extensión universal;
término Predicado particular; cualidad afirmativa. Todo S es P.
E = UNIVERSAL NEGATIVO. Término Sujeto tomado en su extensión universal;
término Predicado universal; cualidad negativa. Ningún S es P.
I = PARTICULAR AFIRMATIVO. Término Sujeto tomado en su extensión
particular; término Predicado en su extensión particular; cualidad afirmativa. Algún
S es P.
O = PARTICULAR NEGATIVO. Término Sujeto tomado en su extensión particular;
término Predicado en su extensión universal; cualidad negativa. Algún S no es P.
Se llaman juicios opuestos a los que teniendo los mismos términos difieren en
cantidad, en cualidad o en ambas. Se representan en cada uno de los vértices del
cuadrado de oposición, estableciéndose las siguientes relaciones:
A y E son contrarios porque difieren en cualidad siendo universales.
I y O son subcontrarios, porque siendo particulares difieren en la cualidad.
CONTRARIOS
S
U
B
A
L
T
E
R
N
O
S
SUBCONTRARIOS
S
U
B
A
L
T
E
R
N
O
S
CONTRADICTORIOS
UNIVERSALES
A
F
I
R
M
A
T
I
V
O
S
N
E
G
A
T
I
V
O
S
PARTICULARES

A con respecto a O, e I con respecto a E son contradictorios, porque difieren en
cantidad y cualidad.
A con respecto a I, y E con respecto a O son subalternos porque difieren en la
cantidad.
Las relaciones con respecto al valor de verdad en relación de unos y otros se
muestran en los siguientes cuadros:
OPOSICIÓN JUICIOS
RELACIONADOS
RELACIÓN VERITATIVA
Contradictorios A - O
E - I
Si uno es verdadero el otro es falso y
viceversa.
Ni ambos verdaderos, ni ambos falsos.
Contrarios A - E
No pueden ser ambos verdaderos
Pero pueden ser los dos falsos
Subcontrarios I - O
Pueden ser ambos verdaderos
Pero no pueden ser los dos falsos
Subalternos
A - I
E - O
Si el universal (A, E) es verdadero,
entonces el particular (I, O) es verdadero
Pero si el particular (I, O) es verdadero
entonces el universal (A, E) no es
necesariamente verdadero

4.8 FORMA, FIGURA DEL SILOGISMO Y DEMOSTRACIÓN DE
VALIDEZ E INVALIDEZ DEL MISMO MEDIANTE DIAGRAMA DE
VENN-EULER
Se sabe que el silogismo categórico estructuralmente está compuesto por 3
proposiciones categóricas que contienen a su vez dentro de ellas 3 términos.
Además, estas 3 proposiciones categóricas se pueden representar mediante la
fórmula booleanas en diagramas.
Por este motivo es posible analizar el silogismo como la resultante de un
intersección de 3 clases, cada una de las cuales representa respectivamente al
término medio (T. medio), al término mayor o predicado de la conclusión (TM) y al
término menor o sujeto de la conclusión (tm).
De la relación de estas 3 clases resulta el siguiente diagrama en el que se
distinguen 8 áreas.
DIAGRAMA DE VENN DE 3 CLASES
ZONA CARACTERÍSTICA
1
2
3
4
5
6
7
8
8
M
7
5
6
42
P
S
1
3
U
S P
M
U

PASOS
1er. Paso: determinar las premisas y la conclusión. Hallar los 3 términos.
2do. Paso: determinar la fórmula booleana de cada proposición categórica.
3er. Paso: dibujar las 3 clases (términos mayor, menor y medio) así por
convención.
4to. Paso: Diagramar solo las premisas. El silogismo será válido si aparece, se
comprueba o verifica la conclusión.
Determine la validez del siguiente silogismo:
Todo argentino es sudamericano, además, algún lógico es argentino. Por lo tanto,
algún lógico es sudamericano.
PRIMER PASO: PM: Todo A es S, Pm: Algún L es A C: Algún L es S
SEGUNDO PASO: PM: AS= , Pm: LA , C: LS.
TERCER PASO:
CUARTO PASO: Vemos que la conclusión C, que señala que existen elementos
comunes a L y S, efectivamente queda diagramada cuando dibujamos las
premisas. El silogismo es válido

4.9 IDENTIDAD Y RELACIONES
En español se usa con frecuencia alguna forma del verbo "ser" entre dos términos,
para indicar que nombran o se refieren a una misma cosa.
Por ejemplo:
"Simón Bolívar fue el primer presidente de Colombia".
Esto significa, que Simón Bolívar nombra o indica lo mismo que " primer
presidente de Colombia". Así si s representa a Simón Bolívar y p al primer
presidente de Colombia este enunciado se puede simbolizar como:
s = p
El signo = (igual) se denomina también signo de identidad.
Sin embargo, el verbo "ser" se usa también en otro sentido, por ejemplo:
"Simón Bolívar fue un hombre valiente".
Aquí sería incorrecto decir que Simón Bolívar nombra o indica lo mismo que
"hombre valiente".
Debe tenerse presente que el signo de identidad se coloca entre términos que son
nombre de la misma cosa. Así, dos objetos aunque tengan una apariencia tan
igual que no se distingan, son sin embargo distintos, es decir no idénticos. Decir
que dos objetos son iguales, significa que son el mismo objeto, no que son tan
análogos que no se distinguen.
Axiomas do la Lógica de la identidad.
1) (" x)(x = x). (Todo objeto es igual así mismo).
2) (" x)(" y)(x = y Û y = x) (Simetría).
3) (" x)(" y)(" z)(x = y Ù y = z Þ x = z) (Transitividad).
4) (c = d),Þ (Pc Û Pd). (Regla de la identidad).
Intuitivamente, el axioma cuatro dice: Si dos objetos son iguales, entonces
verifican las mismas propiedades.

Ejemplo: Simbolizar el siguiente razonamiento, y mostrar que la inferencia es
válida deduciendo la conclusión.
 Eduardo podía haber visto el coche del asesino.
 Ricardo fue el primer testigo de la defensa.
 O Eduardo estaba en la fiesta o Ricardo dio testimonio falso.
 En efecto, nadie en la fiesta pudo haber visto el coche del asesino.
 Por tanto el primer testigo de la defensa dio testimonio falso.
Sean:
Ve: Eduardo pudo haber visto el coche del asesino.
r = p: Ricardo fue el primer testigo de la defensa.
Fe: Eduardo estaba en la fiesta.
Tr: Ricardo dio testimonio falso.
(" x)(Fx Þ Ø Vx): nadie en la fiesta pudo haber visto el coche del asesino.
Entonces:
1 Ve premisa.
2 r = p premisa.
3 Fe Ú Tr premisa.
4 (" x)( Fx Þ Ø Vx) premisa.
5 Fe Þ Ø Ve E.U. en 4.
6 Ve Þ Ø Fe contrarrecíproco en 5.
7 Ø Fe RV1 en 1 y 6.
8 Tr regla de disyunción 3 y 7.
9 Tp regla de identidad en 2 y 8.

4.10 Cuantificadores múltiples
Consideremos la función proposicional de dos variables P definida en A × B (A y B
son conjuntos no vacíos). Se puede transformar dicha función en una proposición
cuantificándola de las siguientes formas:
Observa que , no es una proposición, es la forma de una función
proposicional definida en B.
Ejemplos:
Consideremos la función proposicional , definida en x .
1) La proposición Es falsa
2) La proposición Es verdadera
3) La proposición Es falsa
4) La proposición Es verdadera

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