1. Квадратична функція

2. Означення

Квадратичною функцією
називають функцію, яку можна
задати формулою виду
y = ax ² + bx + c,
де х – незалежна змінна,
а, в, с – деякі числа, причому а не
дорівнює 0.
 Приклади: у = х² , у = х ² – 4х + 5

3. Властивості функції у = ах²
при а›0





1. Якщо х=0, то у=0.Графік функції
проходить через початок координат
2. Протилежним значенням аргументу
відповідають рівні значення функції.
Графік функції симетричний відносно осі у
3. Функція спадає в проміжку ( - ∞ ;0] і
зростає в проміжку [0; + ∞ ).
4. Найменшого значення, яке дорівнює
нулю, функція набуває при х=0,
найбільшого значення функція не має.
5. D( у) = ( - ∞ ; + ∞ ), E(у) = [0; + ∞ )

4. Властивості функції у = ах²
при а‹0






1. Якщо х=0, то у=0. Графік функції
проходить через початок координат
2. Якщо а ‹0. Графік функції розміщений
у нижній півплощині
3. Протилежним значенням аргументу
відповідають рівні значення функції.
Графік функції симетричний відносно осі у
4. Функція зростає в проміжку ( - ∞; 0] і
спадає в проміжку [0; + ∞ ).
5. Найбільшого значення, яке дорівнює
нулю, функція набуває при х=0,
найменшого значення функція не має.
6. D( у) = ( - ∞ ; + ∞ ), E(у) = (- ∞ ; 0 ]

5. Для того, щоб побудувати графік
квадратичної функції, потрібно :



1) знайти координати вершини
параболи і позначити її на
координатній площині;
2) побудувати ще декілька точок,
що належать параболі:
3) поєднати позначені точки
плавною лінією.

6. І спосіб побудови
квадратичної функції y = ax ² + bx + c





1)знайдемо координати вершини параболи: M (m; n)
, де m=-b/2а, n= (-b ² +4aс)/4а ;
2) знайдемо координати точок перетину графіка з
віссю х, тобто знайдемо нулі функції: D=b ² -4ac,
x 1,2 =(-b± √¯D)/2а ;
3) пряма у = -b/2а – вісь симетрії параболи;
4) при а › 0 вітки параболи направлені вгору,
а при а ‹ 0 – вниз ;
5) знайдемо значення у при х=0

7. ІІ спосіб побудови
квадратичної функції y = ax ² + bx + c

1) виділити квадрат двочлена з квадратного
тричлена: ax ² + bx + c= а(х –m)² +n, де m=-b/2а,
n= (-b ² +4aс)/4а ;



2)графік функції y = ax ² дістанемо з y = x ²
розтяганням його від осі х в а раз, якщо а › 1, і
стисканням до осі х в 1/а раз, якщо 0 ‹ а ‹ 1
2) графік функції у = ах² +n дістанемо з графіка
функції у= ax ² за допомогою паралельного
перенесення вздовж осі у на n одиниць угору, якщо
n ›0, або на –n одиниць униз, якщо n ‹0;
3) графік функції у= а(х –m)² дістанемо з графіка
функції у= ax ² за допомогою паралельного
перенесення вздовж осі х на m одиниць вправо, якщо
m ›0, або на –m одиниць вліво, якщо m ‹0;

8. вправа № 1
Побудувати графік функції у = - х²+2х+8





1) знайдемо М(m; n) – вершину параболи:
m=х =-b/2а=-2/2(-1)=1;
n =у=(-b² +4ас/4а)= 9;
М(1;9)
2) знайдемо нулі функції:
- х²+2х+8=0, D=b²-4ac=4-4(-1)8=36, х1=-2, х2=4,
точки перетину
з Ох (-2;0), (4;0)
3) якщо х=0, то у=8; (0;8) – точка перетину з
віссю О у
4) m= х = 1 – вісь симетрії
5) а=-1, а ‹ 0 – вітки параболи напрямлені вниз

10. Властивості функції у = - х²+2х+8


1)D(у) = (- ∞ ; + ∞ ),
2) якщо х=0, то у=8
E(у) =(- ∞ ; 9]
› 0 при х є (-2;4),у ‹ 0 при х є (- ∞ ;-2), (4;+ ∞ )

3) у

4) функція спадає на проміжку х є [ 1;+ ∞ )
функція зростає на проміжку х є (- ∞ ; 1 ]
5) у max =9 при х = 1
Найменшого значення функція не має


11. Вправа № 2 / усно/

²
З" ясуйте, графік
якої з функцій
у = х² +6х,
у=2х² -4х,
у =- х² -6
зображено на
рисунку