Funções

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Funções

  1. 1. • No quotidiano temos muitas relações, basta pensares na tua turma. Os nomes e os números. Os teus vizinhos, moradas e números de porta. Por vezes “ordenamos”. Pensa, o nome dos teus colegas e os números na sala de aula, isto significa que um vem antes e outro depois. Podíamos estabelecer essa relação.• Uma função é uma relação "bem comportada", tal como os membros de uma família, uns são mais bem comportados do que outros. (Atenção:.. Isto significa que, apesar de todas as funções serem relações, nem todas as relações são funções. Quando dizemos que a função é "uma relação bem comportada ", significa que, dado um ponto de partida, sabemos exactamente para onde ir, dado um x(nome), temos um e um só y(número).
  2. 2. Alunos Números Ana 1 Artur 2 Carlo 6 João 23 Tiago 28Repara que as setas vermelhas saem da lista dos nomes e vão para a lista de números. À lista dos nomes vamoschamar conjunto de partida ou “domínio” e à lista dos números, conjunto de chegada.
  3. 3. O domínio é onde se começa. Agora vamos pensar num espelho. Temos um objecto e temos uma só imagem Nestes casos temos uma função.Aqui aparece o termo “imagem”, porque a vemos. No caso da relação “Alunos - Números” também podemos dizer que os Alunos são osobjectos e os Números as imagens, e também temos uma função.
  4. 4. Atenção! Nem todas as relações são funções. Pais Filhos Ana António Joana Maria Rui Josefa Tiago Ramon CármenRepara que à Maria (objecto) correspondem dois filhos (duas imagensdiferentes), logo não existe função.
  5. 5. • Lembra-te que no espelho cada objecto tem uma e só uma imagem, apesar de poderem existir objectos com a mesma imagem. Livros Autores Vamos a mais informação a partir deste exemplo.
  6. 6. Livros Autores Conjunto de partida Conjunto de chegada Objectos Domínio (D)D= {A Menina do Mar, O Cavaleiro da Dinamarca, Os Bichos, O Mundo em que Vivi}Imagens – Contradomínio (D’ ) ={Miguel Torga, Sophia M. Breyner, Ilse Losa} Repara que o Conjunto de Chegada tem um elemento (Vergílio Ferreira) a que não corresponde qualquer livro, logo não é imagem.
  7. 7. Exemplos.1. Considera a seguinte correspondência entre os conjuntos A e B. A – conjunto de partida B – conjunto de chegada Df = {4, 8, 11} D ‘f = {8, 16, 22} Em linguagem corrente podemos dizer: “ao 4 corresponde o 8” escrevendo com símbolos matemáticos: lemos: “ de 4 é igual a 8” Se observarmos a correspondência, verificamos que a cada valor do conjunto A corresponde o dobro em B. Podemos escrever a expressão analítica do que observamos:
  8. 8. 1. A tabela seguinte apresenta a correspondênciaentre um número e o seu quadrado Número 0 1 2 3 4 Quadrado do número 0 1 4 9 16a) Justifica que a tabela representa uma função.R: A tabela representa uma função porque a cada número corresponde um eum só quadrado do número.b) Indica o domínio e o contradomínio da função.R: D = {0; 1; 2; 3; 4} D’ = {0; 1; 4; 9; 16}c) Qual a imagem de 2? Qual é a imagem de 4?R: A imagem de 2 é 4. A imagem de 4 é 16d) Qual é o objecto que tem por imagem 9?R: O objecto que tem por imagem 9 é o 3.
  9. 9. 2. A tabela seguinte mostra a distância que um automóvel percorre até se imobilizar segundo a velocidade a que seguia Velocidade (km/h) 60 90 120 150 180 Distância de paragem (m) 34. 64. 104. 152. 209. 4 9 2 4 4a) A tabela representa uma função? Justifica a resposta.R: Sim, porque a cada velocidade corresponde uma e só uma distância.b) Qual é a imagem de 90 km/h? E qual é o objecto que tem por imagem 209,4 m?R: 64,9 m. 180 km/hc) Para que o automóvel pare antes de bater num obstáculo a 100 m, o condutor podecircular a 120 km/h?R: Não, porque necessita de 104,2 m para parar e só tem 100 m.
  10. 10. 3. O gráfico representa a temperatura registada de 4 em 4 horas ao longo de um dia de Primavera em Tomar. a) A correspondência é uma função? R: Sim, porque a cada elemento dos tempos, corresponde um e um só elemento do conjunto das temperaturas b) Indica o Domínio e o contradomínio da função. R: D = {4, 8, 12, 16, 20, 24} D’ = {6, 9, 12, 15, 18} c) Quais os objectos cuja imagem é 12? R: 8 e 20 d) Designado por g esta função, completa: g(16) = ? g(?) = 9 R: Só tens que observar o gráfico para concluir: g(16) = 15 g(24) = 9
  11. 11. 4. A energia consumida é calculada conhecendo a potência utilizada e o tempo decorrido: Unidades SI E Energia consumida joule (J) Intervalo de tempo segundo (s) P Potência watt (W)1.1. Calcula a energia consumida por uma máquina e lavar roupa com 2100 W de potência quefuncionou durante uma hora. R: Deves reparar que o intervalo de tempo está em segundos e o tempode funcionamento da máquina foi de 1 hora pelo que tens que reduzir horas a segundos.1h = 3600 s então:1.2. Determina a energia consumida durante 30 minutos, por uma lâmpada de 40 w. R: 30 min = 1800 s
  12. 12. 1.3. Considera agora uma lâmpada economizadora de 5W de potência.a) Completa a tabela com os consumos dessa lâmpada ao longo de um minuto. Tempo de 0 10 20 30 40 50 60 utilização (s) Energia consumida (J) R: P = 5 W basta multiplicar pelos tempos. Tempo de 0 10 20 30 40 50 60 utilização (s) Energia consumida 0 50 100 150 200 250 300 (J) b) Representa graficamente a situação. R: Observa a tabela.
  13. 13. c) Quanto tempo esteve a lâmpada acesa para ter um consumo de 900 J?R: Podes utilizar o gráfico ou a tabela para resolver a questão ou então através da fórmula , mas agora o que se pretende é ,então convertendo em minutos teremos3 min.
  14. 14. Coordenadas de um ponto no plano• Consideremos no plano um sistema de eixos coordenados.• Qualquer ponto P do plano, pode caracterizar-se pelos números, x e y, que são as projecções do ponto sobre os eixos.• Então o ponto P, tem coordenadas (x, y), ou seja, x é a abcissa e y é a ordenada.• Por exemplo se um ponto P tem como coordenadas (5,3), andamos 5 unidades no eixo dos x e 3 unidades no eixo dos y. clicar
  15. 15. FUNÇÃO AFIMCorrespondência que associa cada número x ao número kx + b, com k e b constantes reais. X y = kx + b ou f(x) = kx + b o gráfico é uma recta y = kx + b ordenada na origem imagem de x declive da recta• Casos particulares Se b = 0, x Y = kx recta que passa na origem O (0,0) Se K = 0 x y = b função constante. Recta paralela ao eixo dos xx e que passa no ponto (0,b).
  16. 16. Y = kxy = kx + bSe: k > 0 a recta é ascendente k <0 a recta é descendente y = b
  17. 17. EXEMPLOS1. Vamos começar com as funções de proporcionalidade directa, do tipo , lembra-te que as funções de proporcionalidade directa são representadas por rectas que passam na origem (0,0)• Representa graficamente a funçãoR: Vamos fazer uma tabela dando valores a x e obter os respectivos valores de y. x y -2 -3(-2) = 6 agora traçamos o gráfico 0 -3(0) = 0 1 -3(1) = -3 2 -3(2) = -6
  18. 18. 8 6 4 2 0-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 -2 -4 -6 y = -3x -8
  19. 19. 2. Traçar os gráficos das funções: eR: Temos que fazer duas tabelas independentes, uma para cada função. x y x y -3 -4 -3 6 -2 -3 -2 5,333333 0 -1 0 4 1 0 1 3,333333 2 1 2 2,666667 3 2 3 2 6 5 6 0 8 7 8 -1,33333 gráfico
  20. 20. 8 6 4 2 y=x-1 y=4-2/3x 0-4 -2 0 2 4 6 8 10 -2 -4 -6
  21. 21. Acabou, por agora!...Vamos ao trabalho se nãoJá sabem o que acontece!… Janeiro 2011 O professor: Carlos Jaime Q. Lopes

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