INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES. DIAPOSITIVAS DE ELECTROMAGNETISMO II. PROF. ASLLA

1. Magnetismo en el vacio
Magnetita (Fe3O4), imán permanente.
Principios del siglo XIX Experimento de Oersted.
1

2. Campo magnético socio del campo eléctrico, Gauss, Henry,
Faraday y otros.
2

3. Los campos eléctricos y magnéticos se encuentra relacionados,
Maxwell y otros
3

4. Inducción magnética
Cargas en reposo producen Fe =
1
4πε0
qq1
r2
r
r
Carga en movimiento a velocidad constante produce
Fm =
µ0
4π
qq1
r2
v× v1 ×
r
r
con
µ0
4π
= 10−7
N.s2
/C2
.
Fm = qv×B
B = µ0
4π
qq1
r2 v1 × r
r
F = q(E+v×B)
Si v,v1 c los efectos magnéticos son despreciables respecto a
los efectos eléctricos
Fm
Fe
≤
v
c
v1
c
con c2
=
1
ε0µ0
4

5. Fuerza y torque magnético
La fuerza magnética ejercida por un campo magnético B sobre un
conductor de sección transversal S y con N número de portadores
por unidad de volumen es:
dF = NS|dl|qv×B
dF = Nq|v|Sdl×B
dF = Idl×B
Si el campo B es uniforme
F =
C
Idl×B = 0.
El torque magnético que ejerce un campo B sobre un conductor
que conduce una corriente I es
dτ = r×dF = Ir×(dl×B)
5

6. El torque resultante sobre un circuito cerrado es
τ = I
C
r×(dl×B)
Si B es constante
τ = IS×B, m = IS
S =
1
2 C
r×dl, m =
1
2
I
C
r×dl
Problema: Una partícula cargada de masa m y carga q se mueve
en un campo magnético uniforme de inducción magnética B = B0
ˆk.
Demuestre que el movimiento más general que describe la partícula
es una hélice, cuya sección transversal es una circunferencia de radio
R = mv⊥/qB. (v⊥ es la componente de la velocidad v perpendicular
a B).
6

7. Problema:Dado un campo magnético
B = B0(x+y)ˆk
calcular la fuerza y el torque magnético sobre el circuito rectangular
de lados a y b, que conduce una corriente I.
7

8. Problema: Una partícula de carga q y masa m se deja con velocidad
inicial nula en el origen de coordenadas, en presencia de un campo
gravitatorio que ejerce una fuerza −mgˆk y un campo magnético
uniforme B = B0
ˆj. Formular las ecuaciones de movimiento de la
partícula y calcular las distintas componentes de la velocidad.
8

9. Ley de Biot-Savart
Ampere dedujo que la fuerza magnética entre dos conductores que
transportan corrientes I1 e I2 es
F2 =
µ0
4π
I1I2
1 2
dl2 ×[dl1 ×(r2 −r1)]
|r2 −r1|3
9

10. Teniendo en cuenta que F2 = I2 2 dl2 ×B(r2) se tiene
B(r2) =
µ0
4π
I1
1
dl1 ×(r2 −r1)
|r2 −r1|3
dB(r2) =
µ0
4π
I1
dl1 ×(r2 −r1)
|r2 −r1|3
Expresando en términos de la densidad de corriente
B(r2) =
µ0
4π V
J(r1)×(r2 −r1)
|r2 −r1|3
dv1
dB(r2) =
µ0
4π
J(r1)×(r2 −r1)
|r2 −r1|3
dv1
B(r2) =
µ0
4π S
K(r1)×(r2 −r1)
|r2 −r1|3
dS1
10

11. Problema: Determinar el campo magnético generado por un
conductor rectilíneo infinito que conduce una corriente I
a
x
= tan(π −θ) = −tanθ
11

12. Problema: Calcular la fuerza magnética por unidad de longitud que
se ejercen dos conductores paralelos separados una distancia d y que
conducen corrientes I1 e I2
F
L
=
µ0
2π
I1I2
d
12

13. Problema: Determinar el campo magnético generado por una
espira circular que conduce una corriente I
13

14. Problema: Calcular el campo magnético en el centro de un
solenoide
14

15. Problema: Calcular la fuerza magnética por unidad de longitud
que ejerce el conductor plano de ancho W que conduce una corriente
de densidad K = K0
ˆj sobre el alambre conductor que conduce una
corriente I0.
15

16. Ley de Ampere
Para corrientes estacionarias ∇·J = 0, entonces
∇2 ×B(r2) =
µ0
4π V
∇2 ×
J(r1)×(r2 −r1)
|r2 −r1|3
dv1
∇×B(r2) = µ0J(r2)
C
B·dl = µ0
S
J·ndS
16

17. Verificar la ley de ampere utilizando una corriente lineal infinita.
17

18. Problema: Determinar el campo magnético en cada región del
cable coaxial que conduce una corriente uniforme I entrante por la
parte interior y saliente por la exterior.
18

19. Potencial vector magnético
Ley de Gauus ∇2 ·B(r2) = 0 entonces
B = ∇×A
es decir
∇2
A = −µ0J
solución
A(r2) =
µ0
4π V1
J(r1)
|r2 −r1|
dv1
en puntos muy alejados
A(r) =
µ0
4π
m×r
r3
19

20. Potencial escalar magnético
∇×B(r2) = µ0J(r2), si J = 0
entonces
B = −µ0∇ϕ
de acuerdo a ∇·B = 0 ϕ cumple con
∇2
ϕ = 0
solución en puntos muy alejados
ϕ(r) =
m·r
4πr3
20

21. Problema: En la figura, sean las regiones 0 < z < 0.3 m y 0.7 <
z < 1.0 m barras conductoras que transportan densidades de corriente
uniformes de 10 A/m2
en direcciones opuestas. Encontrar B en (a)
z = −0.2; (b) z = 0.2; (c) z = 0.4; (d) z = 0.75 y (e) z = 1.2 m.
21

22. Problema: Por un cilindro conductor de radio a muy largo circula
una corriente de densidad
J = J0
ρ
a
ˆz
Calcular el potencial vector magnético, considerando que el potencial
vector de referencia es A(ρ = a) = 0
Solución: consideramos A = Az(ρ)ˆz
∇2
A =
1
ρ
d
dρ
ρ
dAz
dρ
=
−µ0J0
ρ
a si ρ ≤ a
0 si ρ > a
22

23. Problemas
1. Un conductor lineal de la figura conduce corriente I constantes,
si las partes rectas del conductor tienen longitud L y la parte
semi-circular tiene radio R determine la fuerza magnética que
ejerce el campo magnético B = B0xˆy sobre el conductor.
2. Un conductor plano de ancho W que tiene la forma mostrada e la
figura conduce una corriente total constante I0, si las partes rectas
del conductor son semi-infinitas, determine el campo magnético
producido por el conductor en el origen de coordenadas.
23

24. (Sugerencia: utilice ley de Biot y Savart.)
3. Un conductor filamentario forma un triángulo equilátero cuyos
lados son de longitud l y transporta una corriente I. Determine
la intensidad del campo de inducción magnética en el centro del
triángulo.
4. Un cilindro conductor largo de radio R conduce a lo largo de su
longitud una corriente de densidad
J = J0 1−
r
R
,
24

25. donde r es la distancia radial de un punto del espacio a partir del
eje del cilindro. Determine El campo magnético producido por la
corriente en puntos (a) r < R y (b) r > R.
(Sugerencia: Utilizar ley de Ampere)
5. Un protón cuya velocidad es de 107
m/s se lanza perpendicularmente
a un campo uniforme de inducción magnética de 0.15 T. (a)
¿Cuánto se desvía la trayectoria de la partícula de una línea recta
después de que ha recorrido una distancia de 1 cm? (b) ¿Cuánto
tarda el protón en recorrer un arco de π/2?.
6. Dado el campo magnético B = B0
ρ
R ˆz T (Tesla), donde R es una
constante y 0 ≤ ρ ≤ R (ρ distancia radial a partir del eje z).
Determine la fuerza y torque magnético total que ejerce B sobre
una espira de la figura, que conduce una corriente I en sentido
antihorario. Considere el radio del arco circular igual a R.
25

26. 7. Un disco conductor delgado de radio interno a y radio externo
b, conduce una corriente superficial K uniforme, se dobla por la
mitad que modo que una mitad del disco se encuentra en el plano
xy y la otra mitad en el plano xz, si la dirección de la corriente
en la mitad que se encuentra sobre el plano xy es ˆφ determine la
inducción magnético B en un punto z0ˆz (z0 > b) sobre el eje z.
8. Un conductor coaxial largo, tiene su conductor interior cilíndrico
26

27. macizo de radio R y el conductor exterior es cilíndrico hueco
con radio interior R y radio exterior 2R. El conductor interior
conduce una corriente de densidad J0 1− r
R , con 0 ≤ r ≤ R y el
conductor exterior conduce una corriente de densidad uniforme.
Si toda la corriente que ingresa por el conductor interior regresa
por el conductor exterior, determine el potecial vector y el campo
de inducción magnética en (a) r < R, (b) R < r < 2R y (c) r > 2R.
9. Dado el campo magnético B = B0
ρ
L ˆz T (Tesla), donde L es una
constante y 0 ≤ ρ ≤ L (ρ distancia radial a partir del eje z).
Determine la fuerza y el torque magnético total que ejerce B sobre
la espira triangular de la figura, que conduce una corriente I en
sentido antihorario.
27

28. 10. Sobre el cilindro semicircular dieléctrico de la figura se
enrolla con un alambre de cobre esmaltado (haciendo espiras
semicirculares de radio C), tal que el número de vueltas por
unidad de longitud n = N/B sea constante. Si sobre la bobina
así construida se aplica una corriente I0, determine el campo
magnético que genera la bobina en un punto sobre la base del
cilindro y a la mitad de la distancia A.
28

29. 11. Un conductor coaxial largo, tiene su conductor interior cilíndrico
hueco de radio R y exterior 2R y el conductor exterior es cilíndrico
hueco con radio interior 2R y radio exterior 3R. El conductor
interior conduce una corriente de densidad J0 1− r
2R , con R ≤
r ≤ 2R y el conductor exterior conduce una corriente de densidad
uniforme. Si toda la corriente que ingresa por el conductor interior
regresa por el conductor exterior, determine el potencial vector y
el campo de inducción magnética en (a) R < r < 2R, (b) 2R < r <
3R y (c) r > 3R.
12. Una partícula de masa m y carga negativa −q se mueve en una
región con campo magnético uniforme B = B0 ˆy y campo eléctrico
constante E = E0ˆz. Si la partícula en t = 0 se encontraba en el
origen de coordenadas con velocidad inicial v0 ˆx, determine la
posición en función del tiempo y realice una gráfica aproximada
de la trayectoria seguida por la partícula.
29

30. 13. En una región con campo magnético B = A|x|ˆz T (Tesla), donde
A es una constante se encuentra un anillo semicircular de radio R
que bordea la sección semicircular 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ φ ≤ π y z = 0. Si
la corriente I en la espira circula en sentido antihorario, determine
el torque magnético total que ejerce B sobre la espira.
14. Una cáscara esférica conductora de radio R centrada en el origen
tiene una corriente superficial de densidad K = K0|z| ˆφ, si la región
dentro de la esfera es aire, determine el campo de inducción
magnética en el centro de la cascara esférica.
15. Un conductor coaxial largo, tiene su conductor interior cilíndrico
macizo de radio R y el conductor exterior es cilíndrico hueco
con radio interior R y radio exterior 2R. El conductor interior
conduce una corriente de densidad J0 1− r
R , con 0 ≤ r ≤ R y el
conductor exterior conduce una corriente uniforme cuya densidad
30

31. −JM, siendo JM la densidad de corriente media en el conductor
interior. Usando ley de Ampere determine el campo de inducción
magnética en (a) r < R, (b) R < r < 2R y (c) r > 2R.
16. Una partícula de masa m y carga negativa −q se mueve en una
región con campo magnético uniforme B = B0 ˆx y campo eléctrico
constante E = E0ˆz. Si la partícula en t = 0 se encontraba en el
origen de coordenadas con velocidad inicial v0 ˆy, determine la
posición en función del tiempo y realice una gráfica aproximada
de la trayectoria seguida por la partícula.
17. En una región con campo magnético B = A|x|(ˆx+ ˆz) T (Tesla),
donde A es una constante se encuentra un anillo circular de radio
R que bordea la sección semicircular 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ φ ≤ 3π/2 y
z = 0. Si la corriente I en la espira circula en sentido antihorario,
determine el torque magnético total que ejerce B sobre la espira.
31

32. 18. Una cáscara esférica conductora de radio R centrada en el origen
tiene una corriente superficial de densidad K = K0|z| ˆφ, si la región
dentro de la esfera es aire, determine el campo de inducción
magnética en el punto Rˆz de la cáscara esférica.
19. Un conductor coaxial largo, tiene su conductor interior cilíndrico
macizo de radio R y el conductor exterior es cilíndrico hueco
con radio interior R y radio exterior 2R. El conductor exterior
conduce una corriente de densidad J0 2− r
R , con R ≤ r ≤ 2R y el
conductor interior conduce una corriente uniforme cuya densidad
es −JM, siendo JM la densidad de corriente media en el conductor
exterior. Usando ley de Ampere determine el campo de inducción
magnética en (a) r < R, (b) R < r < 2R y (c) r > 2R.
32

33. Inducción electromagnética
Flujo magnético
Cantidad de líneas de campo magnético que pasan a través de una
superficie.
Φ =
S
B·dS webers(Wb)
33

34. Ley de Gauss del magnetismo
En la naturaleza no existen monopolos magnéticos
∇·B = 0 o
S
B·ndS = 0
34

35. Inducción electromagnética
Propuesta por Faraday y Henry a principios del siglo XIX.
En electrostática tenemos ∇×E = 0 y ∇·D = ρ
Fuerza electromotriz C E · dl = ε que es igual a cero para campos
E y B estáticos.
35

36. Pero si el flujo magnético sobre un circuito cerrado varía con el
tiempo entonces se encuentra que
ε = −
dΦ
dt
siendo Φ = S B·ndS el flujo magnético.
C
E·dl = −
d
dt S
B·ndS
Utilizando el teorema de Stokes
S
∇×E·ndS = −
S
∂B
∂t
·ndS
Forma diferencial de la ley de Faraday
∇×E = −
∂B
∂t
36

37. Ley de Lenz: La polaridad de la fem inducida es tal, que produce
una corriente, cuyo campo magnético se opone al cambio de flujo
magnético externo aplicado.
37

38. Fem por movimiento: producida cuando una barra conductora se
mueve dentro de un campo magnético
La fuerza magnética produce la separación de cargas eléctricas
positivas y negativas sobre el conductos, hecho que induce un un
campo eléctrico de modo que la fuerza resultante sobre una carga del
38

39. conductor es
F = q(E+v×B)
si v es perpendicular a B en el caso límite se obtiene E = vB, de
modo que si B = cte la diferencia de potencial entre los extremos de
la barra es
ε = ∆ϕ = −
b
a
E·dl = El = BLv
Se obtienen resultados similares si se considera la ley de Faraday
sobre el circuito cerrado imaginario abcd, es decir
ε = −
dΦ
dt
= Blv.
En general si v no es perpendicular a B, pero B = cte
ε = B·l×v
39

40. Autoinducción
Representa la inducción electromagnética que produce un circuito
sobre sí mismo.
Se encuentra que el flujo magnético sobre el circuito es proporcional
a la corriente
dΦ
dt
=
dΦ
dI
dI
dt
siendo la Autoinductancia
L =
dΦ
dI
es decir
ε = −L
dI
dt
40

41. Bobina toroidal
B =
µ0NI
l
Φ1 =
µ0NIA
l
, Φ =
µ0N2
IA
l
, L =
µ0N2
A
l
41

42. Inductancia Mutua
Dado un sistema de n circuitos, el flujo sobre el i-ésimo circuito es
Φi = Φi1 +Φi2 +...+Φii +...+Φin =
n
∑
j=1
Φij
La fem inducida sobre el circuito i es
εi = −
dΦi
dt
= −
n
∑
j=i
dΦij
dt
Si los cambios de flujo dependen de las corrientes
dΦij
dt
=
dΦij
dIj
dIj
dt
→ Mij =
dΦij
dIj
, i = j
42

43. Embobinados toroidales
B =
µ0N1I1
l
, Φ11 =
µ0N2
1 I1A
l
, Φ21 =
µ0N1N2I1A
l
L1 =
µ0N2
1 A
l
M21 =
µ0N1N2A
l
B =
µ0N2I2
l
, Φ22 =
µ0N2
2 I2A
l
, Φ12 =
µ0N1N2I2A
l
L2 =
µ0N2
2 A
l
M12 =
µ0N1N2A
l
M12 = M21 M12 =
√
L1L2, M12 = k
√
L1L2, 0 ≤ k ≤ 1
k coeficiente de acoplamiento.
43

44. Inductancias en serie y paralelo
Serie
V = (R1 +R2)I +(L1 +L2 +2M)
dI
dt
Lef = L1 +2k
√
L1L2 +L2
Paralelo
Lef =
L1L2 −M2
L1 +L2 −2M
44

45. Problemas
1. La ubicación de la barra deslizante de la figura está dada por
x = 5t + 2t3
y la separación entre los dos rieles es de 20 cm. Sea
B = 0.8x2
ˆz T. Encontrar la lectura del voltímetro en a) t = 0.4 s y
b) x = 0.6 m
45

46. 2. Un conductor metálico que tiene la forma de un segmento de
alambre de longitud L se mueve en un campo magnético B
con velocidad v. Partiendo de una consideración detallada de la
fuerza de Lorentz sobre los electrones del alambre, demuestre que
los extremos de este se encuentran a la diferencia de potencial:
B·L×v.
3. Una varilla metálica de un metro de longitud gira en torno a un
eje, que pasa por uno de sus extremos y que es perpendicular a la
varilla, con una velocidad angular de 12 rad/s. El plano de rotación
de la varilla es perpendicular al campo magnético uniforme de 0.3
T. ¿Cuál es la fem inducida por movimiento entre los extremos de
la varilla?
46

47. 4. Un cilindro conductor de radio R muy largo que coincide con
el eje y conduce una corriente eléctrica de densidad J1(t) =
J0
r
R
cosωt ˆy y una espira triangular de vértices (R + b)ˆx, (R +
b + L)ˆx y (R + b)ˆx + Lˆy se encuentra en el plano xy y conduce
una corriente I2(t) en sentido antihorario. Determine: (a) la
fem inducida por el alambre sobre la espira cuadrada y (b) la
inductancia mutua entre el alambre y la espira.
47

48. 5. Una espira cuadrada de lado 2a y resistencia R se mueve con
velocidad constante v hacia la derecha como se muestra en la
figura, penetra en una región de anchura 2b donde hay un campo
magnético B = B0xcosωtˆz perpendicular al plano del papel y
hacia fuera. Calcular (a) El flujo en función de la posición x del
centro de la espira. (b) La fem y el sentido de la corriente inducida,
justificando la respuesta en términos de la ley de Lenz
48

49. 6. Para una corriente rectilínea y una espira rectangular. (a) Calcular
el coeficiente de inducción mutua. (b) Supongamos ahora, que la
corriente rectilínea tiene una amplitud de 10 A y una frecuencia
de 60 Hz, determinar la intensidad de la corriente inducida en la
espira, si su resistencia es de 40 Ω. Dibújese sobre la espira el
sentido de dicha corriente cada cuarto de periodo. Dibujar en un
mismo gráfico, intensidad - tiempo, la intensidad en la corriente
rectilínea y la intensidad en la espira. Razónese las respuestas.
49

50. Magnetismo en materiales
50

51. Dipolo magnético
A =
µ0I
4π
dl
r
en puntos muy alejados A =
µ0m× ˆr
4πr2
1
|r−r |
=
1
r
+
r·r
r3
+O(δ2
)
51

52. A =
µ0Iπa2
senθ
4πr2
ˆφ, m =
1
2
I
C
r× dr = ISˆn
B = ∇×A =
µ0m
4πr3
2cosθ ˆr +senθ ˆθ
52

53. Magnetización
Objetivo: efecto del campo magnético sobre los materiales.
La materia se compone de átomos, cada átomo tiene electrones que
describen órbitas al rededor del núcleo y rotan en torno su propio
eje (dipolos magnéticos). Estos dipolos magnéticos producen campo
magnético.
Magnetización: momento dipolar magnético por unidad de volumen
M = l´ım
∆V→0
1
∆V ∑
i
mi
mi es el momento dipolar magnético del i-ésimo átomo.
En el SI M se mide en Am−1
53

54. Magnetización uniforme: las corrientes magnéticas se distribuyen
uniformemente en el material (se eliminan todas las corrientes
atómicas), pero existe corriente superficial.
Magnetización no uniforme: la distribución de las corrientes
atómicas varía en el espacio, generando corrientes de magnetización
dentro del material (estas corrientes no implican movimiento de
cargas eléctricas libres).
54

55. Corriente de magnetización
El momento dipolar de un volumen ∆V es ∆m = M∆V, que a su
vez se expresa como ∆m = ISˆn, entonces los momentos dipolares de
los elementos de volumen de la figura son
Mx∆x∆y∆z = Ic∆y∆z, Mx +
∂Mx
∂y
∆y ∆x∆y∆z = Ic ∆y∆z
55

56. La corriente magnética paralela al eje z en la región entre los dos
elementos de volumen es
Ic −Ic = −
∂Mx
∂y
∆x∆y
al considerar elementos de volumen de magnetización My y My+∆y se
tiene
(Ic) =
∂My
∂x
∆x∆y
La corriente total paralela al eje z es
Jz =
∂My
∂x
−
∂Mx
∂y
Considerando elementos de volúmenes similares se encuentra
56

57. Jx =
∂Mz
∂y
−
∂My
∂z
, Jy =
∂Mx
∂z
−
∂Mz
∂z
Entonces la corriente de magnetización JM se expresa como
JM = ∇×M
JM es una corriente ficticia que aparece en un material magnetizado.
Campo magnético producido por un material magnetizado
Considerando elementos de volumen con ∆m = M∆V el potencial
vector A es
57

58. A(r) =
µ0
4π V0
M(r )×(r−r )
|r−r |3
dV
∇×(ϕF) = (∇ϕ)×F+ϕ∇×F,
V
∇×FdV =
S
n×FdS
58

59. A(r) =
µ0
4π V0
∇ ×M
|r−r |
dV +
µ0
4π S0
M×n
|r−r |
dS
entonces
JM = ∇×M, KM = M×n
es decir
A(r) =
µ0
4π V0
JM
|r−r |
dV +
µ0
4π S0
KM
|r−r |
dS
Calculando ahora el campo de inducción magnética
B(r) = ∇×A =
µ0
4π V0
JM ×(r−r )
|r−r |3
dV +
µ0
4π S0
KM ×(r−r )
|r−r |3
dS
59

60. Por otro lado
B(r) = ∇×A =
µ0
4π V0
∇× M×
r−r
|r−r |3
dV
∇× M×
r−r
|r−r |3
= M∇·
r−r
|r−r |3
−(M·∇)
r−r
|r−r |3
∇·M = 0 entonces
B = BI(r)+BII(r)
BI =
µ0
4π V0
M∇·
r−r
|r−r |3
dV
BII = −
µ0
4π V0
(M·∇)
r−r
|r−r |3
dV
60

61. BI =
µ0
4π V0
M4πδ(r−r )dV = µ0M(r)
BII = −µ0∇
1
4π V0
M·
r−r
|r−r |3
dV
BII = −µ0∇ϕ(r)
ϕ(r) =
1
4π V0
M·
r−r
|r−r |3
dV
B(r) = −µ0∇ϕ(r)+ µ0M(r)
61

62. Potencial escalar y densidad de polo magnético
ϕ(r) =
1
4π V0
M·
r−r
|r−r |3
dV
M·
r−r
|r−r |3
= ∇ ·
M
|r−r |
−
1
|r−r |
∇ ·M
entonces
ϕ(r) =
1
4π V0
ρMdV
|r−r |
+
1
4π S0
σMdS
|r−r |
donde ρM y σM son la densidad de polo magnético dados por
62

63. ρM = −∇·M y σM = M·n
el campo B es
B(r) =
µ0
4π V0
ρM
r−r
|r−r |3
dV +
µ0
4π S0
σM
r−r
|r−r |3
dS + µ0M(r)
63

64. Fuentes de campo magnético e intensidad magnética
Si existe corriente eléctrica, entonces el campo B en un medio
material es
B(r) =
µ0
4π V
J×(r−r )
|r−r |3
dV − µ0∇ϕ(r)+ µ0M(r)
Considerando que la intensidad de campo magnético en el material
es H dado por
H(r) =
1
4π V
J×(r−r )
|r−r |3
dV −∇ϕ(r) A/m
tenemos
64

65. H =
1
µ0
B−M
B = µ0(H+M)
65

66. Ley de Gauss y Ampere
La ley de Gauss en medios materiales es expresado por
∇·B = 0,
S
B·ndS = 0
La ley de Ampere se escribe como
∇×B = µ0(J+JM)
teniendo en cuenta que JM = ∇×M
∇×
1
µ0
B−M = J
es decir
66

67. ∇×H = J
Integrando a través de una superficie y utilizando el teorema de
Stokes tenemos
C
H·dl =
S
J·ndS
Medios magnéticos lineales
Son materiales en las cuales la magnetización es proporcional al
campo magnético H.
M = χmH
67

68. donde χm es una constante adimensional llamada susceptibilidad
magnética del material.
La susceptibilidad depende de las propiedades del material:
estructura electrónica, atómica, densidad, temperatura, etc. No
depende del campo aplicado.
En materiales isótropos, χm es una cantidad escalar. Esto implica
que la magnetización es paralela al campo aplicado.
En los materiales magnéticos anisótropos, la susceptibilidad es un
tensor
χm =



χxx χxy χxz
χyx χyy χyz
χzx χzy χzz



de forma que en estos materiales la magnetización no necesariamente
es paralela al campo aplicado.
68

69. Permeabilidad magnética: En medios lineales el campo B
también es proporcional al campo magnético H
B = µ0(H+M) = µ0(1+ χm)H = µH
a la cantidad µ = µ0(1+χm) se denomina permeabilidad magnética
del material y a la cantidad
µr = µ/µ0 = 1+ χm
es la permeabilidad magnética relativa.
69

70. Materiales diamagnéticos: poseen susceptibilidad negativa con
|χm| << 1 de modo que µ ≈ µ0. En estos materiales el campo
aplicado se reduce debido a la magnetización.
Material 105
χm Material 105
χm
Bismuto -16.6 Mercurio -2.9
Plata -2.6 Carbono (diamante) -2.1
Carbono (grafito) -1.6 Plomo -1.8
Cloruro sódico -1.4 Cobre -1.0
Agua -0.91 CO2 -0.0012
70

71. Materiales paramagnéticos: tienen susceptibilidad positiva, que
hace que la magnetización del material refuerce al campo externo
aplicado, en general χm << 1, tal que µ ≈ µ0, sin embargo existen
casos con χm alto.
Material 105
χm Material 105
χm
Gadolinio 48000 Óxido de hierro (FeO) 720
Uranio 40 Platino 26
Tungsteno 6.8 Aluminio 2.2
Lithium 1.4 Magnesio 1.2
Sodio 0.72 Oxígeno gaseoso 0.19
71

72. Ferromagnetismo: Un material está dividido en dominios magnéticos,
separados por superficies conocidas como paredes de Bloch. En
cada uno de estos dominios, todos los momentos magnéticos están
alineados. La relación que tiene la magnetización M con el campo
aplicado H es no lineal.
72

73. Condiciones de frontera
Las condiciones de contorno que deben verificar los campos B y H
en la superficie de separación entre dos medios se obtienen al utilizar
la ley de Gauss del magnetismo y la ley de Ampere resultando
(B2 −B1)·n2 = 0, n2 ×(H2 −H1) = K
73

74. Al utilizar la ley de Ampere se obtiene
H2 ·l−H1 ·l = K·lˆt
(H2 −H1)·l = K·lˆt
siendo ˆt un vector perpenicular a l = hˆl, ademas ˆl = ˆt × ˆn2
lˆt ·[ˆn2 ×(H2 −H1)] = K·lˆt
es decir
n2 ×(H2 −H1) = K
74

75. Problemas de frontera
En medios donde la corriente eléctrica es nula J = 0, la ley Ampere
se escribe como ∇×H = 0, que nos permite expresar H en la forma
H = −∇ϕ
en medios magnéticos lineales o uniformemente magnetizados
tenemos ∇·M = 0, es decir en la ley de Gauss ∇·B = 0 tenemos
∇·(µ0[−∇ϕ +M]) = 0
es decir
∇2
ϕ = 0
75

76. Problema: Determinar el campo B generado por una esfera
magnética de radio a magnetizada uniformemente con M = M0ˆz
La solución de ϕ(r,θ) en r < a es
ϕ1(r,θ) =
∞
∑
n=0
(Anrn
+Bnr−(n+1)
)Pn(θ)
pero l´ım
r→0
r−(n+1)
no está definido, Bn = 0,
ϕ1(r,θ) =
∞
∑
n=0
Anrn
Pn(θ)
En r > a tenemos
ϕ2(r,θ) =
∞
∑
n=0
(Cnrn
+Dnr−(n+1)
)Pn(θ)
debido a que las funciones rn
son divergentes, es decir l´ım
r→∞
rn
= ∞,
76

77. Cn = 0
ϕ2(r,θ) =
∞
∑
n=0
Dnr−(n+1)
Pn(θ)
Para obtener An y Dn usamos las condiciones de frontera H2t = H1t y
B2n = B1n
H1 = −∇ϕ1 = −
1
3
M, H2 = −∇ϕ2 =
1
3
M0
a3
r3
(2cosθ ˆr +senθ ˆθ)
77

78. Problema: Esfera magnética en un campo magnético uniforme
Determinar el campo B generado por una esfera magnética de
permeabilidad µ que se encuentra dentro de un campo de inducción
magnética uniforme B = B0ˆz
La solución de ϕ(r,θ) en r < a es
ϕ1(r,θ) =
∞
∑
n=0
(Anrn
+Bnr−(n+1)
)Pn(θ)
pero l´ım
r→0
r−(n+1)
no está definido, Bn = 0,
ϕ1(r,θ) =
∞
∑
n=0
Anrn
Pn(θ)
En r > a tenemos
ϕ2(r,θ) =
∞
∑
n=0
(Cnrn
+Dnr−(n+1)
)Pn(θ)
78

79. Si B = B0ˆz, entonces en r → ∞ ϕ2 → −
B0
µ0
rcosθ, es decir C1 = −
B0
µ0
,
así mismo como rn
son funciones divergentes en r → ∞ entonces
Cn = 0 para n = 1
ϕ2(r,θ) = −
B0
µ0
rP1(θ)+
∞
∑
n=0
Dnr−(n+1)
Pn(θ)
Usando ahora las condiciones de frontera H2t = H1t y B2n = B1n
79

80. Problemas
1. Una esfera magnética de radio R tiene magnetización constante
M0ˆz, determine el campo de inducción magnética B en el centro
de la esfera.
2. Un imán cilíndrico de radio R y longitud L se define por medio de
0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ φ ≤ 2π y 0 ≤ z ≤ L, y tiene una magnetización
dada por
M =
M0 1− ρ
R ˆz, si 0 ≤ ρ ≤ R,0 ≤ φ ≤ 2π,0 ≤ z ≤ L
0 en cualquier otra región
Determine el campo de inducción magnética B en el origen de
coordenadas.
80

81. 3. Dados dos cilindros concéntricos muy largos determine el
potencial vector y la densidad de energia magnética en todo punto
del espacio, determine también la energía total magnética por
unidad de longitud, teniendo en cuenta que el primer cilindro es
conductor de radio R y conduce una corriente de densidad J = J0ˆz
y el segundo conductor es un cilindro magnético hueco de radio
interior R y radio exterior 2R con una magnetización M = M0
ρ
R
ˆφ,
donde ρ es la distancia radial de un punto al eje del cilindro y M0
una constante. Considere que el campo de inducción magnética B
es cero en ρ = 0 y el potencial vector A es una función continua
en todo el espacio y toma el valor cero en ρ = 0.
81

82. 4. Un magneto permanente en a forma de un cilindro de longitud L y
radio R es orientada tal que su eje de simetría coincide con el eje
z. El origen de coordenadas se encuentra en el centro del magneto.
Si el cilindro tiene una magnetización constante M, (a) determine
el potencial escalar en puntos sobre el eje z, dentro y fuera del
magneto. (d) use los resultados de la parte (a) para encontrar la
inducción magnética Bz en puntos del eje de simetría.
5. Una esfera de material magnético de radio R es ubicado en
el origen de coordenadas. La magnetización es dado por M =
(ax2
+b)ˆi, donde a y b son constantes. Determine las densidades
y corrientes de magnetización.
82

83. Energía magnética
Para establecer un campo es necesario realizar un gasto de energía.
Si a un circuito eléctrico con resistencia R se aplica una fuente V,
que produce una fem inducida ε, entonces
V +ε = RI
el trabajo que realizaV para mover un incremento de carga dq = Idt
es
Vdq = VIdt = (RI −ε)Idt = RI2
dt −εIdt
de la ley de Faraday εdt = −dΦ, luego
83

84. Vdq = IdΦ+RI2
dt
si no existen pérdidas por efecto Joule
dWb = IdΦ
El trabajo realizado por un agente externoa para alterar el campo
magnético de un conjunto de circuitos es
dWb =
n
∑
i=1
IidΦi
Si los flujos dΦi varían con las corrientes Ij
dΦi =
n
∑
j=1
dΦij
dIj
dIj =
n
∑
j=1
MijdIj
84

85. Si las corrientes en cada circuito i varían linealmente desde cero
hasta las corrientes finales Ii, es decir Ii = αiIi, dΦi = Φidα entonces
dWb =
1
0
dα
n
∑
i=1
IiΦi =
n
∑
i=1
IiΦi
1
0
αdα
U =
1
2
n
∑
i=1
IiΦi
U =
1
2
n
∑
i=1
n
∑
j=1
MijIiIj
Para dos circuitos acoplados
U =
1
2
L1I2
1 +MI1I2 +
1
2
L2I2
2
85

86. Para un solo circuito
Φ = LI, U =
1
2
IΦ =
1
2
LI2
=
1
2
Φ2
L
Densidad de energía magnética
Φi =
Si
B·ndS =
Ci
A·dli
entonces
U =
1
2 ∑
i
IiΦi =
1
2 ∑
i Ci
IiA·dli
sustituyendo Iidli → JdV y ∑i Ci
→ V tenemos
U =
1
2 V
J·AdV
86

87. reemplazando ∇ × H = J y teniendo en cuenta que ∇ · (A × H) =
H·(∇×A)−(∇×H)·A se obtiene
U =
1
2 V
[H·(∇×A)−∇·(A×H)]dV
usando el teorema de la divergencia
U =
1
2 V
H·(∇×A)dV −
1
2 S
A×H·ndS
teniendo en cuenta que ninguno de los circuitos se extiende al infinito
y considerando que la superficie S tiende al infinito, entonces la
integral de superficie anterior es nula. Por tanto, la energía magnética
en todo el espacio con B = ∇×A es
U =
1
2 V
H·BdV
87

88. definiendo la densidad de energía
u =
1
2
H·B, tal que U =
V
udV
Para un medio lineal e isótropo
u =
1
2
µH2
=
1
2
B2
µ
88

89. Problema.- Un imán permanente tiene la forma de un cilindro
circular recto de longitud L. Si la magnetización M es uniforme y
tiene la dirección del eje del cilindro, encontrar las densidades de
corriente de magnetización JM y KM y determinar el campo B en un
punto sobre el eje del imán.
89

90. Problema.- Encontrar la distribución de las corrientes de magnetización
correspondientes a una esfera con magnetización uniforme M.
Determine el campo de inducción magnética B. Puede utilizar dicha
información para diseñar un devanado, que produzca un campo
magnético uniforme dentro de la región esférica.
90

91. Problema.- Una esfera magnética de permeabilidad magnética µ
constante y radio R, centrada en el origen tiene una magnetización
uniforme M = M0ˆz donde M0 es una constante. Determinar la
densidad de energía y la energía magnética total almacenada en el
campo magnético.
∇2
ϕ∗
= 0, H = −∇ϕ∗
, ϕ∗
(r,θ) =
∞
∑
n=0
Anrn
+Bnr−(n+1)
Pn(cosθ)
u =
1
2
B·H, U =
1
2
B·HdV, P0 = 1, P1 = cosθ, P2 =
1
2
(3cos2
θ −1)
91

92. Problema.- Dado una cáscara esférica de radio interior R1 y radio
exterior R2, uniformemente magnetizada en la dirección del eje z.
Encontrar le energía magnética almacenada.
92

93. Problema.- Un elipsoide con ejes principales de longitudes 2a, 2a
y 2b, es magnetizada uniformemente en la dirección paralela al eje
2b. La magnetización del elipsoide es M0ˆz encontrar la densidad de
polos magnéticos.
93

94. Problemas
1. Si M =
M0
a
(−yˆx + xˆy) en un cubo de arista a. Suponiendo k0
constante y el medio tiene permeabilidad constante 5µ0 calcule
la energía magnética almacenada dentro del cubo.
94

95. Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones
que describen por completo los fenómenos electromagnéticos.
La gran contribución de James Clerk Maxwell fue sintetizar las
contribuciones de Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros,
introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento,
y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo campo:
el campo electromagnético.
95

96. 1. Ley de Gauss de la Electrostática
S
D· ˆndS =
1
ε0
ρdV, ∇·D = ρ
2. Ley de Gauss del magnetismo
S
B· ˆndS = 0, ∇·B = 0
3. Ley de Ampere general
C
H·dl =
S
J+
∂D
∂t
· ˆndS, ∇×H = J+
∂D
∂t
4. Ley de Inducción electromagnética de Faraday
C
E·dl = −
d
dt S
B· ˆndS, ∇×E = −
∂
∂t
B
96

97. Generalización de la ley de Ampere
Al considerar la ley de Ampere a través del área S1 tenemos
C
H·dl =
S1
J· ˆndS = I
Por otro lado si usamos el área S2 encontramos
C
H·dl =
S2
J· ˆndS = 0
97

98. Maxwell corrige la incoherencia con la corriente de desplazamiento.
De la ley de Ampere ∇×H = J tenemos ∇·J = 0
Pero la conservación de carga exige ∇·J+
∂ρ
∂t
= 0
Para resolver la incoherencia en ∇ · J usamos ∇ · D = ρ que
reemplazado en la ecuación de continuidad produce
∇· J+
∂D
∂t
= 0
si agregamos
∂D
∂t
a J en la ley de Ampere la inconsistencia
desaparece
∇×H = J+
∂D
∂t
98

99. Energía electromagnética
De las ecuaciones de Maxwell
∇·(E×H) = −H·
∂B
∂t
−E·
∂D
∂t
−E·J
∇·(E×H) = −
∂
∂t
1
2
(H·B+E·D)−E·J
Considerando el vector Poynting S = E × H y la densidad de
energía electromagnética u =
1
2
(H·B+E·D)
∇·S+
∂u
∂t
= −J·E
en medios no conductores
∇·S+
∂u
∂t
= 0
99

100. Ecuación de onda para E en medios no conductores
∇×(∇×E) = −
∂
∂t
(∇×B)
Sustituyendo ∇ × B de acuerdo a la ley de Ampere y aplicando
identidad del rotacional tenemos:
∇(∇·E)−∇2
E = −
∂
∂t
µ(J+ε0
∂E
∂t
)
En medios no conductores J y ρ son ceros
−∇2
E = −µε
∂2
E
∂t2
100

101. Igualando a cero y teniendo que µε =
1
v2
, siendo v la velocidad de
la luz, tenemos
∇2
E−
1
v2
∂2
E
∂t2
= 0
Ecuación de onda para H en el vacío
∇×(∇×H) = ∇×(J+ε
∂E
∂t
)
Teniendo que J es también cero, nos queda:
101

102. ∇(∇·H)−∇2
H = ε
∂
∂t
(∇×E)
Sustituyendo ∇ × E de acuerdo a la ley de Faraday e igualando a
cero, tenemos la ecuación de onda para H es
∇2
H−
1
v2
∂2
H
∂t2
= 0
Onda Electromagnética.- Perturbación (oscilación) de campos
eléctricos y magnéticos que no necesitan un medio para propagarse,
en el vacío se propaga a c = 3×108
m/s. Transmite energía y cantidad
de movimiento.
102

103. Problema.- Compruebe si los campos siguientes son campos
electromagnéticos genuinos; es decir si satisfacen las ecuaciones de
Maxwell. Suponga que existen en regiones sin carga.
A = 40sen(ωt +10x)ˆz
B =
10
ρ
cos(ωt −2ρ) ˆφ
C = 3ρ2
cotφ ˆρ +
cosφ
ρ
ˆφ 40sen(ωt)
D =
1
r
senθ sen(ωt −5r) ˆθ
103

104. Potenciales electromagnéticos
Como ∇·B = 0 entonces
B = ∇×A
en la ley de Faraday ∇× E+
∂A
∂t
= 0 entonces
E = −∇ϕ −
∂A
∂t
en la ley de Ampere con B = µH y D = εE tenemos
∇×∇×A = µJ+εµ
∂
∂t
−∇ϕ −
∂A
∂t
104

105. ∇(∇·A)−∇2
A = µJ−εµ∇
∂ϕ
∂t
−εµ
∂2
A
∂t2
−∇2
A+∇ ∇·A+εµ
∂ϕ
∂t
+εµ
∂2
A
∂t2
= µJ
Considerando la condición de Lorentz ∇·A+εµ
∂ϕ
∂t
= 0
∇2
A−εµ
∂2
A
∂t2
= −µJ
en la ley de Gauss ε∇· −∇ϕ −
∂A
∂t
= ρ, con ∇·A = −εµ
∂ϕ
∂t
∇2
ϕ −εµ
∂2
ϕ
∂t2
= −
ρ
ε
105

106. Las soluciones formales de las ecuaciones de Poisson para los
potenciales electromagnéticos A y ϕ son:
A =
µ
4π V
J(r ,t )
|r−r |
dV ϕ =
1
4πε V
ρ(r ,t )
|r−r |
dV
siendo t = t −|r−r |/c el tiempo de retardo.
Indice de refracción.- se define como la razón de la velocidad c
de propagación de la luz en el vacío a la velocidad v de la luz en el
medio:
n =
c
v
n =
εµ
ε0µ0
106

107. Ondas monocromáticas
OEM con una sola frecuencia cuyo campo eléctrico es
E(r,t) = E(r)e−jωt
, H(r,t) = H(r)e−jωt
Las ecuaciones de Maxwell son
∂
∂t
→ −jω
∇·D = ρ
∇·B = 0
∇×E = jωB
∇×H = J− jωD
Ecua. de onda espacial de E en un medio no conductor
∇2
E+ω2
εµE = 0
107

108. Si la OEM se propaga en la dirección de eje z
d2
E(z)
dz2
+k2
E(z) = 0
con k = ω
√
εµ =
ω
v
número de onda. Luego
E(z) = E0e±jkz
, → E(z,t) = E0e−j(ωt±kz)
cuando se realizan las mediciones experimentales la OEM es
E(z,t) = E0 cos(ωt ±kz), E(z,t) = E0 cosω t ±
z
v
)
108

109. Ondas planas monocromáticas
En un medio no conductor la Ec. de onda para E es ∇2
−εµ
∂E
∂t
= 0,
cuya solución se expresa como
E(r,t) = E0e−j(ωt−k·r)
donde k = k ˆu = n
ω
c
ˆu es el vector de propagación, ˆu un vector
unitario en la dirección de propagación. Además el frente de onda
(planos) en un instante de tiempo t es dado por ωt −k·r = constante.
H(r,t) = H0e−j(ωt−k·r)
109

110. 110

111. En las ecuaciones de Maxwell con
∂
∂t
= −jω y ∇ = jk, D = εE,
B = µH tenemos
k·D = 0 → k·E = 0
k·B = 0 → k·H = 0
k×E = ωB → H =
k×E
ωµ
k×H = −ωD → E = −
k×H
ωε
111

112. Problema.- El campo eléctrico de una onda plana en un medio
no conductor es dado por E(r,t) = E0e−j(ωt−k·r)
, determine el vector
Poynting S promedio y la Intensidad de flujo de energía que
transporta la OEM, definida como el módulo del valor medio de S
(potencia media por unidad de área).
112

113. Problema.- El campo eléctrico en el vacío es dado por
E = 50cos(108
t +βx)ˆyV/m
(a) Halle la dirección de la propagación de la onda, (b) Calcule β y el
tiempo que tarda en recorrer una distancia de λ/2, (c) Trace la onda
en t = 0, T/4 y T/2, (d) Halle el campo magnético y (e) la intensidad
de energía.
113

114. Problema.- La componente del campo magnético de una onda
plana en un dieléctrico sin pérdidas es
H = 30sen(2π ×108
t −5x)ˆz
(a) Si µr = 1 halle εr, (b) Calcula la longitud de onda y la velocidad
de onda. (c) Determine la impedancia de la onda. (d) Halle el campo
eléctrico y (e) halle el vector Poynting Promedio.
114

115. Problema.- Una onda plana uniforme que viaja en el un medio
dieléctrico de permitividad eléctrica ε = 1.5ε0 en la dirección del eje
z positivo tiene asociado un campo magnético de amplitud H0 = 1/π
A/m, dirigido en la dirección dada por el vector ˆx+ ˆy. La frecuencia
de la onda es de 100 MHz, determine (a) el vector de propagación
(b) los campos eléctrico y magnético, (c) el vector Poynting y (d) la
intensidad de energía transmitida.
115

116. Polarización de OEM
Si el campo eléctrico es de la forma: E = E0 · e−j(ωt−k·r)
, cuando
la onda viaja en la dirección del eje z la amplitud de la onda, E0, se
descompone como suma de dos vectores
E0 = E0x ·ejθ1 ˆx+E0y ·ejθ2 · ˆy
La polarización depende de la diferencia θ1 − θ2 y según el
resultado se tendrá:
Polarización lineal.- si la diferencia es 0 o un múltiplo entero
(positivo o negativo) de π.
Polarización circular.- si la diferencia es un múltiplo entero impar
(positivo o negativo) de π
2. En este caso se cumple, además, que
E0x = E0y.
116

117. En el resto de casos se producirá polarización elíptica.
En el caso de polarización elíptica, el sentido de giro de la
polarización de la onda depende de la diferencia θ1 −θ2
Si θ1 −θ2 < 0 se trata de polarización elíptica levógira ó helicidad
negativa.
Si θ1 −θ2 > 0 se trata de polarización elíptica dextrógira ó helicidad
positiva.
117

118. 118

119. Ondas en medios disipativos
En un medio disipativo la OEM pierde potencia al propagarse a
causa de una conducción deficiente. Es decir es un medio en el que
σ = 0, donde consideramos ρ = 0 de modo que las ecuaciones de
Maxwell en el dominio de las frecuencias con E(r,t) = E(r)e−jωt
,
D = εE y B = µH es
∇·E = 0
∇·H = 0
∇×E = jωµH
∇×H = (σ − jωε)E
Ecuación de onda para E
∇×∇×E = jωµ∇×H
119

120. ∇(∇·E)−∇2
E = jωµ(σ − jωε)E
∇2
E+γ2
E = 0
con γ2
= jωµ(σ − jωε).
Así mismo para H tenemos ∇2
H+γ2
H = 0.
Considerando que γ = α + jβ y reemplazando en γ2
se tiene
α2
+ j2αβ −β2
= jωµσ +ω2
µε
α2
−β2
= ω2
µε 2αβ = ωµσ
resolviendo
α = ω
µε
2
1+
σ
ωε
2
−1
β = ω
µε
2
1+
σ
ωε
2
+1
120

121. Si la OEM viaja a lo largo del eje z entonces E = E(z)
d2
dz2
E−γ2
E = 0 → E(z) = E0e±γz
E(z,t) = E0e−αz
cos(ωt −βz)
Profundidad pelicular δ =
1
α
, impedancia η =
jωµ
σ + jωε
.
121

122. En un buen conductor σ ωε es decir σ ∞, ε = ε0 y µ = µ0µr,
entonces
α = β =
ωµσ
2
, η =
ωµ
σ
45
de modo que E se adelanta a H en 45°.
122

123. Reflexión y refracción de OEM
Cuando una OEM que se propaga en un medio de características
µ1, ε1 pasa a otro medio con µ2 y ε2 el campo eléctrico E y el campo
magnético H deben verificar las condiciones de frontera
n2 ×(E2 −E1) = 0, (D2 −D1)·n2 = σ
n2 ×(H2 −H1) = K, (B2 −B1)·n2 = 0
Ei = E0ie−j(ωit−ki·r)
, Er = E0re−j(ωrt−kr·r)
, Et = E0te−j(ωtt−kt·r)
La condición n2 ×(E2 −E1) = 0 exige
123

124. E0ie−j(ωit−ki·r)
+E0re−j(ωrt−kr·r)
tangente
= E0te−j(ωtt−kt·r)
tangente
Donde la frecuencia ωi de la onda incidente se conserva, es decir
ωi = ωr = ωt = ω. Así mismo si las fases de todas las OEM en la
frontera son iguales entonces
k1 senθi = k1 senθr = k2 senθt
k1 = ki = kr =
n1ω
c
, k2 =
n2ω
c
entonces
θi = θr , n1 senθi = n2 senθt
124

125. Incidencia normal en medios no conductores
Sea el medio 1 de incidencia z < 0 y el medio 2 de refracción z > 0,
en incidencia normal la OEM viaja en la dirección paralela al eje z
Ei = E0i ˆxe−j(ωt−k1z)
, Er = E0r ˆxe−j(ωt+k1z)
, Et = E0t ˆxe−j(ωt−k2z)
µ1 = µ2 = µ0, k1 = ω
√
ε1µ1, k2 = ω
√
ε2µ2
125

126. Los coeficientes de reflexión r y de transmisión t son:
r =
E0r
E0i
=
n1 −n2
n1 +n2
; t =
E0t
E0i
=
2n1
n1 +n2
La Reflectancia R que es definido como la fracción del flujo de
energía incidente que es reflejada es
R =
Sr
Si
=
n1 −n2
n1 +n2
2
La Transmitancia T que representa el flujo de energía incidente que
es transmitida es
T =
St
Si
=
n2
n1
2n1
n1 +n2
2
126

127. Incidencia oblicua entre medios no conductores (polarización
paralela)
medio de incidencia 1 (z < 0) y medio de refracción 2 (z > 0),
plano de incidencia y = 0.
Ei = E0ie−j(ωt−ki·r)
, Er = E0re−j(ωt−kr·r)
, Et = E0te−j(ωt−kt·r)
127

128. E0i = E0i(ˆicosθi − ˆksenθi), E0r = E0r(ˆicosθr + ˆksenθr)
E0t = E0t(ˆicosθt − ˆksenθt)
r =
E0r
E0i
=
ε1 senθi cosθt −ε2 senθt cosθi
ε2 senθt cosθi +ε1 senθi cosθt
t =
E0t
E0i
=
2ε1 senθi cosθt
ε2 senθt cosθi +ε1 senθi cosθt
R =
Sr n
Si n
, T =
St n
Si n
128

129. Incidencia oblicua entre medios no conductores (polarización
perpendicular)
129

130. Reflexión en un plano conductor (incidencia normal)
Sea la onda incidente y reflejada en un medio no disipativo
Ei = E0i ˆxe−j(ωt−k1z)
, Er = E0r ˆxe−j(ωt+k1z)
y la onda refractada en el medio conductor
Et = E0t ˆxe−j(ωt−γ2z)
γ2 = α2 + jβ2 = ω2ε2µ2 + jωg2µ2
α2 = ω
√
ε2µ2
1
2
1
2
1+(g2/ω2ε2)
1/2
, β =
ωqµ2
2α
E0r
E0i
=
1−(γ2/ωµ2) µ1/ε1
1+(γ2/ωµ2) µ1/ε1
E0t
E0i
=
2
1+(γ2/ωµ2) µ1/ε1
130

131. Reflexión total interna.- Ocurre cuando n1 > n2
senθc =
n2
n1
, θc = ángulo crítico
131

132. Guías de Onda
Medio dieléctrico que permite transmitir energía electromagnética
de un punto a otro. Se utiliza generalmente a altas frecuencias
(frecuencias ópticas), en las que las líneas de transmisión no son
eficientes.
132

133. Campos en una guía de onda
Dada una guía de onda con eje paralelo al eje z, de modo que
E(r,t) = ξ(x,y)e−j(ωt−kgz)
, H(r,t) = ℵ(x,y)e−j(ωt−kgz)
ξ(x,y) = ξx(x,y)ˆx+ξy(x,y)ˆy+ξz(x,y)ˆz
ℵ(x,y) = ℵx(x,y)ˆx+ℵy(x,y)ˆy+ℵz(x,y)ˆz
k0 =
nω
c
=
2π
λ0
número de onda en el medio dieléctrico
kg =
2π
λg
constante de propagación de la guía de onda
λg longitud de onda de la guía de onda.
133

134. Entonces las ecuaciones de Maxwell se reescriben como:
∇·E = 0 =⇒
∂ξx
∂x
+
∂ξy
∂y
+ jkgξz = 0
∇·H = 0 =⇒
∂ℵx
∂x
+
∂ℵy
∂y
+ jkgℵz = 0
∇×E = −µ
∂H
∂t
=⇒



∂ξz
∂y
− jkgξy = jωµℵx
jkgξx −
∂ξz
∂x
= jωµℵy
∂ξy
∂x
−
∂ξx
∂y
= jωµℵz
134

135. ∇×H = ε
∂E
∂t
=⇒



∂ℵz
∂y
− jkgℵy = −jωεξx
jkgℵx −
∂ℵz
∂x
= −jωεξy
∂ℵy
∂x
−
∂ℵx
∂y
= −jωεξz
De las ocho ecuaciones resultantes de las ecuaciones de Maxwell
despejamos ξx, ξy, ℵx y ℵy en función de ξz y ℵz
ξx =
j
k2
c
kg
∂ξz
∂x
+ωµ
∂ℵz
∂y
ξy =
j
k2
c
kg
∂ξz
∂y
−ωµ
∂ℵz
∂x
ℵx =
j
k2
c
−ωε
∂ξz
∂y
+kg
∂ℵz
∂x
135

136. ℵy =
j
k2
c
ωε
∂ξz
∂x
+kg
∂ℵz
∂y
∂2
ξz
∂x2
+
∂2
ξz
∂y2
+k2
cξz = 0
∂2
ℵz
∂x2
+
∂2
ℵz
∂y2
+k2
cℵz = 0
k2
c = k2
0 −k2
g ⇒ kg = k2
0 −k2
c
Los modos de propagación permitidos se obtienen cuando kg es real,
si kg es imaginario entonces las OEM que se propagan a través de la
guía de onda sufren atenuación.
136

137. Modo de propagación transversal eléctrico TE
El campo eléctrico no tiene componente en el eje z
ξz = 0 y ℵz = 0
∂2
ℵz
∂x2
+
∂2
ℵz
∂y2
+k2
cℵz = 0
Modo de propagación transversal magnético TM
El campo magnético no tiene componente en el eje z
ξz = 0 y ℵz = 0
∂2
ξz
∂x2
+
∂2
ξz
∂y2
+k2
cξz = 0
Modo transversal electromagnético TEM
ξz = 0 y ℵz = 0
137

138. Guías de Onda Slab
Propagación por reflexión múltiple → genera modos diferentes a
TEM |ku| = |kd| = k = ω
√
µε
ξx =
j
k2
c
kg
∂ξz
∂x
, ξy = −
j
k2
c
ωµ
∂ℵz
∂x
ℵx =
j
k2
c
kg
∂ℵz
∂x
, ℵy =
j
k2
c
ωε
∂ξz
∂x
∂2
ξz
∂x2
+k2
cξz = 0,
∂2
ℵz
∂x2
+k2
cℵz = 0
138

139. Modos TE y TM en guias de onda SLAB con paredes
conductoras
Modo TE ξz = 0 y ℵz = 0
∂2
ℵz
∂x2
+k2
cℵz = 0 solución ℵz(x) = Acoskcx+Bsenkcx
ξy = −
j
k2
c
ωµ
∂ℵz
∂x
=
jωµ
kc
(Asenkcx−Bcoskcx)
139

140. Usando las condiciones de frontera ξy(0) = 0 tenemos B = 0 y si
ξy(a) = 0 entonces
senkca = 0 kc =
mπ
a
, m = 0,1,2,...
kg =
nω
c
2
−
mπ
a
2
ξy =
jωµ
kc
Asenkcx Ey(r,t) =
jωµ
kc
Asenkcxe−j(ωt−kgz)
ℵx =
jkg
k2
c
∂ℵz
∂x
=
jkg
kc
Asenkcx
ℵy =
jωε
k2
c
∂ξz
∂x
= 0
ℵz(x) = Acoskcx
140

141. Modo TM ξz = 0 y ℵz = 0
∂2
ξz
∂x2
+k2
cξz = 0 solución ξz(x) = Acoskcx+Bsenkcx
Usando las condiciones de frontera ξz(0) = 0 tenemos A = 0 y si
ξz(a) = 0 entonces
senkca = 0 kc =
nπ
a
, m = 0,1,2,...
kg =
nω
c
2
−
mπ
a
2
ξz = Bsenkcx ξx =
jkg
kc
Bcoskcx ξy = 0
ℵy =
jωε
k2
c
∂ξz
∂x
=
jωε
kc
Bcoskcx
141

142. Guías de onda rectangulares
∂2
ψ
∂x2
+
∂2
ψ
∂y2
+k2
cψ = 0, ψ(x,y) = X(x)Y(y)
1
X
d2
X
dx2
= −
1
Y
d2
Y
dy2
−k2
c = k2
1
d2
X
dx2
+k2
1X = 0,
d2
Y
dy2
+k2
2Y = 0, k2
c = k2
1 +k2
2
ψ(x,y) = (Asenk1x+Bcosk1x)(Csenk2y+Dcosk2y)
142

143. Modo TE ξz = 0 y ℵz = 0
ℵz(x,y) = (Asenk1x+Bcosk1x)(Csenk2y+Dcosk2y)
ξx =
jωµ
k2
c
∂ℵz
∂y
=
jωµk2
k2
c
(Asenk1x+Bcosk1x)(Ccosk2y−Dsenk2y)
ξy = −
jωµ
k2
c
∂ℵz
∂x
= −
jωµk1
k2
c
(Acosk1x−Bsenk1x)(Csenk2y+Dcosk2y)
considerando que las componentes tangenciales del campo eléctrico
son nulos en las fronteras
ξx(x,0) = 0 ⇒ C = 0
ξy(0,y) = 0 ⇒ A = 0
143

144. ℵz(x,y) = BDcos(k1x)cos(k2y)
ξx = −
jωµk2
k2
c
BDcos(k1x)sen(k2y)
ξy =
jωµk1
k2
c
BDsen(k1x)cos(k2y)
ξx(x,b) = 0 ⇒ k1 =
mπ
b
m = 0,1,2,3,...
ξy(a,y) = 0 ⇒ k2 =
pπ
a
p = 0,1,2,3,...
Condición para modos de propagación permitidos
kg =
nω
c
2
−π2
p
a
2
+
m
b
2
144

145. ξx = −
jωµ
k2
c
pπ
a
H0 cos
mπ
b
x sen
pπ
a
y
ξy =
jωµ
k2
c
mπ
b
H0 sen
mπ
b
x cos
pπ
a
y
ξz = 0
ℵz(x,y) = H0 cos
mπ
b
x cos
pπ
a
y
ℵx = −
jkg
k2
c
mπ
b
H0 sen
mπ
b
x cos
pπ
a
y
ℵy = −
jkg
k2
c
pπ
a
H0 cos
mπ
b
x sen
pπ
a
y
Modo TE10
145

146. Modo TM ξz = 0 y ℵz = 0
ξz(x,y) = (Asenk1x+Bcosk1x)(Csenk2y+Dcosk2y)
considerando que ξz es cero en las fronteras
ξz(0,y) = 0 ⇒ B = 0
ξz(x,0) = 0 ⇒ D = 0
ξz(x,y) = ACsen(k1x)sen(k2y)
ξz(a,y) = 0 ⇒ k1 =
mπ
a
m = 0,1,2,3,...
146

147. ξy(x,b) = 0 ⇒ k2 =
pπ
b
p = 0,1,2,3,...
ξx =
jkg
k2
c
∂ξz
∂x
, ξy =
jkg
k2
c
∂ξz
∂y
ℵx = −
jωε
k2
c
∂ξz
∂y
, ℵy =
jωε
k2
c
∂ξz
∂x
Condición para modos de propagación permitidos
kg =
nω
c
2
−π2
p
a
2
+
m
b
2
Componentes de los campos eléctrico y magnético
ξx =
jkg
k2
c
E0
mπ
a
cos
mπ
a
x sen
pπ
b
147

148. ξy =
jkg
k2
c
E0
pπ
b
sen
mπ
a
x cos
pπ
b
ξz = E0 sen
mπ
a
x sen
pπ
b
y
ℵx = −
jωε
k2
c
E0
pπ
b
sen
mπ
a
x cos
pπ
b
ℵy =
jωε
k2
c
E0
mπ
a
cos
mπ
a
x sen
pπ
b
ℵz = 0
Modo TM10
148

149. Problema.- Una guía de ondas rectangular con vacío en su interior
tiene a = 8 cm y b = 6 cm. Si dentro de la guía se propaga una
onda cuya frecuencia es ν = 4 × 109
Hz, ¿cuales son los modos
permitidos?
149

150. Problema.- Considerar una guía de onda de sección cuadrada.
¿Qué condiciones debe satisfacer el lado a para que sea posible que
se propague un modo TE10 pero no uno TE11, TM11 o cualquiera de
orden superior?
150

151. Problema.- Para un modo TE10 en una guía rectangular: (a)
encontrar u , (b) encontrar S (c) encontrar los promedios con
respecto al espacio u y S , integrando los resultados anteriores
para los promedios con respecto al tiempo sobre la sección de la guía.
151

152. Problema.- Encontrar la superposición de una onda TEmn y una
onda TMmn en una guía rectangular, que hace que E sea transversal
a la dirección y, es decir Ey = 0 mientras que todas las demás
componentes de E y de H son diferentes de cero.
152

153. Guías de onda circulares
Dada una guía de onda circular con eje paralelo al eje z, de modo
que
E(r,t) = ξ(r,φ)e−j(ωt−kgz)
, H(r,t) = ℵ(r,φ)e−j(ωt−kgz)
ξ(r,φ) = ξr(r,φ)ˆr +ξφ(r,φ) ˆφ +ξz(r,φ)ˆz
ℵ(r,φ) = ℵr(r,φ)ˆr +ℵφ(r,φ) ˆφ +ℵz(r,φ)ˆz
∇·E = 0 =⇒
1
r
∂(rξr)
∂r
+
1
r
∂ξφ
∂φ
+ jkgξz = 0
∇·H = 0 =⇒
1
r
∂(rℵr)
∂r
+
1
r
∂ℵφ
∂φ
+ jkgℵz = 0
153

154. ∇×E = −µ
∂H
∂t
=⇒



1
r
∂ξz
∂φ
− jkgξφ = jωµℵr
jkgξr −
∂ξz
∂r
= jωµℵφ
1
r
∂(rξφ)
∂r
−
1
r
∂ξr
∂φ
= jωµℵz
∇×H = ε
∂E
∂t
=⇒



1
r
∂ℵz
∂φ
− jkgℵφ = −jωεξr
jkgℵr −
∂ℵz
∂r
= −jωεξφ
1
r
∂(rℵφ)
∂r
−
1
r
∂ℵr
∂φ
= −jωεξz
De las ocho ecuaciones resultantes de las ecuaciones de Maxwell
despejamos ξr, ξφ, ℵr y ℵφ en función de ξz y ℵz
154

155. ξr =
j
k2
c
kg
∂ξz
∂r
+
ωµ
r
∂ℵz
∂φ
ξφ =
j
k2
c
kg
r
∂ξz
∂φ
−ωµ
∂ℵz
∂r
ℵr =
j
k2
c
−
ωε
r
∂ξz
∂φ
+kg
∂ℵz
∂r
ℵφ =
j
k2
c
ωε
∂ξz
∂r
+
kg
r
∂ℵz
∂φ
1
r
∂
∂r
r
∂ξz
∂r
+
1
r2
∂2
ξz
∂φ2
+k2
cξz = 0
1
r
∂
∂r
r
∂ℵz
∂r
+
1
r2
∂2
ℵz
∂φ2
+k2
cℵz = 0
155

156. k2
c = k2
0 −k2
g ⇒ kg = k2
0 −k2
c
Los modos de propagación permitidos se obtienen cuando kg es real,
si kg es imaginario entonces las OEM que se propagan a través de la
guía de onda sufren atenuación.
156

157. Modo de propagación transversal eléctrico TE
El campo eléctrico no tiene componente en el eje z
ξz = 0 y ℵz = 0
1
r
∂
∂r
r
∂ℵz
∂r
+
1
r2
∂2
ℵz
∂φ2
+k2
cℵz = 0
Modo de propagación transversal magnético TM
El campo magnético no tiene componente en el eje z
ξz = 0 y ℵz = 0
1
r
∂
∂r
r
∂ξz
∂r
+
1
r2
∂2
ξz
∂φ2
+k2
cξz = 0
Modo transversal electromagnético TEM
ξz = 0 y ℵz = 0
157

158. 1
r
∂
∂r
r
∂ψ
∂r
+
1
r2
∂2
ψ
∂φ2
+k2
cψ = 0
Por separación de variables ψ(r,φ) = R(r)Φ(φ), entonces reemplazando
y multiplicado por
r2
RΦ
se tiene
r
R
d
dr
r
dR
dr
+(kcr)2
= −
1
Φ
d2
Φ
dφ2
= m2
d2
Φ
dφ2
+m2
Φ = 0, Φ(φ) = cos(mφ),sen(mφ),e−jmφ
,e+jmφ
Considerando que Φ(φ) = Φ(φ +2π) tenemos
sen(m(φ +2π)) = sen(mφ)cos(2mπ)+cos(mφ)sen(2mπ) = sen(mφ)
158

159. cos(2mπ) = 1, 2mπ = 0,2π,4π,...
por tanto m es un número entero.
Por otro lado R(r) verifica la ecuación de Bessel de orden m
r
d
dr
r
dR
dr
+ (kcr)2
−m2
= 0
Solución R(r) = Jm(kcr),Nm(kcr), es decir
R(r) = CnJm(kcr)+DnNm(kcr)
Jm(kcr) es la función de Bessel de orden m del primer tipo.
Nm(kcr) es la función de Bessel de orden m del segundo tipo.
159

160. Jm(x) =
∞
∑
k=0
(−1)k
k!Γ(k +m+1)
x
2
2k+m
160

161. Nα(x) =
Jα(x)cos(απ)−J−α(x)
sin(απ)
, ∀α /∈ Z
Nm(x) = l´ım
α→m
Nα(x), ∀m ∈ Z
161

162. Para una guía de onda circular de radio a, tenemos que en r < a el
campo debe ser finito, pero en r = 0, tenemos que
l´ım
r→0
Nm(r) no existe
entonces
ψ(r,φ) = Jm(kcr)[Am sen(mφ)+Bm cos(mφ)]
ademas
Am sen(mφ)+Bm cos(mφ) = A2 +B2 cos mφ +tan−1 Am
Bm
ψ(r,φ) = ψ0Jm(kcr)cos(mφ)
162

163. Modos transversal eléctrico TEmp (ξz = 0 y ℵz = 0)
m número de ciclos de λ en dirección φ en 2π radianes.
p número de ceros del campo ξφ en dirección radial, excluyendo el
origen.
ℵz = H0Jm(kcr)cos(mφ)
condiciones de borde ξφ(a,φ) = 0 campo eléctrico tangencial nulo
y ℵr(a,φ) = 0 campo magnético radial.
ξr =
jωµ
k2
c
1
r
∂ℵz
∂φ
ξφ = −
jωµ
k2
c
∂ℵz
∂r
163

164. ℵr =
jkg
k2
c
∂ℵz
∂r
ℵφ =
jkg
k2
c
1
r
∂ℵz
∂φ
Si ξφ(a,φ) = 0 entonces
∂ℵz
∂r r=a
= 0
es decir
Jm(kca) = 0
Los valores permitidos de kc se determinan a partir de los ceros de
Jm(kca) = 0
164

165. Modos transversal magnético TMmp (ξz = 0 y ℵz = 0)
ξz = E0Jm(kcr)cos(mφ)
condiciones de borde ξz(a,φ) = 0 entonces
Jm(kca) = 0
Los valores permitidos de kc se determinan a partir de los ceros de
Jm(kca) = 0
165

166. k J0(x) J1(x) J2(x) J3(x) J4(x) J5(x)
1 2.4048 3.8317 5.1356 6.3802 7.5883 8.7715
2 5.5201 7.0156 8.4172 9.7610 11.0647 12.3386
3 8.6537 10.1735 11.6198 13.0152 14.3725 15.7002
4 11.7915 13.3237 14.7960 16.2235 17.6160 18.9801
5 14.9309 16.4706 17.9598 19.4094 20.8269 22.2178
k J0(x) J1(x) J2(x) J3(x) J4(x) J5(x)
1 3.8317 1.8412 3.0542 4.2012 5.3175 6.4156
2 7.0156 5.3314 6.7061 8.0152 9.2824 10.5199
3 10.1735 8.5363 9.9695 11.3459 12.6819 13.9872
4 13.3237 11.7060 13.1704 14.5858 15.9641 17.3128
5 16.4706 14.8636 16.3475 17.7887 19.1960 20.5755
166

167. Cavidades Resonantes
Región (volumen) totalmente encerrado por paredes perfectamente
conductoras
ψ(r,t) = ψ0(r)e−jωt
∇2
ψ0 +k2
0ψ0 = 0
167

168. ψ0(r) = X(x)Y(y)Z(z)
X(x) = A1 senk1x+B1 cosk1x
Y(y) = A2 senk2x+B2 cosk2x
Z(z) = A3 senk3x+B3 cosk3x
k2
0 = k2
1 +k2
2 +k2
3
haciendo que las componentes tangentes a las superficies son nulas
tenemos:
k1 =
mπ
a
, k2 =
nπ
b
, k3 =
pπ
c
168

169. Ex = (A1 senk1x+B1 cosk1x)senk2ysenk3ze−jωt
Ey = senk1x(A2 senk2y+B2 cosk2y)senk3ze−jωt
Ez = senk1xsenk2y(A3 senk3z+B3 cosk3z)e−jωt
Ecuación de posibles frecuencias de oscilación en la cavidad
k2
0 =
ω
v
2
= π2 m
a
2
+
n
b
2
+
p
c
2
Si cualquiera de los enteros m, n o p son ceros todas las
componentes de E son ceros.
169