Ketiga kalimat berikut merangkum informasi utama dari dokumen tersebut: 1) Dokumen ini membahas gejala-gejala kuantum seperti radiasi benda hitam, efek fotolistrik, hamburan Compton, dan model atom awal. 2) Radiasi benda hitam dijelaskan melalui hukum Stefan dan Rayleigh-Jeans, serta teori kuantum Planck yang menyimpang dari hukum Rayleigh-Jeans. 3) Dokumen ini juga membahas model os

1. Catatan Kuliah 1
FISIKA KUANTUM
oleh:
Prof. Freddy P. Zen, D. Sc (fpzen@fi.itb.ac.id)
Agus Suroso, M. Si (agussuroso@s.itb.ac.id)
Laboratorium Fisika Teoretik, FMIPA-ITB
1 terakhir diperbaharui pada 18 Oktober 2010.

2. Daftar Isi
Daftar Isi i
Daftar Gambar ii
1 Gejala Kuantum 1
1.1 Radiasi Benda Hitam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Gejala radiasi termal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Hukum Stefan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3 Hukum Raleygh-Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Model osilator harmonik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Energi rata-rata osilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Rapat jumlah osilator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Kerapatan energi radiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Teori kuantum radiasi Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Efek Fotolistrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Hamburan Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Model Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Sejarah Teori Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Model Atom Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
i

3. Daftar Gambar
1.1 Kurva intensitas radiasi termal per satuan panjang gelombang . . . . . . 2
1.2 Perbandingan antara hasil yang didapat hukum Raleygh-Jeans dan Teori
Kuantum Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Skema efek Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
ii

4. Bab 1
Gejala Kuantum
1.1 Radiasi Benda Hitam
1.1.1 Gejala radiasi termal
Kajian tentang radiasi benda hitam bertujuan menjelaskan fenomena yang terkait de-
ngan intensitasi radiasi (daya emisi) suatu benda pada temperatur tertentu. Pada tahun
1792, T. Wedjwood mendapati bahwa sifat universal dari sebuah objek yang dipanaskan
tidak bergantung pada komposisi dan sifat kimia, bentuk, dan ukuran benda. Selanjut-
nya, pada tahun 1859 G. Kirchoff membuktikan sebuah teorema yang didasarkan pada
sifat termodinamika benda bahwa pada benda dalam kesetimbangan termal, daya emisi
(pancar ) dan daya absorbsi (serap) sama besar. Ide Kirchoff dinyatakan dalam sebuah
persamaan
ef = J (f, T ) Af , (1.1)
dengan ef adalah daya emisi per frekuensi cahaya tiap satuan luas, f adalah frekuensi
cahaya, T suhu mutlak benda, dan Af daya absorbsi (yaitu fraksi daya masuk yang
diserap per frekuensi tiap satuan luas. Benda hitam didefinisikan sebagai benda yang
menyerap semua radiasi elektromagnetik yang mengenainya, sehingga benda tersebut
menjadi berwarna hitam, atau pada persamaan (1.1) berlaku Af = 1 sehingga ef =
J (f, T ) (daya emisi per frekuensi per satuan luas hanya bergantung pada f dan T saja).
1.1.2 Hukum Stefan
Pada tahun 1879, J. Stefan menemukan (secara eksperimental) bahwa daya total tiap
satuan luas yang dipancarkan oleh benda padat pada semua frekuensi bergantung pada
pangkat empat dari suhu (T 4 ), atau
∞
etotal = ef (f, T ) df = aσT 4 , (1.2)
0
dengan 0 < a <= 1 merupakan koefisien serap dan σ = 5, 67 × 10−8 W.m−2 .T−4 adalah
tetapan Stefan-Boltzman.
Contoh. Hukum Stefan dapat diterapkan untuk memperkirakan suhu di permu-
kaan bintang. Sebagai contoh, kita akan memperkirakan suhu di permukaan matahari.
Diketahui jejari matahari adalah RS = 7, 0 × 108 m, jarak rata-rata matahari ke bumi
1

5. BAB 1. GEJALA KUANTUM 2
Gambar 1.1: Kurva intensitas radiasi termal per satuan panjang gelombang. Jumlah
radiasi yang dipancarkan (luas daerah di bawah kurva) bertambah seiring dengan naiknya
temperatur. (Gambar diambil dari [?])
adalah R = 1, 5 × 1011 m, dan fluks (daya per satuan luas) energi matahari yang terukur
di permukaan bumi adalah 1400 Wm−2 . Seluruh energi yang dipancarkan matahari dapat
dianggap berasal dari reaksi nuklir yang terjadi di dalamnya, bukan berasal pantulan da-
ri radiasi yang mengenainya (seluruh radiasi yang mengenai matahari dianggap terserap
sempurna). Sehingga, matahari dapat dianggap sebagai benda hitam (a = 1). Energi
radiasi total yang mengenai bumi dan titik-titik lain di alam semesta yang berjarak R
dari matahari adalah et (R) 4πR2 , sedangkan energi total yang meninggalkan permukaan
2
matahari adalah et (RS ) 4πRS . Menurut hukum kekekalan energi, besar kedua energi
tersebut haruslah sama, sehingga
R2
et (R) 4πR2 = et (RS ) 4πRS ⇒ et (RS ) = et (R)
2
2 . (1.3)
RS
Lalu, menurut hukum Stefan et (RS ) = σT 4 , sehingga diperoleh
1/4
et (R)R2
T = 2
σRS
2 1/4
1400W m−2 1, 5 × 1011 m (R)R2
= 2
(5, 67 × 10−8 W.m−2 .T −4 ) (7, 0 × 108 m)
≈ 5800K. (1.4)
Berdasarkan persaaan (1.1), untuk benda hitam akan berlaku ef = J(f, T ). Selan-
jutnya, didefinisikan besaran kerapatan spektrum energi per satuan volume per satuan
frekuensi u(f, T ), sehingga untuk cahaya (kecepatannya c) akan diperoleh
c
J(f, T ) = u(f, T ) . (1.5)
4

6. BAB 1. GEJALA KUANTUM 3
Berdasarkan kurva spektrum radiasi benda hitam, Wien membuat tebakan bentuk fungsi
βf
kerapatan spektrum energi tersebut sebagai u(f, T ) = Af 3 e− T . Ternyata bentuk fungsi
tersebut dikonfirmasi secara eksperimental oleh Paschen untuk λ = 1−4 µm (infra merah)
dan T = 400 − 1.600 K (hasil eksperimen untuk λ lebih besar menyimpang dari prediksi
Wien).
1.1.3 Hukum Raleygh-Jeans
Model osilator harmonik
Bentuk kurva spektrum pancar benda hitam juga coba dijelaskan melalui hukum Rayleigh-
Jeans. Menurut hukum tersebut, benda hitam dimodelkan sebagai sebuah rongga, dan
cahaya yang memasukinya membentuk gelombang berdiri. Energi radiasi per satuan
volume per satuan frekuensi merupakan moda dari osilator-osilator harmonik per satuan
volume dengan frekuensi yang terletak pada selang f dan f + df . Sehingga, kerapatan
energi dapat dinyatakan sebagai
¯
u(f, T )df = EN (f )df (1.6)
dengan N (f ) menyatakan rapat jumlah osilator per satuan volume per satuan frekuensi.
Benda hitam dianggap berada pada kesetimbangan termal, sehingga terbentuk gelombang
elektromagnetik berdiri di dalam rongga (gelombang berdiri EM ekivalen dengan osilator
satu dimensi).
Fungsi probabilitas osilator klasik memenuhi fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann,
( − 0)
−
P ( ) = P0 e kB T
, (1.7)
dengan 0 adalah energi dasar (terendah) osilator, energi osilator, P0 = P ( 0 ) merupakan
peluang osilator memiliki energi sebesar 0 , kB konstanta Boltzmann, dan T suhu mutlak
sistem (dalam hal ini rongga).
Energi rata-rata osilator
Energi rata-rata osilator dihitung dengan memanfaatkan fungsi probabilitas (1.7),
P( )
¯= , (1.8)
P( )
atau untuk nilai energi yang sinambung (kontinyu), notasi jumlah ( ) berubah menjadi
integral. Lalu dengan mengingat persamaan (1.7), diperoleh
( − 0)
∞ − ∞ −
0
P0 e kB T
d 0
e kB T d
¯= ( − 0)
= ∞ −k T . (1.9)
∞ − e B d
0
P0 e kB T
d 0
Pembilang dan penyebut pada persamaan terakhir dapat dihitung dengan cara sebagai
−1
berikut. Misalkan β = (kB T ) , maka penyebut persamaan terakhir menjadi
∞ ∞
1
e−β d = − e−β
0 β =0
1
= . (1.10)
β

7. BAB 1. GEJALA KUANTUM 4
Lalu, dengan memanfaatkan hubungan tersebut, dapat diperoleh
∞
d d 1
e−β d =
dβ 0 dβ β
∞
d 1
⇔ e−β d = − 2
0 dβ β
∞
−k T 1
⇔ − e B d =− 2
0 β
∞
− 1
⇔ e kB T d = 2 . (1.11)
0 β
Sehingga, energi rata-rata osilator adalah
∞ −
0
e kB T d β −2 1
¯= ∞ −k T = = = kB T. (1.12)
e B d β −1 β
0
Rapat jumlah osilator
Tinjau sebuah kubus dengan panjang rusuk L yang di dalamnya terdapat gelombang elek-
tromagnetik stasioner. Berdasarkan persamaan Maxwell, diperoleh persamaan gelombang
stasioner untuk medan elektromagnetik berbentuk
2
E + k 2 E = 0, (1.13)
2 2 2
∂ ∂ ∂
dengan 2 ≡ ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 , E = E(Ex , Ey , Ez ), serta Ex , Ey , dan Ez masing-masing
merupakan fungsi dari koordinat x, y, z. Dengan menganggap berlakunya separasi variabel
2
pada tiap komponen medan E, misalnya Ex (x, y, z) ≡ u(x)v(y)w(z), dan k 2 = kx +ky +kz
2 2
diperoleh
d2 u 2
+ kx u = 0, (1.14)
dx2
d2 v 2
+ ky v = 0, (1.15)
dy 2
d2 w 2
+ kz w = 0, (1.16)
dz 2
dengan solusi
u(x) = Bx cos(kx x) + Cx sin(kx x), (1.17)
v(y) = By cos(ky y) + Cy sin(ky y), (1.18)
w(z) = Bz cos(kz z) + Cz sin(kz z). (1.19)
Selanjutnya, diterapkan syarat batas bahwa u = v = w = 0 pada x = y = z = 0 dan
x = y = z = L, sehingga Bx = By = Bz = 0 dan kx,y,z = nx,y,z π/L dengan nx,y,z
merupakan bilangan bulat positif. Dengan demikian, diperoleh
u(x) = Cx sin(kx x), (1.20)
v(y) = Cy sin(ky y), (1.21)
w(z) = Cz sin(kz z), (1.22)

8. BAB 1. GEJALA KUANTUM 5
yang memberikan solusi untuk komponen Ex
Ex (x, y, z) = A sin(kx x) sin(ky y) sin(kz z), (1.23)
dan berlaku pula
π2 2 n2 π 2
k2 = 2
nx + n2 + n2 =
y z , (1.24)
L L2
dengan n menyatakan jumlah osilator dalam kotak.
π 3
Sebuah kotak dalam ruang k (dimensi/satuannya m−1 ) dengan volume L berisi
satu buah gelombang berdiri. Sebuah elemen volum berbentuk kulit bola berjejari k
yang terletak pada sebuah kotak dengan rusuk k memiliki volum 1 × 4πk 2 dk (karena
8
kotak berusuk k menempati satu oktan/perdelapan dari sebuah bola berjejari k). Lalu,
diperoleh N (k) yaitu rapat jumlah gelombang berdiri dengan bilangan gelombang terletak
antara k dan dk,
1
× 4πk 2 dk L3 k 2
N (k)dk = 8 3 = dk. (1.25)
π 2π 2
L
Dengan mengingat bahwa terdapat dua keadaan polarisasi untuk setiap modus gelombang
EM, diperoleh jumlah gelombang berdiri tiap satuan volume (V = L3 ) sebesar
N (k)dk k 2 dk
N (k)dk ≡ =2× , (1.26)
V 2π 2
2π
atau dengan memanfaatkan hubungan besaran-besaran gelombang EM k = λ dan c = λf
diperoleh
8πf 2 8π
N (f )df = df ⇔ N (λ)dλ = − 4 dλ. (1.27)
c3 λ
Kerapatan energi radiasi
¯
Berdasarkan hasil untuk E dan N (f ) seperti di atas, diperoleh nilai kerapatan energi
radiasi
8πf 2 8π
u(f, T )df = 3 kB T df ⇔ u(λ, T )dλ = 4 kB T dλ. (1.28)
c λ
Hasil ini memungkinkan terjadinya bencana ultraviolet, bahwa rapat energi untuk cahaya
dengan panjang gelombang kecil (atau frekuensi besar) dapat bernilai takhingga. Dan ini
bertentangan dengan hasil eksperimen.
1.1.4 Teori kuantum radiasi Planck
Untuk mengatasi masalah yang timbul pada hukum Rayleigh-Jeans, Max Planck mempos-
tulatkan bahwa energi osilator adalah sebanding dengan frekuensi gelombang, n = nhf
(n bilangan bulat positif dan h konstanta Planck). Penerapan postulat ini ke persamaan
untuk energi rata-rata menurut statistik Maxwell-Boltzman (persamaan 1.8) memberikan
nhf
∞ −k T
n=0 nhf e
B
¯= nhf . (1.29)
∞ −k T
n=0 e
B
Dengan mengingat rumus jumlah pada deret geometri,
∞
1
rn = |r| < 1, (1.30)
n=0
1−r

9. BAB 1. GEJALA KUANTUM 6
maka penyebut persamaan energi rata-rata tersebut dapat dituliskan sebagai
∞ n
− khfT 1
e B = (1.31)
− khfT
n=0 1−e B
hf
Bagian pembilang dihitung seperti pada persamaan (1.11). Misalkan α = kB T , maka
d
ne−αn = − e−αn
n
dα n
d 1
=−
dα − khfT
1−e B
−α
e
= 2. (1.32)
(1 − e−α )
Jadi, diperoleh energi rata-rata
− khfT − khfT
hf 1 − e B e B
¯= 2
− khfT
1−e B
− khfT
hf e B
=
− khfT
1−e B
hf
= hf (1.33)
e kB T − 1
Selanjutnya, diperoleh rapat energi radiasi
8πf 2 hf 8πhc dλ
u(f, T )df = hf df ⇔ u(λ, T )dλ = hf . (1.34)
c3 e kB T
−1 λ5 e kB T − 1
Terlihat bahwa postulat Planck mampu mengatasi masalah yang muncul pada hukum
Rayleigh-Jeans. Bahkan, hasil ini sesuai dengan data eksperimen (Gambar ??). Postulat
Planck juga mampu menjelaskan hukum Stefan-Boltzman. Substitusi persamaan rapat
energi radiasi ke persamaan untuk radiasi total, menghasilkan
∞
c
et = u(λ, T ) dλ
4 λ=0
∞
8πhc dλ
= hf . (1.35)
λ=0 λ5 e kB T − 1

10. BAB 1. GEJALA KUANTUM 7
Gambar 1.2: Kurva intensitas radiasi termal menurut hukum Raleygh-Jeans dan Teori
Kuantum Planck. Terlihat bahwa teori Planck sesuai dengna hasil eksperimen (yang di-
nyatakan oleh titik), sedangkan hukum Raleygh-Jeans hanya sesuai untuk daerah panjang
gelombang besar. (Gambar diambil dari [?])
2
Ambil x ≡ hc
λkB T sehingga dx = − λ2hc T dλ atau dλ = − λ
kB
kB T
hc dx = − khcT
B
dx
x2 , sehingga
0 hc dx
kB T kB T x2
et = − 2πhc2 5
hc x=∞ hc
xkB T (ex − 1)
∞
2πkB T 4
4
x3
= dx
h3 c2 x=0 ex − 1
4
=π
15
2π 5 kB 4
4
= T
15h3 c2
4
= σT , (1.36)
dengan
2π 5 kB
4
σ= ≈ 5, 67 × 10−9 W.m−2 K−4 (1.37)
15h3 c2
merupakan konstanta Stefan-Boltzmann.
Soal Latihan
1. Turunkan hukum pergeseran Wien, λm T = C, dengan memaksimumkan u(λ, T ).
1.2 Efek Fotolistrik
Tugas 1 (28 Agustus 2009)
Gejala Kuantum: Efek Fotolostrik
(dikumpulkan sebelum Jum’at, 4 September 2009)

11. BAB 1. GEJALA KUANTUM 8
1. Beri penjelasan tentang efek fotolistrik yang menganggap bahwa cahaya berbentuk
kuanta (partikel)!
2. Hitung kecepatan photoelectron yang dilepas dari bahan seng (zinc, dengan stop-
ping potential 4,3 eV) yang diberi cahaya ultraviolet. Dibanding kecepatan cahaya,
berapa persen besar kecepatan tersebut?
3. Cahaya dengan intensitas 1,0 µW/cm2 jatuh pada permukaan besi seluas 1,0 cm2 .
Anggap bahwa besi memantulkan 96% cahaya yang mengenainya dan hanya 3%
dari energi yang terserap terletak pada daerah ultraviolet.
(a) Hitunglah intensitas yang dipakai untuk menghasilkan efek fotolistrik!
(b) Jika panjang gelombang sinar ultraviolet adalah 250 nm, hitunglah banyaknya
elektron yang diemisikan tiap detik!
(c) Hitunglah besar arus yang ditimbulkan pada efek fotolistrik!
(d) Jika frekuensi cut off f0 = 1, 1 × 1015 Hz, carilah fungsi kerja φ0 untuk besi!
1.3 Hamburan Compton
fek Compton adalah gejala yang timbul jika radiasi (sinar x) berinteraksi dengan partikel
(elektron). Foton sinar x bersifat sebagai partikel dengan momentum p = hf = λ . Skema
c
h
efek Compton diberikan pada gambar 1.3. Efek Compton dapat dijelaskan menggunak-
Gambar 1.3: Skema efek Compton. Foton datang dengan momentum p dan menumbuk
elektron yang diam. Lalu foton terhambur dengan momentum p dan elektron terhambur
dengan momentum pe . Sudut hamburan foton θ dihitung terhadap arah datangnya.
(Gambar diambil dari [?])
an konsep momentum dan tumbukan. Tumbukan dianggap bersifat lenting sempurna,
sehingga berlaku hukum kekekalan energi,
E + me c2 = E + Ee ⇔ Ee = hf − hf + me c2 . (1.38)
dengan E adalah energi foton sebelum tumbukan, me c2 energi elektron sebelum tumbukan
(berupa energi diam), E energi foton setelah tumbukan, dan Ee energi elektron setelah
tumbukan. Seperti kasus tumbukan pada umumnya, pada peristiwa efek Compton juga
berlaku kekekalan momentum.

12. BAB 1. GEJALA KUANTUM 9
• Pada arah sumbu x (searah dengan arah datang foton)
p = p cos θ + pe cos φ ⇔ p2 + p 2 cos2 θ − 2pp cos θ = p2 cos2 φ
e (1.39)
dengan p momentum foton sebelum tumbukan, p momentum foton setelah tum-
bukan, pe momentum elektron setelah tumbukan, dan φ sudut hambur elektron
(dihitung terhadap arah foton datang).
• Pada arah sumbu y (tegaklurus arah datang foton)
p sin θ = pe sin φ ⇔ p 2 sin2 θ = p2 sin2 φ.
e (1.40)
Jumlah dari kedua persamaan terakhir menghasilkan
p2 + p 2 − 2pp cos θ = p2 .
e (1.41)
Dengan mengingat hubungan antara momentum dengan frekuensi, persamaan terakhir
dapat ditulis menjadi
2 2
hf hf 2h2 f f
p2 =
e + − cos θ. (1.42)
c c c2
Di lain pihak, elektron memenuhi persamaan energi relativistik,
2 2
Ee = (pe c) + me c2
2
. (1.43)
Substitusi persamaan (1.38) dan (1.42) ke persamaan terakhir, menghasilkan
2 2 2
2 2 hf hf 2h2 f f 2
hf − hf + me c = + − cos θ. + me c2 (1.44)
c c c2
Setelah disederhanakan, persamaan tersebut menghasilkan
−f me c2 + f me c2 = hf f − hf f cos θ
c c hc2
⇔ me c2 − =(1 − cos θ)
λ λ λλ
h
⇔λ −λ= (1 − cos θ) , (1.45)
me c
yang menyatakan hubungan antara panjang gelombang foton terhambur (λ ) dan sudut
hamburannya (θ) dengan panjang gelombang foton datang (λ) dan massa diam elektron
(me ). Persamaan tersebut telah sesuai dengan hasil percobaan.
1.4 Model Atom
1.4.1 Sejarah Teori Atom
Cerita tentang model atom dari model Democritus, Dalton, Thomson, Rutherford. Lalu
beri pengantar tentang model Bohr.

13. BAB 1. GEJALA KUANTUM 10
1.4.2 Model Atom Bohr
Menurut postulat Bohr, elektron dalam atom hidrogen mengelilingi inti atom (proton)
pada orbit stasioner berbentuk lingkaran (misal dengan jejari a). Pada orbit elektron,
gaya Coulumb berperan sebagai gaya sentripetal, sehingga berlaku
1 Ze2 mv 2 1 Ze2
= ⇒ mv 2 = . (1.46)
4πε0 a2 a 4πε0 a
Sehingga energi kinetik elektron adalah
1 1 Ze2
K= mv 2 = . (1.47)
2 8πε0 a
Postulat Bohr: keadaan stasioner sistem dikarakterisasi oleh momentum sudut
pφ = mva = n , n = 1, 2, 3, . . . . (1.48)
n
Berdasarkan postulat tersebut, diperoleh v = ma . Substitusi nilai v tersebut ke persama-
an gaya sentripetal menghasilkan
4πε 2 2
a= n ≈ 0, 528n2 ˚.
A (1.49)
mZe2
Lalu, diperoleh energi total elektron
E =K +V
1 1 Ze2
= mv 2 −
2 4πε0 a
1 Ze2
=−
8πε0 a
13, 6
= 2 eV. (1.50)
n