Mecanica fluidos

1. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
1
PROBLEMAS DE MECÁNICA DE FLUIDOS
Y
MAQUINAS HIDRAULICAS

2. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
2
Correo de un alumno sobre consulta realizada al E.D. de Mecánica de Fluidos II
Estos son los ejercicios que me recomendó el profesor; como digo, todos son del libro de
problemas editado por la UNED: espero y deseo que tengáis suerte con esta asignatura.
5.2 9.1 11.1 13.2 15.2
5.5 9.2 11.2 13.3 15.3
5.6 9.3 (OP) 11.3 13.4
5.9 9.4 11.4 13.5
5.12 9.5 (OP) 11.5
9.8 11.6
9.9 11.7
11.8

3. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
3
Capítulo 9
Flujos turbulentos

4. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
4
A.5 Flujos turbulentos
A.5.1 Ecuación de conservación de la energía mecánica en flujos en tuberías
Entre dos puntos 1 y 2 situados a lo largo de una tubería por la que circula un fluido
incompresible en condiciones estacionarias, suponiendo que la tubería es de sección
gradualmente variable y tiene un radio de curvatura de su línea media grande frente al
radio hidráulico, la disminución de energía mecánica especifica viene dada por la
ecuación:
ϕ
ρρ
gHUv
p
Uv
p
=





++−





++
2
2
1
2
2
1
2
1
Donde v es la velocidad media en una sección y
∫ ∑+=
2
1
22
28 g
v
Kdl
gr
fv
H
h
ϕ
Es la suma de la altura de pérdidas debidas a la fricción y las alturas de pérdidas locales,
siendo f el factor de fricción.
Si la tubería es de sección circular( )4Drh = , como el radio hidráulico es igual al cociente
entre el área y el perímetro mojado, tendremos:
4
4
2
D
D
D
rh ==
π
π
Por lo tanto:
∑+=
g
v
K
gD
Lv
fH
22
22
ϕ
Por la ecuación de continuidad:
4
2
Dv
vAQ
π
== => 2
4
D
Q
v
π
=
Expresando la velocidad en función del caudal, tendríamos:
∑+= 42
2
52
2
88
gD
Q
K
gD
QL
fH
ππϕ
O bien:






+= ∑K
D
L
f
gD
Q
H 42
2
8
πϕ

5. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
5
Capítulo 11
Semejanza en turbomáquinas

6. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
6

7. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
7
Curva característica de una bomba. Son expresiones de la forma:














−=
2
0
0 1
Q
Q
HH (Q en m³/s y H en m):
Semejanza en Turbomáquinas. Dada una bomba que girando a una velocidad Ω, tiene una
curva característica dada por:














−=
2
0
0 1
Q
Q
HH
Si en un momento dado gira a una velocidad 2Ω, su nueva curva característica sería:
- Puesto que las semejanzas de pérdida de Carga y Caudal, vienen dados por:
2
2
2
2
1
1
Ω
=
Ω
HH
2
2
1
1
Ω
=
Ω
QQ
De dónde:
( )
12
1
2
2
1
2 4
2
H
H
H =
Ω
Ω
= 1
1
12
2 2
2
Q
Q
Q =
Ω
Ω
=
- Por lo que la curva característica de la bomba 2:














−=
2
0
02 1
Q
Q
HH
Se transforma en:














−=
2
0
02
2
14
Q
Q
HH

8. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
8

9. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
9
Problema 11.1.- (C.U. 161) Supóngase la curva característica de una bomba, para una
cierta velocidad de giro Ω, puede aproximarse por la expresión siguiente (Q en m³/s y H en
m):






−=
0
0 1
Q
Q
HH mH 200 = smQ /30,0 3
0 =
Determinar la curva característica correspondiente al acoplamiento en paralelo de dos
bombas idénticas a la mencionada, una de ellas girando a la velocidad de giro Ω y la otra a
una velocidad 2Ω. Determinar las posibles condiciones para las cuales alguna de las
bombas del acoplamiento no funcionaría.
Solución:
Si ( )11,QH es un cierto punto de funcionamiento de la bomba girando a una velocidad
Ω=Ω1 , las condiciones del punto de funcionamiento ( )22 ,QH , semejante al anterior y
correspondiente a una velocidad de giro de la bomba Ω=Ω 22 , deberán ser tales que se
cumpla (igualdad de números adimensionales de la ecuación (A.6.57), despreciando
efectos de viscosidad y, por tanto, despreciando el número de Reynolds)
( ),,,
2
3122
gHp
D
D
Q
D
p
t
t
ρ
µ
ρ
φ
ρ
=∆




 Ω
Ω
=
Ω
∆
A.6.57
Teniendo en cuenta las semejanzas:
2
2
1
1
Ω
=
Ω
QQ
2
2
1
1 QQ
Ω
Ω
= =>
22
2
11
Q
QQ =
Ω
Ω
=
De dónde:
2
2
2
2
1
1
Ω
=
Ω
HH
22
2
2
1
1 HH
Ω
Ω
= =>
44
2
11
H
HH =
Ω
Ω
=
Las curvas características de cada bomba serán:
Bomba 1 





−=
0
1
01 1
Q
Q
HH
Bomba 2 





−=
0
2
0
2 2/
1
4 Q
Q
H
H

10. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
10
Es decir; Cada punto de funcionamiento de la bomba, cuando ésta gira a una velocidad de
giro Ω, satisface:






−=
0
1
01 1
Q
Q
HH
Y el correspondiente punto de funcionamiento semejante cuando la bomba gira a velocidad
2Ω, debe satisfacer:






−=
0
2
02
2
14
Q
Q
HH
Que es la curva característica de la bomba para una velocidad de giro de 2Ω.
Despejando el caudal Q en las curvas características correspondientes a las velocidades de
giro Ω y 2Ω, resulta:






−=
0
01 1
H
H
QQ






−=
0
02
4
12
H
H
QQ
La curva característica del acoplamiento en paralelo se obtendrá sumando, para cada altura
H, los caudales 1Q y 2Q correspondiente a las dos bombas:
21 QQQII +=
0
000
0
000
0
000
0
0
0
0
4
612
4
242
4
121
H
HQHQ
H
HQHQ
H
HQHQ
H
H
Q
H
H
QQII
−
=
−
+
−
=











−+











−=






−=−=
−
=
0
0
0
00
0
000
2
13
2
3
3
4
612
H
H
Q
H
H
QQ
H
HQHQ
QII






−=
0
0
2
13
H
H
QQII
Para 0HH > , la bomba que gira a velocidad Ω no puede funcionar. (Justifíquese.)
En este caso la cantidad entre paréntesis en la curva característica sería negativa, ya que el
cociente 1
0
>
H
H
es mayor que la unidad y 01
0
<





−
H
H
es negativo.

11. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
11
Problema 11.2.- (C.U. 161) La bomba utilizada para llenar el depósito de la instalación de
la figura, inicialmente vacío y con una sección horizontal de área 2
1mA = , tiene la
siguiente curva característica para una cierta velocidad de giro n (Q en m³/s y H en m):














−=
2
0
0 1
Q
Q
HH mH 360 = smQ /3,0 3
0 =
La pérdida de altura en la instalación viene dada por:
2
500QH =ϕ
La tubería de aspiración toma el agua desde un depósito abierto a la atmósfera, en el que la
superficie libre del agua está al mismo nivel que el fondo del depósito que llena.
a) Calcular el tiempo necesario para que el líquido alcance en el depósito una altura de
20m.
b) Determinar la nueva curva característica de la bomba si se la hace girar a una
velocidad igual a 2n.
Solución:
a) Tiempo necesario para que el líquido alcance en el depósito una altura de 20m.
Teniendo en cuenta que, la altura geométrica es igual a la altura que proporciona la bomba,
menos la altura generada por las pérdidas de carga.
Sustituyendo los valores:
hHg = mh 20=
HHm =














−=
2
0
0 1
Q
Q
HH
La ecuación resultante será:
ϕH
Q
Q
HHg −














−=
2
0
0 1
ϕHHH mg −=

12. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
12
Sustituyendo los valores dados de mH 360 = y smQ /3,0 3
0 = . Tendremos:
2
2
500
3,0
136 Q
Q
mh −














−=
Despejando el caudal:
30
36 h
Q
−
=
Como por otra parte:
dt
dh
AQ =
Por lo tanto:
30
36 h
dt
dh
A
−
=
Reordenando:
dt
A
h
dh
3036
=
−
Integrando:
∫ ∫=
−
m t
dt
A
h
dh
20
0 0
3036
sh
m
t 12036
2
1
1
30
20
0
2
=














−=
st 120=
b) Nueva curva característica de la bomba si se la hace girar a una velocidad igual a 2n.
La curva característica para una velocidad de 2n, tendrá la forma:














−=
2
0
0
2
14
Q
Q
HH
Sustituyendo los valores:
mH 360 = smQ /3,0 3
0 =














−=
2
6,0
1144
Q
H

13. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
13
Problema 11.3.- (C.U. 161) La curva característica de una bomba, para cierta velocidad de
giro n, es la siguiente (Q en m³/s y H en m):














−=
2
0
0 1
Q
Q
HH mH 200 = smQ /20,0 3
0 =
Determinar la curva característica correspondiente al acoplamiento en serie de tres bombas
idénticas a la mencionada, girando una de ellas a una velocidad 2n y las otras dos a la
velocidad n.
Solución:
Al acoplarse en serie las tres bombas, la curva característica será la suma de las curvas
características de cada una de las tres bombas. Pero una de las bombas gira a una velocidad
2n, por lo que hay que hallar la curva característica de esta bomba.
Teniendo en cuenta las semejanzas:
3
3
1
1
Ω
=
Ω
QQ
3
3
1
1 QQ
Ω
Ω
= =>
22
3
31
Q
QQ =
Ω
Ω
=
De dónde:
2
3
2
2
1
1
Ω
=
Ω
HH
32
3
2
1
1 HH
Ω
Ω
= =>
44
3
31
H
HH =
Ω
Ω
=
Las curvas características de cada bomba serán:
Bomba 1 y 2














−==
2
0
021 1
Q
Q
HHH
Bomba 3














−=
2
0
3
0
3 2/
1
4 Q
Q
H
H
=>














−=
2
0
3
03
2
14
Q
Q
HH
Al estar conectadas las tres bombas en serie la curca característica resultante, es la suma de
las curvas características de cada una de las tres bombas:














−+














−+














−=++=
2
0
0
2
0
0
2
0
0321
2
1411
Q
Q
H
Q
Q
H
Q
Q
HHHHHT

14. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
14
Reagrupando:














−+














−=
2
0
0
2
0
0
2
1412
Q
Q
H
Q
Q
HHT (Q en m³/s y H en m)
Sustituyendo los valores dados para:
mH 200 = smQ /20,0 3
0 =
Tendremos:














−+














−=
22
2,0*2
120*4
2,0
120*2
QQ
HT
222
1500120
16,0
80
80
4,0
40
40 QQQHT −=





−+





−=
2
1500120 QHT −=
(Q en m³/s y H en m)

15. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
15
Problema 11.4.- (C.U. 161) En las instalaciones de las figuras (a), (b) y (c) se utiliza la
misma turbina. En los tres casos el caudal es Q = 20 m³/s y se supondrá el mismo
rendimiento total de la turbina 85,0=tη . En la brida de unión de la voluta a la tubería
forzada, de diámetro interior mD 8,11 = , existe una presión manométrica 2
1 /15 cmkgp = .
Calcular en los tres casos el salto neto y la potencia en el eje desarrollada por la turbina. En
los casos de las figuras (b) y (c), se supondrán despreciables las pérdidas de energía dentro
del difusor. En el caso (a) el rodete descarga a la atmósfera. En (b), el difusor es una
tubería recta de diámetro mD 8,12 = . En (c), el difusor es un conducto divergente de
diámetros de entrada y salida mD 8,12 = y mD 33 = , respectivamente. La altura de la
sección de salida del rodete sobre el canal de desagüe es mH 5= . Despréciense las
diferencias de cotas entre las secciones de entrada a la turbina y salida del rodete. Indicar
en qué caso existirá mayor peligro de cavitación.

16. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
16

17. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
17
Problema 11.5.- (C.U. 161) Una turbina hidráulica desarrolla una potencia de 25600 kW
bajo un salto neto de 9,6 m y girando a una velocidad de 62,5 rpm en el punto de
funcionamiento de máximo rendimiento. Determinar la velocidad especifica e indicar el
tipo de turbina de que se trata.
Solución:
La velocidad específica de una turbina viene dada por:
( ) 4/5
4/32/1
t
s
p
W
w
∆
Ω=
ρ&
Donde:
rpm5,62=Ω
WW 3
10*600.25=&
3
/1000 mkg=ρ
ρgHp nt =∆
Sustituyendo valores en la expresión de la velocidad específica:
( ) ( )
( )
57,3
/1000*/81,9*6.9
/1000/10*600.25
/
60
2
5,62 4/532
4/332/13
==
mkgsmm
mkgsNm
smws
π
57,3=sw
Para estimar el tipo de turbina necesitamos conocer Sn , que en turbinas viene dado por:
ss wn 193≈
Dando valores:
68957,3*193 ≈≈sn
Según la tabla A.2 se trataría de una Kaplan rápida.

18. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
18

19. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
19
Problema 11.6.- (C.U. 161) Un modelo a escala reducida de un prototipo de bomba
centrifuga se ha ensayado en el laboratorio a una velocidad de giro rpmn 29501 = ,
habiéndose obtenido los siguientes resultados en el punto de funcionamiento de máximo
rendimiento mH 751 = , smQ /05,0 3
1 = y 76=η . El prototipo deberá operar en un punto
de funcionamiento semejante al anterior del modelo, con un caudal smQ /45,0 3·
2 = y una
altura manométrica mH 1172 = . Determinar la velocidad 2n a la que deberá girar el
prototipo, la relación entre tamaños de prototipo y modelo 12 / DD , y la potencia
consumida por el prototipo.
Solución:
Despreciando los efectos de viscosidad, de los números adimensionales:
3
nD
Q
, 22
Dn
H
;
3
22
2
3
11
1
Dn
Q
Dn
Q
= =>
6
1
2
2
2
1
2
2
1












=





D
D
Q
Q
n
n
(1)
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
Dn
H
Dn
H
= =>
2
1
2
2
1
2
2
1












=





D
D
H
H
n
n
(2)
Eliminando 





2
1
n
n
en las expresiones (1) y (2) anteriores:
2
1
2
2
1
6
1
2
2
2
1












=











D
D
H
H
D
D
Q
Q
=> 





=











2
1
4
1
2
2
2
1
H
H
D
D
Q
Q
=> 











=





2
1
2
1
2
4
1
2
H
H
Q
Q
D
D
68,2
117
75
05,0
45,0
4/12/1
1
2
=











=





D
D
68,2
1
2
=





D
D

20. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
20
Sustituyendo este valor en la ecuación (1)
( ) 15,268,2
45,0
05,0 3
2
1
=





=





n
n
Por lo tanto:
15,2
2
1
=





n
n
=> rpm
rpmn
n 6,372.1
15,2
2950
15,2
1
2 ===
rpmn 6,372.12 =

21. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
21
Problema 11.7.- (C.U. 161) Una bomba impulsa un caudal de agua smQ /15 3
1 = bajo una
altura manométrica mH 201 = girando a una velocidad Ω en el punto de máximo
rendimiento. Determinar el caudal 2Q y la altura manométrica 2H proporcionados por un
modelo a escala 1:3 de la bomba anterior, que se hace funcionar con aire, a la misma
velocidad de giro Ω, en el punto de máximo rendimiento. Indicar de qué tipo de bomba se
trata.
Solución:
Despreciando los efectos de viscosidad, de los números adimensionales:
3
nD
Q
, 22
Dn
H
;
3
22
2
3
11
1
Dn
Q
Dn
Q
= => smsm
D
D
n
n
QQ /556,0
3
1
/15 3
3
3
3
1
3
2
1
2
12 =





Ω
Ω
==
smQ /556,0 3
2 =
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
Dn
H
Dn
H
= => ( ) mm
Dn
Dn
HH 22,2
3
1
20
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
12 =





Ω
Ω
==
mH 22,22 =

22. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
22

23. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
23
Problema 11.8.- (C.U. 161) Se quiere diseñar un prototipo de bomba centrífuga para un
caudal smQ /6 3
1 = y una altura mH 1201 = , con una velocidad de giro rpmn 4501 = . Se va
a construir un modelo a escala que funcione con un caudal smQ /15,0 3
2 = y un consumo de
potencia kWW 1502 =& . Se supondrá un rendimiento 88,0=η en el punto de funcionamiento
nominal. Calcular la velocidad de giro del modelo 2n , y la relación de tamaños de prototipo
y modelo 21 / DD . Supóngase que, una vez construido el modelo, se le hace funcionar bajo
una altura mH 100= ; determinar si es posible, bajo alguna condición de funcionamiento,
conseguir que el modelo suministre un caudal smQ /25,0 3
= manteniendo el rendimiento
nominal.
Solución:
a) Velocidad de giro del modelo 2n , y la relación de tamaños de prototipo y
modelo
Teniendo en cuenta que:
222
1
HgQW ρ
η
=&
Puede obtenerse:
m
smsmmkg
W
gQ
W
H 70,89
/15,0*/81,9*/1000
88,0*10*150
323
3
2
2
2 ===
ρ
η&
Despreciando los efectos de viscosidad, de los números adimensionales:
3
nD
Q
, 22
Dn
H
;
3
22
2
3
11
1
Dn
Q
Dn
Q
= =>
6
1
2
2
2
1
2
2
1












=





D
D
Q
Q
n
n
(1)
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
Dn
H
Dn
H
= =>
2
1
2
2
1
2
2
1












=





D
D
H
H
n
n
(2)
Eliminando 





2
1
n
n
en las expresiones (1) y (2) anteriores:
2
1
2
2
1
6
1
2
2
2
1












=











D
D
H
H
D
D
Q
Q
=> 





=











2
1
4
1
2
2
2
1
H
H
D
D
Q
Q
=> 











=





2
1
2
1
2
4
1
2
H
H
Q
Q
D
D
17,0
7,89
120
6
15,0
4/12/1
1
2
=











=





D
D
21 / DD

24. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
24
Sustituyendo este resultado en la ecuación (1)
( ) 19652,017,0
150,0
6 3
3
1
2
2
1
2
1
==











=





D
D
Q
Q
n
n
=> rpmn 8,22892 =
rpmn 22902 ≈ 17,0/ 21 =DD
b) Una vez construido el modelo mH 100= y smQ /25,0 3
=
Para que el punto de funcionamiento definido por:
mH 1002 =′
smQ /25,0 3
2 =′
2n′
Sea semejante al
mH 70,892 =
smQ /15,0 3
2 =
rpmn 22902 =
Debe cumplirse:
2
2
2
2
n
Q
n
Q
=
′
′
=> rpm
Q
Qn
n 6,3816
15,0
25,0*2290
2
22
2 ==
′
=′
2
2
2
2
2
2
n
H
n
H
=
′
′
; => 100249
2290
6,3816*70,89
2
2
2
2
2
2
2 ≠==
′
=′
n
nH
H
No se cumple

25. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
25
Problema 11.9.- (12.8.-C.U. 161) Una bomba centrifuga eleva agua desde un depósito a
otro cuya superficie libre se encuentra a 25 m de altura sobre la superficie libre del primero
(ambos depósitos están abiertos a la atmósfera), y suministra un caudal slQ /140= bajo
una altura manométrica mHm 6,30= , con una velocidad de giro de la bomba de
rpmn 3525= . La curva característica de la bomba puede aproximarse por la ecuación:














−=
2
200
160
Q
Hm ( mH en m y Q en sl / )
Determinar:
a) Curva característica de la instalación.
b) Punto de funcionamiento de la bomba si se la hace girar a una velocidad superior en
un 20%.
Solución:
a) Curva característica de la instalación.
La altura de la instalación viene dada como:
ϕHHH gi +=
Dónde:
mHg 25= (Dato del problema)






=
D
L
f
g
v
H S
2
2
ϕ 2
4
D
Q
A
Q
vS
π
== (D diámetro de la tubería)

26. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
26
2
42
2
*
8
QK
D
L
f
gD
Q
H =





=
πϕ (Siendo 





=
D
L
f
gD
K 42
8
π
)
Por lo que:
2
*25 QKmHHH gi +=+= ϕ
Igualando la curva característica de la instalación iH a la curca característica de la bomba
mH
2
2
25
200
160 KQm
Q
+=














−
Sustituyendo el caudal slQ /140= ; cómo nos dan la altura manométrica: mHm 6,30=
Comprobémoslo.
( )2
2
14025
200
140
160 Km +=














−
19600256,30 Kmm += =>
3500
1
=K
Por lo tanto:
2
3500
1
25 QmHi +=
3500
25
2
Q
Hi +=
b) Punto de funcionamiento de la bomba si se la hace girar a una velocidad superior en un
20% .
Teniendo en cuenta las semejanzas:
n
Q
n
Q
′
′
= Q
n
n
Q ′
′
= => QQ
n
n
Q ′=′=
2,1
1
2,1
1
De dónde:
( )22
n
H
n
H
′
′
=
( )
H
n
n
H ′
′
= 2
2
=>
( )
HH
n
n
H ′=′=
44,1
1
2,1
2
2

27. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
27
De dónde, la curva caracteristica:














−=
2
200
160
Q
Hm
Pasa a ser:
( ) 












 ′
−=
′
2
2002,1
160
44,1
QHm
O bien:













 ′
−=′
2
240
14,86
Q
Hm

28. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
28

29. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
29
Problema 11.10.- (1ª S. Febrero 2006) 3.- Una bomba centrifuga eleva agua entre dos
depósitos abiertos a la atmósfera. La altura entre las superficies libres de los dos depósitos
es de 30 m. Las tuberías de aspiración e impulsión tienen diámetros iguales
cmDD ia 15== y longitudes mLa 3= y mLi 50= , respectivamente; en ambas tuberías se
supondrá un factor de fricción 02,0=f . La suma de los coeficientes de pérdida de carga
local se supondrá igual a 3 (este valor no incluye la perdida de energía cinética del chorro
de salida en el depósito superior). La curva característica de la bomba, para la velocidad
nominal sradw /160= , puede aproximarse por la ecuación ( )[ ]2
08,0/150 QHm −= ( mH
en m y Q en sm /3
). Determinar:
a) Caudal y altura manométrica.
b) Potencia en el eje de la bomba.
Supóngase que se acopla en paralelo a la bomba anterior una bomba idéntica que gira a una
velocidad un 20% superior a la nominal.
c) Determinar el caudal y la altura manométrica que proporciona cada una de las
bombas; se supondrá que la curva característica de la instalación no varía. (Se
recomienda plantear claramente el sistema de ecuaciones necesario, sin sustituir
valores numéricos, antes de iniciar el proceso iterativo para su resolución.)
Solución:
Resumen de datos
Instalación Bomba Depósitos
Aspiración Impulsión
mDa 15,0= mDi 15,0= mHg 30=
mLa 3= mLi 50= sradw /160=
02,0=f 02,0=f ( )[ ]2
08,0/150 QHm −=
3=K

30. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
30
a) Caudal y altura manométrica.
- De la curva característica de cada bomba
( )[ ]2
08,0/150 QHm −= => 2
5,781250 QHm −=
- La altura de la instalación viene dada por la suma de la altura geométrica más la
altura de pérdidas:
mHg 30=
ϕHHH gi +=
g
v
KHHH impasp
2
2
+++= ϕϕϕ
g
v
g
v
D
L
f
gD
v
D
L
f
gD
v
H
i
i
i
ia
a
a
a 2
3
222
22
2
2
2
2
++





+





=ϕ
(Dónde el último término es la energía cinética)
Teniendo en cuenta que los diámetros en la tubería de aspiración e impulsión así como el
coeficiente de rugosidad son iguales, y expresando la velocidad en función del caudal
tendremos:






++
+
= 13
8
42
2
D
LL
f
gD
Q
H ia
πϕ
Sustituyendo valores:
( )
2
42
2
23,806.113
15,0
503
02,0
15,081,9
8
Q
Q
H =





++
+
=
π
ϕ
Por lo qué la altura de la instalación será:
2
23,806.130 QmHi +=

31. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
31
Igualando esta altura, a la altura manométrica de la bomba dada por la ecuación
característica:
22
5,812.75023,806.130 QQ −=+
smQ /0456,0
23,806.15,812.7
3050 3
=
+
−
= smQ /0456,0 3
=
( )2
0456,05,812.750 −=mH mHm 757,33=
b) Potencia en el eje de la bomba.
m
vm
t gQHW ρ
ηηη 0
1
=&
Cómo nos dicen que las pérdidas de caudal son 0,02Q, entonces el rendimiento
volumétrico será:
98,0
02,1
==
+
=
Q
Q
QQ
Q
f
vη
Sustituyendo valores:
WmsmsmmkgWt 87,274.20757,33*/456,0*/81,9*/1000
98.0*95,0*8,0
1 323
==&
kWWt 274,20=&
Supóngase que se acopla en paralelo a la bomba anterior una bomba idéntica que gira a una
velocidad un 20% superior a la nominal.
e) Determinar el caudal y la altura manométrica que proporciona cada una de las bombas;
se supondrá que la curva característica de la instalación no varía. (Se recomienda plantear
claramente el sistema de ecuaciones necesario, sin sustituir valores numéricos, antes de
iniciar el proceso iterativo para su resolución.)

32. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
32

33. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
33
Problema 11.11.- (Septiembre 2006) 3.- Una bomba con una velocidad de giro
rpmn 1470= y una curva característica que puede aproximarse por la ecuación
( )[ ]2
04,0/140 QHm −= ( mH en m y Q en m³/s). En condiciones nominales, la bomba
proporciona una caudal smQ /03,0 3
= se utiliza en una instalación hidráulica para elevar
entre dos depósitos de grandes dimensiones abiertos a la atmósfera. La diferencia de cotas
entre las superficies libres de ambos depósitos es de 15m. La tubería de aspiración tiene un
diámetro mDa 2,0= y una longitud mLa 5= , y está provista de una válvula de pie con
alcachofa con un coeficiente de pérdida de carga 4=aK . La tubería de impulsión tiene un
diámetro mDi 15,0= y una longitud mLi 30= , y tiene incorporada una válvula cuyo
coeficiente de pérdida de carga es 5=vK cuando está totalmente abierta. Se supondrán
unos factores de fricción en las tuberías de aspiración e impulsión 018,0=af y 02,0=if
respectivamente. Las presiones atmosférica y de saturación de vapor son, respectivamente
1013 y 12,27 mbar. Determinar:
a) Caudal y altura manométrica que proporciona la bomba en la instalación.
b) Altura máxima de aspiración admisible si el (NSPH)r de la bomba es de 2 m.
c) Las pérdidas por choque y por fricción en la bomba para las condiciones de
funcionamiento del apartado d).
d) Rendimiento manométrico de la bomba para condiciones de funcionamiento del
apartado d).
Solución:
Resumen de datos
Instalación Bomba Depósitos
Aspiración Impulsión smQ /03,0 3
= mHg 15=
mDa 2,0= mD 15,01 = rpmn 1470= mbarPa 1013=
mLa 5= mLi 30= QQfi 02,0= mbarPv 27,12=
( )[ ]2
04,0/140 QHm −=
018,0=af 02,0=if 96,0=oη
4=aK 5=vK 80,0=mη
852,0=µ

34. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
34
d) Caudal y altura manométrica que proporciona la bomba en la instalación.
Partiendo de la expresión que nos dan de la curva característica de la bomba y de la
ecuación de la altura de la instalación:
( )[ ] 22
250004004,0/140 QQHm −=−=
mHg 15=
ϕHHH gi +=
gvHHH impimpasp 2/2
++=ϕ
Dónde:








+= asp
asp
asp
asp
asp
asp K
D
L
f
g
v
H
2
2








+= v
imp
imp
imp
imp
imp K
D
L
f
g
v
H
2
2
g
vimp
2
2
(Energía cinética de descarga en el depósito superior)
Por lo tanto la altura de pérdidas será:






+++





+= 1
22
22
v
i
i
i
i
a
a
a
a
a
K
D
L
f
g
v
K
D
L
f
g
v
Hϕ
Expresándola en función del caudal:






+++





+= 1
88
42
2
42
2
v
i
i
i
i
a
a
a
a
a
K
D
L
f
gD
Q
K
D
L
f
gD
Q
H
ππϕ
Dando valores:
( ) ( )
22
42
2
42
2
14,163281,22915
15,0
30
02,0
15,0
8
4
2,0
5
018,0
2,0
8
QQ
g
Q
g
Q
H +=





+++





+=
ππ
ϕ

35. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
35
Por lo qué la altura de la instalación será:
2
95,186115 QmHi +=
Cómo la altura manométrica y la altura de la instalación han de ser iguales:
22
95,1861152500040 QmQm +=−
Resolviendo:
2
95,2686125 Qm =
smQ /0305,0
95,26861
25 3
==
smQ /0305,0 3
=
La altura manométrica será:
( ) mmHm 733,160305,02500040
2
=−=
mHm 733,16=
Nota: la altura de pérdidas sería:
mmmHHH gi 733,115733,16 =−=−=ϕ
Ó bien:
( ) mQH 733,10305,095,186195,1861
22
===ϕ
mH 733,1=ϕ

36. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
36
e) Altura máxima de aspiración admisible si el (NSPH)r de la bomba es de 2 m.
PabarmbarPa 101300013,11013 ===
PabarmbarPV 122701227,027,12 ===
m
mN
Pa
g
Pa
326,10
/9810
101300
3
==
ρ
( )
( )
m
ggD
Q
g
v
a
e
048,0
2,0
0305,088
2 422
22
===
ππ
( )
( )
m
g
HLa 214,04
2,0
5
018,0
2,0
0305,08
42
2
=





+=
π
( ) mNPSH r 2=
m
mN
Pa
g
P
P V
SV 125,0
/9810
1227
3
===
ρ
( ) mmmmmPNPSHH
g
P
h SVrLa
a
aMax 987,7125,02214,0326,10 =−−−=−−−=
ρ
mha 987,7max =

37. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
37
f) Las pérdidas por choque y por fricción en la bomba para las condiciones de
funcionamiento del apartado d).
mufc HH −=+ϕϕ
g
UV
H u
u
22
=∞
º77,150cot752,2*473,182222 gctgVUV mu =+= β
m
g
UV
H u
u 526,25
81,9
473,18*555,1322
===∞
mHH mufc 793,8733,16526,25 =−=−=+ϕϕ
mfc 793,8=+ϕϕ
g) Rendimiento manométrico de la bomba para condiciones de funcionamiento del
apartado d).
Cómo:
µ
uz
u
H
H =∞ => mmHH uuz 748,21852,0*526,25 === ∞µ
Por lo qué:
769,0
748,21
733,16
===
m
m
H
H
u
m
mη
769,0=mη

38. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
38

39. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
39
Problema 11.12.- (2ª S Junio 2007) 4.- Dos bombas acopladas en paralelo, en condiciones
normales, consumen entre las dos una potencia kWWt 20= girando a una velocidad de
rpmn 1750= . La altura geométrica de la instalación a la que están acopladas es de 40m.
La curva característica de las bombas puede aproximarse por ( )[ ]2
04,0/160 Q− . El rodete
de las bombas tiene un diámetro exterior mmD 3002 = y una anchura de la sección de
salida mmb 102 = . Se supondrá 98,0=vη 92,00 =η 85,0=mη y 87,0=µ . Determinar el
caudal y la altura que proporciona el acoplamiento en condiciones normales y el ángulo de
salida de los álabes del rodete, .2β

40. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
40

41. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
41

42. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
42

43. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
43

44. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
44

45. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
45
Problema 11.13.- (2ª S Junio 2008) 4.- El sistema de bombeo de una instalación está
formado por dos bombas idénticas acopladas en paralelo. En condiciones normales de
funcionamiento, las dos bombas giran a una velocidad de 2.000 rpm. La curva
característica de cada bomba para una velocidad de giro de 1000 rpm puede aproximarse
por la ecuación ( )[ ]2
05,0/110 QHm −= (Q en sm /3
y mH en m). La curva característica
de la instalación, en condiciones normales, es 2
20020 QH += (Q en sm /3
y H en m).
Determinar:
a) El caudal y la altura total de cada bomba en dichas condiciones.
b) Representar las curvas caracteristicas de la instalación.
Solución:
a) El caudal y la altura total de cada bomba en dichas condiciones.
Curva característica de la instalación:
2
20020 QHi +=
Curva característica de una bomba:
( )[ ]2
05,0/110 QHm −=
Para el sistema formado por las dos bombas tendremos:
2
2
1
1
n
Q
n
Q
= => 2
2
1
1 Q
n
n
Q =
2
2
2
2
1
1
n
H
n
H
= => 22
2
2
1
1 H
n
n
H =

46. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
46
Puesto qué, 12 2nn = y 12 HH = ; tendremos:
22
1
1
2
2
1
1
2
1
2
QQ
n
n
Q
n
n
Q ===
222
1
2
1
22
2
2
1
1
4
1
4
HH
n
n
H
n
n
H ===
La curva característica de una bomba girando a 2n (r.p.m.)














−=
2
05,0
2/
110
4
QHm
( )[ ] 22
4000401,0/140 QQHm −=−=
La curva característica de las dos bombas girando a 2n r.p.m. Al estar situadas en paralelo
el caudal de cada bomba es la mitad del caudal total:
( ) 22
1000402/400040 QQHm −=−=
Como se ha de verificar que la curva característica de la instalación sea igual a la curva
característica de las dos bombas:
mi HH =
22
10004020020 QQ −=+
201200 2
=Q
smQ /129,0 3
=
( ) mQHm 33,23129,0100040100040
22
=−=−=
mHm 33,23=

47. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
47
b) Representación grafica de las curvas características:
2
100040 QH m −=
Q 0 40 80 100 120 160 200
H 40 38,4 33,6 30 25,6 14,4 0
2
20040 QHi +=
Q 0 40 80 100 120 160 200
H 20 20,32 21,28 22 22,88 25,12 28

48. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
48

49. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
49
Problema 11.14.- (2ª S Junio 2008) 3.- Las tuberías de aspiración e impulsión de una
bomba centrifuga están conectadas al fondo de sendos depósitos abiertos a la atmosfera, y
tienen diámetros cmDa 20= y cmDi 15= y longitudes mLa 5= y mLi 30= ,
respectivamente. En ambas tuberías se supondrá un factor de fricción 023,0=f . La suma
de los coeficientes de pérdida de carga local en la instalación (referidos a la tubería de
impulsión) se supondrá igual a 3 (incluyendo este valor la pérdida de la energía cinética del
chorro de salida en el depósito superior). Determinar:
a) Diferencia de altura entre las superficies libres del agua en los dos depósitos.
¿Es posible determinar, a partir de los datos disponibles, la altura manométrica y la altura
útil que proporcionaría la bomba (funcionando con la misma velocidad de giro calculada
en el apartado a)) si se cerrase totalmente una válvula situada en la tubería de impulsión o
en la de aspiración? En su caso, determínense dichas alturas.
Solución:
Resumen de datos
Instalación Bomba Depósitos
Aspiración Impulsión
cmDa 20= cmDi 15= slQ /42=
mLa 5= mLi 30= ( )[ ]2
06,0/166 QHm −=
023,0=f 023,0=f
4=aK 5=vK

50. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
50
a) Diferencia de altura entre las superficies libres del agua en los dos depósitos.
Se ha de verificar que la altura manométrica y de la instalación, sean iguales; es decir:
ϕHHHH gim +== => ϕHHH mg −=
Puesto que la altura manométrica de la bomba viene dada por la curva característica:
( )[ ]2
06,0/166 QHm −=
Sustituyendo datos:
( )[ ] mHm 66,3306,0/10*42166
23
=−= −
En el diagrama anterior podemos ver que las pérdidas en la instalación vienen dadas por:






++





=
i
i
i
a
a
a
D
L
f
g
v
K
g
v
D
L
f
g
v
H
222
222
ϕ
Teniendo en cuenta que el caudal que circula por ambas tuberías es el mismo, expresando
la altura de pérdidas en función del caudal






++





=
i
i
i
iia
a
a
a D
L
f
gD
Q
K
gD
Q
D
L
f
gD
Q
H 42
2
42
2
42
2
888
πππϕ
Sustituyendo valores:
Por lo que la altura geométrica o diferencia de altura entre las superficies libres, será:
ϕHHH mg −=
mmmHg 42,3124,266,33 =−=
mHg 42,31=
( )
( )
( )
( )
mH 240,21881,205238,03
15,0
30
023,0
15,081,9
042,08
2,0
5
023,0
2,081,9
042,08
42
2
42
2
=+=





++





=
ππ
ϕ

51. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
51
¿Es posible determinar, a partir de los datos disponibles, la altura manométrica y la altura
útil que proporcionaría la bomba (funcionando con la misma velocidad de giro calculada
en el apartado a)) si se cerrase totalmente una válvula situada en la tubería de impulsión o
en la de aspiración? En su caso, determínense dichas alturas.

52. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
52

53. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
53
Problema 11.15.- (Septiembre 2008) 4. En la instalación de la figura la bomba B está
situada a una altura mH 61 = por encima de la superficie del agua en el depósito inferior,
del que toma agua a través de la tubería de aspiración, de longitud mLa 10= y diámetro
cmDa 20= . La curva característica de la bomba para una velocidad de giro del rodete n es
( )[ ]2
2,0/111 QHm −= . El agua es elevada hasta el depósito superior, cuya superficie libre
está situada a una altura mH 202 = respecto de la del depósito inferior. La tubería de
impulsión tiene una longitud mLi 30= y un diámetro cmDi 15= . El factor de fricción,
02,0=f es el mismo en ambas tuberías y los coeficientes de pérdida de carga en los
codos y en el filtro se indican en la figura. Considerando que la velocidad de giro del
rodete es 2n, determinar:
a) El caudal máximo que puede aspirar la
bomba si el (NPSH)r de la bomba es
igual a 2m (tómese como presión
ambiente y presión de vapor
2
/1 cmkgPa = y 2
/025,0 cmkgpv =
respectivamente).
b) La altura manométrica que proporciona
la bomba y el coeficiente de pérdida de
carga de la válvula, Kv, para el caudal
del apartado anterior.
c) Explicar qué ocurriría si el valor del
coeficiente Kv fuese el doble del
calculado en el apartado anterior. ¿Y si
fuese la mitad?
Solución:
Resumen de datos
Instalación Bomba Depósitos
Aspiración Impulsión
cmDa 20= cmDi 15= mH 61 =
mLa 10= mLi 30= ( )[ ]2
2,0/111 QHm −= mH 202 =
02,0=f 02,0=f
1=pieK 5,0=codoK

54. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
54
La curva característica de la bomba, girando a n revoluciones:
( )[ ]2
2,0/111 QHm −=
Por las propiedades de semejanza:
2
1
1
2
1
1
n
H
n
H
′
′
= =>
( ) 112
1
2
1
12
1
2
1
1
4
1
2
HH
n
n
H
n
n
H ′=′=′
′
=
1
1
1
1
n
Q
n
Q
′
′
= =>
( ) 11
1
1
1
1
1
1
2
1
2
QQ
n
n
Q
n
n
Q ′=′=′
′
=
La curva característica de la bomba girando a 2n revoluciones será:
( )( )[ ] ( )[ ]22
4,0/1442,0/2/111
4
QQ
Hm
′−=′−=
′
( )[ ]2
4,0/144 QHm
′−=′
La curva característica de la instalación sería:
ϕHHH gi +=






+++=+





+= codopie
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a KK
D
L
f
g
v
HK
g
v
D
L
f
g
v
HH
222
2
1
22
1ϕ
ia HHH ϕϕϕ +=






++=+





= vcodo
i
i
i
i
a
i
i
i
i
i
i KK
D
L
f
g
v
K
g
v
D
L
f
g
v
H 2
222
222
ϕ






+++





+++= vcodo
i
i
i
i
codopie
a
a
a
a
KK
D
L
f
g
v
KK
D
L
f
g
v
HH 2
22
22
1ϕ
Expresándola en función del caudal






+++





+++= vcodo
i
i
i
i
codopie
a
a
a
a
KK
D
L
f
gD
Q
KK
D
L
f
gD
Q
HH 2
88
42
2
42
2
1
ππϕ

55. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
55
Sustituyendo datos:
( ) ( )






+++





+++= vK
g
Q
g
Q
mH 5,0*2
15,0
30
02,0
15,0
8
5,01
2,0
10
02,0
2,0
8
6 42
2
42
2
ππ
ϕ
222
17,9456068,816104,1296 QQQmH +=++=ϕ
Igualando ambas curvas características:
2
27544 QHm −=
22
17,945627544 QQ +=− => smQ /176,0
17,220.1
644 3
=
−
=
2
17,9456 QH +=ϕ

56. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
56

57. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
57
Problema 11.16.- (1ª S Junio 2011) 4.- Un depósito de sección transversal constante de
área y altura contiene inicialmente agua hasta una altura
mhh i 5== En el fondo del depósito se ha conectado una tubería horizontal de vaciado, de
longitud y diámetro en cuyo extremo existe una válvula que tiene
una constante de pérdida de carga cuando está totalmente abierta. El depósito se
llena mediante dos bombas iguales conectadas en serie, que toman el agua desde un
depósito en el que el nivel de la superficie libre que se supondrá que se mantiene constante,
se encuentra a una altura mHg 10= por debajo de la superficie libre que inicialmente tiene
el agua en el depósito superior. Las tuberías de capitación y de impulsión tienen el mismo
diámetro y una longitud total entre ambas En la tubería de
impulsión existe una válvula que tiene un coeficiente de pérdida de carga cuando
está totalmente abierta. Se despreciarán las pérdidas de carga locales que no puedan ser
determinadas con los datos que se proporcionan. El factor de fricción en todas las tuberías
es La curva característica de las bombas, correspondiente a la velocidad de giro
nominal, se aproximará mediante la siguiente expresión lineal:
; ;
Una de las bombas gira a velocidad nominal y la otra a una velocidad un 40% superior a la
nominal. En paralelo con la bomba que gira a velocidad nominal existe una válvula
unidireccional que impide que la bomba proporcione una altura negativa en cualquier
condición de funcionamiento. Se pide:
a) Determinar la curva característica del acoplamiento formado por las dos bombas en
serie. Describir el funcionamiento del conjunto formado por la disposición en
paralelo de la bomba girando a la velocidad nominal y la válvula unidireccional.
b) Si a partir de la situación inicial descrita, en la que mhh i 5== entran en
funcionamiento las bombas y se abren totalmente las válvulas, determinara cómo
evolucionará el sistema. En concreto se debe determinar la situación final de
equilibrio (depósito vacío depósito lleno con el agua rebosando, o una situación de
equilibrio diferente). ¿Llegará en algún momento a circular agua por la válvula
unidireccional? Indicar cómo se calcularía el tiempo que se tardará en alcanzar
dicha situación de equilibrio.
2
1250mA = mHD 15=
kmL 11 = cmD 201 =
5=K
cmD 152 = mL 202 =
32 =K
022,0=f






−=
0
0 1
Q
Q
HH BB mHB 100 = smQ /10,0 3
0 =

58. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
58
a) Determinar la curva característica del acoplamiento formado por las dos bombas en
serie. Describir el funcionamiento del conjunto formado por la disposición en paralelo de
la bomba girando a la velocidad nominal y la válvula unidireccional.
a.1) Determinar la curva característica del acoplamiento formado por las dos bombas en
serie.
La curva característica de una bomba, según el enunciado viene dada por:






−=
0
0 1
Q
Q
HH BB
Cómo una bomba gira a un 40% superior a la velocidad nominal, teniendo en cuenta las
semejanzas:
2
2
1
1
n
Q
n
Q
= =>
4,14,1
2
1
21
2
21
1
Q
n
Qn
n
Qn
Q ===
4,1
2
1
Q
Q =
2
2
2
2
1
1
n
H
n
H
= =>
( ) 96,14,1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
1
H
n
Hn
n
Hn
H ===
96,1
2
1
H
H =
Las curvas características de las bomas serán por lo tanto:
Q
Q
HB 10010
1,0
1101 −=





−=
QHB 100101 −=
Sustituyendo la altura y caudal de la bomba 1 por los valores obtenidos al girar a un 40%
superior:






−=
1,0
4,1/
110
96,1
2 QHB
De donde resulta:
Q
Q
HB 1406,19
1,0*4,1
16,192 −=





−=
QHB 1406,192 −=

59. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
59
Al estar acopladas en serie, el caudal de ambas es el mismo e igual a Q. Por lo que la curva
característica del acoplamiento será:
Si 1,0≤Q (actúan ambas bombas)
QQQHHH BBm 2406,291406,191001021 −=−+−=+=
QHm 2406,29 −=
Si 1,0>Q (Solo actúa la bomba 2)
QHH Bm 1406,192 −==
QHm 1406,19 −=
a.2) Describir el funcionamiento del conjunto formado por la disposición en paralelo de la
bomba girando a la velocidad nominal y la válvula unidireccional.
Representando las curvas características de ada bomba, del acoplamiento de las dos
bombas y de la instalación:

60. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
60
Al representar las curvas caracateristicas de las bombas y del acoplamiento, se observa que
para caudales inferiores a 0,1 m³/s funcionan ambas bombas, sin embargo para caudales
superiores a 0,1 m³/s, solo funciona una la segunda, la explicación la encontramos en las
curvas características:
Q
Q
HB 10010
1,0
1101 −=





−=
En esta bomba para caudales superiores a 0,1 m³/s la cantidad dentro del paréntesis es
negativa.
Q
Q
HB 1406,19
1,0*4,1
16,192 −=





−=
En esta bomba para caudales superiores a 0,10 m³/s sigue siendo positiva la cantidad
dentro del paréntesis, se haría negativa a partir de caudales superiores a 0,14 m³/s.
Conclusion: Para smQ /1,00 3
≤< actúan las dos bombas.
Para smQsm /14,0/1,0 33
≤< actua solo la segunda bomba
b) Si a partir de la situación inicial descrita, en la que entran en
funcionamiento las bombas y se abren totalmente las válvulas, determinar cómo
evolucionará el sistema. En concreto se debe determinar la situación final de equilibrio
(depósito vacío depósito lleno con el agua rebosando, o una situación de equilibrio
diferente). ¿Llegará en algún momento a circular agua por la válvula unidireccional?
Indicar cómo se calcularía el tiempo que se tardará en alcanzar dicha situación de
equilibrio.
b.1) Situación inicial, 0=t (En la impulsión)
mhh i 5==

61. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
61
mHg 10=
ϕHHH ginst +=.






++=+





+= 1
8
22
2
2
2
24
2
2
222
K
D
L
f
gD
Q
g
v
K
D
L
f
g
v
H impimp
i
i
i
imp
πϕ
( )
2
42
2
2
2
2
24
2
2
2
614,113113
15,0
20
022,0
15,0*81,9*
8
1
8
imp
impimp
Q
Q
K
D
L
f
gD
Q
H =





++=





++=
ππϕ
2
614,113110 impinst QH +=
Supongamos que: smQ /1,0 2
≤
Entonces igualando a la curva característica: QHm 2406,29 −=
impimp QQ 2406,29614,113110 2
−=+
Obtenemos la ecuación de segundo grado en Q
06,19240614,1131 2
=−+ impimp QQ
( ) ( )275,00629,0
614,1131*2
6,19*614,1131*4240240 2
−=
+±−
= óQimp
Dónde el único valor compatible es:
smQimp /0629,0 3
=
b.2) Situación inicial, 0=t (En la descarga)

62. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
62
Aplicando la ecuación de la energía mecánica entre los puntos 1 y 2, tendremos:
ϕ
ρ
Hzz
g
vv
g
PP
=





−+
−
+
−
21
2
2
2
121
2
aPPP == 21
02
1 =v
mzz 521 =−
g
v
g
v
K
D
L
f
g
v
H
2
115
5
2,0
1000
022,0
22
2
2
2
2
1
1
1
2
2
=





+=





+=ϕ
Sustituyendo valores en la ecuación en la ecuación de la energía mecánica:
g
v
g
v
2
115
5
2
0
2
2
2
2
=





+−
sm
g
v /8457,0
116
*2*5
2 ==
( ) sm
m
sm
D
vQdesc /0266,0
4
2,0*
*/8457,0
4
* 3
2
1
2 ===
ππ
Cómo se verifica:
descimp QQ >
Es decir, que el caudal de descarga es inferior al caudal de impulso, el depósito superior
empezara a llenarse

63. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
63
Si el depósito estuviera lleno, mzz 1521 =− la velocidad de salida sería:
smv /593,1
116
15*81,9*2
2 ==
( ) sm
m
smQdesc /0501,0
4
2,0*
*/593,1 3
2
==
π
Para poder asegurar si desborda o no, habría que calcular el caudal de impulso en esta
situación:
mHg 20=
ϕHHH ginst +=.
( )
2
42
2
614,113113
15,0
20
022,0
15,0*81,9*
8
imp
imp
Q
Q
H =





++=
π
ϕ
Ecuación de llenado
2
614,113120 impinst QH +=

64. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
64
Ecuación de impulsión o carga:
impimp QQ 2406,29614,113120 2
−=+
Obtenemos la ecuación de segundo grado en Q
06,9240614,1131 2
=−+ impimp QQ
( ) ( )247,00344,0
614,1131*2
6,9*614,1131*4240240 2
−=
+±−
= óQimp
Dónde el único valor compatible es smQimp /0344,0 3
=
Cómo se verifica:
descimp QQ <
Es decir, que el caudal de descarga es superior al caudal de impulso, el depósito superior
no llega a llenarse

65. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
65
Por lo tanto, habría que ver a que altura z el caudal de impulso y el caudal de descarga se
igualan. Para ello en lugar de designar una altura determinada bastara con expresar dicha
altura como incognita de z.
Ecuación de descarga:
( ) smz
z
v /411,0
116
*81,9*2 2/1
2 ==
( ) ( ) ( ) smz
m
smzQdesc /0129,0
4
2,0*
*/411,0 32/1
2
2/1
==
π
Ecuación de impulso o carga:
zmHg += 5
ϕHHH ginst +=.
( )
2
42
2
614,113113
15,0
20
022,0
15,0*81,9*
8
imp
imp
Q
Q
H =





++=
π
ϕ
2
614,11315 impinst QzH ++=

66. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
66
Ecuación de impulsión o carga:
impimp QQz 2406,29614,11315 2
−=++
Obtenemos la ecuación de segundo grado en Q
06,24240614,1131 2
=+−+ zQQ impimp
Despejando z en las ecuaciones de carga y descarga, tendremos:
2
25,6009 descQz =
6,24240614,1131 2
+−−= impimp QQz
Igualando ambas ecuaciones y teniendo en cuenta que en el equilibrio el caudal de
descarga ha de ser igual al de carga:
22
25,60096,24240614,1131 QQQ =+−−
Ó bien:
06,24240868,7140 2
=−+ QQ
( ) ( )0779,00442,0
868,140.7*2
6,24*868,140.7*4240240 2
−=
+±−
= óQ
Dónde el único valor aceptable es smQ /0442,0 3
=
Y la altura z correspondiente será:
( ) mz 765,110442,025,6009
2
==
mz 765,11=

67. Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
67
( )
2
42
2
42
2
447,990.515
2,0
1000
022,0
2,0*81,9*
8
1
8
desc
desc
v
desc
desc
desc
desc
desc
Q
Q
K
D
L
f
gD
Q
H =





++=





++=
ππϕ