Este documento apresenta 12 questões sobre funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas. As questões abordam conceitos como composição de funções, inversa de funções e classificação de funções. Resoluções detalhadas são fornecidas para cada questão.

1. MATEMÁTICA – FUNÇÃO_SOBREJETORA_INJETORA_BIJETORA 01 – 2014 Página 1
MATEMÁTICA – FUNÇÃO_SOBREJETORA_INJETORA_BIJETORA 01 – 2014
GRUPO 01 GRUPO 02
1. Sendo f(x) = 2x – 3 e g(x) = 4 – x², determine: a) f(g(x))
b) g(f(x)).
2. Sabendo que f(4x – 1) = 8x + 5, determine: a) f(x)
b) f(2)
3. Sabendo que f(3x – 2) = x² + 1, determine f(4).
4. Considere a função IRIR:f  definida por:






0xse²,x2
0xse,x2
)x(f . Calcule f(f(-1))-f(f(3)).
5. Uma função real f é tal que
4
)x(f
4
x
f 




 . Se f(32) = 400,
determine f(2).
6. Seja a função f (x) =3x + a . Sabendo que (fof)(a) = 2a +10 ,
determine o valor de a.
7. Classifique cada uma das funções como sobrejetora,
injetora ou bijetora:
8. Determine a função inversa da função bijetora
}2{IR}4{IR:f  definida por
4x
3x2
)x(f


 .
9. Seja }1{IR}3{IR:f  , definida por
3x
3x
)x(f


 .
a) Obtenha a sua inversa f-1
b) Determine f-1(f(x))
10. Seja a função f de A = {0, 1, 2, 3, 4} em B = {1, 2, 3, 4, 5},
definida por y = x + 1.
a) f é invertível? Justifique.
b) Determine D(f-1) e Im(f-1)
11. Dada 0x,
x3
1x2
)x(f 

 , determine:
a) f-1 (1) b) f-1(x + 1)
12. Considere a função invertível f cujo gráfico é mostrado.
Determine a lei que define f-1(x).

2. MATEMÁTICA – FUNÇÃO_SOBREJETORA_INJETORA_BIJETORA 01 – 2014 Página 2
GABARITO - MATEMÁTICA –FUNÇÃO_SOBREJETORA_INJETORA_BIJETORA 01 –2014
GRUPO 02
1. Sendo f(x) = 2x – 3 e g(x) = 4 – x², determine: a) f(g(x)) b) g(f(x)).
Solução. Efetuando as composições, temos:
a) f(g(x)) = f(4 – x²) = 2(4 – x²) – 3 = 8 – 2x² – 3 = - 2x² + 5
b) g(f(x)) = g(2x – 3) = 4 – (2x – 3)² = 4 – (4x² - 12x + 9) = 4 – 4x² + 12x – 9 = - 4x² + 12x – 5.
2. Sabendo que f(4x – 1) = 8x + 5, determine: a) f(x) b) f(2)
Solução. Substituindo 4x – 1 = t e trabalhando com a mudança de variáveis, temos:

3. MATEMÁTICA – FUNÇÃO_SOBREJETORA_INJETORA_BIJETORA 01 – 2014 Página 3
a)
7x2)x(f,Logo
7t2)t(f5)1t(25
4
1t
.8)t(f
5x8)1x4(f
4
1t
xt1x4






 








.
b) f(2) = 2(2) + 7 = 4 + 7 = 11.
3. Sabendo que f(3x – 2) = x² + 1, determine f(4).
Solução. A mudança de variáveis pode ser feita diretamente no valor pedido.
  51²2)4(f
1²x)2x3(f
2
3
6
3
42
x42x3









.
4. Considere a função IRIR:f  definida por:






0xse²,x2
0xse,x2
)x(f . Calcule f(f(-1))-f(f(3)).
Solução. Observando os intervalos de definição, temos:
6)5(1))3(f(f))1(f(f,Logo
5)7(f))3(f(f
5)7(2)7(fx2)x(f07
792)²3(2)3(f²x2)x(f03
)ii
1)1(f))1(f(f
112)²1(2)1(f²x2)x(f01
1)1(2)1(fx2)x(f01
)i













.
5. Uma função real f é tal que
4
)x(f
4
x
f 




 . Se f(32) = 400, determine f(2).
Solução. Escrevendo valores em funções de anteriores iniciando pelof(32) de forma conveniente, temos:
25
4
100
)2(f
4
)8(f
4
8
f
4
)x(f
4
x
f
8x
100
4
400
)8(f
4
)32(f
4
32
f
4
)x(f
4
x
f
32x






































. Logo, f(2) = 25.

4. MATEMÁTICA – FUNÇÃO_SOBREJETORA_INJETORA_BIJETORA 01 – 2014 Página 4
6. Seja a função f (x) =3x + a . Sabendo que (fof)(a) = 2a +10 , determine o valor de a.
Solução. Aplicando a composta duas vezes e comparando com a expressão informada, temos:
11
10
a10a2a13
10a2))a(f(f
a13a4)a(9))a(f(fa4x9a)ax3(3)ax3(f))x(f(f






.
7. Classifique cada uma das funções como sobrejetora, injetora ou bijetora:
Solução. Observando as imagens e os contradomínios, temos:
8.
Determine a função inversa da função bijetora }2{IR}4{IR:f  definida por
4x
3x2
)x(f


 .
Solução. Efetuando o procedimento para a obtenção da inversa, temos:
2x
3x4
)x(fy3x4)2x(y3x4y2xy3y2x4xy
4y
3y2
x:Troca
4x
3x2
y
1










.
9. Seja }1{IR}3{IR:f  , definida por
3x
3x
)x(f


 .

5. MATEMÁTICA – FUNÇÃO_SOBREJETORA_INJETORA_BIJETORA 01 – 2014 Página 5
a) Obtenha a sua inversa f-1 b) Determine f-1(f(x))
Solução. Efetuando o procedimento para a obtenção da inversa, temos:
a)
1x
3x3
)x(fy3x3)1x(y3x3yxy3yx3xy
3y
3y
x:Troca
3x
3x
y
1










.
b)
 
 
x
6
x6
6
3x
.
3x
x6
3x
3x3x
3x
9x39x3
3x
)3x(3x
3x
)3x(33x3
1
3x
3x
3
3x
3x
3
3x
3x
f))x(f(f 11






































  .
10. Seja a função f de A = {0, 1, 2, 3, 4} em B = {1, 2, 3, 4, 5}, definida por y = x + 1.
a) f é invertível? Justifique. b) Determine D(f-1) e Im(f-1)
a) Solução. Para que seja invertível, ela precisa ser bijetora. Obervando o
diagrama vemos que é bijetiva. Logo, possui inversa.
b)
 
    AfDfIm
B)fIm(fD
1
1




.
11. Dada 0x,
x3
1x2
)x(f 

 , determine: a) f-1 (1) b) f-1(x + 1)
Solução. Efetuando o procedimento para a obtenção da inversa, temos:

6. MATEMÁTICA – FUNÇÃO_SOBREJETORA_INJETORA_BIJETORA 01 – 2014 Página 6
a)
1
1
1
2)1(3
1
)1(f
2x3
1
)x(fy1)2x3(y1y2xy31y2xy3
y3
1y2
x:Troca
x3
1x2
y
1
1














 .
b)
1x3
1
23x3
1
2)1x(3
1
)1x(f
2x3
1
)x(f 11











 
.
12. Considere a função invertível f cujo gráfico é mostrado.
Determine a lei que define f-1(x).
Solução. O gráfico é uma reta. Logo, função afim. Encontrando a lei de f(x),
temos:
i)
2
3
x2
)x(f
3
2
a2a342a3
b)3(a4
2b
b)3(a4
b)0(a2
bax)x(f














.
ii) Efetuando o procedimento para a obtenção da inversa,
temos:
3
2
x3
)x(fy6x3y26y2x32
3
y2
x:Troca
2
3
x2
y
1



.
FONTE