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  1. 1. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA CAPÍTULO IV Sistemas Triangulados ou Treliças 1 C 2 3 1 Esquema (1) Esquema (2) SEMESTRE VERÃO 2004/2005Manuela GonçalvesMaria Idália Gomes 1/14
  2. 2. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA Capitulo IV – Sistemas Triangulados ou Treliças4.1 DefiniçãoSistemas Triangulados ou Treliças são sistemas constituídos por elementos indeformáveisunidos entre si por articulações, consideradas perfeitas, e sujeitos apenas a cargas aplicadas nasarticulações (nós). Assim os elementos (barras) ficam exclusivamente sujeitos a esforçosnormais, de tracção ou compressão.Quando os elementos da estrutura estão essencialmente num único plano a treliça é designadaplana. MontantesCordão Superior Diagonais Cordão Inferior Figura 1 – Cobertura de um pavilhão industrialCordão Inferior ⇒ conjunto de elementos que forma a parte inferior;Cordão Superior ⇒ conjunto de elementos que forma a parte superior;Montantes ⇒ barra verticais;Diagonais ⇒ barras inclinadas.Manuela GonçalvesMaria Idália Gomes 2/14
  3. 3. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADAA definição apoia-se em simplificações, barras rígidas, nós serem rótulas e ausência de acçõesao longo das barras, que conduzem a uma teoria aproximada no estudo destes sistema, desdeque a estrutura esteja bem concebida, isto é, as barras sejam concorrentes num único ponto decada nó. Figura 2 – Exemplo de uma treliça4.2 Estaticidade da estrutura 4.2.1 Estaticidade InteriorO sistema rígido mais simples é constituído por três barras articuladas entre si. Se cada nó foragregado ao sistema por intermédio de apenas duas barras obtém-se um sistema rígido, por issoinvariante (não varia a sua configuração geométrica) e estaticamente determinado. Uma treliçaformada deste modo é designada por treliça simples e é isostática. Sendo b o número de barrase n o número de nós então o número total de barras é dado por b = 2n – 3 . Esta relação é umacondição necessária para a estabilidade da treliça, porém não é condição suficiente, porque umaou mais das barras podem estar dispostas de tal modo que não contribuem para umaconfiguração estável da treliça simples.Se b > 2n – 3 existem mais barras que as necessárias para evitar o colapso o que sugere que atreliça seja interiormente hiperestática e por isso estaticamente indeterminada. É no entantonecessário analisar se a disposição das barras lhe permite manter uma configuração estável.Manuela GonçalvesMaria Idália Gomes 3/14
  4. 4. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADAAssim sendo, as barras que não são necessárias para manter a posição de equilíbrio da treliçadesignam-se por redundantes e o seu número traduz o grau de hiperestaticidade interior,hi=b– (2n-3).Se b < 2n – 3 há uma deficiência de barras, por isso a treliça é designada de interiormentehipoestática. O equilíbrio apenas é possível mediante certas condições que não sendoverificadas levará o sistema ao colapso.Na figura 3 a aplicação da expressão b = 2n-3 levaria à conclusão que o sistema é isostático, oque é falso, porque é a combinação de um sistema hiperestático (a) com um hipoestático (b). a b c Figura 3 4.2.2 Estaticidade ExteriorA estaticidade exterior é calculada a partir das condições de apoio do sistema. Os apoiosrestringem os graus de liberdade e por isso o número de incógnitas que surgem , a, sãocalculadas a partir das equações de equilíbrio da estática, três no plano. SE os apoios estiveremcolocados por forma a impedir qualquer movimento do sistema como corpo rígido o grau dehiperestaticidade exterior é então he = a -3. Sistema hipoestático ⇒ a < 3 Sistema isostático ⇒ a = 3 Sistema hiperstático ⇒ a > 3Manuela GonçalvesMaria Idália Gomes 4/14
  5. 5. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA 4.2.3 Estaticidade GlobalA estaticidade global é dada pela soma da estaticidade interior e exterior; hg = hi + he = (b – 2n + 3) + (a – 3) = b + a – 2nEm determinadas treliças, assim como noutros sistemas, é possível que a hiperestaticidadeexterior seja compensada com a hipostaticidade interior, resultando um sistema globalmenteisostático e estável.É o que se verifica na treliça representada na figura 4. F1 R F2 Figura 4No entanto, se as ligações ao exterior estiverem inconrrectamente localizadas, resulta ummecanismo, apesar de grau de hiperestaticidade exterior ser igual ao grau de hipostaticidadeinterior. F1 R F2 Figura 5Manuela GonçalvesMaria Idália Gomes 5/14
  6. 6. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA4.3 Classificação das treliças quanto à lei de formação 4.3.1 Treliças SimplesAs treliças são formadas a partir de um triângulo base e por forma que cada novo nó sejaagregado através de duas barras. Estas são interiormente isostáticas, verificando-se a condiçãob= 2n -3. Figura 6 – Cobertura de uma habitação – Exemplo de uma treliça simples 4.3.2 Treliças CompostasResultam da associação de duas treliças simples por meio ou de três barras não paralelas nemconcorrentes num ponto (esquema 1), ou de um nó e uma barra que não concorra nesse nó(esquema 2). 1 C 2 3 1 Esquema (1) Esquema (2) Figura 7 – Treliças compostasManuela GonçalvesMaria Idália Gomes 6/14
  7. 7. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA Figura 8 – Poste de alta tensão – Exemplo de uma treliça compostaAs ligações entre as duas treliças simples restringem os três graus de liberdade que cada umateria relativamente à outra. Se as treliças fossem ligadas entre si por um maior número debarras do que o indicados nos dois exemplos anteriores obtinham-se treliças compostashiperestáticas em vez de isostáticas.Apesar de não seguir o modo de formação anteriormente referido, para as treliças compostas,também se classificam deste modo as treliças que resultam da substituição de algumas barras deuma treliça simples por uma outra treliça simples. Na treliça do esquema (3), as barrassuperiores foram substituídas por treliças secundárias simples obtendo-se o esquema (4). Esquema (3) Esquema (4) Figura 9 – Exemplos de treliçasManuela GonçalvesMaria Idália Gomes 7/14
  8. 8. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADAAs vigas Gerber treliçadas são classificadas como treliças compostas. Figura 10 – Viga Gerber treliçada Figura 11- Ponte BNSF RR Portland, Oregon – Exemplo de uma Viga Gerber treliçada Figura 12 - Ponte Hawthorne Portland, Oregon – Exemplo de uma Viga Gerber treliçadaManuela GonçalvesMaria Idália Gomes 8/14
  9. 9. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA 4.3.3 Treliças ComplexasEstas treliças embora satisfazendo a condição básica da isostaticidade interior b= 2n – 3, não seidentificam com as leis de formação das treliças simples ou compostas, por isso classificam-secomo complexas. Figura 13 – Treliças complexas4.4 Determinação dos esforços nas barras de treliças 4.4.1 ConsideraçõesConsidera-se a treliça simples sujeita ao carregamento indicado na figura, e com as reacções deapoio calculadas a partir das equações universais da Estática.A determinação dos esforços nas barras pode ser feita utilizando-se um dos dois métodosanalíticos, “Equilíbrio dos nós” ou “Ritter”. 4 P2 P3 2 6 HA 1 8 3 5 7 P1 VA VBCada uma das barras da treliça faz a ligação entre dois nós. Assim, se a barra está sujeita àcompressão a força que a comprime converge para os nós e, se está à tracção, a força que atracciona sai dos nós.Manuela GonçalvesMaria Idália Gomes 9/14
  10. 10. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA 4.4.2 Equilíbrio dos nósA treliça encontra-se em equilíbrio, por isso todos os seus nós também o estão.Este método consiste em isolarmos sucessivamente cada um dos nós, marcar as forçasexteriores, activas e reactivas, e os esforços normais das barras que nele concorrem. Osesforços normais das barras serão assim determinados como forças que garantem o equilíbriodo nó.Assim, aplica-se a equação ∑ F=0 que garante o equilíbrio de forças concorrentes num pontomaterial, à qual correspondem as equações de projecção ∑Fx=0 e ∑Fy=0, tendo o referencialde eixos ortogonais Ox Oy uma qualquer orientação.A sucessão de nós é feita de modo a que surjam apenas dois esforços (incógnitas) em cadanovo nó. É aconselhável, no caso da nossa sensibilidade estática não nos permitir antever anatureza do esforço que sejam todos considerados à tracção, e assim, os sinais obtidos já serãoos sinais dos esforços actuantes: se for positivo (confirma o sentido arbitrado) indica tracção ese for negativo indica compressão.Exemplifica-se a seguir o equilíbrio do nó 1 e nó 3.Nó 1 N12 ∑F y = 0 ⇒ N12 senθ + VA = 0 ⇒ N12 HA 1 θ N13 ∑F x = 0 ⇒ N12 cos θ + N13 + H A = 0 ⇒ N13 VAA primeira equação permite concluir que a barra 12 está sujeita a um esforço de compressão.Nó 3 N32 ∑F y = 0 ⇒ N 32 − P = 0 ⇒ N 32 1 N31 N35 3 ∑F x = 0 ⇒ N 31 + N 35 = 0 ⇒ N 35 P1Manuela GonçalvesMaria Idália Gomes 10/14
  11. 11. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA 4.4.3 Método de RitterConsiste em cortar a treliça por uma secção, cortando apenas três barras, não devendo estas serparalelas nem concorrentes num ponto. Como a treliça está em equilíbrio, qualquer das partesresultantes do corte ficam em equilíbrio, porque os esforços normais actuantes nas barrascortadas as equilibram.Cortando a treliça por essas barras através da secção SS’, nada se altera sob o ponto de vistaestático, desde que se substituam as barras cortadas pelos esforços normais nelas actuantes eque são determinados como as forças que garantem o equilíbrio da parte cortada da treliça.É indiferente analisar a parte esquerda [esquema (5)] ou a parte direita da treliça [esquema (6)].Escolhe-se, aquela que conduzirá a um menor trabalho numérico na obtenção dos esforçosnormais. S S P2 4 4 P3 N24 N42 2 6 N25 2 N52 HA 1 8 5 3 3 N35 N53 5 7 VA P1 VB S’ S’ Esquema (6) Esquema (5)A determinação das incógnitas é a partir das equações universais da estática plana, devendo serescolhidas e usadas de uma ordem tal que permita a determinação directa de cada uma dasincógnitas. Assim são usadas três equações de momentos relativamente a três pontos nãocolineares, sendo, cada um destes (pontos), a intersecção das linhas de acção de duas forçasincógnitas.Manuela GonçalvesMaria Idália Gomes 11/14
  12. 12. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADAUsando o esquema (5) temos que: ∑M 5 = 0 ⇒ N 24 ∑M 1 = 0 ⇒ N 25 ∑M 2 = 0 ⇒ N 35As forças obtidas com sinal positivo confirmarão os sentidos arbitrados (sendo de tracção),caso o sinal seja negativo são de compressão.As secções de Ritter podem ter qualquer forma desde que sejam continuas e atravessem toda atreliça. Excepções (1) Quando se deseja conhecer o esforço numa só barra não é condição obrigatória fazer o corte apanhando apenas três barras. Efectivamente se as demais, em qualquer número, se intersectarem num único ponto, escolhe-se a equação de momentos relativamente a esse ponto, calculando-se directamente o esforço na barra em questão. Pretendemos saber N24 ⇒ ∑ M 5 = 0 N24 S N54 2 S’ N56 HA 1 N57 3 5 S’ VA P1 Então ∑M 5 = 0 ⇒ N 24Manuela GonçalvesMaria Idália Gomes 12/14
  13. 13. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA (2) Quando duas barras cortadas por uma secção de Ritter são paralelas é mais cómodoutilizar duas equações de momentos e uma equação de projecção numa direcção, comoequações de equilíbrio da estática. S P2 2 4 6 HA 1 5 3 S’ P1 VA VB 2 N24 ∑M 3 = 0 ⇒ N 24 N23 HA ∑M 2 = 0 ⇒ N13 1 3 N13 ∑F y = 0 ⇒ N 23 VAManuela GonçalvesMaria Idália Gomes 13/14
  14. 14. INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA Exercício de Aplicação Enunciado FiguraPara a estrutura apresentada:a) calcule os esforços nas barrasb) confirme o esforço para a barra EC.Manuela GonçalvesMaria Idália Gomes 14/14

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