MATRIZES
É uma tabela disposta em “m” linhas e “n”
colunas.
11 12 13 1
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m m m mn m n
a a a a
a a a a
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Tipos de Matrizes
Matriz Quadrada: é matriz cujo número de linhas é igual
ao de colunas.
Matriz Transposta: é a matriz obt...
Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujos elementos
da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos
iguais a...
Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima e abaixo da
diagonal principal são iguais a zero.
Traço da M...
Matriz Simétrica: T
AA =
1 2 0
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 
 ÷
 ÷
 ÷
 
Os elementos opostos em relação à diagonal principal são ig...
Operações com Matrizes:
Adição e Subtração de Matrizes: só podemos somar ou subtrair
matrizes de mesma ordem.
Dadas as mat...
Multiplicação de Matrizes
Só podemos multiplicar duas matrizes entre si, quando o número de
colunas da primeira for igual ...
Matriz Inversa: 1−
A
O produto de uma matriz pela sua inversa é igual à
matriz identidade.
IAA =−1
.
Sendo 


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I – Definição
É um número associado a uma matriz quadrada.
II – Determinante de uma matriz de 2ª ordem
Seja a matriz A =
...
Ex:
41
32
−
−
det = 2 . (- 4) – 1 . (- 3)
det = -8 + 3
det = -5
III – Determinante de uma matriz de 3ª ordem
(Regra de Sarrus)
Ex: 3 1 2
4 3 1
1 6 5
−
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561
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IV – Menor Complementar (Dij
)
É o determinante da matriz obtida após ser
eliminada a linha e a coluna do elemento aij
con...
V – Cofator
Ex. Dada a matriz
0 1 2
3 4 5
2 7 1
A
− 
 ÷
=  ÷
 ÷− 
, calcule C21
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21
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Propriedades dos Determinantes:
1ª propriedade:
Se os elementos de uma linha ou coluna de uma
matriz quadrada forem todos ...
2ª propriedade:
Se os elementos de duas linhas ou colunas de
uma matriz quadrada forem iguais ou
proporcionais, o seu dete...
3ª propriedade:
Se trocarmos de posição entre si duas
linhas ou colunas de uma matriz quadrada, o
determinante é o simétri...
4ª propriedade:
Se multiplicarmos todos os elementos de uma
linha ou coluna por um número real k, então o
determinante da ...
5ª propriedade:
O determinante de uma matriz A é igual ao
determinante de sua transposta.
det det t
A A=
6ª propriedade:
O...
7ª propriedade:
O determinante de uma matriz triangular é igual
ao produto dos elementos da diagonal principal.
Ex: 3 0 0 ...
8ª propriedade: Teorema de Binet
Sendo A e B duas matrizes quadradas temos
que: det (A.B) = det A . det B






−1...
4º) (UFAL – 2007) Considere o conjunto A,
formado pelos algarismos de 0 a 9, e analise as
afirmações que seguem.
(00) Com ...
(11) De todos os números de 4 algarismos
distintos entre si, que podem ser escritos com
os elementos de A, 3120 são pares....
(22) De todos os números de 3 algarismos
distintos entre si, que podem ser escritos com os
elementos de A, 176 são menores...
(33) Com os elementos ímpares de A é possível
escrever exatamente 60 números de
3 algarismos distintos entre si.
1, 3, 5, ...
(44)De todos os números de 3 algarismos
distintos entre si, que podem ser escritos com
os elementos de A, 150 são divisíve...
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  1. 1. MATRIZES É uma tabela disposta em “m” linhas e “n” colunas. 11 12 13 1 21 22 23 2 1 2 3 n n m m m mn m n a a a a a a a a a a a a ×    ÷  ÷  ÷  ÷   L L M M M M L
  2. 2. Tipos de Matrizes Matriz Quadrada: é matriz cujo número de linhas é igual ao de colunas. Matriz Transposta: é a matriz obtida trocando-se a linha pela coluna e vice-versa da matriz original.           − − = 632 420 531 A           − −= 645 323 201 T A
  3. 3. Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero. Ex: matriz identidade matriz identidade de 2ª ordem de 3ª ordem 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 A B      ÷ = = ÷  ÷    ÷   diagonal principal
  4. 4. Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima e abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Traço da Matriz: é a soma dos elementos da diagonal principal. Traço: 4 + 2 + 6 = 12 Matriz Triangular: é matriz cujos elementos localizados acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.           613 025 004           300 050 002
  5. 5. Matriz Simétrica: T AA = 1 2 0 2 7 4 0 4 3    ÷  ÷  ÷   Os elementos opostos em relação à diagonal principal são iguais. Matriz Anti-Simétrica: T AA −= 0 5 2 5 0 1 2 1 0 −   ÷ − ÷  ÷−  Os elementos da diagonal principal são iguais a zero. Os elementos opostos em relação à diagonal principal são simétricos.
  6. 6. Operações com Matrizes: Adição e Subtração de Matrizes: só podemos somar ou subtrair matrizes de mesma ordem. Dadas as matrizes 2 5 3 4 A   =  ÷ −  , 1 6 5 2 B −  =  ÷ −  e 8 4 2 6 C −  =  ÷   , calcule:       − −      − − +      − 62 48 25 61 43 52       − − =      −− − +      − − +      − 40 157 62 48 25 61 43 52 A + B − C=
  7. 7. Multiplicação de Matrizes Só podemos multiplicar duas matrizes entre si, quando o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda matriz. O resultado será uma matriz com o número de linhas da primeira e número de colunas da segunda matriz. mxpnxpmxn CBA =. 0 1 1 2 3 3 5 0 4 2 4 2      ÷ × − = ÷  ÷− −   ÷         −−−−− +++−+ 22541042)3(400 23521143)3(201 xxxxxx xxxxxx       −−−+ +++− 42008120 61011260       −244 176 = =
  8. 8. Matriz Inversa: 1− A O produto de uma matriz pela sua inversa é igual à matriz identidade. IAA =−1 . Sendo       = 35 24 A , determine 1− A det A = 12 – 10 det A = 2           − − →      − − 2 4 2 5 2 2 2 3 45 23           − − =− 2 2 5 1 2 3 1 A
  9. 9. I – Definição É um número associado a uma matriz quadrada. II – Determinante de uma matriz de 2ª ordem Seja a matriz A =       2221 1211 aa aa , então: 21122211 .. aaaa −det A = DETERMINANTES
  10. 10. Ex: 41 32 − − det = 2 . (- 4) – 1 . (- 3) det = -8 + 3 det = -5
  11. 11. III – Determinante de uma matriz de 3ª ordem (Regra de Sarrus) Ex: 3 1 2 4 3 1 1 6 5 − − 61 34 13 561 134 213 − − − − det = 3.(-3).5 + 1.1.(-1) + 2.4.6 – (-1).(-3).(2) – 6.1.3 – 5.4.1 det = – 45 – 1 + 48 – 6 – 18 – 20 det = – 42
  12. 12. IV – Menor Complementar (Dij ) É o determinante da matriz obtida após ser eliminada a linha e a coluna do elemento aij considerado. Ex. Sendo 0 1 2 3 4 5 2 7 1 A −   ÷ =  ÷  ÷−  , calcule D12 12 53 − det = 3 + 10 det = 13 D12 = 13
  13. 13. V – Cofator Ex. Dada a matriz 0 1 2 3 4 5 2 7 1 A −   ÷ =  ÷  ÷−  , calcule C21 ij ji ij DC .)1( + −= 21 12 21 .)1( DC + −= 17 21 .)1( 3 21 − −=C ]141[.)1(21 −−−=C 1521 =C
  14. 14. Propriedades dos Determinantes: 1ª propriedade: Se os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada forem todos iguais a zero, o seu determinantes será zero. Ex. 3 0 5 4 0 1 6 0 2    ÷ − ÷  ÷− 
  15. 15. 2ª propriedade: Se os elementos de duas linhas ou colunas de uma matriz quadrada forem iguais ou proporcionais, o seu determinante será zero. Ex. 2 6 2 3 5 3 4 1 4    ÷  ÷  ÷  
  16. 16. 3ª propriedade: Se trocarmos de posição entre si duas linhas ou colunas de uma matriz quadrada, o determinante é o simétrico do anterior. Ex. 2 5 5 2 e 3 4 4 3      ÷  ÷     det = 15 – 8 det = 7 det = 8 – 15 det = -7
  17. 17. 4ª propriedade: Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna por um número real k, então o determinante da nova matriz é o anterior multiplicado pelo número k. Obs: Conseqüência da propriedade: det ( ) detn k A k A× = × , onde n é a ordem da matriz. Ex: Sendo A3x3, e det A = 5, calcule det (2A). det (2A) = 23 . det A det (2A) = 8 . 5 det (2A) = 40
  18. 18. 5ª propriedade: O determinante de uma matriz A é igual ao determinante de sua transposta. det det t A A= 6ª propriedade: O determinante de uma matriz A igual ao inverso do determinante da matriz inversa de A. 1 1 det det A A− =
  19. 19. 7ª propriedade: O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Ex: 3 0 0 0 5 2 0 0 6 1 4 0 7 2 3 2 −   ÷  ÷  ÷  ÷   det = (-3) . 2 . 4 . 2 det = - 48
  20. 20. 8ª propriedade: Teorema de Binet Sendo A e B duas matrizes quadradas temos que: det (A.B) = det A . det B       −14 32 e B=       − 23 20 calcule det (A.B). Dadas as matrizes A = det (A . B) = det A . det B det (A . B) = (-14) . 6 det (A . B) = -84
  21. 21. 4º) (UFAL – 2007) Considere o conjunto A, formado pelos algarismos de 0 a 9, e analise as afirmações que seguem. (00) Com os elementos de A é possível escrever 32542 números de 5 algarismos distintos entre si. __ __ __ __ __ 2721667899 = X
  22. 22. (11) De todos os números de 4 algarismos distintos entre si, que podem ser escritos com os elementos de A, 3120 são pares. __ __ __ __ __ __ __ ____ 0 2,4,6,8 9 8 7 8 8 7 4 = = 504 1792 Total = 2296 X
  23. 23. (22) De todos os números de 3 algarismos distintos entre si, que podem ser escritos com os elementos de A, 176 são menores do que 350. __ __ __ < 3501 2 3 9 8 9 8 72 __ __ __ 72 __ _____ __0,1,2,4 4 8 32 Total = 176 X
  24. 24. (33) Com os elementos ímpares de A é possível escrever exatamente 60 números de 3 algarismos distintos entre si. 1, 3, 5, 7, 9 __ __ __ 5 4 3 60 X
  25. 25. (44)De todos os números de 3 algarismos distintos entre si, que podem ser escritos com os elementos de A, 150 são divisíveis por 5. Para um número ser divisível por 5, tem que terminar em 0 ou 5 1º caso: terminação 0 __ __ __0 9 8 72 2º caso: terminação 5 __ __ __ 8 8 5 64 Total=136 X

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