Matrizes

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Matrizes

  1. 1. Matrizes Uma matriz de ordem m x n é qualquer conjunto de m . n elementos dispostos em m linhas e n colunas. Representação Cada elemento de uma matriz é localizado por dois índices: aij. O primeiro indica a linha, e o segundo, a coluna. A matriz A pode ser representada abreviadamente por uma sentença matemática que indica a lei de formação para seus elementos. A = (aij)mxn | lei de formação. Ex.: (aij)2×3 | aij = i . j Classificação das Matrizes Em função dos valores de m e n, classifica-se a matriz A = (aij)mxn em: Ex.: é uma matriz quadrada de ordem 3. Numa matriz A = (aij)mxn quadrada de ordem n, os elementos aij com i = j constituem a diagonal principal. Os elementos aij com i + j = n + 1 formam a diagonal secundária.
  2. 2. Tipos de Matrizes Matriz Nula É a matriz onde todos os elementos são nulos. Matriz Diagonal Matriz Oposta Matriz oposta de uma matriz A = (aij)mxn é a matriz B = (bij)mxn tal que bij = -aij. Matriz Identidade ou Matriz Unidade É uma matriz quadrada onde aij = 0, para i j, isto é, os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Matriz Simétrica É uma matriz quadrada A tal que At = A, isto é, aij = aij para i j. Matriz Transposta (At) Matriz Anti-simétrica É a matriz que se obtém trocando ordenadamente as linhas pelas colunas da matriz dada. É uma matriz quadrada A tal que At = -A , isto é, aij = -aij para i e j quaisquer. Se B = (bij)mxn é transposta de A = (aij)mxn, então bij = aij.
  3. 3. Operações com Matrizes Igualdade de Matrizes Duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de mesma ordem, são iguais se, e somente se, aij = bij. Exemplos: Propriedades da Igualdade - Se A = B, então At = Bt - (At)t = A Adição e subtração de Matrizes A soma de duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de mesma ordem é uma matriz C = (aij)mxn tal que Propriedades da adição de Matrizes a) A + B = B + A (COMUTATIVA) C = aij + bij. b) (A + B) + C = A + (B + C) (ASSOCIATIVA) A subtração de matrizes é dada pela sentença: c) A + 0 = 0 + A = A (ELEMENTO NEUTRO) A – B = A + (– B ) d) A + (-A) = (-A) + A = 0 (ELEMENTO OPOSTO) e) (A + B)T = AT + BT (TRANSPOSTA DA SOMA)

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