1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN 2 - NĂM 2012
TRƯỜNG THPT CHUYÊN Môn: TOÁN; Khối: A; Thời gian làm bài: 180 phút
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 3mx + m + 2.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0.
2. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với hai trục
tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1.
tan x cos 3 x + 2 cos 2 x −1
Câu II. (2,0 điểm) 1. Giải phương trình = 3 (sin 2 x + cos x).
1 − 2 sin x
 x2 − y(x + y) + 1 = 0
2. Giải hệ phương trình
 2 (x, y ∈  ).
 (x + 1)(x + y − 2) + y = 0
1 − x2
Câu III. (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = và y =1 − x.
x +1
·
Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD. A' B ' C ' D ' có đáy là hình thoi cạnh a, BAD = α với
3
cos α = , cạnh bên AA' = 2a. Gọi M là điểm thỏa mãn DM = k .DA và N là trung điểm của cạnh
4
A' B '. Tính thể tích khối tứ diện C ' MD ' N theo a và tìm k để C ' M ⊥ D ' N .
Câu V. (1,0 điểm) Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn [0; 1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a 3 + 2 b3 + 2 c3 + 2
P= 2 + + .
b +1 c2 +1 a2 +1
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a hoặc b)
a. Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa. (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, phương trình
BC : 2 x − y − 7 = 0, đường thẳng AC đi qua điểm M (− ; 1), điểm A nằm trên đường thẳng
1
∆ : x − 4 y + 6 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng đỉnh A có hoành độ dương.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x −1) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 3) 2 = 9 và đường
x −6 y −2 z −2
thẳng ∆ : = = . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M ( 4; 3; 4), song song với
−3 2 2
đường thẳng ∆ và tiếp xúc với mặt cầu (S).
z −1
Câu VIIa. (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn ( z +1)(1 + i ) + = | z |2 .
1 −i
b. Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb. (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆: 5 x − 2 y −19 = 0 và đường tròn
(C ) : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0. Từ một điểm M nằm trên đường thẳng ∆ kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường
tròn (C ) (A và B là hai tiếp điểm). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB biết rằng
AB = 10 .
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x +1) 2 + ( y −1) 2 + z 2 = 9 và điểm
A(1; 0; −2). Viết phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A và tạo với trục Ox một góc
1
α có cos α = .
3 10
z − 2i
Câu VIIb. (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn là số ảo. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
z −2
T = | z −1 | + | z − i | .

2. --------------------------------- Hết -------------------------------