algebra boole

1. Álgebra Booleana
Junho 2014
A que chamamos álgebra booleana?
Um processador é composto de transistores que realizam funções sob sinais digitais. Esses
transistores, montados entre eles, formam os componentes que realizam funções muito simples.
A partir desses elementos, é possível criar circuitos realizando operações bem complexas. A
álgebra booleana (do nome do matemático inglês George Boole 1815 - 1864) é um meio para
criartais circuitos.
A álgebra booleana é uma álgebra que traduz os sinais em expressões matemáticas. Para isso,
é preciso definir cada sinal elementar por variáveis lógicas e seu processamento por funções
lógicas. Certos métodos (tabela da verdade) permitem definir operações que queremos realizar
e, traduzir o resultado em uma expressão algébrica. Graças a regras chamadas "leis de
composição", estas expressões podem ser simplificadas. Isso permitirá de representar, graças a
símbolos, um circuito lógico, ou seja, um circuito que esquematiza o arranjo dos componentes
básicos (nível lógico), sem considerar a realização através dos transistores (nível físico).
Variável lógica

2. Um computador só manipula dados binários, assim, chamamos variável lógica um dado binário,
ou seja, um dado com dois status possíveis: 0 ou 1.
Função lógica
Chamamos « função lógica » uma entidade que aceita diversos valores lógicos na entrada cuja
saída (pode ter várias) pode ter dois status possíveis: 0 ou 1.
Na realidade, estas funções são exercidas por componentes eletrônicos admitindo sinais
elétricos na entrada e restituindo um sinal de saída. Os sinais eletrônicos podem ter um valor de
cerca de 5 volts (essa é a ordem geral de grandeza) que é representado por 1 ou 0 V, que é
representado por um 0.
As portas lógicas
As funções lógicas básicas são chamadas de portas lógicas . Trata-se de funções com uma ou
duas entradas e uma saída:
A função OU (em inglês OR) coloca sua saída em 1, caso uma ou outra de suas entradas
estiver em 1
A função E (em inglês AND) coloca sua saída em 1, caso suas duas entradas estiverem
em 1
A função OU EXCLUSIVO (em inglês XOR) coloca sua saída em 1, caso uma ou outra de
suas entradas estiver em 1 mas, não ambas, simultâneamente
A função NÃO (também chamada de inversor) coloca sua saída em 1, caso sua entrada
esteja em 0 e, vice-versa
Em geral, definimos as funções NÃO OU (comumente chamada NOR ) e NÃO E ( NAND ) como
sendo a composição respectiva de um NÃO com um OU e um E.
Cronograma
Um cronograma é um diagrama que mostra a evolução das entradas e saídas em função do
tempo.
Veja, por exemplo, um exemplo de um cronograma do operador E :

3. Este cronograma é um cronograma ideal; na realidade, os sinais elétricos não passam
imediatamente de 0 a 1, os declives (aqui verticais) são oblíquos e o processamento das
entradas causa um atraso nas saídas:
Expressão algébrica
O propósito da álgebra booleana é descrever o processamento de sinais, em forma de
expressão algébrica. Como vimos, os sinais são representados por nomes de variáveis. As
funçãos lógicas são representadas por operadores:
a função OU é representada por um mais:
a função E é representada por um ponto:
a função NÃO é representada por uma barra em cima da variável inversa:
Às vezes, ela é representada por uma / diante da variável inversa
a função OU EXCLUSIVO é representada por um mais cercado:
Uma expressão algébrica será, então, uma expressão do tipo:
Tabela da verdade
Uma tabela da verdade é uma tabela que descreve todas as possibilidades de saídas em
função das entradas. Assim, colocamos as variáveis de entrada nas colunas da esquerda
fazendo-as variar de modo a cobrir todas as possibilidades. A coluna (ou as colunas se a função
tiver múltiplas saídas) da direita descreve a saída.
Veja, por exemplo, as tabelas da verdade das portas lógicas:

4. Nome da porta Entrada Saída
A B S
OU
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
E
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
NÃO
OU
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
NÃO E
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
NÃO
0 1
1 0
À partir da tabela da verdade de uma função, é possível escrever a expressão algébrica da
mesma.
Ou seja, a seguinte tabela da verdade:
Entrada Sortie
A B S
0 0 0
0 1 0
1 0 1
1 1 0
A saída vale 1 quando A vale 1 e B vale 0, a expressão algébrica desta função, então, é:
Consideremos agora a seguinte tabela da verdade:

5. Entrada Saída
A B C S
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
A saída vale 1 quando
A vale 0
B vale 1
C vale 0
ou
A vale 1
B vale 1
C vale 0
Assim, a expressão algébrica desta função é :
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