Anh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian Topo

Ánh xạ liên tục trên không gian tôpô SV: Đào Thanh B ình

Chương 1

ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN TÔPÔ
TỔNG QUÁT

A. Kiến thức chuẩn bị:
1. Định nghĩa tôpô:
Cho tập X ≠ Ø. Một họ các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa
mãn đồng thời các điều kiện sau:
a) X và Ø ;
b) Hợp tùy ý các tập thuộc là thuộc ;
c) Giao hữu hạn các tập thuộc cũng thuộc .
Một tập X được trang bị một tôpô trên nó được gọi là một không gian tôpô, kí hiệu
(X, ).
Nếu chỉ ký hiệu không gian tôpô l à X thì ta ngầm hiểu rằng trên X đã được trang bị
một tôpô nào đó.

2. Tập mở, tập đóng, lân cận:
Cho không gian tôpô (X, ).
a) Mọi tập thuộc được gọi là tập mở; tập có phần bù là tập mở gọi là tập đóng.
b) Với mỗi điểm x X, tập V X được gọi là lân cận của x nếu tồn tại tập mở G
trong X sao cho x G V.

Nhận xét: G là tập mở khi và chỉ khi nó là lân cận của mọi điểm thuộc nó.
c) Họ tất cả các lân cận của điểm x được gọi là hệ lân cận của x, ký hiệu x.

Họ x x được gọi là một cơ sở lân cận của điểm x nếu V x, B x sao
cho x B V.

3. Các loại điểm, phần trong, bao đóng:
Cho không gian tôpô (X, ), x X và tập A X.
a) Các loại điểm:

-3-


- x gọi là điểm trong của A nếu tồn tại tập mở G sao cho x G A.
- x gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại tập mở G sao cho x G X A.
- x gọi là điểm biên của A nếu V x, V A ≠ Ø, và V (X A) ≠ Ø.
- x gọi là điểm dính của A nếu V x, V A ≠ Ø.
- x goi là điểm cô lập của A nếu V x: V A = Ø. Nếu A = X thì x là điểm cô
lập của A nếu tập {x} là tập mở.
b) Phần trong của tập A, ký hiệu là int A hoặc A o , là tập tất cả các điểm trong của A.
Nói cách khác, phần trong của A là tập mở lớn nhât chứa trong A.
c) Bao đóng của tập A, ký hiệu A , là tập đóng bé nhất trong X chứa A.

4. Tập hợp trù mật, không gian khả ly:
a) Trong không gian tôpô X, t ập con A của X được gọi là trù mật trong X nếu A = X.
Nếu int A = Ø thì A gọi là tập thưa ( hay tập không đâu trù mật).
b) Không gian tôpô (X, ) là không gian khả ly nếu tồn tại một tập A X sao cho A
không quá đếm được và A = X, tức là A trù mật trong X.

5. Tập thuộc phạm trù::
Không gian tôpô X gọi là thuộc phạm trù thứ nhất nếu X bằng hợp đếm được các tập
không đâu trù mật.
Không gian không thuộc phạm trù thứ nhất gọi là thuộc phạm trù thứ hai.

6. Không gian T1, T2 và không gian chuẩn tắc:
a) Không gian tôpô X được gọi là T1 - không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất k ì
của X đều có một lân cận của x không chứa y v à một lân cận của y không chứa x.
b) Không gian tôpô X được gọi là không gian Hausdorff (hay T 2 - không gian) nếu bất
kì hai điểm khác nhau x, y X đều tồn tại một lân cận U của x v à lân cận V của y sao
cho U V = Ø.
c) Không gian tôpô X được gọi là không gian chuẩn tắc (hay T 4 – không gian) nếu X
là T1 – không gian và với hai tập đóng bất kì A, B không giao nhau của X luôn tồn tại các
tập mở U và V sao cho A U, B V và U V = Ø.

7. Không gian tôpô tổng, tích, thương:
Cho ( X , ) I là họ các không gian tôpô.

-4-


a) Tổng:
Đặt X = X . Xét họ = {G X: G X , I}. Khi đó, là một tôpô
I
trên X và (X, ) là không gian tôpô tổng của họ không gian tôpô đ ã cho, ký hiệu
X= X .
I

Nếu họ X I rời nhau từng đôi thì tổng gọi là tổng trực tiếp, ký hiệu X =
I X .

Ký hiệu i : X X , i ( x ) = x, là phép nhúng chính t ắc.

b) Tích Descartes:
Đặt X = I
X và :X X là phép chiếu (hay ánh xạ tọa độ thứ ).

Gọi là tôpô yếu nhất để tất cả các phép chiếu liên tục (định nghĩa ánh xạ liên
tục sẽ được trình bày sau trong chương này). Khi đó, (X, ) gọi là không gian tôpô tích
của họ không gian đã cho.

c) Không gian thương:
Cho không gian tôpô (X, ) và một quan hệ tương đương R trên X. Ký hiệu X/R là
tập thương của X theo quan hệ tương đương R. Xét ánh xạ : X X/R xác định bởi
(x) = x , với x là lớp tương đương chứa x. Khi đó, gọi là phép chiếu chính tắc và dễ
thấy là toàn ánh.
-1
Trên X/R, dễ thấy họ = {V X/R: (V) } là một tôpô và là tôpô mạnh nhất
để liên tục.
Khi đó, (X/R, ) gọi là không gian thương của không gian X theo quan hệ t ương
đương R.

B. Các vấn đề về ánh xạ liên tục.

1.1. Định nghĩa ánh xạ liên tục:
Cho hai không gian tôpô (X, τX ), (Y, τ Y ) và ánh xạ f: X Y. Khi đó, f được gọi là
liên tục tại điểm x 0 X nếu với mỗi lân cận W của f(x0) Y, tồn tại lân cận V của x0
sao cho f(V) W.
Nếu f liên tục x X thì f được gọi là liên tục trên X.
Nếu f: (X, X ) (Y, Y ) là ánh xạ liên tục thì ta còn nói ánh xạ f là ( X , Y )- liên
tục.

-5-


1.2.Các định lý và tính chất:
Với mỗi x, ký hiệu x là cơ sở lân cận của x. Khi đó, ta có định lý sau:
Định lý 1.2.1: Ánh xạ f: X Y liên tục tại x khi và chỉ khi W f(x), tồn tại
V ßx sao cho f (V) W.
Chứng minh:
Giả sử f liên tục tại x, và W f(x). Vì W là một lân cận của f(x) nên tồn tại lân cận U
của x sao cho f(U) W. Mà x là cơ sở lân cận của x nên có V x sao cho V U, do
đó f(V) f(U) W.
Ngược lại, gọi G là một lân cận của f(x) W f(x): W G.
Theo giả thiết, U x : f(U) W f(U) G f liên tục tại x.

Định lý 1.2.2: Cho (X, τ X ), (Y, τ Y ) là hai không gian tôpô. Ánh x ạ f: X Y liên tục
-1
tại điểm x X khi và chỉ khi với mọi lân cận W của f(x) th ì f (W) là lân cận của x.
Chứng minh:
Giả sử f liên tục tại x và W là lân cận của f(x). Khi đó tồn tại lân cận V của x sao cho
f(V) W V f -1(W) f -1(W) là lân cận của x.
Ngược lại, gọi W là lân cận của f(x). Theo giả thiết, f -1(W) là lân cận của x. Đặt
V= f -1(W) thì V là lân cận của x và f(V) = f( f -1(W)) W f liên t

Định lý 1.2.3: Cho ánh xạ f: (X, τX ) (Y, τY ). Khi đó, các mệnh đề sau là tương
đương:
a) f liên tục trên X.
b) Nghịch ảnh của mỗi tập mở trong Y l à tập mở trong X.
c) Nghịch ảnh của mỗi tập đóng trong Y là tập đóng trong X.
d) A X f( A ) f ( A) .

e) B Y f 1
( B) f-1( B ).
f) B Y f -1(int B) int f -1(B).

Chứng minh:

-6-


a) b): Giả sử G τY (tức G mở trong Y), G ≠ Ø. Với mỗi x f -1(G) thì f(x) G,
do G là tập mở nên G là lân cận của f(x). Mà f liên tục nên tồn tại lân cận V của x sao cho
f(V) G x V f -1(G) f -1(G) là lân cận của x.
Vậy, f -1(G) là lân cận của mọi điểm thuộc nó n ên f -1(G) là tập mở.
b) c): Gọi F là tập đóng trong Y YF là tập mở trong Y f -1(YF) = X f -1(F)
-1
là tập mở trong X f (F) đóng trong X.
c) d): A X, ta có f -1( f ( A) ) là tập đóng trong X.
Vì f(A) f ( A) nên A f -1( f ( A) )
A f -1( f ( A) ) f( A ) f (f -1( f ( A) )) f ( A)

d) e): B Y, ta có: f( f 1 ( B ) ) f(f 1
( B )) B f 1
(B) f -1( B ).
e) f): B Y f -1(int B) = f -1(Y Y B ) = Xf -1( Y B ).
Mà X f 1 ( B ) = f 1
(Y B ) f-1( Y B ) (do e)

Nên Xf -1( Y B ) X X f 1 ( B ) = int f -1(B).
Vậy, f -1(int B) int f -1(B).
f) a): x X, gọi W là lân cận mở của f(x).
Theo giả thiết ta có: x f -1(W) = f -1(int W) int f -1(W).
Nếu đặt V = int f -1(W) thì V là lân cận của x và f(V) W. Do đó, f liên tục trên X.

Nhận xét 1.2.1:
a)Từ định lý 1.2.3 ta có thể phát biểu lại định lý 1.2.2 như sau: “Ánh xạ f: X Y liên
tục tại điểm x X khi và chỉ khi với mọi lân cận mở W của f(x) thì f -1(W) là lân cận mở
của x”.
b) Nếu f:(X, X ) (Y, Y ) là ánh xạ liên tục thì với mọi tôpô trên X mà X
thì ánh xạ f: (X, ) (Y, Y ) cũng liên tục.
Thật vậy, với x X gọi W là lân cận mở của f(x). Vì f là ( X , Y )- liên tục nên f -1(W)
X f -1(W) ánh xạ f là ( , Y )-liên tục.

Ví dụ 1.1: Cho X là không gian tôpô r ời rạc, Y là không gian tôpô tùy ý. Khi đó, mọi
ánh xạ f: X Y đều liên tục. Thật vậy, nếu G là tập mở trong Y thì f -1(G) X, mà X
-1
rời rạc nên f (G) mở trong X.

-7-


Ví dụ 1.2: Nếu X là không gian tôpô bất kỳ và Y là không gian tôpô thô thì m ọi ánh xạ
f: X Y đều liên tục vì A X, A ≠ Ø thì f( A ) = f ( A) = X ( do đó f( A ) f ( A) ).

Ví dụ 1.3: Trên tập X trang bị hai tôpô τ1 và τ2. Ánh xạ đồng nhất f: (X, τ1 ) (X, τ2
) liên tục khi và chỉ khi τ1 ≥ τ2 (hay τ1 τ2).
Thật vậy, vì ánh xạ đồng nhất f:(X, 2 ) (X, 2 ) liên tục nên theo nhận xét 1.2.1
nếu τ1 ≥ τ2 thì ánh xạ đồng nhất f: (X, τ1) (X,τ2) cũng liên tục. Điều ngược lại là hiển
nhiên.

Ví dụ 1.4: Ánh xạ hằng f: X Y (y0 cố định trong Y) là ánh xạ liên tục vì với
x y0
mọi lân cận W của y 0 thì f -1(W) = X là lân cận của x x X.

Định lý 1.2.4: Cho ba không gian tôpô (X, τX ), (Y, τ Y ), (Z, τ Z ) và hai ánh xạ liên tục
f: X Y, g: Y Z. Khi đó ánh xạ tích h = gof: X Y cũng liên tục.
Chứng minh:
Giả sử V mở trong Z g-1(V) mở trong Y h-1(V) = f -1[g-1(V)] mở trong X. Do đó,
h liên tục.

Nhận xét 1.2.2: Giả sử X là không gian tôpô, R là tập số thực với tôpô tự nhi ên ( tôpô
tự nhiên trên R là tập các khoảng mở của R ). Khi đó, các ánh xạ f: X R được gọi là
các hàm số. Theo định lý 1.2.1, f liên tục tại x0 X khi và chỉ khi ε > 0, lân cận V của
x0 sao cho x V thì | f(x) – f(x0) | < ε.
Đặt biệt, nếu X = R thì ta được hàm số f: R R. Khi đó, f liên tục tại x0 R khi và
chỉ khi ε >0, δ >0 sao cho x R thỏa | x – x0 | < δ thì | f(x) – f(x0) | < ε. Đây là định
nghĩa quen thuộc về hàm liên tục trong giải tích cổ điển đối với h àm một biến thực.

Định lý 1.2.5: Cho f,g: X R là các hàm số liên tục. Khi đó, các hàm | f |, -f, f g,
f
f.g, min{f, g}, max{f, g} là liên tục. Nếu g(x) ≠ 0 x X thì cũng liên tục.
g
Chứng minh:
a) Gọi h: R → R là hàm số xác định bởi h(x) = |x|. Khi đó, | f | = hof là hợp của hai
hàm liên tục nên | f | liên tục.
b) Do f liên tục nên x X, ε > 0, lân cận V của x sao cho x’ V ta có |f(x’) –
f(x)| < ε |(-f)(x’) – (-f )(x)| = |-f(x’) + f(x)| = | f(x’) – f(x)| < ε. Do đó, -f liên tục.

-8-


c) Đặt φ = f + g. x X và ε > 0, ta có:

Vì f liên tục nên lân cận V của x sao cho x’ V: |f(x’) – f(x)| < .
2

Vì g liên tục nên lân cận V’ của x sao cho x’ V’: |g(x’) – g(x)| < .
2
Đặt V = U U’ thì V cũng là một lân cận của x và x’ V ta có:

| φ(x’) – φ(x)| ≤ | f(x’) – f(x)| + |g(x’) – g(x)| < + = ε.
2 2
Vậy, φ = f +g liên tục.
d) Vì f liên tục và –g liên tục nên f – g = f + (-g) liên tục.
e) Đặt = f.g. x X và ε > 0, ta có:

Vì f liên tục nên lân cận V của x sao cho x’ V: |f(x’) – f(x)| < .
2. sup x V g ( x' )

Vì g liên tục nên lân cận V’ của x sao cho x’ V’: |g(x’) – g(x)| < .
2 | f ( x) |
| (x’) - (x)| = | f(x’).g(x’) – f(x).g(x) |
= | f(x’).g(x’) – f(x).g(x’) + f(x).g(x’) – f(x).g(x) |
= | g(x’).( f(x’) – f(x)) + f(x).(g(x’) – g(x)) | |g(x’)|.|f(x’) – f(x)| + |f(x)|.|g(x’) – g(x)|

< |g(x’)|. + |f(x)|. < + = .
2. sup x V g ( x' ) 2 | f ( x) | 2 2

Vậy, liên tục.

f) Tính liên tục của min{f, g}và max{f, g} được suy ra từ các đẳng thức sau:
f ( x) g ( x) | f ( x) g ( x) |
min{f, g}= - ,
2 2
f ( x) g ( x) | f ( x) g ( x) |
max{f, g}= + .
2 2
f 1
g) Nếu g(x) 0 x X, để chứng minh liên tục, ta chỉ cần chứng minh liên
g g
tục.
Do g liên tục và |g(x)| > 0 x X nên với mỗi x 0 X tồn tại lân cận V của x 0 và
M > 0 sao cho x V thì |g(x)| M.
Mặt khác, g liên tục > 0, lân cận U của x 0 sao cho x U,

-9-


|g(x) – g(x0)| < M2. .
Đặt V’ = V U. Khi đó V’ là lân cận của x 0, và x V’, ta có:
1 1 g ( x0 ) g ( x) M2
| - |=| |< = .
g ( x ) g ( x0 ) g ( x).g ( x0 ) M .M
1 f
Vậy, liên tục, do đó .
g g

Bổ đề Urysohn: Cho X là một không gian chuẩn tắc; A v à B là hai tập con đóng rời
nhau của X. Khi đó, tồn tại hàm liên tục f: X [0, 1] sao cho f(x) = 0 x A và f(x) = 1
x B.

Định lý 1.2.6: Gọi {(Xα, )}α I là họ các không gian tôpô. Khi đó, α I, phép
nhúng chính tắc:
a). iα: Xα X là ánh xạ liên tục.
I

b). iα: Xα X là vừa mở vừa đóng.
I

Chứng minh:
a). Gọi là tôpô trên X . Khi đó, G , i 1 (G)= G Xα . Do đó, iα liên
I
tục.
b). Giả sử U mở trong X α. Khi đó, U Xα = U ,U Xβ = Ø β ≠ α. Do đó,
U Xα α I. Vậy, iα(U) = U mở trong X .
I

Bây giờ, giả sử F đóng trong X α. Xét tập G = X F. Vì G Xα = XαF và
I

G Xβ = X β β ≠ α nên G mở trong X . Suy ra, iα(F) = F đóng trong X .
I I

Hệ quả 1.2.1: Mỗi tập X α là vừa mở vừa đóng trong X .
I

Định lý 1.2.7: Ánh xạ f: X Y liên tục nếu và chỉ nếu foiα liên tục α I.
I

Chứng minh:

- 10 -


Hiên nhiên nếu f liên tục thì foiα liên tục α I.
Ngược lại, giả sử mọi foiα liên tục và G là một tập mở tùy ý của Y. Ta có:
f -1(G) Xα = i 1
(f -1(G)) = ( foiα)-1(G) (do foiα liên tục)

f -1(G) mở trong X .
I

Vậy, f liên tục.

Định lý 1.2.8: Với mọi α, phép chiếu : X X là ánh xạ mở.
I

Chứng minh:
Giả sử G là tập mở tùy ý của X . Lấy a (G). Khi đó, tồn tại x G sao cho
I
(x) = a. Do G mở nên U (i = 1, 2,…, n ) mở trong X i
sao cho
i

n
1
x V= ( U ) G.
i i
i 1

U nếu = i , i = 1, 2,…, n
Từ đó, a (V) (G). Và: (V) = i
X nếu ≠ i , i = 1, 2,…, n
Do đó, (V) là tập mở trong X và (G) là tập mở.

Định lý 1.2.9: Ánh xạ f: Z X liên tục khi và chỉ khi of liên tục I.
I

Chứng minh:
Hiển nhiên, nếu f liên tục thì of cũng liên tục I.

Ngược lại, giả sử of liên tục I. Giả sử G là tập mở trong X . Khi đó, G
I
1
= (U), với U , nào đó thuộc I. Và ta có:
f-1(G) = f-1( 1
(U)) = ( of)
-1
(U) là tập mở trong Z (vì of liên tục).

Định lý 1.2.10: Cho không gian tôpô (X, ) và một quan hệ tương đương R trên X.
Khi đó, ánh xạ f: X/R Y liên tục nếu và chỉ nếu fo liên tục. Trong đó, : X X/R
là phép chiếu chính tắc.

Chứng minh:

- 11 -


Nếu f liên tục thì hiển nhiên fo liên tục.
Ngược lại, giả sử fo liên tục. Khi đó, G mở trong Y thì -1(f -1(G)) mở trong X.
Theo định nghĩa tôpô trên X/R thì f -1(G) mở trong X/R. Do đó, f liên tục.

1.3. Phép đồng phôi:
Định nghĩa 1.3.1: Cho hai không gian tôpô X và Y. Ánh x ạ f: X Y được gọi là
một phép đồng phôi nểu f là song ánh, f liên tục và f -1 liên tục.

Ví dụ 1.3.1: Ánh xạ đồng nhất từ không gian tôpô X v ào chính nó là một phép đồng
phôi.

-1
Nhận xét 1.3.1: Từ định nghĩa nếu f là một phép đồng phôi thì f cũng là một phép
đồng phôi.

Định nghĩa 1.3.2: Hai không gian tôpô gọi là đồng phôi với nhau nếu tồn tại một
phép đồng phôi từ không gian n ày vào không gian kia.
Nhận xét 1.3.2: Theo ví dụ 1.3.1 thì một không gian tôpô bất kì luôn đồng phôi với
chính nó.
Định nghĩa 1.3.3: Cho ánh xạ f: (X, τX ) (Y, τY ). Khi đó, f được gọi là ánh xạ mở
( đóng) nếu với mọi tập A mở ( đóng) trong X th ì f(A) là tập mở ( đóng) trong Y.
Định lý1.3.1: Cho f: (X, τX ) (Y, τY ) là song ánh liên tục. Khi đó các khẳng định
sau là tương đương:
a) f là một phép đồng phôi;
b) f là ánh xạ mở;
c) f là ánh xạ đóng.
Chứng minh:
a) b): Gọi G là tập mở trong X. Vì f là phép đồng phôi nên f -1 liên tục, do đó
f(G) = ( f -1)-1(G) là tập mở trong Y f là ánh xạ mở.

b) c): Giả sử F là tập đóng trong X XF là tập mở trong X. Do f là ánh xạ mở
nên f(XF) = f(X)f(F) = Y f(F) là tập mở trong Y f(F) là tập đóng trong Y f là ánh
xạ đóng.

- 12 -


c) a): Do f là song ánh liên tục nên ta chỉ cần chứng minh f -1 liên tục. Gọi F là tập
đóng bất kỳ trong X. Do f là ánh xạ đóng nên f(F) là tập đóng trong Y ( f -1)-1(F) là tập
-1
đóng trong Y. Theo định lý 1.2.3 f liên tục.

Định lý 1.3.2: Ánh xạ f: X Y là phép đồng phôi khi và chỉ khi f liên tục và có một
ánh xạ liên tục g: Y X sao cho fog = 1Y và gof = 1X. Ở đây, 1X và 1Y tương ứng là các
ánh xạ đồng nhất từ X vào Y và từ Y vào X.
Chứng minh:
Nếu f là phép đồng phôi thì g = f -1. Ngược lại, nếu có ánh xạ liên tục g: Y X sao
cho fog = 1Y và gof = 1X. Ta chứng minh f là song ánh:
- Giả sử ta có f(x1) = f(x2) g(f(x1)) = g(f(x2)) gof(x1) = gof(x2) x1 = x 2 f là
đơn ánh.
- y Y thì g(y) X, đặt x = g(y) ta có f(x) = f(g(y)) = fog(y) = y f là toàn ánh.
Khi f là song ánh thi ánh xạ g xác định như trong định lý hiển nhiên là ánh xạ ngược
của f.
Vậy f là song ánh có ánh xạ ngược liên tục nên nó là phép đồng phôi.

x
Ví dụ 1.3.2: Ánh xạ f: R (-1; 1), f(x) = là phép đồng phôi.
1 |x|
x
Thật vậy, ta có f liên tục. Xét ánh xạ g: (-1; 1) R xác định bởi g(x) = , dễ
1 |x|
thấy g liên tục và fog, gof là các ánh xạ đồng nhất. Do đó, f là phép đồng phôi.

1.4. Thác triển liên tục.
Định nghĩa 1.4: Với ánh xạ liên tục f: M Y từ không gian con M của không gian
tôpô X vào không gian tôpô Y, t ên t F: X Y sao cho F|M = f, thì F
à thác tri ên t f trên X; f à thác tri ên t ên X.
ã bi t r f: X Y liên t ì ánh x f trên không gian
con M c f |M: M Y) c ên t f: M Y
liên t ìv à có t ên t F: X Y sao cho
F|M = f.
D ào b
tri ên t
Định lý 1.4.1 (Tietze – Urysohn): Gi f là hàm th liên t ên không
àm th F liên t ên X
sao cho F|M = f và sup x X |F(x)| = sup x M| f(x)|.

- 13 -


Chứng minh:
sup x M| f(x)|.
N ìF 0 là hàm c ìm.
N àm h1 liên t ên X sao cho:
c
1). |h1(x)| ( x X)
3
2
2). |f(x) h1(x)| c( x M)
3
c c
M: f(x) }, B = {x M: f(x) }.
3 3
Vì f liên t ìM
X) theo b àm h: X [0,1] sao cho h(x) = 0 ( x A) và h(x) =
1 ( x B).
2 1
Và d àm h1(x) = c h(x) ( x X) th ãn các à 2).
3 2
àm f h1 , t àm h2 liên t ên
X sao cho:
1 2
h2(x)| . c( x X)
3 3
2
2
f(x) h1(x) h2(x)| c ( x M)
3
B ãy hàm {h n} liên t ên X th ãn:
n 1
1 2
hn(x)| . c ( x X)
3 3
n n
2
f(x) - hi ( x) | c ( x M)
i 1 3

T àm hi ( x ) h t ên X. G F(x) là t àm
i 1
ì hn liên t ên X và chu ên X nên F liên t ên X.
T F(x) = f(x) ( x sup x X |F(x)| sup x M| f(x)| (*)
n 1
1 2
M x X, |F(x)| hi ( x) c = c = sup x M| f(x)|
i 1 3 n 1 3
sup x X |F(x)| sup x M| f(x)| (**)

- 14 -


T à (**) suy ra: sup x X |F(x)| = sup x M| f(x)|.

Hệ quả 1.4: Gi f là hàm th ên t
chu àm th F liên t ên X sao cho F |M = f.
Chứng minh:
G :R (-1,1) là m (
of: M -1,1) là hàm liên t c, b Tietze –
Urysohn t àm liên t F1: X [-1,1], F1|M = of.

Th F1 1 ({-1,1}) là t trong X, không giao v
rysohn, t àm liên t g: X [0,1] sao cho g(x) = 1 ( x M), g(x) = 0
( x A).
F2(x) = g(x).F1(x) là hàm liên t à là thac tri n c àm of.
-1
F= oF2. Và F là hàm c ìm.

Định lý 1.4.2: Gi à không gian con trù m f: M Y là ánh x ên
t ên t F c f trên X thì F
là duy nh
Chứng minh:
G F1 là m ên t f F(x) = F1(x) = f(x) x M.
X: F(x) = F1(x)}. D àt ài t ) và A M.
Vì M trù m ên ta có: X = M A A = X, hay F1 F.
V Fn ì duy nh

- 15 -


BÀI TẬP CHƯƠNG 1

1 n A
Bài 1.Cho A là t àm f: X f(x) = .
0 n A.

Ch f liên t 0 X khi và ch 0 b(A), v à biên c

▪ Giải:
). Gi f liên t 0 X. N 0 b(A) thì lân c 0 ta có V A Ø và
1
V (XA) = , ta có:
2
1
+N 0 A thì l 1 V (X f(x1) f(x0)| = 1 > f không liên t
2
t 0.

1
+N 0 A thì l 2 V f(x2) f(x0)| = 1 > f không liên t
2
x0 .
V 0 b(A).
). Gi 0 ó, t 0 sao cho V A ho
V (XA) f là hàm h ên V f liên t 0.

Bài 2. Cho f: X Y là m h liên t n
cô l ìYc

▪ Giải:
Gi 0 {y0} là t à song ánh nên
-1
! x0 X sao cho f(x 0) = y0 f ({y0}) = {x0}. Do f liên t ên {x0} là t
x0
V

Bài 3. Cho f là toàn ánh t ào không gian tôpô (Y, Y ) = {f -1(B)| B Y }.
là m ên X.

- 16 -


a) Ch f: (X, ) (Y, Y ) là ánh x ên t
b) Gi là m ùy ý trên X. Ch hr : f: (X, ) (Y, Y ) liên t
khi và ch .

▪ Giải:
a) x X, g à lân c f(x) ( W Y ) x f -1(W) f liên t
G B Y : A = f -1(B). Do f là toàn ánh nên f(A) = B Y f là ánh
x
Gi àt óng trong X XF f(XF) Y Y f(F) Y f(F) là
t f là ánh x
b) Gi f: (X, ) (Y, Y ) liên t A , B Y : f -1(B) = A. Do f liên t
nên f -1(B) A .
là tôpô b à . Vì f: (X, ) (Y, Y ) liên t ên ánh
x f: (X, ) (Y, Y ) c ên t .1).

Bài 4. Cho f: (X, X ) (Y, Y ) là ánh x ên t Ch à không gian
kh ìYc à không gian kh

▪ Giải:
Gi 1, a2 n X và A
f(A) = {f(a1), f(a2 f(an f ( A) = Y.
G àt , do f liên t
Y ên f -1(B) X . Vì A trù m ên
-1
A f (B) i N sao cho a i f -1(B) f(ai) B f(A) B Ø. Suy ra:
f ( A) = Y.
V à không gian kh

Bài 5. Cho f, g : X Y là các ánh x ên t à Y là không gian Hausdorff. Ch
minh r X: f(x) = g(x)} là t

▪ Giải:
L o b f(xo) g(xo). Do Y hausdorff nên t
m f(xo) và g(xo f -1(U) g -1(V) thì W

- 17 -


là m o, và x W thì f(x) U và g(x) V nên f(x) g(x).
W XA.
V A là t A là t

Bài 6. Gi àm f và g là các ánh x ên t ào R (v
X | f(x) = g(x)} là m
T f(x) = g(x) x thu ùm ì f(x) = g(x)
x X.

▪ Giải:
Do R là không gian Hausdorff nên theo bài 5 thì A = {x X: f(x) = g(x)} là t

Gi àt ùm D = X) và f(x) = g(x) x D.
X; f(x) = g(x)} thì F D, mà F là t ên F D =X F = X.
V f(x) = g(x) x X.

Bài 7. Cho f: (X, X ) (Y, 0 ) là song ánh. Ch f
và ch 0 là tôpô m Y sao cho f là ( X , Y )-liên t

▪ Giải:
Gi f: (X, X ) (Y, 0 à Y là tôpô trên Y sao cho f là
( X , Y )-liên t
G Y f -1(W) X . Vì f -1 là ( 0 , X )-liên t ên (f -1)-1(f -1(W)) 0 , hay

W 0 Y 0. 0 là tôpô m Y trên Y sao cho f là

( X, Y )-liên t

0 là tôpô m Y trên Y sao cho f là ( X , Y )-
liên t f: (X, X ) (Y, 0 ta ch
f -1 là ( 0 , X )-liên t .
Th f -1 không là ( 0 , X )-liên t . V X sao cho
(f -1)-1(V) 0 , hay f(V) 0 .
G là tôpô trên Y sinh b
Y 0 {f(V f là ( X , Y )-liên t à Y 0 .
Do 0 là tôpô m ên ph 0 = Y f(V) Y = 0 (mâu thu

- 18 -


V f -1 là ( 0 , X )-liên t f: (X, X ) (Y, 0

Bài 8. Cho toàn ánh liên t ft ào không gian tôpô Y. Trên X, xét
quan h 1 ~ x2 n f(x1) = f(x2). G f : X/R Y là ánh x
t f ( x ) = f(x), t x là l
ch Ch
a) f là ánh x ên t
b) N f là ánh x ì X/R

▪ Giải:
a) Xét ánh xf oπ : X Y , v π là phép chi ào X/R. Ta s
minh f = f oπ . Th x X, f oπ (x) = f ( π (x) ) = f (x) = f(x).
Vì f liên t ên f oπ liên t 2.10, suy ra f liên t

b) V Y, do f là toàn ánh nên t X sao cho y = f(x) = f (x)
f là toàn ánh. M x1 x2 f(x1) f(x2) f ( x1 ) f (x 2 ) f là
f là song ánh.
1
Ta còn ph f liên t
- f là ánh x
G àt ì π 1 (G)
là t Do f là ánh x ên ta có f (G) = f( π 1 (G) ) (vì π là toàn ánh) là
1
t f liên t
- f là ánh x
G àt (X/R)F là t trong X/R
1 1
X π (F) = π ((X/R) F) là t π 1 (F) là t ì f là
1
ánh x nên f (F) = f( π 1 (F) ) là t f liên t
V f X/R Y.

- 19 -


Chương 2
ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN TÔPÔ
COMPACT VÀ KHÔNG GIAN TÔPÔ LIÊN THÔNG

1. Không gian tôpô compact:
a) Các định nghĩa:
- Trên không gian tôpô X, cho A X và {G } I là h
{G } I à phủ c G A. N G là các t ì phủ g à
I
phủ mở c
- à không gian compact n phủ mở c
t T àv {G } I c
n
ch i I (i sao cho G i
X.
i 1

-T àt compact n ên A b
trên X là không gian compact.
- Không gian tôpô X g à compact địa phương n
m

b) Các tính chất:
-T àt
-T con compact c àt

2.Không gian tôpô liên thông:
a) à không gian liên thông n ào
v ài Ø và X.
Hay m ãn m

- X không bi
- X không bi
b) T à tập liên thông n à
không gian liên thông.

- 20 -


M à tập liên thông n
hai t X sao cho: U A Ø, V A Ø, U V A = Ø, U V A.

2.1. Ánh xạ liên tục trên không gian compact :
Định lý 2.1.1: N f: X Y là ánh x ên t à A là t ì f(A)
là t p con compact c
Chứng minh:
Gi {G } là m
I f(A). Do f liên t ên { f 1 (G )} I là m
m ì A compact nên có ph f -1( G )}i 1,..,n .
i

n n n
T f 1 (G ) = f 1
( G ) f(A) G i.
i 1 i i 1 i i 1

V {G i }i 1,.., n
là m f(A). f(A) là m
compact c

Định lý 2.1.2: Ánh x ên t ft ào không gian Hausdorff Y
là ánh x
Chứng minh:
Gi àt 1.1
thì f(A) là t . Mà Y Hausdorff nên f(A) là t V f là ánh x

Hệ quả 2.1.1: Gi f là song ánh liên t ào không gian
Hausdorff Y thì f
Chứng minh:
1.2, f là ánh x f lý 1.3.1.

Hệ quả 2.1.2: Gi ên X trang b 1 và 2 ( 1 2 ). N 1 ) là không
gian compact, (X, 2 ) là không gian Hausdorff thì 1= 2.

Chứng minh:
Ánh x idX: (X, 1 ) (X, 2 ) là song ánh liên t
(X, 1 ) vào không gian Hausdorff (X, 2 ) nên theo h idX
1= 2.

- 21 -


Nhận xét 2.1.1: Trong các tôpô Hausdorff, tôpô compact là tôpô c

Định lý 2.1.3: Gi f là m àm liên t ào t
f gi à bé nh ên X.
Chứng minh:
Vì X compact và R là không gian Hausdorff nên f là ánh x f(X) là t
f(X) gi inf f(X) và M = sup f(X).Và hi ên
{m, M} f(X) vì f(X) là t

2.2. Ánh xạ liên tục trên không gian liên thông.
Định lý 2.2.1: Cho ánh x ên t f: X àt con liên thông c
X thì f(A) là t ên thông c
Chứng minh:
G àt ên thông c f
t U, V trong Y sao cho U B Ø (1); V B Ø (2); U V B = Ø (3)
và U V B (4).
Vì f liên t ên f -1(U) và f -1(V) là hai t
Và ta có: f -1(U) A Ø
Th f -1(U) A = Ø thì A f -1 f( f -1(V)) V. T
Ø B=U V B = Ø (mâu thu
f -1(V) A
-1
T à do A f (B) nên ta có:
-1
f (U) f -1(V)
và f -1(U) f -1(V)
T suy ra A không liên thông (trái gi
V f(A) ph ên thông.

Nhận xét 2.2.1: T ên, n f là toàn ánh liên t ìt ên thông ta suy ra
Yc ên thông.

Định lý 2.2.2: Gi f: X R là hàm liên t ên không gian liên thông X và a, b
X, f(a) < f k R th f(a) < k < f(b), c X sao cho f(c) = k.

- 22 -


Chứng minh:
Vì X liên thông nên f(X) liên thông trong R f(X) là m [f(a), f(b)]
f(X) k [f(a), f(b)] thì k f c X sao cho f(c) = k.

BÀI TẬP CHƯƠNG 2.

Bài 1. Ánh x ên t f: X à ánh xạ riêng n
compact c àt
a) N à f liên t ì f là ánh xạ riêng.
b) N f là ánh x ì X compact

▪ Giải:
a) G àt ì Y Hausdorff nên K là t
-1
Suy ra, f (K) là t f liên t Mà X compact nên f -1(K) là t
compact trong X.
f là ánh x êng.

b) V f(x). Vì Y compact ên y có m
-1
compact U. Do f là ánh x êng (nên c ên t ên f (U) là m

Bài 2. f: X Y là m àn ánh liên t à
m .

▪ Giải:
V Y, do f là toàn ánh nên x f
x có m X. t X: x V U.
Do f m ên f(V) là lân c f(U) c à lân c ì f(V) f(U)).
ì f liên t à U compact trong X nên f(U) compact trong Y.
V , f(U) là lân c

- 23 -


Bài 3. Cho f là hàm th ên t ên không gian compact X. Ch f luôn
ìt t f(x) > c x X.

▪ Giải:
Gi f: X R liên t ên không gian compact X và f(x) > 0 x X
2.2.3, t o X sao cho 0 < f(xo) = min{f(x): x X}.
1
f(xo) thì rõ ràng f(x) > c > 0, x X.
2

Bài 4. Ch không gian tôpô X không là không gian liên thông khi và ch
t àn ánh liên t f: X

▪ Giải:
Gi àn ánh liên t f: X Y, v à không gian r
ph ên thông thì theo 2.1 thì Y c ày
mâu thu ìm ì không liên thông. Do
không liên thông.
Ø A, B trong X
sao cho A B = Ø và X = A B.
Goi Y là không gian r f: X
f(x) = a ( x A) và f(x) = b ( x B). D f là toàn ánh liên t

- 24 -


Chương 3

ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN MÊTRÍC

1. Định nghĩa mêtric:
Cho t Ø. M àm d: X2 R là m mêtric trên X n ãn
c
a) d(x, y) 0 x, y X; d(x, y) = 0 x = y.
b) d(x, y) = d(y, x) x, y X.
c) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) x, y, z X.
T êtric d trên nó g àm êtric, ký hi

2. Khoảng cách giữa điểm và tập hợp, giữa tập hợp và tập hợp:
a) T àt
à d(x, A) = inf {d(x, a): a òn ký hi
cách t à dist(x, A).
b) V p con A, B c êtric (X, d), kho
à d(A, B) = inf {d(a, b): a A, b B}.

3. Dãy hội tụ:
a) Cho (X, d) là không gian mêtric. Dãy {x n} các ph ong X g àh
a Xn lim d ( x n , a ) 0 , ký hi lim x n = a. ho n a.
n n

b) Dãy {xn à dãy Cauchy (hay dãy c n, xm) 0 khi
n, m .
Trong không gian mêtric, m ãy h à dãy Cauchy.

4. Tập mở, tập đóng:
Cho (X, d) là không gian metric. V X và > 0, ký hi ) = {x X:
d(x, a) < } là hình c (hay còn g à - lân c

- 25 -


] = {x X: d(x, a) } là hình c .
a) T àt a G, > 0 sao cho S(a, ) G.
b) T àt F là t

5. Tôpô mêtric:
V àt = {G X: G là t
dàng ch là m g à tôpô sinh b êtric d.
à không gian tôpô v

6. Không gian mêtric đầy đủ:
a) Định nghĩa: ãy Cauchy

b) Tính chất:
-T
- c

7. Không gian metric compact:
a) Các định nghĩa:
Cho (X, d) là không gian metric.
-T àt ãy {xn ãy con
{ xn } h
k

-T àt
d(A) = sup{d(x, y): x, y A} < .
-T àt àn toàn b > 0, t
n
x1 , x 2 n X sao cho A S( x i , )
i 1

b) Các tính chất:
- Cho không gian metric (X, d) và t

+ A là t
à hoàn toàn b
+M
-T

- 26 -


-T à compact.
- Không gian metric compact là kh
k
-M àb là compact.

T ,n à Y mà không nói gì thêm thì ta hi à hai
không gian mêtríc v êtríc d1 và d2 òn n ên m
thì ta quy êtric là d.

3.1. Các định nghĩa:
Định nghĩa 3.1.1. Cho hai không gian mêtríc (X, d 1) và (Y, d 2). Ánh x f: X Y
à liên t o Xn > 0, > 0 sao cho d 1(x, xo) < thì d2(f(x),
f(xo)) < .
Ánh x f à liên t ên X n ên t X.

Nhận xét 3.1.1. 1 êng c 1.1, b ì các
hình c à các t

Định nghĩa 3.1.2. Ánh x f: (X, d1) (Y, d2 à liên t ên X n
> 0 sao cho x1, x2 X th 1(x1, x2) < thì d2(f(x1), f(x2)) < .

Nhận xét 3.1.2. Tính liên t ên t à liên t ên
t àm s ên R v ã bi ên t
thì liên t òn

Ví dụ 3.1.1: Trên R v êtríc thông th f: R
f(x) = x là liên t = thì x1, x2 R th 1 x2 | <
thì |f(x1) f(x2)| = |x1 x2| < = .

Định nghĩa 3.1.3. Song ánh f: X àm 2(f(x), f(y))
= d1(x, y) x, y X.

c f: X Y.
Ví dụ 3.1.2: Ánh x êtríc X vào chính nó là m g
c

- 27 -


Nhận xét 3.1.3:
- f: X ì f liên t
Th = thì x, y X th 1(x, y) <
d2( f(x),f(y)) = d1(x, y) < = .
-1
- f: X ng c ì f và f liên t f
v ì

3.2. Các định lý và tính chất.
Vì không gian mêtríc c à không gian tôpô nên m ên t
trên không g ên t nghịch
ảnh của tập mở (đóng) là tập mở (đóng), phép đồng phôi ày
s à không c .

Định lý 3.2.1. Ánh x f: X Y liên t o Xn à ch ãy {xn} X
h o thì f(xn) h f(xo).
Chứng minh:
N f liên t o thì > 0, > 0 sao cho d 1(x, xo) < thì d2( f(x), f(xo)) < .
Vì xn xo nên no sao cho n o, d1(xn, xo) < n o, d2( f(xn), f(xo)) < ,
t à f(xn) f(xo).
ãy (xn) Xh o thì f(xn) h f(xo f không
liên t o o > 0 sao cho > 0, x X th 1 (x, xo) < 2(f(x),
f(xo)) o .
1 1
n= xn X th d1(xn, xo) < n=
n n
d2( f(xn), f(xo)) o .T n} h o f(xn) không h f(xo), và
ta g

Định lý 3.2.2. (Nguyên lý thác triển liên tục):
Gi à không gian con trù m êtríc X, ánh x g: M Y liên
t à không gian mê f: X Y liên t
f |M = g.
Chứng minh:
M trù m x X, {xn} M: xn x. D n} là dãy Cauchy
trong M. Do g liên t ên {g(xn)} là dãy Cauchy trong Y.

- 28 -


Vì Y ên g(xn) h f(x) Y. Ta ch f(x) ch
ch n}.

Th x , } M và x ,
n n 1(xn, x, )
n 0
d2(g(xn), g( x , ))
n 0 (do g liên t ) g( x , )
n f(x).
f àl
N M, ta l n x ( n). f(x) = lim g(xn) = g(x) f |M = g.
n

Bây gi f liên t g liên t trên M nên >
0, > 0: x1, x2 M th 1(x1, x2) < , thì d2(g(x1), g(x2)) < .
L X sao cho d 1 . Gi x , }, { x ,, } là hai dãy trong M sao cho
n n
x, n x ,,
n

Ta có: lim d1 ( x , , x ,, ) d1 ( x , , x , , )
n n ì d1( x , , x ,, ) <
n n
n
, ), g( x ,, )) <
d2(g( x n d2(f( x , ), f( x ,, )) < f liên t
n n n
Ti h f h: X Yc àm
liên t h|M = g.
L X. G n} là m ãy c n ì h(x) liên t ên
h(x) = lim h(xn) = lim g(xn) = f(x), t à h = f.
n n

ã

Định lý 3.2.3: Hàm f liên t ên t ì liên t và gi trên A.
Chứng minh: Gi f liên t
1
0 > 0 sao cho n, x n , yn A th a d(xn, yn) < và | f(xn) f(yn) | 0 . (1)
n
Do A compact nên dãy {x n} có dãy con { x n } h A. k ta có:
k

1
d( y n , a) y n k , x n k ) + d( x n k , a) < + d( x n , a) 0, nên y n a. Vì f liên t
k nk k k

và x n a, y n a nên f( x n ) f( y n ) f(a) f(a) = 0. (2)
k k k k

Ta g f ph ên t ên A.
Bây gi f gi ên A. Th f không gi ên A. Khi
n, xn A: |f(xn)| > n. (3)
Vì {x n} A nên t ãy con { x n } h A. Do f liên t ên A nên | f |
k

c ên t ên A | f( x n )| f(b) (4)
k

- 29 -


Ta th à (4) mâu thu f gi

Định lý 3.2.4: Cho ánh x f: X Y liên t à A là m
f(A) là t
Chứng minh: Trong f(A), l ãy {yn} tùy ý. V n A sao cho
f(xn) = yn ãy {xn} A.
Do A compact nên {x n} có dãy con { x n } h A. Vì f liên t ên
k

y n k = f( x n k ) f(a) y n k } là dãy con h n} f(A) là t
compact c

Hệ quả 3.2.1: Cho f : X R là ánh x ên t à A là m
1 , x2 A sao cho f(x1) f(x) f(x2) x A.
Chứng minh:
Do f liên t 2.3 và 3.2.4 thì f liên t ên A và f(A) là t
con compact c 1, x2 A sao cho f(x1) =
min f(x), f(x2) = max f(x)
x A x A

- 30 -


BÀI TẬP CHƯƠNG 3

Bài 1. Cho X, Y, Z là các không gian metric và f: X Y, g: Y Z là các ánh x ên
t
a). gof là ánh x ên t
b). N f là toàn ánh, gof ì f và g
▪ Giải:
a). V ì g-1(C) m ên t f -1(g-1(C)) m
X (do f liên t gof )-1(C) m gof liên t ên X.

b). Vì gof ên c x1 , x 2 X, x1 2 thì
gof(x1) gof(x2) f(x1) f(x2) f f là song ánh.
y1, y2 Y, y1 2, x1, x2 X sao cho f(x1) = y1, f(x2) = y2 (hi ên x1 2). Ta
có: g(y1) = gof(x1) gof(x2) = g(y2) g
M g(Y) = gof(X) = Z (vì f và gof là song ánh) g là toàn ánh.
V à song ánh.
Ta ch òn ch f -1 và g-1 liên t ì (gof )-1, f , g liên t à
f -1 = (gof )-1og, g-1 = fo(gof )-1 nên f -1 và g-1 c ên t
Suy ra, f và g

Bài 2. Cho f: X Y là ánh x ên t àt à hoàn toàn b
Ch f(A) là t àn toàn b
▪ Giải:
Do f liên t ên > 0, > 0: d1(x, y) < thì d2(f(x), f(y)) < .
n n
Gi S(x i , . Ta s f(A) S( f (x i ), .
i 1 i 1

Th y f(A), x A: y = f S(xi, ) v Vì d1(x, xi)
< nên d2(f(x), f(xi)) < , t à y S(f(xi), ).
V f(A) là t àn toàn b

Bài 3. Cho X là m êtric compact và ánh x f : X X th ãn
d(f(x), f(y)) x, y X. Ch f

- 31 -


▪ Giải:

V n = f n (x) , yn = f n (y) f n
= f n-1
of )
dãy {xn}, {yn} trong X.
Do X compact nên t ãy t k} N sao cho { x n } và { y n } h ìm
k k

dãy h à dãy Cauchy nên > 0, k, l (l > k) sao cho d 1( x n , x n ) < và
k l 2
d( y n , y n ) < .
k l 2
l nk, theo gi f, ta có: d(x, x m) d(x1, xm+1) xn , xn ) <
k l

. ó: d1(y, ym) < .
2 2
Suy ra: d(f(x), f(y)) m, ym ) m, x) + d(x, y) + d(y, y m) < d(x, y) + .
Vì nh ùy ý nên suy ra d(f(x), f(y))
d(f(x), f(y)) = d(x, y).
ài toán ta còn ph f là song ánh. Th f ì
v 1 2 ta có d( f(x1), f(x2)) = d(x1, x2) f(x1) f(x2).
M ì X compact nên f(X) compact f x X và > 0, theo
ch ên thì xm f(X) sao cho d(x, x m) < nên f(X) trù m
f (X ) f (X ) X f là toàn ánh.
V f là m

Bài 4. Cho f: X Y là ánh x ên t ên m
r f liên t ên X.
▪ Giải:
V o X, l ãy b n} X: xn xo. Ta c f(xn) f(xo).
n }n {xo}. {G } là m
c o sao cho x o G o
và > 0: S(x o, ) G o
.

Do xn xo nên t n, xo) < n > N, t à xn S(xo, ) n > N.
V , ch i sao cho x i G à
i
{G ,G G
o 1 N

Theo gi f liên t ên A nên f(xn) f(xo) f liên t o xo X, hay f
liên t ên X.

- 32 -


Bài 5. Cho f là ánh x ên t êtric X vào không gian mêtric Y.
a) Gi } là m = f -1(V ). Ch
n , ánh x f | f 1 (V ) : f 1 (V ) V là m ì f là m

b) Hãy nêu lên m m f: X Y không ph à song ánh, và m
ph }c f |U : U f( U ) là m
▪ Giải:
a) D f là song ánh t ào Y.
x X, g là m m b ì {V } là m nên t
t f(x) V .
Vì f liên t ên f 1 (V ) m f 1 (V ) U m f 1 (V ) . Do
f | f 1 (V ) ên f( f 1 (V ) U) là m . Mà V m ên
f( f 1 (V ) U) m à f(U) f( f 1 (V ) U) hay f(U) là lân c f(x). Do
f -1 liên t
V f

b) L à không gian r c có ít nh à không gian ch
ph à f là ánh x f(x) = a x X (f là ánh x ào Y).
H x X là ph à f |{x}:{x} Y là phé f không là
song ánh.

Bài 6. Cho ánh x f : X Y. G f(x)): x f. Ch
a) N f liên t ì G là t à thu h ên G c
X : X Y X là m
b) N ì f liên t
▪ Giải:
a) Gi n, yn)} G là dãy h o, yo n xo và yn yo khi
n . Vì f liên t ên lim f(xn) = lim yn f(xo) = yo (xo, yo)
n n
X×Y.
B |
X G ào X. Th X,
t f(x)) G nên X |G là song ánh, và hi ên X |G là liên t

- 33 -


Gi n} là dãy tùy ý trong X h o. Do f liên t ên {f(xn)} f(xo), t
1
{(xn, f(xn))} (xo, f(xo)), t à X liên t ìv X |G l

b) Gi
trong X×Y. T X ((X×H)
f -1(H) = X ((X×H) f liên t

Bài 7. Cho (X, d 1) và (Y, d 2) là các không gian mêtríc và f: X Y là ánh x ên t
Ch gh f -1(B) c 2) là t g
(X, d1).
▪ Giải:
Kí hi ß(X) là h à,
Kí hi Ω là h Y sao cho f -1(B) ß(X) Ω là
c
Vì f liên t ên ngh àm Ω ch
m ß(Y) Ω, suy ra n ß(Y) thì f -1(B) ß(X).

Bài 8. Cho ánh x f ên các t 1, F 2 m. Ch
h c f trên m Fi ì f liên t ên F1 F2 Fm. Ch
ví d i.

▪ Giải:
m
G n} là dãy các ph F h ãy Fi
i 1 i
ãy con {x nk } ãy {xn} có th ành h ãy con sao cho
m ãy con i. Do F i f liên t ên Fi, nên
f( x n ) = f | Fi( x n ) f |Fi(x) = f(x).
k k

Suy ra r f(xn ành h ãy con h f f(xn)}
m
hôi t f(x), t f liên t ên Fi .
i 1

i thì kh i xác
1
0 = {0}, F i = f
i
1 v Fi
f(x) =
0 v F0

- 34 -


i à f liên t ên m i

liên t ên Fi .
i 1

Bài 9. Cho (X, d 1) và (Y, d 2) là các không gian mêtríc. Ch f: X
Y liên t à ch compact A trong X, ánh x f |A là liên t
▪ Giải:
Gi X, f |A là liên t N ãy {xn} các ph
t ìt 1, x2
f(xn) = f |A(xn) f |A(x) = f(x). Suy ra, f liên t ên X.
Chi à hi ên.

Bài 10. Gi f là song ánh liên t êtríc compact X vào không gian
-1
mêtríc Y. Ch f liên t ên Y. C
thi
▪ Giải:
Vì m à không gian Hausdorff, nên theo h ì f là
f -1 liên t ên Y.
à gi f: (0, 1) {2}
b f(x) = x x (0, 1) và f(2) = 1. Rõ ràng f là song ánh liên t êtric
-1
(0, 1) {2} (không f không
liên t ên (0, 1] ( c ên t

Bài 11. G f là ánh x ên t êtríc compact X vào không gian mêtríc
Y. Ch f liên t ên X.
▪ Giải:
G 1, d2 l à các mêtríc c à Y. Do tính liên t f nên > 0 cho
àx X, t (x) > 0 sao cho d1(y, x) < (x) kéo theo d 2(f(y), f(x)) < . (1)
2
1
Vì h ình c (x)): x X} là ph ên
2
1
t i, (xi
2

- 35 -


1
= min{ (x1), (x2 (xn)} x, y X th 1(x, y) < , vì h à
2
1
m ên t i sao cho d 1(x, xi) < (xi
2
1
d1(y, xi) 1(y, x) + d 1(x, xi) < + (xi) (xi).
2

2(f(x), f(y)) 2(f(x), f(x i)) + d2(f(xi), f(y)) < + = .
2 2
V f liên t ên X.

Bài 12. G à không gian mêtríc và A là t
r nh x f: X [0, ) f(x) = dist(x, A) = inf{d(x, y): y A} liên t
trên X.
▪ Giải:
V 0, x X và y A ta có:
dist(x, A) 0) + d(x0, y).
0) + dist( x0, A). Suy ra, dist(x, A) dist(x0, A) 0).

0, A) dist(x, A) 0).

Suy ra: |dist(x, A) dist(x0, A)| 0).

Và vì v f liên t ên X.

Bài 13. Gi f là ánh x ên t êtríc liên thông X vào không gian
mêtríc Y. Ch f(X) liên thông trong Y.
▪ Giải:
Gi f(X) không liê 1 và
G2 sao cho G 1 G2 = f(X).
Do f liên t ên f -1(Gi) m à rõ ràng chúng khác r à
h ày mâu thu ì X liên thông.
V f(X) liên thông trong Y.

Bài 14. Kí hi àh hàm liên t không gian mêtríc compact X (v êtríc d)
vào t sao cho v x X, t x > 0 th ãn | f (x)| x f F.
Ch X sao cho | f(x)|
f F và x G.
▪ Giải:

- 36 -


V s Fn = {x X: |f(x)| n, f F}. Ta s
ch n là t .
Th k} là dãy b n h f liên t ên ta có
f(x) = lim f(x k ) n Fn Fn
k

Theo gi X, t x sao cho | f(x)| x,

f F Fn .
n 1

Vì X compact nên (X, d) thu ù th n0 có ph
r int Fn 0 f(x)| 0 f F và x G.

Bài 15. Cho (X, d) là không gian mêtric và v x) dist(x, X{x}).
Ch
a) M àm f: X R là liên t
b) M ãy {xn} X sao cho lim ( x n ) 0 ãy con h
n

▪ Giải:
(b).
Gi ãy {xn} X sao cho lim ( x n ) 0 n} không ch ãy con
n

h i dãy {yn} X sao cho limd ( xn , yn ) 0 và yn n n. N
n

{yn} ch ãy con h y n }, thì do lim d( x n , y n ) = 0 nên dãy con { x n } c
k n k k k
h ãy { y n } c ãy con h ào c
dãy {xn} và {yn ìv ãy t k} các s
h 1 = { xn : k N} và F 2 = { y n : k N}
k k
r Vì m à không gian chu ên theo b
t àm liên t f: X R sao cho f(x) = 1 x F1 và f(x) = 0 x F2
| f( x n ) f( y n )| = 1 trong khi lim d( y n , y n ) = 0. T f liên t
k k n k k
t ên X, mâu thu V
(a).
Ta kí hi àt (x ) 0. Do
ãy các ph ãy con h
Vì v àt
N ìv 1 = inf { (x ) | x X, dist(x, A) >
2 1 }. Ta s
minh r 2 > 0. N 2 = 0, thì t ãy {xn} các ph

- 37 -


lim (x n ) = 0 và d(xn, A) > 1 n} có dãy con h
n
trong A, mâu thu
G f: X R là hàm liên t àl > 0 tùy ý. Khi A, x> 0 sao cho
n x thì |f(x), f(y)| < .
2
n 1
Vì A compact nên t 1, x2 n A sao cho A S(x k , x k ).
k 1 3
1
1 = min { xk }k 1,..,n và 2 1 , 2 } và
3
l
N ist(x, A) > 1 thì (x ) > 2 2 ch õ
ràng | f(x) f(y)| < .
Còn n ist(x, A) 1 thì t A sao cho d(x, a) 1 . Suy ra t ên r
1
t k) < xk . Do
3
1
d(y, x k) d(a, xk) 1 + xk xk .
3
1 1
T f(x) f(y)| f(x) f(xk)| + | f(xk) f(y)| < + = .
2 2
f liên t ên X.

Bài 16. Ch êtríc X là compact n à ch àm th
liên t ên X là liên t à > 0, t A = {x } là h ó
ist(x, X{x}).
▪ Giải:
Gi êtríc X là compact. Theo bài t 11 thì m ên t ên X
là liên t
ên t > 0} là h
Th n ìh ình c {S(x, x A là vô h à
ph Khi g {S(x, x X A là ph A thì h
{S(x, x X = {S(x, x A {S(x, x X A là cái ph m c õ ràng không có
ph con h ày trái gi
Bây gi àm th ên t ên X là liên t àt Ah Ta s
ch

- 38 -


G n} là dãy các ph ãy này
h l ì rõ ràng t im ãy con h thì lim ( x n ) 0 (vì A h
n
h ). ài 15 thì {xn} ch ãy con h
V

- 39 -

Anh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian Topo

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a Anh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian Topo

Semelhante a Anh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian Topo (20)

Último

Último (20)

Anh Xa Lien Tuc Tren Khong Gian Topo