Exposición del metodo de Cramer para la Solución de sistemas lineales.

1. Licenciado Oscar Ardila
Chaparro

2. • Gabriel Cramer (31 de julio de 1704 - 4 de enero de 1752) fue un
matemático suizo nacido en Ginebra.
Mostró gran precocidad en matemática y ya a los 18 años recibe
su doctorado y a los 20 era profesor adjunto de matemática.
Profesor de matemática de la Universidad de Ginebra durante el
periodo 1724-27.
En 1750 ocupó la cátedra de filosofía
en dicha universidad. En 1731
presentó ante la Academia de las
Ciencias de París, una memoria
sobre las múltiples causas de la
inclinación de las órbitas de los
planetas.
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3. • El método de Cramer esta sustentado en el calculo de
determinantes, motivo por el cual su aplicación esta
restringida a matrices cuadradas.
Para calcular el determinante de una matriz 3x3 partimos
de la estructura de un sistema de ecuaciones como sigue:
a11 * x1 a12 * x2 a13 * x3 b1 Coeficientes
a21 * x1 a22 * x2 a23 * x3 b2 Variables
resultados
a31 * x1 a32 * x2 a33 * x3 b3
 
A * x b

4. • Tomando la matriz de coeficientes del sistema
a11 a12 a13
A a21 a22 a23 Matriz de Coeficientes
a31 a32 a33
• Calculamos el determinante como sigue:
a22 a23 a21 a23 a21 a22
A a11 a12 a13
a32 a33 a31 a33 a31 a32

5. • Tomando la matriz de coeficientes del sistema replicamos
las dos primeras columnas y realizamos las
multiplicaciones indicadas por las diagonales y el signo
indicado en cada color.
Multiplico por el signo (-)
a11 a12 a13 a11 a12 El resultado de cada diagonal
A a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
Multiplico por el signo (+)
El resultado de cada diagonal
A a11 * a22 * a33 a12 * a23 * a31 a13 * a21 * a32
a31 * a22 * a13 a32 * a23 * a11 a33 * a21 * a12

6. • Siendo A una matriz coeficientes) de nxn perteneciente
 (de
al sistema A * x b las respuestas del sistema vienen
dadas por.
Donde D1 , D2 y D3 son matrices construidas a partir
D1 del cambio de la columna de la matriz A que indica el 
x1 subíndice de x por los valores del vector de resultados b
A
D2
x2 b1 a12 a13 a11 b1 a13 a11 a12 b1
A D1 b2 a22 a23 D2 a21 b2 a23 D3 a21 a22 b1
b3 a32 a33 a31 b3 a33 a31 a32 b1
D3
x3
A

7. • La aplicación de la regla de Cramer se sustenta en
cuatro simples procesos:
– Primero debemos plantear la matriz de coeficientes y el
vector de resultados del sistema.
– Después mediante la regla de Cramer planteamos las
matrices D1, D2 etc.
– Calculamos los valores de los determinantes de cada
matriz planteada.
– Y por ultimo para obtener las respuestas del sistema
reemplazamos los valores calculados realizando las
divisiones indicadas en la regla de Cramer.

8. • Resolver el siguiente sistema de ecuaciones 3x3 ,
empleando la regla de Cramer:
2 * x1 4 * x2 6 * x3 18 Coeficientes
4 * x1 5 * x2 6 * x3 24 Variables
resultados
3 * x1 1* x2 2 * x3 4
Primero planteamos la matriz de coeficientes y el vector de
resultados.
2 4 6 18

A 4 5 6 b 24
3 1 2 4

9. • Aplicando la opción dos para el calculo de determinantes
tenemos.
*(-)
2 4 6 2 4
A 4 5 6 4 5
3 1 2 3 1
*(+)
• Sumando los resultados de las diagonales:
A 20 72 24 90 12 32 6

10. • De igual manera calculamos para D1, D2 y D3
18 4 6
D1 24 5 6 24
4 1 2
2 18 6
D2 4 24 6 12
3 4 2
2 4 18
D3 4 5 24 18
3 1 4

11. • Por ultimo reemplazamos y hallamos las respuestas del
sistema:
D1 24
x1 4
A 6
D2 12
x2 2
A 6
D3 18
x3 3
A 6

12. Esperamos que esta información oriente tu proceso formativo y la
comprensión de los conceptos de la asignatura.
Licenciado Oscar Ardila
Chaparro