"Não é possível refazer este país, democratizá-lo, humanizá-lo, torná-lo sério, com adolescentes brincando de matar gente,...
....DownloadsAcreditar na          Vida.pps
MatrizesQual o seu significado imediato?Uma tabela de dupla entrada contendo dados numéricos( na grande maioria das vezes)...
Ex: As notas finais dos alunos deuma série, podem formar umamatriz cujas colunas correspondemàs matérias lecionadas naquel...
MATRIZES DIFERENTES SIGNIFICADOS
Operações entre duas matrizesO polígono EFGH é uma translação do polígono  ABCD em quantas unidades na horizontal e  na ve...
Represente em uma matriz A(4x2) ascoordenadas dos vértices dopolígono ABCD, de maneira que cadalinha da matriz contenhacoo...
• Represente em uma matriz B(4x2) as  coordenadas dos vértices do  polígono EFGH, de maneira que  cada linha da matriz con...
Escreva uma matriz C(4x2) de tal forma que A + C = B
Matriz de compensação37 62 4563 38 55             37 62 45
a)Se forem ao ar simultaneamente A1 e B3, qual aporcentagem de audiência prevista para cadaprograma?b) Se forem ao ar simu...
MATRIZ DE CODIFICAÇÃO: DESENHANDO COM                MATRIZES
Um tipo de matriz é aquela em que seus elementos respeitam determinada relação matemática entre os índices que definem sua...
Se o elemento cij= 0, não devemos unir i com jSe o elemento cij= 1, devemos unir i com j
Em uma prova com 20 questões, cadaquestão respondida corretamenteganha-se 2 pontos, cada questão nãorespondida perde-se 1 ...
ACERTOS   ERROS   BRANCOCAMILAPEDRORESULTADO    PONTOSACERTOSERROSEM BRANCO
Calcule quantos pontos cada um feze coloque o resultado em umamatriz E2x1.
Uma empresa, que possui duasconfeitarias, chamadas A e B fabrica3 tipos de bolos: 1, 2 e 3, os quaissão feitos de farinha,...
Confeitaria Bolo tipo1   Bolo tipo2  Bolo tipo3    A       50 unidades 30 unidades 25 unidades    B       29 unidades 20 u...
A direção da empresa, a fim de atenderà demanda, quer saber a quantidadede cada uma das cinco matérias primasque deve aloc...
Matriz Transposta: Dada uma matrizA=(aij)mxn, chama-se transposta de A amatriz At=(aij)nxm tal que a’ji=aij, para todoi e ...
Matrizes Inversíveis: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal...
Qual é a inversa da matriz A =   ?Qual é a inversa da matriz A =   ?
DETERMINANTESA teoria dos determinantes teveorigem em meados do século XVII,quando eram estudados processospara resolução ...
Determinante de uma matriz ordem 1O determinante da matriz de ordem , é o próprio número que origina a matriz. Dada uma ma...
Determinante de matriz de ordem 2O determinante de uma matriz desegunda ordem é a diferença entre oproduto dos termos da d...
Determinante de matriz de terceiraordemO determinante de uma matriz 3x3 écalculado através de suas diagonais.Para calcular...
Calcular o determinante             3125
Menor Complementar:Consideremos uma matriz M de ordem n≥2;Seja aij um elemento de M. Definimos menor complementar do eleme...
Seja M=         calculemos D11 e D32          , então D11=          , então D32=
Complemento algébrico do elemento aij - CofatorConsideremos uma matriz de ordem n≥2; seja aij um elemento de M. Definimos ...
Seja M =            calculemos A11, A12, A13A11= (-1) 1+1   =A12= (-1)1+2    =A13= (-1)1+3    =
Teorema Fundamental (de Laplace)O determinante de uma matriz M, de ordem n≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma ...
Calcule o determinante da matriz abaixo   3   4    2    1   5   0   -1   -2   0   0    4   0  -1   0   3     3
TrabalhoPropriedades dos determinantes
Matriz de Vandermonde (ou das potências)São as matrizes de ordem n ≥2,            .   .        .           .            . ...
As colunas das matrizes são formadas por potências de mesma base, com expoente inteiro, variando desde 0 até n -1 ( os ele...
O determinante V(a1,a2,a3,...,an) éigual ao produto de todas asdiferenças possíveis entre oselementos característicos, com...
=(5-(-3)) . (5 -1) . ( 5 – 2) . ( -3 -1) . (-3 -2) . (1 – 2)=    8.4.3.(-4).(-5).(-1) = -1920
Calcule os determinantes abaixo:
Resolva a equação:   1    1    1     1   1    2    x    -5                       = 0   1    4    x2   25   1    8    x3 -125
Processo de Cálculo da Inversa de     uma Matriz Quadrada MTeorema: Se M é uma matriz quadradade ordem n e determinante M ...
Qual a condição sobre a para que a matrizM=                Seja inversível?
Sistemas Lineares
Vamos resolver: 2x - 3y = 11  x + 2y = 2Para um sistema linear qualquer,  podemos associar uma matriz  denominada completa...
• Dizemos que o sistema linear está  escalonado quando realizarmos  combinações lineares entre as linhas da  matriz comple...
2 -3 11                   L1 1 2 2                     L2             2      -3      11L1-2L2       0      -7       7     ...
A matriz do sistema foi escalonada,.Na nova equação da linha2 da matriztemos:0x – 7y = 7 ou y = - 1Substituindo esse valor...
Vamos escalonar?  x+ y+ z=3 2x – y – 2z = 2  x + 2z = 4S= {(2, 0, 1)}
No método de Cramer, o aluno segue uma rotina determinada- montagem e cálculo dos determinantes, e divisão entre eles.No m...
Escalonamento x CramerApesar de a regra de Cramer ser uma regra geral para a resolução   de sistemas lineares, na prática ...
Resolver o sistema abaixo:  x – 3y = -6 2x + y + z = 1 -x + 2y – 2z = 6S={(0, 2, -1)}
Por Cramer o sistema será apenasidentificado como possível eindeterminado, mas não ajudaria naresolução. x+y+z=3 2x – y + ...
• O método de Sarrus para a  obtenção de um determinante é  bastante prático de ser utilizado em  outra situações , que nã...
Conhecendo as coordenadas dosvértices de um triângulorepresentado no plano cartesiano, épossível calcularmos sua área pori...
..área de triângulo.ggb
Área(ABC)= área(ADEF) –área(AFC) – área(ABD) – área(BCE)
Área(DEFC)= (xB - xC).(yA - yC)Área(BFC) = [(xB - xC).(yB - yC)]/2Área(ABE) = [(xB - xA).(yA- yB)]/2Área(ADC) = [(xA - xC)...
• Por determinante    ½xA.yB+xC.yA+xB.yC-(xC.yB+xA.yC+xB.yA)]/2
Vamos determinar a área do polígono?
De outra maneira, em uma extensãode regra de Sarrus, o cálculo da áreade um polígono de n lados,representado no plano cart...
1/2
• Nos produtos indicados pelas setas,  vale, seguindo o mesmo raciocínio do  cálculo pelo método de Sarrus.• Metade do res...
Calcule a área do pentágono COISArepresentado abaixo
Qual a área do polígono?
Discussão de um Sistema Linear
Se b= 5/6 S= {(5,-5)} Sist. possível e determinado –                      S.P.D.                     Sistema impossível – ...
1) Vamos discutir o sistema  Em função dos parâmetros a e b
2)Encontre o valor de a para que osistema             + Seja possível. Para o valor encontrado de a ache a solução geral d...
Sistemas Lineares homogêneosSe num sistema linear todos os termos independentes são nulos, o sistema é denominado sistema ...
Como os sistemas homogêneos sãosempre possíveis, são os únicos quepodem ser classificados apenas apartir do cálculo do det...
D=0 SPIVamos determinar uma solução geral Fazendo y = k,   S={(3k/2,k) , k ϵ R}
D≠ 0      o sistema é homogêneo,então a única solução é a trivial, ouseja S= {(0, 0, 0)}
Verifique se o sist. linearhomogêneo é determinado ou indeterminado
Calcule o valor de a para os quais o  sistemaAdmita outras soluções além de x = y = z = 0       a= 1 , a = -1
Verifique se o sistema  x    y z   x   y t   x   z t   y t z  Admite soluções próprias
Aplicações
O latão é uma liga metálica compostabasicamente de cobre e zinco. Em geral aporcentagem de zinco na liga varia de20% a 35...
Essa empresa foi consultada sobre a  probabilidade de fazer uma entrega  de certa quantidade de latão, de  modo que no tot...
b)Qual é a quantidade máxima que ela poderia obter de latão com25% de zinco, com base em seus estoques atuais?
 Joaquim pagou n reais por cada uma de m canetas e m reais por cada um de n lápis, tendo gastado em média R$7,50 por item...
Um grupo de amigos acabou de comer uma pizza. Se cada um der R$ 8,00 faltarão R$ 2,50 para pagar a pizza e se cada um der...
Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim cu...
Cada lata deve conter meio quiloda mistura e o custo total dosingredientes de cada lata deve serde R$ 5,75. Além disso, a...
a) Escreva o sistema linear que   representa a situação descrita   acima.b) Resolva o referido   sistema, determinando as ...
Roberto gosta de fazer caminhada em uma pista próxima a sua casa. Ao longo da pista existem uma lanchonete, um posto médi...
 Do posto médico à lanchonete passando pela banca caminhou 800 passos e da banca ao posto passando pela lanchonete, camin...
Ao descontar um cheque, recebisomente notas de R$ 10,00 e R$ 50,00,em um total de 14 notas. Quando fuiconferir, descobri ...
João contou os coelhos, os patos e osbois que havia em sua fazenda, obtendoum total de 340 animais. A seguir,verificou qu...
Em uma mesa de lanchonete, oconsumo de 3 sanduíches, 7 xícarasde café e 1 pedaço de tortatotalizou R$ 31,50. Em outra mes...
   Um estudante em férias observou que durante d dias:Choveu 7 vezes de manhã ou de tarde;Houve 5 manhãs sem chuva;Hou...
 Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tiveres a idade que eu tenho, juntos...
NÚMEROS COMPLEXOS
Os números complexos apareceramno século XVI ao longo dasdescobertas de procedimentos geraispara resolução de equaçõesalgé...
No século XVIII são mais usadosna medida que se descobre queos complexos permitem aconexão de vários resultadosdispersos d...
• No entanto, nada é feito para esclarecer o significado desses novos números. No século XIX, aparece a representação geom...
• Os números complexos passam a  ser aplicados em várias áreas do  conhecimento humano, dentro e  fora da Matemática
http://matmagias.blogspot.com/ 2009/06/ainda-proposito-dos- numeros-complexos.html
• Introdução Em 1545, Jerônimo Cardano (1501-1576),  em seu livro “A Grande Arte”, mostrou o  método para resolver equaçõe...
• Embora não se sentisse completamente  a vontade em relação às raízes  quadradas de números negativos  (diziam que eram i...
Portanto x = 2 +       +2-      =4. Bombelli trabalhava Sistematicamente com a quantidade     ,que hoje chamamos de unidad...
Apenas no séc. XIX, quandoGauss(1787-1855), o grandematemático da época e um dosmaiores de todos os tempos, divulgaa repre...
Os números complexosconstituem um conjunto C, ondeestão definidas operações deadição e de multiplicação com aspropriedades...
•*Existem e são únicos osnúmeros 0 e 1 satisfazendo àscondições a+0=a, a.1=a•*A todo real a corresponde umúnico número rea...
Além disso, os números reais estão  incluídos em C e:a) Existem um nº complexo i com i2 = -1b) Todo número complexo pode s...
Fixando um sistema de coordenadas  no plano, o complexo z = x + yi é  representado pelo ponto P(x, y) . O  ponto P é chama...
Os números representados no eixo x são da forma (x, 0)= x + 0i = x, isto é, são números reais, por esse motivo, o eixo dos...
• Módulos e Conjugados• Dado um nº Complexo z = a +bi, e z≠0,  temos z.(1/z) = 1. Convém definir o  conjugado de um nº com...
• Chama-se módulo de z (|z|) ao número real  não negativo |z|=         .• Geometricamente |z| mede a distancia de  Oaz    ...
• Corolário:Se um polinômio de coeficientes reais  admite uma raiz complexa a +bi, a e b  reais, então ele admite também a...
Vamos fazer exercícios?
• Lista de classe nº 1• Lista para casa nº 1
FORMA TRIGONOMÉTRICAz= a+ bi                               z=(a,b)                          |z| = r                       ...
Encontrar a forma trigonométrica• z = 3 +3i|z|=            =3   cosѲ=         Ѳ= π/4 +2kπ, k ϵ Z   argumentoz= 3    (cos(
• 1+   i=• -8
Multiplicação de ComplexosSendo
Na figura P é afixo do número complexo z.Determine o complexo
Na figura abaixo, o triângulo ABC éisósceles e está inscrito em umacircunferência de raio 3.                Im(z)         ...
• No plano de Argand-Gauss, as  imagens dos complexos z, tais que  |z + z| = 6 e z.z = 10, são vértices de  um polígono re...
RadiciaçãoDado um número complexo z, chama-se raízenésima de z, e denota-se , a um númerocomplexo , tal que       =Exs:   ...
SEGUNDA FÓRMULA DE MOIVRETeorema:Dado o número complexo z = ƿ (cosѲ + i senѲ)  e o número natural n (n ≥ 2), então existem...
Interpretação geométrica da      multiplicação de complexosQuando multiplicamos um complexo zpor            , o vetor que ...
O argumento de z. [             ]éoargumento de z aumentado de Ѳ .Logo o vetor que representaz.[          ] é o resultado ...
• ABCD é um quadrado. Se A(1; 2) e  B(2; 5), determine as coordenadas  de C e D.             D      C            A       B...
O vetor AD é obtido por uma rotação de+ 90°. Portanto (D – A) = (B – A) [cos90° +i sen 90°].D – ( 1 + 2i) = ( 1 + 3i). i e...
ABCD é um quadrado.Dados A= (1, 2) , e B= (3, 5),determine as coordenadas C e D. Dois vértices consecutivos de umoctógon...
• No plano de Gauss, as imagens dos  complexos z, tais que |z + z| = 6 e z.  z = 10 são vértices de um polígono  regular.a...
Implementação   mód4 - encontro 1-
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Implementação mód4 - encontro 1-

  1. 1. "Não é possível refazer este país, democratizá-lo, humanizá-lo, torná-lo sério, com adolescentes brincando de matar gente, ofendendo a vida, destruindo o sonho, inviabilizando o amor. Se a educação sozinha não transformar a sociedade, sem ela tampouco a sociedade muda." Paulo Freire
  2. 2. ....DownloadsAcreditar na Vida.pps
  3. 3. MatrizesQual o seu significado imediato?Uma tabela de dupla entrada contendo dados numéricos( na grande maioria das vezes)Matrizes são freqüentemente utilizadas para organizar dados.
  4. 4. Ex: As notas finais dos alunos deuma série, podem formar umamatriz cujas colunas correspondemàs matérias lecionadas naquelasérie e cujas linhas representam osalunos.Na interseção de uma linha comuma coluna figura a nota daquelealuno naquela matéria.
  5. 5. MATRIZES DIFERENTES SIGNIFICADOS
  6. 6. Operações entre duas matrizesO polígono EFGH é uma translação do polígono ABCD em quantas unidades na horizontal e na vertical?
  7. 7. Represente em uma matriz A(4x2) ascoordenadas dos vértices dopolígono ABCD, de maneira que cadalinha da matriz contenhacoordenadas de um ponto, comabscissa na primeira coluna e aordenada na segunda coluna .
  8. 8. • Represente em uma matriz B(4x2) as coordenadas dos vértices do polígono EFGH, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna.
  9. 9. Escreva uma matriz C(4x2) de tal forma que A + C = B
  10. 10. Matriz de compensação37 62 4563 38 55 37 62 45
  11. 11. a)Se forem ao ar simultaneamente A1 e B3, qual aporcentagem de audiência prevista para cadaprograma?b) Se forem ao ar simultaneamente A2 e B2, qual redeterá maior audiência? Quantos por cento a mais?c) Qual das combinações de dois programas, um de Ae outro de B, permite a maior diferença entre asaudiências das duas redes no horário? E qualcombinação permite a menor diferença entre asaudiências?
  12. 12. MATRIZ DE CODIFICAÇÃO: DESENHANDO COM MATRIZES
  13. 13. Um tipo de matriz é aquela em que seus elementos respeitam determinada relação matemática entre os índices que definem sua posição na matriz. Obter a matriz A assim definida:A= (aij)3x3, tal que aij = i + 2j
  14. 14. Se o elemento cij= 0, não devemos unir i com jSe o elemento cij= 1, devemos unir i com j
  15. 15. Em uma prova com 20 questões, cadaquestão respondida corretamenteganha-se 2 pontos, cada questão nãorespondida perde-se 1 ponto, e cadaquestão respondida erradamenteperde-se 2 ponto,Camila acertou 12, errou 6 e as outrasdeixou em branco.Pedro acertou 13, errou 7 e as outrasem branco.
  16. 16. ACERTOS ERROS BRANCOCAMILAPEDRORESULTADO PONTOSACERTOSERROSEM BRANCO
  17. 17. Calcule quantos pontos cada um feze coloque o resultado em umamatriz E2x1.
  18. 18. Uma empresa, que possui duasconfeitarias, chamadas A e B fabrica3 tipos de bolos: 1, 2 e 3, os quaissão feitos de farinha, açúcar, leite emanteiga e ovos. Em cada semana,as vendas dessas duas confeitariassão estimadas conforme a matriz devenda semanal abaixo:
  19. 19. Confeitaria Bolo tipo1 Bolo tipo2 Bolo tipo3 A 50 unidades 30 unidades 25 unidades B 29 unidades 20 unidades 40 unidadesPara a fabricação desses bolos, o material éusado de acordo com a matriz n seguinte: Bolo farinha açúcar leite manteiga ovos Tipo1 500g 200g 500ml 150g 4 Tipo2 400g 100g 300ml 250g 5 Tipo3 450g 150g 600ml 0 6
  20. 20. A direção da empresa, a fim de atenderà demanda, quer saber a quantidadede cada uma das cinco matérias primasque deve alocar às suas duasconfeitarias. A resposta deve ser umamatriz P, do tipo 2x5, onde as linhasrepresentam as duas confeitarias e ascolunas correspondem aos cincomateriais usados.
  21. 21. Matriz Transposta: Dada uma matrizA=(aij)mxn, chama-se transposta de A amatriz At=(aij)nxm tal que a’ji=aij, para todoi e todo j.Matriz Simétrica: Chama-se matrizsimétrica toda matriz quadrada A, deordem n, tal que At = A
  22. 22. Matrizes Inversíveis: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que AB= BA= In. Se A não é inversível, temos que A é uma matriz singular
  23. 23. Qual é a inversa da matriz A = ?Qual é a inversa da matriz A = ?
  24. 24. DETERMINANTESA teoria dos determinantes teveorigem em meados do século XVII,quando eram estudados processospara resolução de sistemaslineares de equações.
  25. 25. Determinante de uma matriz ordem 1O determinante da matriz de ordem , é o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem temos que o determinante é o número real
  26. 26. Determinante de matriz de ordem 2O determinante de uma matriz desegunda ordem é a diferença entre oproduto dos termos da diagonalprincipal e o produto dos termos dadiagonal secundária. Esses produtos sechamam, respectivamente, termoprincipal e termo secundário da matriz.
  27. 27. Determinante de matriz de terceiraordemO determinante de uma matriz 3x3 écalculado através de suas diagonais.Para calcular o determinante de matrizesde terceira ordem, utilizamos a chamadaregra de Sarrus, que resulta no seguintecálculo:
  28. 28. Calcular o determinante 3125
  29. 29. Menor Complementar:Consideremos uma matriz M de ordem n≥2;Seja aij um elemento de M. Definimos menor complementar do elemento aij, e indicamos por Dij, como sendo o determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de M.
  30. 30. Seja M= calculemos D11 e D32 , então D11= , então D32=
  31. 31. Complemento algébrico do elemento aij - CofatorConsideremos uma matriz de ordem n≥2; seja aij um elemento de M. Definimos cofator de aij, e indicamos por Aij, como sendo o número (-1)i+j. Dij
  32. 32. Seja M = calculemos A11, A12, A13A11= (-1) 1+1 =A12= (-1)1+2 =A13= (-1)1+3 =
  33. 33. Teorema Fundamental (de Laplace)O determinante de uma matriz M, de ordem n≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
  34. 34. Calcule o determinante da matriz abaixo 3 4 2 1 5 0 -1 -2 0 0 4 0 -1 0 3 3
  35. 35. TrabalhoPropriedades dos determinantes
  36. 36. Matriz de Vandermonde (ou das potências)São as matrizes de ordem n ≥2, . . . . . . . . . . . .
  37. 37. As colunas das matrizes são formadas por potências de mesma base, com expoente inteiro, variando desde 0 até n -1 ( os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica cujo primeiro elemento é 1.
  38. 38. O determinante V(a1,a2,a3,...,an) éigual ao produto de todas asdiferenças possíveis entre oselementos característicos, com acondição de que, nas diferenças, ominuendo tenha índice maior que osubtraendo.
  39. 39. =(5-(-3)) . (5 -1) . ( 5 – 2) . ( -3 -1) . (-3 -2) . (1 – 2)= 8.4.3.(-4).(-5).(-1) = -1920
  40. 40. Calcule os determinantes abaixo:
  41. 41. Resolva a equação: 1 1 1 1 1 2 x -5 = 0 1 4 x2 25 1 8 x3 -125
  42. 42. Processo de Cálculo da Inversa de uma Matriz Quadrada MTeorema: Se M é uma matriz quadradade ordem n e determinante M ≠0, entãoa inversa de M é: = M’ = matriz dos cofatores
  43. 43. Qual a condição sobre a para que a matrizM= Seja inversível?
  44. 44. Sistemas Lineares
  45. 45. Vamos resolver: 2x - 3y = 11 x + 2y = 2Para um sistema linear qualquer, podemos associar uma matriz denominada completa, que é formada pelos coeficientes das incógnitas e também pelos termos independentes.
  46. 46. • Dizemos que o sistema linear está escalonado quando realizarmos combinações lineares entre as linhas da matriz completa de modo a zerar todos os elementos aij da matriz em que i > j. 2 -3 11 Essa é a matriz completa 1 2 2
  47. 47. 2 -3 11 L1 1 2 2 L2 2 -3 11L1-2L2 0 -7 7 Aqui está a combinação linear entre as linhas 1 e 2 da matriz,m gerando uma nova linha 2
  48. 48. A matriz do sistema foi escalonada,.Na nova equação da linha2 da matriztemos:0x – 7y = 7 ou y = - 1Substituindo esse valor em uma dasequações iniciais, obtém-se x = 4
  49. 49. Vamos escalonar? x+ y+ z=3 2x – y – 2z = 2 x + 2z = 4S= {(2, 0, 1)}
  50. 50. No método de Cramer, o aluno segue uma rotina determinada- montagem e cálculo dos determinantes, e divisão entre eles.No método do escalonamento o aluno vê envolvido em avaliar possibilidades e escolher estratégias, adotando, dessa forma, uma postura que remete à mobilização de habilidades mais elaboradas e valorizadas na aprendizagem matemática.
  51. 51. Escalonamento x CramerApesar de a regra de Cramer ser uma regra geral para a resolução de sistemas lineares, na prática ela requer uma quantidade de operações (adições, subtrações, multiplicações e divisões) muito superior ao método do escalonamento, além do fato de ela só servir para resolver sistemas possíveis e determinados. Vejamos o que ocorre com um sistema de vinte equações e vinte incógnitas:Pelo método do escalonamento serão necessárias até 16.000 operaçõesPela regra de Cramer serão necessárias até 1.021.818.843.434.190.000.000 operações.Muitos dos problemas práticos envolvem uma quantidade muito grande de operações, e mesmo utilizando programas de computadores, é nítida a vantagem do método do escalonamento, pois se deseja o máximo de eficiência e, portanto, o menor tempo de processamento.
  52. 52. Resolver o sistema abaixo: x – 3y = -6 2x + y + z = 1 -x + 2y – 2z = 6S={(0, 2, -1)}
  53. 53. Por Cramer o sistema será apenasidentificado como possível eindeterminado, mas não ajudaria naresolução. x+y+z=3 2x – y + 3z = 4 -x -4y = -5S={(5 – 4k, k, -2 + 3k), kϵ R}
  54. 54. • O método de Sarrus para a obtenção de um determinante é bastante prático de ser utilizado em outra situações , que não envolvam resolução de sistemas lineares , por ex. em cálculo de áreas de polígonos representados no plano cartesiano.
  55. 55. Conhecendo as coordenadas dosvértices de um triângulorepresentado no plano cartesiano, épossível calcularmos sua área porintermédio da composição e/ou decomposição de polígonos auxiliares.
  56. 56. ..área de triângulo.ggb
  57. 57. Área(ABC)= área(ADEF) –área(AFC) – área(ABD) – área(BCE)
  58. 58. Área(DEFC)= (xB - xC).(yA - yC)Área(BFC) = [(xB - xC).(yB - yC)]/2Área(ABE) = [(xB - xA).(yA- yB)]/2Área(ADC) = [(xA - xC).(yA - yC)]/2Área do triângulo ABC=(xB - xC).(yA - yC)-{[(xB - xC).(yB - yC)]/2 + [(xB - xA).(yA- yB)]/2 + [(xA - xC).(yA - yC)]/2}Área do ABC = [xA.yB+xC.yA+xB.yC- (xC.yB+xA.yC+xB.yA)]/2
  59. 59. • Por determinante ½xA.yB+xC.yA+xB.yC-(xC.yB+xA.yC+xB.yA)]/2
  60. 60. Vamos determinar a área do polígono?
  61. 61. De outra maneira, em uma extensãode regra de Sarrus, o cálculo da áreade um polígono de n lados,representado no plano cartesiano,pode ser feito como segue, sendo xi eyi as coordenadas de cada vértice dopolígono com n vértices.A=
  62. 62. 1/2
  63. 63. • Nos produtos indicados pelas setas, vale, seguindo o mesmo raciocínio do cálculo pelo método de Sarrus.• Metade do resultado final da soma, em módulo, é igual à área do polígono de n lados.• O ponto inicial pode ser qualquer um dos vértices do polígono e o sentido, horário ou anti-horário, não importa, dado que o valor final é tomado em módulo.
  64. 64. Calcule a área do pentágono COISArepresentado abaixo
  65. 65. Qual a área do polígono?
  66. 66. Discussão de um Sistema Linear
  67. 67. Se b= 5/6 S= {(5,-5)} Sist. possível e determinado – S.P.D. Sistema impossível – S.I.
  68. 68. 1) Vamos discutir o sistema Em função dos parâmetros a e b
  69. 69. 2)Encontre o valor de a para que osistema + Seja possível. Para o valor encontrado de a ache a solução geral do sistema,isto é, ache expressões que representem todas as soluções do sistema. Explicite duas dessas soluções.
  70. 70. Sistemas Lineares homogêneosSe num sistema linear todos os termos independentes são nulos, o sistema é denominado sistema linear homogêneo.
  71. 71. Como os sistemas homogêneos sãosempre possíveis, são os únicos quepodem ser classificados apenas apartir do cálculo do determinante.Como não há chance de o sistemahomogêneo ser SI, se o determinantefor nulo, o sistema homogêneo seráSPI
  72. 72. D=0 SPIVamos determinar uma solução geral Fazendo y = k, S={(3k/2,k) , k ϵ R}
  73. 73. D≠ 0 o sistema é homogêneo,então a única solução é a trivial, ouseja S= {(0, 0, 0)}
  74. 74. Verifique se o sist. linearhomogêneo é determinado ou indeterminado
  75. 75. Calcule o valor de a para os quais o sistemaAdmita outras soluções além de x = y = z = 0 a= 1 , a = -1
  76. 76. Verifique se o sistema x y z x y t x z t y t z Admite soluções próprias
  77. 77. Aplicações
  78. 78. O latão é uma liga metálica compostabasicamente de cobre e zinco. Em geral aporcentagem de zinco na liga varia de20% a 35%, dependendo dascaracterísticas que se quer dar ao latão.Uma empresa possui em estoque doisgrandes lotes de latão, sendo um lote de4 toneladas de latão com 23% de zincona sua composição e um lote de 5toneladas de latão com 33% de zinco.
  79. 79. Essa empresa foi consultada sobre a probabilidade de fazer uma entrega de certa quantidade de latão, de modo que no total a porcentagem de zinco fosse de 25%a) Para cada tonelada com 25% de zinco, quantos quilos de cada tipo de latão que a empresa tinha em estoque seria necessários?
  80. 80. b)Qual é a quantidade máxima que ela poderia obter de latão com25% de zinco, com base em seus estoques atuais?
  81. 81.  Joaquim pagou n reais por cada uma de m canetas e m reais por cada um de n lápis, tendo gastado em média R$7,50 por item comprado. Em seguida, Joaquim observou que se cada caneta tivesse custado 1 real a menos e cada lápis tivesse custado 1 real a mais ele teria pago em média R$7,75 por cada item comprado. Determine a quantidade de caneta que Joaquim comprou.
  82. 82. Um grupo de amigos acabou de comer uma pizza. Se cada um der R$ 8,00 faltarão R$ 2,50 para pagar a pizza e se cada um der R$ 9,00 sobrarão R$ 3,50. Qual o preço da pizza?
  83. 83. Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$ 5,00, o quilo de castanha de caju,R$ 20,00, e o quilo de castanha-do-pará, R$ 16,00.
  84. 84. Cada lata deve conter meio quiloda mistura e o custo total dosingredientes de cada lata deve serde R$ 5,75. Além disso, aquantidade de castanha de caju emcada lata deve ser igual a um terçoda soma das outras duas
  85. 85. a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima.b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades em gramas, de cada ingrediente por lata.
  86. 86. Roberto gosta de fazer caminhada em uma pista próxima a sua casa. Ao longo da pista existem uma lanchonete, um posto médico e uma banca de revistas. Fazendo o mesmo caminho diariamente, Roberto constatou que , da lanchonete à banca de revistas, passando pelo posto médico, caminhou 1000 passos.
  87. 87.  Do posto médico à lanchonete passando pela banca caminhou 800 passos e da banca ao posto passando pela lanchonete, caminhou 700 passos. Considerando que cada um dos passos de Roberto mede 80cm, qual é o comprimento da pista.
  88. 88. Ao descontar um cheque, recebisomente notas de R$ 10,00 e R$ 50,00,em um total de 14 notas. Quando fuiconferir, descobri que o caixa havia seenganado, pois recebi tantas notas de R$50,00 quanto as de R$ 10,00 que deveriater recebido e vice-versa. Percebido oerro, verifiquei que, se gastasse R$240,00 da importância recebida, aindaficaria com o valor do meu cheque. Qualo valor do meu cheque?
  89. 89. João contou os coelhos, os patos e osbois que havia em sua fazenda, obtendoum total de 340 animais. A seguir,verificou que o nº de coelhos era o triplodo de patos e que o número de boisexcedia em 20 unidades o total de coelhose patos. Determine o número de patosque havia na fazenda.
  90. 90. Em uma mesa de lanchonete, oconsumo de 3 sanduíches, 7 xícarasde café e 1 pedaço de tortatotalizou R$ 31,50. Em outra mesa,o consumo de 4 sanduíches, 10xícaras de café e um pedaço detorta totalizou R$ 42,00. Quantodeve totalizar o consumo de 1sanduíche, 1 xícara de café e 1pedaço de torta nessa lanchonete?
  91. 91.  Um estudante em férias observou que durante d dias:Choveu 7 vezes de manhã ou de tarde;Houve 5 manhãs sem chuva;Houve 6 tardes sem chuvaCalcule d
  92. 92.  Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tiveres a idade que eu tenho, juntos teremos 135 anos. Qual é a minha idade?
  93. 93. NÚMEROS COMPLEXOS
  94. 94. Os números complexos apareceramno século XVI ao longo dasdescobertas de procedimentos geraispara resolução de equaçõesalgébricas de terceiro e quarto grau.No século XVII os complexos sãousados de maneira tímida parafacilitar os cálculos.
  95. 95. No século XVIII são mais usadosna medida que se descobre queos complexos permitem aconexão de vários resultadosdispersos da Matemática noconjunto dos números reais.
  96. 96. • No entanto, nada é feito para esclarecer o significado desses novos números. No século XIX, aparece a representação geométrica dos números complexos, motivada pela necessidade em Geometria, Topografia e Física, de se trabalhar com o conceito de vetor no plano.
  97. 97. • Os números complexos passam a ser aplicados em várias áreas do conhecimento humano, dentro e fora da Matemática
  98. 98. http://matmagias.blogspot.com/ 2009/06/ainda-proposito-dos- numeros-complexos.html
  99. 99. • Introdução Em 1545, Jerônimo Cardano (1501-1576), em seu livro “A Grande Arte”, mostrou o método para resolver equações do terceiro grau que é hoje chamada de Fórmula de Cardano. Bombelli (1526- 1572), discípulo de Cardano, em sua “Álgebra”, aplicou a fórmula de Cardano à equação x3 -15x -4 = 0 obtendo X= +
  100. 100. • Embora não se sentisse completamente a vontade em relação às raízes quadradas de números negativos (diziam que eram inúteis e sofísticas), Bombelli operava livremente com elas, aplicando-lhes as regras usuais da Álgebra. Bombelli mostrou que: = ... (vamos desenvolver)
  101. 101. Portanto x = 2 + +2- =4. Bombelli trabalhava Sistematicamente com a quantidade ,que hoje chamamos de unidade imaginária e representamos por i.
  102. 102. Apenas no séc. XIX, quandoGauss(1787-1855), o grandematemático da época e um dosmaiores de todos os tempos, divulgaa representação geométrica dosnúmeros complexos e a sensação dedesconforto desaparece (Mat. doE.M. vol3-SBM)
  103. 103. Os números complexosconstituem um conjunto C, ondeestão definidas operações deadição e de multiplicação com aspropriedades (comutativas,associativas, distributiva , *)
  104. 104. •*Existem e são únicos osnúmeros 0 e 1 satisfazendo àscondições a+0=a, a.1=a•*A todo real a corresponde umúnico número real (-a), e se a≠0um único nº real 1/a, tais que:•a+(-a)=0 e a.(1/a) =1
  105. 105. Além disso, os números reais estão incluídos em C e:a) Existem um nº complexo i com i2 = -1b) Todo número complexo pode ser escrito de uma maneira única na forma a + bi, onde a e b são reais (a é chamado parte real e b é chamado parte imaginária do complexo a+bi). Usa-se a notação Re(a+bi)= a e Im(a +bi)=b
  106. 106. Fixando um sistema de coordenadas no plano, o complexo z = x + yi é representado pelo ponto P(x, y) . O ponto P é chamado de imagem do complexo z.O plano no qual representamos os complexos é chamado de plano de Argand-Gauss (Argand 1768-1822, matemático francês).
  107. 107. Os números representados no eixo x são da forma (x, 0)= x + 0i = x, isto é, são números reais, por esse motivo, o eixo dos x é chamado de eixo real.Os complexos representados no eixo y são da forma (0, y) = 0 + yi = yi, esses complexos são chamados de números imaginários puros.
  108. 108. • Módulos e Conjugados• Dado um nº Complexo z = a +bi, e z≠0, temos z.(1/z) = 1. Convém definir o conjugado de um nº complexo =a - bi• Geometricamente o conjugado é representado pelo simétrico de z relativamente ao eixo z=(a,b) =(a,-b)
  109. 109. • Chama-se módulo de z (|z|) ao número real não negativo |z|= .• Geometricamente |z| mede a distancia de Oaz z=(a, b) = =(a+bi)(a-bi) = = |z|
  110. 110. • Corolário:Se um polinômio de coeficientes reais admite uma raiz complexa a +bi, a e b reais, então ele admite também a raiz a – bi.P(a + bi) = 0 = 0 + 0i, então, pelo teorema P(a –bi) = 0 – 0i = 0
  111. 111. Vamos fazer exercícios?
  112. 112. • Lista de classe nº 1• Lista para casa nº 1
  113. 113. FORMA TRIGONOMÉTRICAz= a+ bi z=(a,b) |z| = r b= r sen Ѳ Ѳ a= r cos Ѳ z= a+bi = r cosѲ + r senѲ i = r (cosѲ + i senѲ)
  114. 114. Encontrar a forma trigonométrica• z = 3 +3i|z|= =3 cosѲ= Ѳ= π/4 +2kπ, k ϵ Z argumentoz= 3 (cos(
  115. 115. • 1+ i=• -8
  116. 116. Multiplicação de ComplexosSendo
  117. 117. Na figura P é afixo do número complexo z.Determine o complexo
  118. 118. Na figura abaixo, o triângulo ABC éisósceles e está inscrito em umacircunferência de raio 3. Im(z) 2 Re(z) Qual a área do triângulo ABC ?
  119. 119. • No plano de Argand-Gauss, as imagens dos complexos z, tais que |z + z| = 6 e z.z = 10, são vértices de um polígono regular.a) Qual é o perímetro desse polígono?b) Qual é a área desse polígono?
  120. 120. RadiciaçãoDado um número complexo z, chama-se raízenésima de z, e denota-se , a um númerocomplexo , tal que =Exs: 1 é um valor de pois 13 = 1 - é um valor de pois =1 - é um valor de pois =1
  121. 121. SEGUNDA FÓRMULA DE MOIVRETeorema:Dado o número complexo z = ƿ (cosѲ + i senѲ) e o número natural n (n ≥ 2), então existem n raízes enésimas de z que são da forma:em R+ e K ϵ Z
  122. 122. Interpretação geométrica da multiplicação de complexosQuando multiplicamos um complexo zpor , o vetor que representa zsofre uma rotação de um ângulo em tornoda origem.Como tem módulo =1,z.[ ] tem o mesmo módulo que z.
  123. 123. O argumento de z. [ ]éoargumento de z aumentado de Ѳ .Logo o vetor que representaz.[ ] é o resultado darotação do vetor que representa z deum ângulo Ѳ em torno da origem.
  124. 124. • ABCD é um quadrado. Se A(1; 2) e B(2; 5), determine as coordenadas de C e D. D C A B D’ C’
  125. 125. O vetor AD é obtido por uma rotação de+ 90°. Portanto (D – A) = (B – A) [cos90° +i sen 90°].D – ( 1 + 2i) = ( 1 + 3i). i eD = 1 + 2i + i + 3i2 = -2 + 3i = (-2; 3).Vetor AD = vetor BC. Daí D - A = C – B,C = B + D – A = ( -1; 6)A é o ponto médio de DD’.Logo D’= (4; 1) e C’= ( 5, 4)
  126. 126. ABCD é um quadrado.Dados A= (1, 2) , e B= (3, 5),determine as coordenadas C e D. Dois vértices consecutivos de umoctógono regular convexo são (1, 2) e( 3, -2). Determine o centro dooctógono
  127. 127. • No plano de Gauss, as imagens dos complexos z, tais que |z + z| = 6 e z. z = 10 são vértices de um polígono regular.a) Qual é o perímetro desse polígono?b) Qual a área desse polígono?

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