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Após ser achado 26 como solução, poderia ser aplicado o fator de correção, 13/26, no valor suposto 12.
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12p = 8o      12p – 1p + 1o = 7o + 1p + 6tzin 11p + 1o = 7o + 1p + 6       10p – 6o = 6 supondo p = 2 e o = 3, teremos 10....
Regra da “ dupla falsa posição”A regra anterior resolve equações dotipo ax = b, mas para solucionarequações do tipo ax + b...
Para achar x tal que ax + b =c, atribui-sedois valores “falsos” x1 e x2.Se d1 = ax1 + b – c e d2 = ax2 + b – c, aproporção...
A regra, em linguagem de hoje, sef(x)=ax +b
Uma outra versão da mesma regra:Para problemas não lineares a regrapoderá dar soluções aproximadas.Esse problema não linea...
Em notação de hoje:Após 3 anos o capital ficarámultiplicado por (1,2)3Após 4 anos o capital ficarámultiplicado por (1,2)4S...
Obtendo-se x= 3,7870, que nos dá 3anos, 9 meses e 15 dias.
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Problemas de balanceamento de               misturas1) Um técnico de laboratório tem duas  soluções de ácido sulfúrico (so...
Serão utilizadas x ml da sol. de 30% ácida e  y ml da sol. 70% ácida. A solução  resultante será de 200 ml e 60% ácida.Daí...
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Queremos que esses 510 litroscorresponda a 75% da solução ( soluçãoresultante 25% de álcool).    Adicionar 80 litros de ál...
O Banho de ArquimedesArquimedes de Siracusa foi um grande físico ematemático grego do séc. 3 a.C.,pesquisador da“Universid...
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A massa de um corpo é uma quantidadecalculável por comparação com outramassa, balança de dos pratos.O volume do corpo , de...
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Volume da coroa =            +Chega-se então ao sistema:   x + y =m Supondo que a coroa do Rei Hierão, tivesse massa de 42...
Problemas1) Duas toneladas de uma liga metálica   contém 15% de estanho. Que quantidade   de estanho deve ser adicionada a...
2) A densidade do ouro é de 19,3g/cm3e a do cobre é de 8,9 g/cm3. Uma ligade ouro e cobre tem 6 cm3 e 95g. Quaissão as qua...
3) Durante a discussão da reforma do  sistema previdenciário, na década de 1990,  aventou-se a hipótese de ser adotada, a ...
4) Considere 3 números a, b, c. A média aritmética entre a e b é 17 e a média aritmética entre a, b, e c é 15. Qual é o va...
5) Numa caixa, o número de moedas de1 real é o triplo do número de moedasde 25 centavos. Se tirarmos 2 moedasde 25 centavo...
6) Eu tenho o dobro da idade que tu tinhasquando eu tinha a tua idade, quando tutiveres a minha idade, a soma das nossasid...
7) Uma amostra de água salgada apresenta 18% de salinidade. Isto significa que em 100 gramas de amostra teremos 18 gramas ...
Equações do segundo grauDa Antiga Babilônia até DiofantoOs antigos babilônios (ou babilônicos -  1800.a.C), habitantes do ...
Dado x + y = p . Tem-se entãode ondeDaqui, se deduz(os números negativos ainda não haviam sido inventados).
Assim x e y acabam sendo expressos comoCerca de dois milênios depois (em torno do ano  250 da era cristã), este mesmo méto...
Exemplos encontrados nas tábuas de argila dos antigos babilônios, bem como no livro Arithmetica de Diofanto, resolvidos pe...
Ex3) Dois números cuja soma é 10 e cuja somados seus cubos é 370.Ex4) Encontre dois números x e y satisfazendox – y = 10 e...
Ex7) Resolva a equação x2 + 6x = 16 pelo  método babilônico descrito no ex. anterior
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No seu trabalho, Al-Khwarizmi apresenta doismétodos geométricos de solução da equaçãodo 2º grau. Al-Khwarizmi não fazia us...
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x2 + 10x = 39 (pelo 2º método de Al-Khawarizmi)x2 + 5x + 5x = 39
x2 + 5x + 5x + 52 = 39+52(x + 5)2 = 39+25 = 64
Equações do 2º grau: Os dois tipos fáceisI) Equações do tipo: (Ax + B)2= C Observar: C < 0 e C = 0 (3x + 1)2 = 16II) Equaç...
Fatorando o trinômio:Seja o trinômio ax2+ bx + c = 0, então a ≠ 0 é                  b    c equivalente  x2     x   0 entã...
Ex: Meu vizinho, com 20m de cerca, constituiu  um cercado retangular de 32m2 de área,  utilizando seu muro como um dos lad...
Ex: Comprei algumas garrafas de um bom vinho  por 540 reais. Por ter obtido um desconto de  15 reais no preço de cada garr...
• Equações do 2º grau disfarçadas   2     3               1  x 1   x 2  x 1        3x 15
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  1. 1. “Assim como o Sol empalidece as estrelas com o seu brilho, um homem inteligente eclipsa a glória de outro homem nos concursos populares, resolvendo os problemas que este lhe propõe”. François Viète
  2. 2. Esse texto da Índia antiga fala de umpassatempo muito popular dosmatemáticos hindus da época: a soluçãode quebra cabeças em competiçõespúblicas, em que o competidor propunhaproblemas para outro resolver. Semnenhum sinal, sem nenhuma variável,somente alguns poucos sábios eramcapazes de resolver problemas, usandomuitos artifícios e trabalhosa construçõesgeométricas.
  3. 3. Os egípcios não utilizavam notaçãoalgébrica, os métodos de solução de umaequação eram complexas e cansativos.Os gregos resolviam equações através deGeometria.Foram os árabes que, cultivando aMatemática dos gregos, conseguiramprogresso na resolução de equações.Chamavam o valor desconhecido de “coisa”,pronunciada como xay, daí surge o x comotradução simplificada de palavra “coisa”.
  4. 4. Equações do primeiro grauDo ponto de vista elementar, equações são problemas que determina certos valores desconhecidos, sabendo que quando esses valores são manipulados algebricamente, de uma certa maneira, são obtidos certos valores dados. As primeiras equações na forma escrita surgiram no antigo Egito 3000 anos a.C.
  5. 5. Há aproximadamente 3600 anos ofaraó do Egito tinha um súdito cujonome chegou até os nossos dias:Aahmesu, cujo significado é “filho dalua”, era uma pessoa muito simplesprovavelmente um escriba.Atualmente ele é conhecido comoAhmes autor do Papiro Ahmes, maisfamoso como Papiro de Rhind.
  6. 6. O Papiro de Rhind foi encontrado emmeados do século passado,presumivelmente nas proximidades dotemplo de Ramsés II, na antiga cidadede Tebas, no Egito. Em 1858 foicomprado, no local, pelo antiquárioescocês A.H. Rhind . O papiro é um rolo com cerca de 30cmde altura e 5m de comprimento eencontra-se hoje, salvo algunsfragmentos, no Museu Britânico.
  7. 7. O Papiro de Rhind é um antigo manual de Matemática, contendo 80 problemas de Álgebra, cada um com a sua solução.Nesse papiro, encontramos as primeiras equações do primeiro grau, na forma de problemas “aha. Aha significava quantidade. Tais problemas referem- se à determinação de quantidades desconhecidas.
  8. 8. Fragmento do Papiro de Rhind – Museu Britânico
  9. 9. Problemas aha do Papiro RHIND(Prob24) Uma quantidade e seu sétimo,somadas juntas, dão 19, Qual é aquantidade? (Prob25) Uma quantidade e sua metade,somadas juntas, resultam 16. Qual é aquantidade? (Prob28) Uma quantidade e os seus doisterços são adicionados, e da soma umterço da soma é subtraído e ficam 10.Qualé a quantidade?
  10. 10. Mais um problema: “Um montão, seus dois terços, sua metade, todos ao juntar-se fazem treze. Qual é a quantidade?” O problema se reduz a essa equação:
  11. 11. Regra da “falsa posição”Para os antigos matemáticos egípcios suas equações vinham expressas totalmente em palavras, a álgebra puramente simbólica estava muito distante de ser inventada.Encontravam a solução deste tipo de equação através de um método chamado regra da falsa posição.
  12. 12. - Atribuíam um valor falso a montão, por ex 12:
  13. 13. Onde se conclui que o valor falso 12 está para 26 assim como o valor verdadeiro = montão está para 13. montão = 6Utilizou-se uma “regra de 3 simples”
  14. 14. Por que uma regra de 3 simples dá o valor verdadeiro de x? Coincidência?Através da idéia moderna de função :“Se f é uma função cujos valores são dados pela fórmula , para que valor de x temos f(x) = 13?”
  15. 15. Traçando o gráfico de f x f(x) 0 0 3 6,5 Por semelhança de triângulos temos: 12/26 = x/13
  16. 16. Após ser achado 26 como solução, poderia ser aplicado o fator de correção, 13/26, no valor suposto 12.
  17. 17. Vamos resolver os três problemas anteriores pela “regra da falsa posição”.Desafio:“ Doze anéis de prata pesam tantoquanto oito anéis de ouro. Se trocarmosum anel de prata por um anel de ouro, adiferença será de 6 tzin. Digam-me,quanto pesa um anel de prata e um anelde ouro?”
  18. 18. 12p = 8o 12p – 1p + 1o = 7o + 1p + 6tzin 11p + 1o = 7o + 1p + 6 10p – 6o = 6 supondo p = 2 e o = 3, teremos 10.2 – 6.3 = 20 – 18 = 2 solução deveria ser 6 solução foi 2Aplicando o fator de correção (falso montãop=2 e o =3) Anel de prata = 6, anel de ouro = 9
  19. 19. Regra da “ dupla falsa posição”A regra anterior resolve equações dotipo ax = b, mas para solucionarequações do tipo ax + b =c, a regra nãofunciona.Supostamente, já antes de Cristo, osbabilônios e os chineses usavam nestecaso, a regra da “dupla falsa posição”.
  20. 20. Para achar x tal que ax + b =c, atribui-sedois valores “falsos” x1 e x2.Se d1 = ax1 + b – c e d2 = ax2 + b – c, aproporção =
  21. 21. A regra, em linguagem de hoje, sef(x)=ax +b
  22. 22. Uma outra versão da mesma regra:Para problemas não lineares a regrapoderá dar soluções aproximadas.Esse problema não linear, foiencontrado entre os escritos dos antigosbabilônicos. Nele se pergunta emquantos anos duplica um capital de 1gur, a juros de 20% ao ano
  23. 23. Em notação de hoje:Após 3 anos o capital ficarámultiplicado por (1,2)3Após 4 anos o capital ficarámultiplicado por (1,2)4Se usarmos a fórmula temosx1=3 f(x1) = 1,728, x2=4 f(x2) = 2,0736
  24. 24. Obtendo-se x= 3,7870, que nos dá 3anos, 9 meses e 15 dias.
  25. 25. Já no século XVI, Cardano usa a regrada falsa posição, repetidas vezes emum mesmo problema, a fim de obtermelhores aproximações para asolução.Atualmente usamos tal regra, com onome e Interpolação Linear, paraaproximarmos um arco de curva porsegmento de reta
  26. 26. O homem que calculava Cap VBeremiz resolve um problema edetermina a dívida de um joalheiro.... – Esse homem (e apontou para ojoalheiro) veio da Síria vender jóias emBagdá; prometeu-me que pagaria, pelahospedagem, 20 dinares se vendesse asjóias por 100 dinares, pagando 35 se asvendesse por 200. Ao cabo de váriosdias, acabou vendendo tudo por 140dinares.
  27. 27. Proporção feita pelo mercador de jóia:200 está para 35, assim como 140 estápara x. Total da dívida 24,5. Proporção feita pelo dono dahospedaria: 100 está para 20, assimcomo 140 está para x. Total da dívida 28. Quem está certo?
  28. 28. A explicação de Beremiz :A diferença de 100, no preço da venda, corresponde a uma diferença de 15 no preço da hospedagem.Se um acréscimo de 100 na venda traria um aumento de 15 na hospedagem, eu pergunto: Qual será o aumento da hospedagem para acréscimo de 40 na venda? Se a diferença fosse de 20 (que é 1/5 de 100), o aumento da hospedagem
  29. 29. seria de 3 (pois 3 é 1/5 de 15). Para a diferença de 40 (que é o dobro de 20), o acréscimo da hospedagem deverá ser de 6. O pagamento correspondente a 140, é, portanto, de 26......
  30. 30. De uma forma resumida, podemosdizer que quando temos uma funçãoqualquer, dois valores de seu domínio:x1 e x2 e suas respectivas imagens f(x1) ef(x2), se desejarmos obter o valorx, compreendido entre x1 e x2 e quetenha imagem (f(x)=c) compreendidaentre f(x1) e f(x2), podemos aplicar ainterpolação linear através da relação.
  31. 31. f(20) = 100 e f(35) =200, ou seja x1 = 20 ef(x1) = 100; x2 = 35 e f(x2) = 200, como asjóias foram vendidas por 140 dinares,temos que c=f(x)=140 e desejamos obtero valor correspondente a x, ou seja:Resolvendo essa proporção, obtemosx=26, que são os 26.
  32. 32. Problemas de balanceamento de misturas1) Um técnico de laboratório tem duas soluções de ácido sulfúrico (solução ácida= água destilada + ácido). A primeira é 30% ácida e a segunda é 70% ácida. Quantos mililitros de cada ele deve usar para obter 200 ml de uma solução 60% ácida?
  33. 33. Serão utilizadas x ml da sol. de 30% ácida e y ml da sol. 70% ácida. A solução resultante será de 200 ml e 60% ácida.Daí :x ml + y ml = 200 ml30% de x ml + 70% de y ml = 60% de 200 ml x + y = 200 0,3x + 0,7 y = 0,6. 200Tudo se reduz a uma equação do 1º grau ao substituir y = 200 – x
  34. 34. 2) Que volume de álcool deve ser adicionado a 600 litros de uma solução 15% alcoólica (solução alcoólica = álcool + água) de modo que a solução resultante seja 25% alcoólica? Em 600 litros temos 15% de álcool = 90 litros de álcool, logo 510 litros de água que corresponde a 85% .
  35. 35. Queremos que esses 510 litroscorresponda a 75% da solução ( soluçãoresultante 25% de álcool). Adicionar 80 litros de álcool
  36. 36. O Banho de ArquimedesArquimedes de Siracusa foi um grande físico ematemático grego do séc. 3 a.C.,pesquisador da“Universidade” de Alexandria, cidade do antigoEgito fundada por Alexandre o Grande àsmargens do Rio Nilo.Conta uma lenda que o rei Hierão de Alexandriasuspeitava que sua coroa não teria sido feita deouro puro, mas sim de uma mistura (liga) deouro e prata, e incumbiu Arquimedes de calcularas quantidades desses metais empregadas naconfecção da coroa.
  37. 37. Arquimedes descobriu um meio de fazer isso enquanto se banhava. Celebrando a descoberta, saiu às ruas gritando Eureka! (Descobri!), tendo no entanto se esquecido de vestir-se ao sair.
  38. 38. Algumas considerações: A densidade de um corpo material não oco é a razão entre sua massa e seu volume. Por ex. a densidade do mel é 1300g por litro; 1,3g/cm3. densidade = massa/volume, logo volume = massa/densidade.Por ex. o volume de 1kg de mel é dado porVolume = 1kg/1,3kg/l ≅ 769ml
  39. 39. A massa de um corpo é uma quantidadecalculável por comparação com outramassa, balança de dos pratos.O volume do corpo , desde que não sejaesponjoso, pode ser determinado porimersão deste corpo num tanque de água.Uma coroa de m gramas de uma liga de ouroe prata. Deseja-se determinar a quantidadede x gramas de ouro e a quantidade de ygramas de prata presentes nessa liga.
  40. 40. volume do ouro = massa do ouro / densidade do our.Densidade do ouro = 19,3g/cm3Densidade da prata = 10,5 g/cm3.Volume do ouro =Volume da prata =
  41. 41. Volume da coroa = +Chega-se então ao sistema: x + y =m Supondo que a coroa do Rei Hierão, tivesse massa de 4200g ( será que a cabeça do rei aguenta?) e volume 268cm3. Quais as quantidades de ouro e prata presentes nessa coroa? x = 3 039,75 y = 1 160,25
  42. 42. Problemas1) Duas toneladas de uma liga metálica contém 15% de estanho. Que quantidade de estanho deve ser adicionada a essa liga de modo a aumentar a concentração de estanho a 20%?
  43. 43. 2) A densidade do ouro é de 19,3g/cm3e a do cobre é de 8,9 g/cm3. Uma ligade ouro e cobre tem 6 cm3 e 95g. Quaissão as quantidades de ouro e cobrepresentes na liga?
  44. 44. 3) Durante a discussão da reforma do sistema previdenciário, na década de 1990, aventou-se a hipótese de ser adotada, a chamada “fórmula 95”. Segundo ela, os trabalhadores teriam direito à aposentadoria quando a soma do número de anos trabalhados com a idade do trabalhador fosse igual a 95. Com que idade poderia, aposentar-se uma pessoa que tivesse começado a trabalhar com 23 anos?
  45. 45. 4) Considere 3 números a, b, c. A média aritmética entre a e b é 17 e a média aritmética entre a, b, e c é 15. Qual é o valor de c?
  46. 46. 5) Numa caixa, o número de moedas de1 real é o triplo do número de moedasde 25 centavos. Se tirarmos 2 moedasde 25 centavos e 26 moedas de 1 real, onúmero de moedas de 1 real e de 25centavos ficará igual. Qual a quantidadede moedas de 1 real e de 25 centavos?
  47. 47. 6) Eu tenho o dobro da idade que tu tinhasquando eu tinha a tua idade, quando tutiveres a minha idade, a soma das nossasidades será de 45 anos. Quais são as nossasidades?
  48. 48. 7) Uma amostra de água salgada apresenta 18% de salinidade. Isto significa que em 100 gramas de amostra teremos 18 gramas de água. Qual a melhor aproximação do percentual de água da amostra a ser evaporado se quisermos obter 30% de salinidade?
  49. 49. Equações do segundo grauDa Antiga Babilônia até DiofantoOs antigos babilônios (ou babilônicos - 1800.a.C), habitantes do sul da antiga Mesopotâmia (parte do atual Iraque), já resolviam o problema de encontrar dois números x e y cuja soma é p e cujo produto é q. o método empregado pelos babilônios, traduzido para nossas notações modernas, é basicamente o seguinte:A priori, x e y são representados na forma:
  50. 50. Dado x + y = p . Tem-se entãode ondeDaqui, se deduz(os números negativos ainda não haviam sido inventados).
  51. 51. Assim x e y acabam sendo expressos comoCerca de dois milênios depois (em torno do ano 250 da era cristã), este mesmo método aparece no tratado Arithmetica do grego Diofanto, considerado o pai da álgebra no sentido de ter sido o primeiro a empregar notações simbólicas para expressões algébricas.
  52. 52. Exemplos encontrados nas tábuas de argila dos antigos babilônios, bem como no livro Arithmetica de Diofanto, resolvidos pelo método exposto anteriormente.Ex1) (Babilônios, 1800 a.C.) Encontre doisnúmeros cuja soma é 14 e cujo produto é 45.Ex2) (Diofanto, em Arithmetica) Encontre doisnúmeros cuja soma é 20 e cuja soma de seusquadrados é 208.
  53. 53. Ex3) Dois números cuja soma é 10 e cuja somados seus cubos é 370.Ex4) Encontre dois números x e y satisfazendox – y = 10 e x 3- y 3 = 2170Método Diofanto: se a diferença x – y= p édada, escrevemos x = a + p/2 e y = a – p/2Ex5) Encontre dois números x e y satisfazendox – y = 4 e x3 + y3 = 28(x + y)Ex6) Resolva a equação x2– 6x = 27 (métodobabilônico: Escreva a equação na formax.(x – 6) = 27
  54. 54. Ex7) Resolva a equação x2 + 6x = 16 pelo método babilônico descrito no ex. anterior
  55. 55. AL-KHWARIZMIO primeiro tratado a abordar sistematicamenteas equações do 2º grau e suas soluções foi OsElementos de Euclides (séc. 3a.C.). Em OsElementos, Euclides nos dá soluçõesgeométricas da equação do segundo grau. Osmétodos geométricos ali encontrados, emborainteressantes, não são práticos.No início do século 9, o Califa AlMamum, recebeu através de um sonho, no qualteria sido visitado pelo imortal Aristóteles, ainstrução de
  56. 56. fundar um centro de pesquisa e divulgação científica. Tal instituição, a Casa de Sabedoria, foi fundada em Bagdá, hoje capital do Iraque, às margens do Rio Tigre. Lá, a convite do Califa, estabeleceu-se Al- Khwarizmi, juntamente com outros filósofos e matemáticos do mundo árabe.A pedido do Califa, Al-Khawarizmi, escreveu um tratado popular sobre a ciência das equações: Livro da Restauração e Balanceamento
  57. 57. No seu trabalho, Al-Khwarizmi apresenta doismétodos geométricos de solução da equaçãodo 2º grau. Al-Khwarizmi não fazia uso denotações simbólicas em seu tratado. Suaequações são escritas no estilo retórico, isto é,sem o emprego de símbolos.
  58. 58. RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU PELOSMÉTODOS DE AL-KHWARIZMIx2 + 10x = 39 (pelo 1º método de Al-Khawarizmi)Primeiramente a equação é escrita na forma 10 x 2 4. x 39 ou seja, x 2 4. 5 x 39 4 2
  59. 59. 2 5x 4. x 39 2 2 2 2 5 5 5x 4. x 4 39 4. 2 2 2 2 x 5 39 25 64 2 x 5 64 x 8 5 3
  60. 60. x2 + 10x = 39 (pelo 2º método de Al-Khawarizmi)x2 + 5x + 5x = 39
  61. 61. x2 + 5x + 5x + 52 = 39+52(x + 5)2 = 39+25 = 64
  62. 62. Equações do 2º grau: Os dois tipos fáceisI) Equações do tipo: (Ax + B)2= C Observar: C < 0 e C = 0 (3x + 1)2 = 16II) Equações do tipo : (Ax + B) (A’x + B’) = 0(2x + 1)(3x – 2) = 0
  63. 63. Fatorando o trinômio:Seja o trinômio ax2+ bx + c = 0, então a ≠ 0 é b c equivalente x2 x 0 então sempre que for a aconveniente , podemos supor que a equação do 2º grau tem a forma x2 + px + q = 0, onde p= b/a e q= c/a Precisamos fatorar o trinômio acima para que possacolocá-la na forma (x - ⍺ )( x - )= x2 –(⍺ + )x + ⍺𝞫 0 𝞫 𝞫 =Para fatorar o trinômio x2 + px + q, devemos acharnúmeros ⍺, 𝞫 que ⍺ + 𝞫 -p e ⍺ . = q. tais = 𝞫O problema de achar dois números conhecendo suasoma e seu produto é muito antigo, já foi resolvido pelos babilônicos há cerca de 4 mil anos.
  64. 64. Ex: Meu vizinho, com 20m de cerca, constituiu um cercado retangular de 32m2 de área, utilizando seu muro como um dos lados. Quanto medem os lados desse retângulo?Ex: Será que meu vizinho não poderia , ainda usando o muro como um dos lados, fazer um cercado retangular com 32m2 de área, porém usando uma cerca menor?
  65. 65. Ex: Comprei algumas garrafas de um bom vinho por 540 reais. Por ter obtido um desconto de 15 reais no preço de cada garrafa, consegui comprar 3 garrafas a mais do que previra originalmente. Quantas garrafas de vinho comprei?
  66. 66. • Equações do 2º grau disfarçadas 2 3 1 x 1 x 2 x 1 3x 15
  67. 67. • http://www.matematiques.com.br/conteudo. php?id=582• Redefor- Ensino da Algebra Elementar através de sua história- Prof. João Carlos V. Sampaio• A regra da falsa posição – Oscar Guelli• Provas Profmat• Projeto Araribá- Ed. Moderna - 7º ano• Desafios – Site Só Matemática• Temas e Problemas Elementares: Elon Lages et al• Banco de Questões OBMEP- 2009/2010/2011

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