Exercícios de Geometria Plana retirados do
Livro - Problemas sem Problema Vol.4
Eduardo Mauro
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10- Em um triângulo acutângulo, a medida do segmento que
une os pés de duas alturas mede 24cm e M o ponto médio
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(x  a)²  m²  a²
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Se os lados medem 5cm, 5cm e 8cm, o triângulo é
obtusângulo 64 > 25 + 25, sabe-se também que AH  3.
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  1. 1. Exercícios de Geometria Plana retirados do Livro - Problemas sem Problema Vol.4 Eduardo Mauro 01- Considere um triângulo isósceles ABC onde AB = AC, como mostra a figura abaixo. Sabendo que BÂC = 120°. Calcular a soma das medidas dos ângulos BPI e PIC, sendo ICB = ABP = 10°. a) b) c) d) e) 80° 90° 100° 70° 69° 02- Considere um triângulo isósceles ABC onde AB = AC. A ceviana AS e a altura AH cortam a ceviana BP nos pontos M e N, respectivamente. Sabendo que AS é perpendicular a BP e que o ângulo AHM = 14°, calcular a medida do ângulo MÂB. a) b) c) d) e) 87° 122° 67° 76° 58° 03- Em um triângulo isósceles ABC com AB = AC, sejam K e L pontos sobre os lados AB e AC de modo que BK + LC = KL. Pelo ponto médio M do segmento KL traça-se uma reta paralela ao lado AC que intercepta o lado BC no ponto N. A medida do ângulo KNL é igual a: a) b) c) d) e) 04- 45° 60° 90° 100° 120° Na figura abaixo, determinar o valor do lado AC em função de “a” e “b”. a) 3 b) 3  1 2 3 2 3 1 d) 2 2 3 e) 2 06- Os lados de três pentágonos regulares são respectivamente 3cm, 4cm e 12cm. O lado do pentágono equivalente à soma dos três pentágonos é igual a: c) a) b) c) d) e) 11 12 13 14 15 07- ABCD é um losango cujos lados medem 13cm. E, F e G são pontos sobre os lados BC, CD e DA, respectivamente, tais que BE = CF = DG = 8cm. A reta AB intercepta as retas FG e EG, respectivamente, nos pontos J e K. A medida do segmento JK é de: 337 cm 24 445 b) cm 24 227 c) cm 24 317 d) cm 24 443 e) cm 24 a) 08- Um triângulo isósceles tem os lados congruentes medindo 5cm e a base medindo 8cm. A distância entre o seu incentro e o seu ortocentro é de: 1 a) cm 3 5 b) cm 3 3 c) cm 2 d)4,5cm e)4 cm 09- Em um triângulo ABC, a bissetriz externa CF forma com a bissetriz interna BF um ângulo de 10° e a altura AH forma com a bissetriz interna AS um ângulo de 30°. O maior ângulo interno do triângulo ABC mede: 05- Em um triângulo de vértices A, B e C, retângulo em A, os catetos AB e AC medem respectivamente 6 3cm e 6cm , traça-se o segmento AM, sendo M pertencente e interno ao segmento BC. Sabendo-se que o ângulo MÂC = 15°, a razão entre as áreas dos triângulos AMC e ABC, respectivamente é: a) b) c) d) e) O problema é impossível 110° 120° 130° 140° 1|Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.c om.br
  2. 2. 10- Em um triângulo acutângulo, a medida do segmento que une os pés de duas alturas mede 24cm e M o ponto médio desse segmento. A medida do lado que não é interceptado pelo segmento é igual a 26cm e N é o ponto médio desse lado. Determine a medida de MN. a) b) c) d) e) BAS  76 MAB  BAS  76 LETRA: D 3. 7cm 6cm 25cm 1cm 5cm RESOLUÇÕES 1. Chamamos: BK  x e CL  y logo KL  x  y Sabe-se que ABC  ACB  a Tracemos KP / / AC  é fácil observar que o quadrilátero Tracemos BI. É fácil concluir que P é o ex-incentro do BAI triângulo ABI, Logo BPI  BPI  30. 2 No quadrilátero PBCI (bumerangue), sabe-se que PIC  30  20  10PIC  60 Como pede-se BPI  PIC , temos: BPI  PIC  60  30 KLCP é um trapézio e que MN é sua base média e que o xy triângulo BKP é isósceles KB  KP  x , então MN  . 2 Percebe-se que MN vale a metade de KL . Como M é o ponto médio de KL , MN é uma mediana do triângulo KNL, logo, se vale a metade do lado, é uma mediana relativa a uma hipotenusa, então KNL  90 . LETRA: C 4. BPI  PIC  90 LETRA: B 2. Chamemos AC  x e CT  m. É fácil concluir que os triângulos TOC e ABC são a m ax semelhantes, logo   m  b x b Aplicando Pitágoras no triângulo TOC tem-se: Consideremos o triângulo ABS, é fácil observar que N é o seu ortocentro, então QHM  28 , logo 28  180  2BAS 2BAS  152 2|Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.c om.br
  3. 3. (x  a)²  m²  a² a² x ² x ²  2ax  a²   a² b² b² x ²  2axb²  a² x ²  0(: x) b² x  a² x  2ab² x(b²  a²)  2ab² 2ab² 2ab² x logo AC  b²  a ² b²  a ² 7. 5. Se AB  6 3 e AC  6, a hipotenusa BC  12, é fácil observar que o triângulo AMB é isóscele, logo: MB  6 3 Sabe-e também que  S AMC 6 2  3  S ABC 12  S AMC 2  3  S ABC 2 LETRA: C 6. Podemos afirmar que o triângulo GJA é semelhante ao triângulo GFD, logo: 5 8 25  x  x 5 8 E que o triângulo KAG é semelhante ao triângulo KEB, 5 KA então,  8 KB 25 y 5 8  8 y  25  13 8 125 8y  25  5y   65 8 125 3y   40 8 24 y  125  320 y Seja l o lado do quarto pentágono e S a sua área. Podemos afirmar que: S1 9  S l2 S2 16  S l2 S3 144  2 S l Somando-se membro a membro, tem-se: S1  S2  S3 169  2  mas, S1  S2  S3  S S l Logo: 169  1 l 2  169  l  13 l2 445 24 LETRA: B 8. LETRA: C 3|Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.c om.br
  4. 4. Se os lados medem 5cm, 5cm e 8cm, o triângulo é obtusângulo 64 > 25 + 25, sabe-se também que AH  3. Pelo teorema das bissetrizes internas tem-se: 5 4 5   4 x  15  5x  9 x  15  x  x 3 x 3 Sabe-se que os triângulos HPB e HCA são semelhantes, então: 3 y 4 7  y  4 3 3 Logo: Seja ABC o triângulo em questão. Se traçarmos NH será fácil concluir que é uma mediana relativa à hipotenusa AB do triângulo ABH, logo NH  13cm, a mesma coisa acontecendo com o segmento PN , logo o triângulo PNH é isósceles e MN uma de suas alturas (M é o ponto médio de PH ). Aplicando Pitágoras no MNH tem-se MN  5cm LETRA: E PI  x  y 5 7 PI   3 3 12 PI   PI  4 3 LETRA: E Para se dar bem na Geometria dos concursos mais difíceis do país, adquira agora mesmo o livro do Mestre Miyagi: 9. É fácil concluir que o triângulo ABC é obtusângulo em B.  A sabe-se que o ângulo BAC  20  10  . Como  2   HAB  20, conclui-se que ABC  90  20 (externo do triângulo ABH) Todas resolvidas passo a passo! São mais de 400 questões! www.editoraxyz.com ABC  110 LETRA: B 10. 4|Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.c om.br

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