1. MECCANICAMECCANICA
QUANTISTICAQUANTISTICA

3. Una particella è descritta mediante una
funzione d’onda Ψ (posizione, tempo)
1o
POSTULATO
Esempi:
Per una singola particella che si
muove in una dimensione:
Per una singola particella che si
muove in tre dimensioni:
Per due particelle che si
muovono in tre dimensioni:
( ),x tΨ
( ) ( )tzyxt ,,,, Ψ=Ψ r
( ) ( )tzyxzyxt ,,,,,,,, 22211121 Ψ=Ψ rr
Se abbiamo la funzione d’onda di un sistema, possiamo ottenere tutto ciò
che è possibile conoscere di quel sistema.

4. Ψ(x,y,z,t) è soluzione dell’equazione di SCHRÖDINGER
Ψ=Ψ EHˆ
Ψ non è un’onda fisica.
Ψ è un’entità matematica astratta che contiene le
informazioni sullo stato del sistema.

5. Soluzione:
x=x(t) Ψ(x)
p=p(t)
Newton Schrödinger
Ψ=Ψ





+−−=
Ψ=Ψ==
EV
dx
d
mdx
dV
F
EH
dt
xd
mmaF
2
22
2
2
2
ˆ


6. O
X
Particella libera in moto lungo l’asse x
Meccanica Classica
Sia una particella di massa m che si muove in
assenza di potenziale. La sua posizione è data da x.
L’espressione dell’energia totale, cioè dell’energia
cinetica in funzione del momento lineare:
HxV
m
p
EEE potcin =+=+= )(
2
2
m
p
EH cin
2
2
==
V = 0

7. Particella libera in moto lungo l’asse x
Meccanica Quantistica
)()(
2 2
22
xExV
dx
d
m
Ψ=Ψ





+−

)(
2
)( 22
2
xE
m
x
dx
d
Ψ−=Ψ

V = 0
)()(
2 2
22
xEx
dx
d
m
Ψ=Ψ−

m
k
EkE
m
2
2 22
2
2


=−=−
)()( 2
2
2
xkx
dx
d
Ψ−=Ψ

8. )()( 2
2
2
xkx
dx
d
Ψ−=Ψ
ikxikx
eke
dx
d 2
2
2
−=
Ψ(x) = eikx
è una soluzione
ma anche Ψ(x) = e-ikx
è soluzione.
La soluzione generale è Ψ(x) = A eikx
+ B e-ikx
( )
( )ikxikx
ikxikxikxikx
BeAek
e
dx
d
Be
dx
d
ABeAe
dx
d
−
−−
+−
=+=+
2
2
2
2
2
2
2

9. Qualunque valore di k è accettabile
Qualunque valore di E è accettabile
Energia NON quantizzata
m
p
m
k
E
22
222
==

Energia è solo Ecin
p = ± k ħ
m
k
E
2
22

=

10. Ψ(x) = eikx
= cos kx + i sin kx
cos kx : onda di lunghezza d’onda λ = 2π/k → k=2π/ λ
p = k ħ = 2π/λ ħ = 2π/λ h/2π = h/λ
λ = h/p ipotesi di de Broglie
Per una particella libera l’equazione di
Schrödinger implica la relazione di de Broglie.
PLAUSIBILITA’ dell’equazione di Schrödinger
E’ comunque un POSTULATO

11. funzioned’ondaΨ

12. 1. HA UNA INTERPRETAZIONE
2. HA DEI VINCOLI
3. CONTIENE TUTTE LE
INFORMAZIONI DINAMICHE
SUL SISTEMA
Ψ

13. INTERPRETAZIONE
DELLA FUNZIONE D’ONDA
• Secondo la teoria ondulatoria della luce, il quadrato
dell’ampiezza di un’onda elettromagnetica è proporzionale
all’intensità della luce
– Poiché la luce si comporta come una particella (fotone), l’intensità
deve essere una misura della probabilità di trovare un fotone in un
volume dello spazio
• Se applichiamo questa idea alle particelle, il valore di |Ψ|2
in un punto è proporzionale alla probabilità di trovare la
particella in quel punto
• La quantità fisicamente significativa è |Ψ|2
INTERPRETAZIONE DI BORN DELLA Ψ
1

14. INTERPRETAZIONE DI BORN DELLA Ψ
Se la funzione d’onda ha valore
Ψ(x) nel punto x, la probabilità di
trovare una particella tra x e
x+dx è proporzionale a |Ψ(x)|2
dx
Max Born

15. dxxxxP *
)()()( ΨΨ= 22
22
**
ba
b+iab+iab-a=
ib)-a(ib)+a(
ib)+ib)(a+a(cc
realeba,
ib+a=c
+=
=
=
Interpretazione della funzione d’onda in 1-D
Ψ(x) → ampiezza di probabilità: positiva, negativa, complessa
Probabilità
*2
)()(|)(| xxx ΨΨ=Ψ
sempre positiva e reale
densità di probabilità
Probabilità

16. Ψ = Ψr + i Ψi
Ψ* = Ψr - i Ψi
|Ψ|2
= Ψr
2
+ Ψi
2
Ψ(x)
positiva
e negativa
|Ψ(x)|2
= Ψ(x)Ψ(x)*
→ sempre positiva
e reale
Densità di
probabilità
Funzione d’onda
Ψ

17. dy
dz
dx
Probabilità
Elemento di
volume
Densità di probabilità =
probabilità per unità di
volume
Interpretazione della funzione d’onda in 3-D
Se la funzione d’onda di una
particella vale Ψ(x,y,z) nel punto
(x,y,z), allora la probabilità di
trovare particella tra x e x+dx, y e
y+dy, z e z+dz, cioè nel volume
infinitesimo dτ = dx dy dz è
proporzionale a |Ψ(x,y,z)|2
dτ
P(x,y,z)=Ψ(x,y,z)Ψ(x,y,z)*
dx dy dz

18. Voi siete probabilmente qui
Meccanica classica : deterministica
Meccanica quantistica: probabilistica

19. PARTICELLA LIBERA
ikx
e±
=Ψ

20. Tutte le energie
sono permesse
posizione x
Re(Ψ)

21. Proprietà matematica dell’equazione di Schrödinger
Se Ψ è una soluzione
x)(x)()(
x)(
2 2
22
ψψ
ψ
ExV
dx
d
m
=+−

allora N Ψ è pure una soluzione
x)(x)()(
x))((
2 2
22
ψψ
ψ
ENNxV
dx
Nd
m
=+−

Prova:
NORMALIZZAZIONE
x)(x)()(
x)(
2 2
22
ψψ
ψ
NExNV
dx
d
N
m
=+−


22. Interpretazione di Born e normalizzazione della Ψ
– Deve valere la condizione:
∫
∞
∞−
=ΨΨ 1)()(*
dxxx
∫
∞
∞−
=ΨΨ 1*2
τdN
La probabilità che la particella sia da qualche parte deve
essere 1
– Se la Ψ soddisfa questa condizione viene detta
normalizzata.
– Se la Ψ non soddisfa questa condizione, viene moltiplicata
per un fattore costante N per normalizzarla
∫
∞
∞−
ΨΨ
±=
τd
N
*
1

23. 1. HA UNA INTERPRETAZIONE
2. HA DEI VINCOLI
3. CONTIENE TUTTE LE
INFORMAZIONI DINAMICHE
SUL SISTEMA
Ψ

24. V
X
L’interpretazione di Born introduce dei vincoli sulla Ψ
In corrispondenza al punto X ci sia
una variazione di potenziale.
X
Ψ
|Ψ|2
La Ψ deve essere continua in tutto lo spazio, inclusi i punti in
cui si ha variazione del potenziale
Se la Ψ avesse una discontinuità
in X, la probabilità di trovare la
particella in X avrebbe due
diversi valori se tendiamo ad X
da differenti direzioni

25. Ψ non è continua
dΨ/dx e d2
Ψ/dx2
non sono definite
L’eq. di Schrödinger non è definita

26. dΨ/dx non è continua
Quindi d2
Ψ/dx2
non è definita
L’eq. di Schrödinger non è definita

27. P(x) = Ψ(x) Ψ*(x) non può assumere valori multipli

28. ∞=ΨΨ∫ dxxxN
b
a
*2
)()(

29. VINCOLI SULLA FORMA DELLA Ψ LEGATI
ALL’INTERPRETAZIONE DI BOHR
1. Ψ deve essere continua
2. La derivata seconda della Ψ deve
essere definita
3. Ψ deve essere a valore singolo
4. Ψ deve essere ovunque finita;
altrimenti non potrebbe essere
normalizzata
2

30. L’ INTERPRETAZIONE DI BORN
E I VINCOLI SULLA Ψ
Una particella può avere solo certi valori
dell’Energia, altrimenti la Ψ sarebbe fisicamente
inaccettabile
ENERGIA QUANTIZZATA
I vincoli impediscono di trovare soluzioni accettabili
dell’equazione di Schrödinger per valori arbitrari
dell’Energia

31. 1. HA UNA INTERPRETAZIONE
2. HA DEI VINCOLI
3. CONTIENE TUTTE LE
INFORMAZIONI DINAMICHE
SUL SISTEMA
Ψ

32. COME OTTENIAMO
ALTRE INFORMAZIONI
(OLTRE ALLA POSIZIONE)
DALLA Ψ
?

33. • Le proprietà misurabili di un sistema fisico
sono dette “osservabili”
• Un’osservabile può essere una proprietà
statica: massa, durezza, colore, …
• Un’osservabile può essere una variabile
dinamica: posizione, momento lineare, … che
caratterizza i cambiamenti di stato di un
sistema

34. Ad ogni osservabile della meccanica classica
corrisponde un operatore in meccanica quantistica
2o
POSTULATO
)()(ˆ xgxfA = Definizione generale di operatore
Un operatore è una regola che trasforma una funzione
in un’altra funzione
xx
cosxxcos()
3ff3
(x)f'f
dx
d
f(x)AˆfFunzioneAˆOperatore

35.  La nuova funzione g(x) può essere diversa dalla
funzione originale f(x).
)cos()sin( kxkkx
dx
d
=
 Se la nuova funzione è un multiplo della
funzione originale:
 f(x) = λ f(x)
f(x) è detta essere un’autofunzione
dell’operatore  con associato autovalore λ
kxkx
kee
dx
d
= Operatore d/dx
sin(kx) non è un’autofunzione
ekx
è un’autofunzione e l’autovalore
associato è k

36. OSSERVABILE OPERATORE
POSIZIONE x
MOMENTO px
ECINETICA
EPOTENZIALE V(x)
m
p
T x
2
2
=
xˆ
xpˆ
Tˆ
Vˆ
Hˆ
x
dx
d
i−
2
22
2 dx
d
m

−
)(
2 2
22
xV
dx
d
m
+−

V(x)

37. COME SI OTTENGONO LE INFORMAZIONI
(OLTRE LA POSIZIONE) DALLA Ψ ?
3
3o
POSTULATO
iii Ψ=ΨΩ ωˆ
In ogni osservazione dell’osservabile associata
all’operatore Ω, i soli valori che si possono misurare
sono gli autovalori ωi che soddisfano all’equazione
agli autovalori

38. ωψψ =Ω
Autovalori ed autofunzioni
(operatore)(autofunzione) = (autovalore)(autofunzione)
(operatore)(funzione) = (costante)(stessa funzione)

39. Risolvere l’equazione di Schrödinger
vuol dire trovare gli autovalori e le autofunzioni
dell’operatore Hamiltoniano per il sistema
Se l’operatore è l’operatore Hamiltoniano, l’equazione
agli autovalori è l’equazione di Schrödinger
Ψ=Ψ EHˆ
OPERATORE HAMILTONIANO

40. xd
d
ipx −=ˆ
ikx
ikx
ikx
ke
dx
de
iep  =−=ˆ
OPERATORE MOMENTO LINEARE
La componente px del momento lineare della particella
è data da:
V=0 particella libera.
1) Autofunzione Ψ+(x)=eikx
2) Autofunzione Ψ-(x)=e-ikx
ikx
ikx
ikx
ke
dx
de
iep −
−
−
−=  -=ˆ
Autovalore px = kħ
Particella si muove per x crescenti
Autovalore px = -kħ
Particella si muove per x decrescenti

41. sin(x) sin(2x)
ORTOGONALITA’ DELLE FUNZIONI DI STATI DIVERSI
∫ =
π2
0
0)2sin()sin( dxxx
0=ΨΨ∫ τdji
sin(x) e sin(2x) sono
autofunzioni di d2
/dx2
con autovalori -1 e -4

42. OPERATORE ENERGIA CINETICA
E
CURVATURA DELLA Ψ
ALTA CURVATURA
ALTA ENERGIA CINETICA
BASSA CURVATURA
BASSA ENERGIA CINETICA
In matematica la derivata
seconda di una funzione è una
misura della sua curvatura
2
22
2
ˆ
dx
d
m
T

−=

43. Ψ
REGIONE CON
ALTO CONTRIBUTO A T
REGIONE CON
BASSO CONTRIBUTO
A T
POSIZIONE x

44. Ψ
ENERGIA
ENERGIA
CINETICA T

45. PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE
A
B
DESCRIZIONE
CLASSICA QUANTISTICA
PA ΨA PA=|ΨA|2
PB ΨB PB=|ΨB|2
1 FENDITURA

46. 2 FENDITURE
B
A
A
B
DESCRIZIONE CLASSICA
PAB = PA + PB
DESCRIZIONE QUANTISTICA
ΨAB = ΨA + ΨB
PAB = |ΨA + ΨB|2
=
|ΨA|2
+ |ΨB|2
+ ΨA
*
ΨB+ΨB
*
ΨA
PA PB interferenza

47. Importante :
in nessun modo possiamo predire dove
un elettrone colpirà lo schermo.
Possiamo solo predire probabilità.

48. PARTICELLA LIBERA
• MOTO PER x CRESCENTI Ψ+ = exp(ikx)
• DECRESCENTI Ψ- = exp(-ikx)
Una misura del momento lineare della particella dà
+kħ se Ψ = Ψ+ = exp(ikx) oppure
-kħ se Ψ = Ψ- = exp(-ikx).
Inizialmente non conosciamo se la particella si muove per x crescenti o
decrescenti. Poiché entrambe le direzioni sono ugualmente probabili, non
possiamo predire in che direzione la particella si muove.
La funzione che la descrive non è quindi un’autofunzione.
Una funzione d’onda arbitraria può essere espressa come combinazione
lineare delle autofunzioni.
Ψ = c Ψ + c Ψ
ikx
ikx
ikx
ke
dx
de
iep  =−=ˆ

49. Una misura del momento lineare della particella dà o +kħ o –kħ, ma
non sappiamo quale.
Possiamo soltanto predire che la probabilità che dia +kħ è |c+|2
Non conosciamo in che stato è il sistema finché non lo osserviamo
Immediatamente dopo la misura, la funzione d’onda è una delle
autofunzioni dell’operatore. La misura cambia la funzione d’onda Ψ
del sistema nell’autofunzione Ψ+ (o Ψ-) dell’operatore momento lineare
con autovalore +kħ (o -kħ)
Ψ+
Ψ misura Ψ-
COLLASSO DELLA FUNZIONE D’ONDA

50. Un sistema quantistico è descritto da una sovrapposizione di stati
Solo dopo la misura il sistema assume uno stato definito.
SHUT UP AND CALCULATE
R. Feynman
Gatto di Schrödinger

51. 4o
POSTULATO
∫=>< dτΨΩΨΩ *
Il valore atteso è la media pesata di un gran
numero di osservazioni della proprietà eseguite su
un insieme di sistemi preparati in modo identico.
Se il sistema è descritto da un’autofunzione Ψ che
non è un’autofunzione dell’operatore Ω, il valore
medio o valore atteso dell’osservabile è dato da

52. Se uno fa un gran numero di misure di Ω su un
insieme di sistemi preparati in modo identico,
ottiene un insieme di valori ω1, ω2, …, ωN.
La media di Ω è data dalla regola:
Il 4o
postulato della meccanica quantistica afferma
che l’integrale e la sommatoria danno lo stesso
valore, che è il valore atteso.
∑=
=Ω
N
i
i
N 1
1
ω

53. ii
*
ii
ii
*
ii
*
i
ωdτΨΨω
dτΨωΨdτΨΩΨΩ
=
==>=<
∫
∫∫
 Se Ψ è un’autofunzione di Ω
iii
i
ΨωΨΩ
ΨΨ
=
=
ˆ
Ogni osservazione di Ω da come risultato ωi
<Ω> = ωi

54.  Se Ψ non è un’autofunzione di Ω 2211 ΨcΨcΨ +=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
dτΨΨωccdτΨΨωcc
dτΨΨωccdτΨΨωcc
dτΨωcΨωc*ΨcΨc
dτΨcΨc*ΨcΨc
dτΨcΨcΩ*ΨcΨc
∫+∫
+∫+∫
=∫ ++
=∫ Ω+Ω+
=∫ ++=Ω
2
*
122
*
11
*
211
*
2
2
*
222
*
21
*
111
*
1
2221112211
22112211
22112211
2
2
21
2
1 ωcωc +=Ω
1 0

55. 1. Quando Ω è misurato su un singolo membro di
un insieme, il risultato è uno degli autovalori di
Ω, ma non può essere predetto in anticipo.
2. L’autovalore ωi sarà ottenuto in una singola
misura con probabilità ci
2
.
3. Per singole misure ci sono specifici valori di Ω
che sono possibili, ω1, ω2, …, ωN, ma su un
insieme il valore atteso di < Ω > può essere un
valore continuo.
∑ Ψ=Ψ iic

56. ∫=>< dτΨΩΨΩ * ˆ
iii Ψ=ΨΩ ωˆ
Postulato 1: una particella è descritta mediante
una funzione d’onda Ψ (r,t)
Postulato 2: ad ogni osservabile della meccanica
classica corrisponde un operatore in meccanica
quantistica
Postulato 3:
Postulato 4:
POSTULATI

57. H(ri)ψ(ri)= Eψ(ri)
i=1,3N
"The underlying physical laws necessary for
the mathematical theory of..the whole of
chemistry are thus completely known, and the
difficulty is only that the exact application of
these laws leads to equations muchto
complicated to solve. "
`P.A.M. Dirac
(1929)

58. Un elettrone in moto attorno al nucleo
Moto circolare : l’elettrone accelera
Cariche accelerate emettono radiazione
L’elettrone perde energia
Cade sul nucleo in circa 10-9
secondi
Variando il moto la frequenza emessa varia
con continuità
Il modello planetario non conduce ad atomi
stabili
+Ze
-e
F
ATOMO e FISICA CLASSICA

59. Alla particella è associata un’onda
(a) Solo onde di lunghezza d’onda λ
opportuna possono generare onde
stazionarie (chiudendosi su se stesse
danno interferenza positiva)
(b) Altrimenti le onde danno interferenza
negativa e si annullano
λ= h/mv
solo certi valori di energia esistono
ATOMO e MECCANICA QUANTISTICA

60. Supponiamo di conoscere esattamente
il momento della particella
Ψ(x) = Aeikx
la particella si muove verso destra con momento px = +kħ.
Quale è la posizione della particella?
Ψ* Ψ = A2
e-ikx
eikx
= A2
C’è una ugual probabilità di trovare la particella in
qualunque punto dell’asse x
CONCLUSIONE:
Conosciamo il momento della particella esattamente
Ma non sappiamo NULLA sulla sua posizione

61. Supponiamo di conoscere esattamente
la posizione della particella
Posizione
della particella

62. • Per ottenere una Ψ localizzata
occorre fare una combinazione
lineare di funzioni sin(kx) o cos(kx)
(oppure eikx
e e-ikx
) con diversi k
• Ogni funzione eikx
corrisponde ad un
diverso momento lineare
• Più localizziamo la particella meno
conosciamo il suo momento
CONCLUSIONE:
Conosciamo la posizione della particella esattamente
Ma non sappiamo NULLA del suo momento

63. Fotone
Fotone
Microscopio
Microscopio
Elettrone
Elettrone
PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE DI
HEISENBERG
Illuminiamo l’elettrone e
riveliamo la luce riflessa con
un microscopio
L’incertezza minima sulla
posizione è determinata dalla
lunghezza d’onda della luce
Per determinare la posizione
accuratamente, è necessario
usare luce di lunghezza d’onda
corta

64. E = hν =hc/λ, un fotone con lunghezza d’onda corta ha
energia grande
Quindi tramette un ‘impulso’ grande all’elettrone
Ma per determinare il suo momento accuratamente,
l’elettrone deve ricevere un ‘impulso’ debole
Questo vuol dire usare luce di lunghezza d’onda lunga
 Luce di lunghezza d’onda corta:
misura accurata della posizione, ma non del momento
 Luce di lunghezza d’onda lunga:
misura accurata del momento, ma non della posizione

65. Misura della posizione di un elettrone
L’azione di misurare influenza l’elettrone, viene trasmesso un
impulso e viene disturbata la posizione ed il momento della
particella.
Essenza del principio di indeterminazione.

66. Misure della posizione

67. L’esperimento assume che, mentre prima
dell’osservazione abbiamo valori ben definiti, è l’atto di
misurare che introduce l’incertezza disturbando la
posizione e il momento della particella.
Oggigiorno l’opinione prevalente è che l’incertezza
quantistica (la mancanza di determinismo) sia
intrinseca alla teoria.

68. Ruolo dell’Osservatore in Meccanica Quantistica
• L’osservatore non è obiettivo e passivo
• L’atto di osservare cambia il sistema fisico irrevocabilmente
• Questo è noto come realtà soggettiva

69. PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE DI
HEISENBERG
• E’ impossibile specificare
SIMULTANEAMENTE sia la
posizione che il momento di una
particella
• L’ interpretazione quantitativa del
principio di indeterminazione è:
2≥∆∆ xpx
Indeterminazione
nel momento
Indeterminazione
nella posizione
posizione momento
Se ∆x oppure ∆px tendono a zero, l’altra osservabile
deve tendere ad infinito.

70. / 2
/ 2
/ 2
x
y
z
x p
y p
z p
∆ ∆ ≥
∆ ∆ ≥
∆ ∆ ≥



Non possiamo determinare esattamente e simultaneamente
variabili ‘coniugate’ come posizione e momento.
0yx p∆ ∆ ≥Tuttavia
Una precisione arbitraria è possibile in linea di principio
per la posizione in una direzione e il momento in un’altra
…

71. Implicazioni
 E’ impossibile conoscere simultaneamente ed
esattamente sia la posizione che il momento,
cioè Δx=0 e Δp=0
 Queste incertezze sono inerenti nel mondo fisico e non
hanno nulla a che fare con l’abilità dell’osservatore
 Poiché h è così piccolo, queste incertezze non sono
osservabili nelle normali situazioni di ogni giorno

72. Il tempo e l’energia
Se un sistema permane in uno stato per un tempo ∆t,
l’energia di questo sistema non può essere determinata
più accuratamente di un errore ∆E.
2

≥∆∆ tE
Questa indeterminazione è di importanza fondamentale
in spettroscopia

73. Un elettrone in n = 3 decade spontaneamente
ad un livello inferiore dopo una vita media
τ½ ~ 10-8
s
Le transizioni fra i livelli energetici degli atomi
non sono linee perfettamente sottili in frequenza.
n = 3
n = 2
n = 1
32E hν=
32ν
Intensità
Frequenza
32ν∆
Esiste una corrispondente ‘dispersione’
nelle frequenza emesse.
Larghezza naturale della linea

74. Se la costante di Planck fosse molto più grande...