Matemática elementar1

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SUMÁRIO
Unidade I – Sistemas de Numeração TEMA 01 – A origem, as antigas civilizações e nosso sistema de numeração
TEMA 02 – Bases diferentes de 10
Unidade II – Conjuntos
TEMA 03 – Conjuntos
Unidade III – Conjuntos dos números naturais
TEMA 04 – Representação dos números naturais na reta numérica. Operação: adição
TEMA 05 – Operação: subtração
TEMA 06 – Operação: multiplicação
TEMA 07 – Operação: divisão
TEMA 08 – Operações: potenciação e radiciação. Expressões Numéricas
TEMA 09 – Divisibilidade
TEMA 10 – Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum
Unidade IV – O Conjunto dos números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
TEMA 11 – A idéia do número inteiro. Representação na reta numérica. Subconjuntos. Módulo ou valor
absoluto de um número inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
TEMA 12 – Operações: adição e subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
TEMA 13 – Operações: multiplicação e divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
TEMA 14 – Operações: potenciação e radiciação. Expressões numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Unidade V – O Conjunto dos números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
TEMA 15 – O número racional absoluto . . . . . . . . . . . . . .

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Matemática elementar1

  1. 1. FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice-Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice-Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Planej. e Administração Antônio Dias Couto Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró-Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque BarbosaCoordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Horácio Martins Mário Lima Revisão Técnico-gramatical João Batista Gomes Costa, Helisângela Ramos da. C837 Matemática Elementar I / Helisângela Ramos da Costa, Ieda Maria de Araújo Câmara Costa, Célia Maria Nogueira. Batista – Manaus/AM: UEA, 2006. – (Licenciatura em Matemática. 1. Pe- ríodo). 131p.: il. ; 30 cm. Inclui bibliografia e anexo 1. Matemática – Estudo e ensino. I. Costa, Helisângela Ramos da. II. Costa, Ieda Maria de Araújo Câmara. III. Batista, Célia Maria Nogueira. IV. Título. CDU (1997): 51 CDD (19.ed.): 510
  2. 2. SUMÁRIOPalavra do Reitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07Unidade I – Sistemas de Numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 09TEMA 01 – A origem, as antigas civilizações e nosso sistema de numeração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11TEMA 02 – Bases diferentes de 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Unidade II – Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17TEMA 03 – Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Unidade III – Conjuntos dos números naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21TEMA 04 – Representação dos números naturais na reta numérica. Operação: adição . . . . . . . . . . . . . . 23TEMA 05 – Operação: subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26TEMA 06 – Operação: multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29TEMA 07 – Operação: divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31TEMA 08 – Operações: potenciação e radiciação. Expressões Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34TEMA 09 – Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36TEMA 10 – Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Unidade IV – O Conjunto dos números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43TEMA 11 – A idéia do número inteiro. Representação na reta numérica. Subconjuntos. Módulo ou valorabsoluto de um número inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45TEMA 12 – Operações: adição e subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48TEMA 13 – Operações: multiplicação e divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51TEMA 14 – Operações: potenciação e radiciação. Expressões numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Unidade V – O Conjunto dos números racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55TEMA 15 – O número racional absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57TEMA 16 – O conjunto dos racionais relativos. Representação na reta numérica. Subconjuntos. Móduloou valor absoluto de um número racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62TEMA 17 – Operações: adição e subtração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65TEMA 18 – Operações: multiplicação e divisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66TEMA 19 – Operações: potenciação e radiciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68TEMA 20 – Expressões numéricas e resolução de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69TEMA 21 – Representação de números fracionários na forma decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72TEMA 22 – Operações: multiplicação e divisão. Sistema monetário nacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Unidade VI – Geometria das formas e das medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77TEMA 23 – A geometria de Euclides. Conceitos primitivos. Semi-reta. Segmento de reta. Noções deMedida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79TEMA 24 – Unidades de medida de comprimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81TEMA 25 – Curvas abertas e fechadas. Regiões convexas. Ângulos e Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83TEMA 26 – Triângulos e quadriláteros. Perímetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87TEMA 27 – Medidas de superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90TEMA 28 – Área de principais figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92TEMA 29 – Volume de sólidos. Medidas de capacidade e massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94TEMA 30 – Sólidos geométricos: prismas e pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97TEMA 31 – Sólidos geométricos: corpos redondos. Circunferência e círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99TEMA 32 – Sólidos geométricos: corpos redondos. Cilindro e cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Unidade VII – Proporcionalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105TEMA 33 – Razões e proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107TEMA 34 – Regra de três simples e composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113TEMA 35 – Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116TEMA 36 – Juros simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Respostas de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
  3. 3. PERFIL DOS AUTORES Helisângela Ramos da Costa Bacharela em Matemática – UFAM Bacharela em Processamento de Dados – UFAMEspecialização em Instrumentação para o Ensino da Matemática (concluindo) (UFF) Iêda Maria de Araújo Câmara Costa Especialista em Ensino de Matemática – UFAM. Mestranda em Matemática (Geometria Diferencial) – (UFAM) Célia Maria Nogueira Batista Especialista em Ensino da Matemática – UFAM Mestranda em Matemática (Geometria Diferencial) – (UFAM)
  4. 4. PALAVRA DO REITORA Licenciatura Plena em Matemática pelo Sistema Presencial Mediado vem reforçar o compromisso doGoverno e da Universidade do Estado do Amazonas de avançar com ousadia na área do ensino que valo-riza os meios tecnológicos. Os recursos utilizados para tal (livro didático, tv e web) são reforçados pela pre-sença de Professores Assistentes para garantir a qualidade necessária e otimizar os efeitos positivos advin-dos dessa ousadia.O grande potencial tecnológico que caracteriza a UEA tem de ser utilizado para a formação de professores,especialmente daqueles que se encontram no interior do Estado, fazendo-os permanecer no seu local deorigem, dando-lhes formação à altura das necessidades regionais e criando condições dignas de trabalho.Toda a experiência significativa acumulada em outros projetos vai contribuir para que o curso de Matemáticacumpra a contento o papel de formar professores com visão diferenciada, colocando em prática uma didáti-ca eficiente, centrada nas necessidades imediatas do homem e do meio que o circunda.As estratégias de ensino-aprendizagem devem ser focadas no aluno. Em função dele é que se lança mãode todos os recursos inovadores, estimulando-o à pesquisa e à conquista de uma vida melhor. Assim, a UEAcumpre a tarefa de formar profissionais autônomos e disciplinados, aptos a absorver e a praticar uma políti-ca educacional que elevará o Estado do Amazonas à posição de vanguarda no âmbito do ensino que ultra-passa as barreiras da sala de aula. Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas
  5. 5. UNIDADE ISistemas de Numeração
  6. 6. Matemática Elementar I – Sistemas de Numeração Nesse caso, quando ocorre a correspondência um-para-um nos dois sentidos, por exemplo, TEMA 01 uma pedrinha para cada ovelha e uma ovelha para cada pedrinha, denomina-se correspon- A ORIGEM. AS ANTIGAS CIVILIZAÇÕES. dência biunívoca (Figura 1). NOSSO SISTEMA DE NUMERAÇÃO A correspondência unidade a unidade não era1. A origem do sistema de numeração feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, Para entender como surgiram os números, é talhes em ossos, desenhos nas cavernas e ou- preciso ter uma idéia de como o homem, des- tros tipos de marcação (Figura 2). de a época mais remota, vivia e quais eram suas necessidades. Naquele tempo, o homem, para alimentar-se, caçava, pescava e colhia frutos; para morar, usava cavernas; para defen- der-se, usava paus e pedras. Portanto o ho- mem precisava contar. Quantos peixes havia? Quantas espigas de milho? Quantos dias fal- tavam para a caça de pássaros antes das chu- vas? Quantas ovelhas havia no rebanho? Es- Figura 2: Objetos utilizados para representar as quantidades (BIACHINI, 2002, p. 12). sas necessidades de sobrevivência levaram-no a fazer comparações entre as “coisas” que ti- Porém um problema surgiu: imagine que uma nham ou queriam com os dedos das mãos. pessoa usasse traços para representar cada Segundo alguns autores, o surgimento da pri- ovelha. Por exemplo: um homem tinha meira máquina de calcular deve-se às conta- ||||||||||||||||||||||| ovelhas. gens nos dedos das mãos. Não seria nada prático, não é mesmo? Talvez a Devido ao aumento de posses e à necessida- solução encontrada tenha sido separar grupos de de contar quantidades maiores, o homem de marcas. passou a usar objetos pequenos para repre- sentá-las. Um homem tinha ||||||||| ||||||||| ||| ovelhas. No caso das pedrinhas, cada animal que saía para o pasto de manhã correspondia a uma Neste caso, as marcas estão agrupadas de pedra que era guardada em um saco. No fim dez em dez. do dia, quando os animais voltavam do pasto, Ainda hoje em dia, nos jogos, é muito comum era feita a correspondência inversa: para cada contar pontos registrando agrupamentos de 5. animal que retornava, era retirada uma pedra Por exemplo, num jogo: do saco. Se no fim do dia sobrasse alguma João fez pontos pedra, era porque faltava algum dos animais. E se algum fosse acrescentado ao rebanho, era Para facilitar o registro dos objetos, surgiu o só acrescentar mais uma pedra. A palavra cál- ábaco, cerca de 3500 a.C., na Mesopotâmia. culo é derivada da palavra latina calculus, que Os mais antigos ábacos eram formados de sul- significa pedras (Figura 1). cos feitos na areia, nos quais eram colocadas pedrinhas. Um mesmo número de pedrinhas colocadas em sulcos diferentes representava quantidades diferentes. O primeiro sulco, da direita para a esquerda, corresponde ao sulco das unidades; o segundo, ao sulco das deze- nas; o terceiro, ao sulco das centenas, e assim Figura 1: Correspondência biunívoca (BIANCHINI, 2002, p. 13). por diante. 11
  7. 7. UEA – Licenciatura em Matemática o sistema de numeração egípcio não é posicio- nal. Por exemplo, o número 22 podia ser repre- sentado por: Ao contrário de outros povos que criaram sím- Figura 3: Ábaco antigo (BIACHINI, 2002, p. 43). bolos próprios para representar os números, os romanos buscaram letras do próprio alfabe-2. As antigas civilizações to para representá-los. No quadro 2, tem-se o As primeiras grandes civilizações surgiram sistema de numeração romano e os valores nas regiões próximas do Mar Mediterrâneo, há correspondentes em nosso sistema de nume- pouco mais de 5 000 anos. Entre elas, desta- ração. cou-se a civilização egípcia. A escrita egípcia Quadro 2: Sistema de numeração romano era feita por meio de combinações de dese- nhos e sinais gráficos, chamados hieróglifos. A seguir, uma lista de sinais convencionais utili- zados no sistema de numeração egípcio. Sis- Na figura 4, tem-se um mostrador de relógio tema de numeração é o conjunto de regras em que são utilizados algarismos romanos. usadas para tornar possível a leitura e a escri- ta dos números. Quadro 1: Sistema de numeração egípcio. Figura 4: Algarismos romanos. Observa-se que, da mesma forma que os egíp- cios, os romanos utilizavam base 10: I → 1 = 100 0, X → 10 = 10 1, C → 100 =10 2, M → 1000 =10 3. A seguir, as principais regras do sistema de numeração romano: 1) Cada um dos símbolos I, X, C e M pode ser repetido seguidamente até três vezes. 2) Um símbolo escrito à esquerda de outro de maior valor indica uma subtração dos respectivos va- lores (princípio subtrativo). Fonte: http://educar.sc.usp.br/matemática Exemplo: IV → 5 − 1 = 4; IX → 10 − 1 = 9; XL → 50 − 10 = 40; Observe, no quadro 1, que cada símbolo re- CD → 500 − 100 = 400; CM → 1000 − 100 = 900. presenta dez vezes o que o símbolo anterior 3) Um símbolo escrito à direita de outro de maior representa, justificando o fato de que a base valor indica uma soma dos respectivos valores do sistema de numeração egípcio é 10. Para (princípio aditivo). representar um determinado número, os egíp- Exemplo: cios colocavam os símbolos tanto da direita VI → 5 + 1 = 6; XI = 10 + 1 = 11; XV = 10 + 5 = 15; para a esquerda quanto da esquerda para a CX → 100 + 10 = 110; DC → 500 + 10 = 600; direita ou de cima para baixo. Isto mostra que MDC → 1.000 + 500 + 100 = 1.600 12
  8. 8. Matemática Elementar I – Sistemas de Numeração 4) Utiliza-se um traço horizontal acima do símbolo, meiros que chegaram à noção de zero, que indi- indicando que o número abaixo dele deve ser ca uma “casa vazia”, foram os babilônios, povo multiplicado por mil. Dois traços equivale a multi- que viveu por volta de 2 500 a. C., na Mesopo- plicá-lo por 1 000 × 1 000 = 1 000 000 (um milhão). tâmia. Exemplos: 2) Tem base 10, ou seja, os agrupamentos são fei- tos de dez em dez. 3) É um sistema posicional, isto é, um mesmo sím- bolo representa valores diferentes dependendo3. Nosso Sistema de Numeração da posição que ocupa no numeral. O Brasil, assim como a maioria dos países, uti- Exemplo: no número 32 524, o primeiro algaris- liza o sistema de numeração indo-arábico, que mo “2” (contando a partir da direita) vale vinte unidades, enquanto o segundo vale duas mil uni- é decimal. A palavra “decimal” origina-se do la- dades. tim decem, que significa dez, ou seja, os agru- pamentos são sempre feitos de dez em dez. 4) Obedece aos princípios aditivo e multiplica- Por isso, é usualmente chamado de sistema tivo. numérico decimal. A denominação indo-arábi- O número 235, por exemplo, significa: 200 + 30 + 5 (princípio aditivo) co deve-se ao fato de seus símbolos e suas Ou seja, regras terem sido inventados pela antiga civi- 2 × 100 + 3 × 10 + 5 × 1 (princípio multiplicativo) lização hindu e aperfeiçoados e divulgados No princípio aditivo, o número é obtido pela adi- pelos árabes. ção dos valores posicionais. O principal responsável pela divulgação desse No princípio multiplicativo, cada algarismo escri- sistema foi o matemático, astrônomo e geógra- to imediatamente à esquerda de um outro alga- fo muçulmano do século IX, Abu Jafar Moha- rismo vale dez vezes o valor posicional deste. med Ibn Musa Al-Khowarizmi, com a tradu- Assim, cada grupo de dez unidades forma uma ção de seus trabalhos de Aritmética, Álgebra e dezena. Cada grupo de dez dezenas forma Geometria para o latim, penetrando e influen- uma centena. Cada grupo de dez centenas ciando o Ocidente. forma um milhar. Cada grupo de dez unidades A seguir, as principais características desse sis- de milhar forma uma dezena de milhar. Cada tema: grupo de dez dezenas de milhar forma uma 1) Utiliza apenas 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, centena de milhar. E assim por diante. Dessa 8 e 9, com os quais é possível representar qual- forma, todo número pode ser representado uti- quer número. Esses símbolos são chamados al- lizando potências de dez. Este tipo de represen- garismos em homenagem à Al-Khowarizmi. Vale tação do número é chamado de notação expo- lembrar que os símbolos do nosso sistema de nencial. numeração sofreram várias mudanças sendo sua padronização possível com a invenção da Observe como o número 809 432 é represen- imprensa, no século XV. Outro fato é que, os pri- tado no ábaco com sua notação exponencial: 13
  9. 9. UEA – Licenciatura em Matemática A partir dos conceitos de valor posicional, têm- EXERCÍCIOS se os conceitos de valor relativo e valor abso- 1) Escreva a quantidade que está representada luto. em cada ábaco. Valor relativo de um algarismo é o valor que ele assume, dependendo da ordem que ele ocupa no número, e valor absoluto é o valor isolado do algarismo, independente da posição ou or- dem que ele ocupa no número. No sistema de numeração decimal, os núme- ros são lidos ou escritos mais facilmente quan- 2) Escrever os numerais em algarismos romanos: do os algarismos são separados em grupos de a) 12 b) 19 c) 159 d) 535 três, começando pela direita. Cada algaris- e) 1 542 f) 4 415 g) 750 mo que forma um numeral representa uma ordem e que cada três ordens consecutivas 3) Veja o desenho e descubra que número repre- representa uma classe como se pode obser- senta e qual sua notação exponencial. var no quadro 3. Mas as classes não terminam nos milhões. Existem as classes dos bilhões, trilhões, etc. Considere os números que estão colocados no quadro 3 e a respectiva leitura: 4) No quadro valor lugar, represente os números e depois faça a leitura: Lê-se: oitocentos e nove mil, quatrocentos e trinta e dois. a) 3 482 b) 55 980 644 5) Observe o número 3 482 e responda: Lê-se: sessenta e três milhões, duzentos e oitenta e três a) Quantas classes e quantas ordens possui o nú- mil, cento e quatro. mero dado? Atenção: Quando o número indicar quantia em di- b) Quantas unidades simples possui? nheiro, a separação das classes deve ser feita por c) Quantas dezenas possui? um ponto, caso contrário, deve-se usar espaço. d) Quantas centenas possui? Exemplos: e) Qual a ordem em que o valor absoluto é igual ao a) 3 456 b) 34 567 103 c) R$1.200,00 d) R$14.350,50 valor relativo? Quadro 3: Quadro Valor Lugar 14
  10. 10. Matemática Elementar I – Sistemas de Numeração O sistema binário funciona de modo parecido a um interruptor, como mostra a Figura 5. TEMA 02 BASES DIFERENTES DE 10Quando se precisa contar uma grande quantidadede coisas, separam-se os objetos em grupos, pois Figura 5: Sistema binário (BIANCHINI, 2002, p. 53).isto facilita a contagem. Por exemplo, contar as dú-zias de ovos é uma forma de agrupar: agrupar de Se desejar representar, neste sistema numérico, o12 em 12. Os fabricantes agrupam um determina- número oito mediante um conjunto de lâmpadas,do número de unidades em cada embalagem. Por onde uma lâmpada acesa representa o algarismoexemplo: as barrinhas de drops vêm com o mes- “1” e uma lâmpada apagada o algarismo “0”, tem-mo número de balas, as cartelas dos medicamen- se as 3 lâmpadas da esquerda para direita apa-tos vêm com o mesmo número de comprimidos. gadas e 1 acesa (Figura 6).Até a medição do tempo é feita por meio de grupa-mentos de 60 em 60 – sistema sexagesimal.Exemplo: Uma hora tem 60 minutos e um minutotem 60 segundos. Dessa forma, tem-se: Figura 6: Representação do número oito noa) 1h 20min = 1×601 + 20×600 = 1×60 + 20×1 = sistema binário (BIANCHINI, p. 56). = 60 + 20 = 80minb) 2h 20min 40s = 2×602 + 20×601 + 40×600 = 1 000(dois) = 1×23 + 0×22 + 0×21 + 0×20 = 8 = 2×60×60 + 20×60 + 40×1 = Já foi demonstrado como escrever um número em = (7 200 + 1 200 + 40)s = 8 440s uma determinada base para a base 10. Agora, será demonstrado como fazer o processo inverso. APortanto é possível usar qualquer número como maneira mais simples consiste em fazer divisõesbase para criar um sistema numérico posicional. sucessivas pela base. As divisões serão feitasRegra: obtém-se o valor do número, multiplican- com o número e com cada um dos quocientesdo o valor de cada algarismo pela base elevada inteiros encontrados. O processo termina quan-à posição ocupada por ele (a partir da posição do o quociente for igual a zero. Os restos daszero), somando-se todas as parcelas. divisões, escritos na ordem inversa em queOutro sistema não decimal bastante utilizado é o aparecem, darão a representação do número nasistema binário – sistema numérico posicional de base escolhida. Observe como fica transforman-base dois que usa apenas os algarismos “um” e do o número oito na base 10 para a base 2.“zero”. A grande maioria dos componentes de cir-cuitos elétricos podem assumir apenas um dentredois estados. Por exemplo: interruptores ou tran-sistores podem estar fechados ou abertos; capaci-tores podem estar carregados ou descarregados;lâmpadas podem estar acesas ou apagadas. Foiestabelecido que um desses estados representa o EXERCÍCIOS“um” (lâmpada acesa, por exemplo) e que o outrorepresenta o “zero” (lâmpada apagada, por exem- 1) Escreva a quantidade que está representadaplo). O algarismo do sistema binário é chamado de em cada ábaco.dígito binário, oriundo do inglês binary digit, cujacontração produz bit. O bit é a menor unidade dedado (ou informação) que pode ser armazenadaem um computador.O processo de conversão das grandezas domundo real em quantidades expressas no sistemabinário chama-se “digitalização”. 2) Escreva o número (192)dez na base cinco. 15
  11. 11. UNIDADE II Conjuntos
  12. 12. Matemática Elementar I – Conjuntos Exemplo: O conjunto B formado pelos dias da semana que começam com a letra “p”. Indica-se TEMA 03 por: B = { } ou B = ∅ CONJUNTOS Relacionando o conjunto B da figura 1 com o con- junto , percebe-se que é possível estabelecerObserve os conjuntos a seguir: relação entre os conjuntos. A relação pode ser de pertinência ou de inclusão. Relação de pertinência é uma relação entre elementos e conjunto. Quadro 1: Relação de pertinência. Figura 1: Representação dos conjuntos em diagramas.O conjunto A caracteriza-se por seus elementosserem figuras geométricas. O conjunto B caracteri-za-se por seus elementos serem números. Os con-juntos são representados por letras maiúsculas.Portanto: Relação de inclusão é uma relação entre conjuntos. Um conjunto é uma coleção de elementos que têm uma característica em comum, uma Quadro 2: Relação de Inclusão. propriedade que os distingue.Exemplo: = {0, 1, 2, 3, 4....}. Esse conjunto échamado de conjunto dos números naturais. Cadanúmero natural possui um outro número naturaldenominado sucessor – elemento que vem ime-diatamente após um número dado (antecessor). 1é sucessor de 0, e 0 é antecessor de 1. 1) Em ambas as notações, B é subconjunto de A,Os conjuntos podem ser classificados em finito, ou seja, todos os elementos de B pertenceminfinito, unitário e vazio. ao conjunto A.Conjunto finito – É aquele em que se podem con- 2) O conjunto vazio é subconjunto de qualquertar todos os seus elementos. conjunto, e qualquer conjunto contém o con-Exemplo: M = {0, 1, 2, ... ,718, 719}. M é o conjun- junto vazio. Ou seja:to dos números naturais menores que 720. ∅⊂AeA⊃∅Conjunto infinito – É aquele em que não se con- 3) Todo conjunto é subconjunto de si mesmo,segue contar todos os seus elementos. pois se A = B, então:Exemplo: Conjunto dos números naturais = {0, A⊃BeB⊂A1, 2, 3, 4, 5,...}. 4) Em ambas as notações, C não é subconjuntoObservação: cada elemento é escrito uma única de D, ou seja, nem todos os elementos de Cvez no conjunto. pertencem ao conjunto D.Conjunto unitário – É o conjunto formado por um Exemplo: Considerando os conjuntos A, B e Cúnico elemento. onde A é o conjunto formado pelos números queExemplo: A = {3} representam os ponteiros de um relógio, B pelosConjunto vazio – É o conjunto que não tem ele- números que aparecem nas teclas de um telefonementos. e C pelos números naturais. 19
  13. 13. UEA – Licenciatura em MatemáticaSendo A = {1, 2, 3,...,12}, B = {0, 1, 2,..., 9} e EXERCÍCIOSC = {0, 1, 2, 3,...} 1) Complete os espaços com os símbolos ∈, ∉, ⊃Eis algumas possibilidades de relaçõs entre eles: ou ⊄.: 5 ∈ B, 24 ∉ A, B ⊄ A, B ⊂ C, C ⊃ A, A B a) {c, b, e}.........{a, b, c, d, e, f} b) 0....... {1, ..., 10, 11,...}Além de relacionar elemento e conjunto, conjunto c) {0, 1, 2,...}........{10, 20, 30, 40}e conjunto, podem-se realizar operações entre d) {a, e, i, o, u}......{a, u}conjuntos: união, interseção e diferença entre con- e) 3 .....INjuntos (quadro 3). f) {2, 4, 6, 8}.......{0, 1, 2, .., 8} Quadro 3: Operação entre conjuntos. 2) Considerando o conjunto A formado pela idade das pessoas que têm mais de 30 anos, o conjunto B pela idade das pessoas que têm menos de 25 anos, o conjunto C pela idade das pessoas que têm entre 40 e 50 anos, assi- nale V (verdadeiro) ou F (falso) para as sen- tenças: a) A ∪ B = C b) A ∩ C = C c) C − A = C d) A − (B ∪ C ) = {0,1, 2,..., 30}Exemplo: Considerando os conjuntos da figura 2,determine: Figura 2: Operações entre conjuntos.a) A ∪ B = {1, 2, 3, 5} ∪ {2, 4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}b) A ∩ B = {1, 2, 3, 5} ∩ {2, 4, 5, 6, 7} = {2, 5}c) (A − B) ∩ (A ∩ B) A − B = {1, 3} A ∩ B = {2, 5} (A − B ) ∩ (A ∩ B) = {1, 3} ∩ {2, 5} = ∅ 20
  14. 14. UNIDADE IIIConjunto dos Números Naturais
  15. 15. Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais 2. Operações com números naturais TEMA 04 A Aritmética é o alicerce da Matemática. Essa palavra vem do grego arithmos, que significa número. REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA. OPERAÇÃO: ADIÇÃO Aritmética é a parte da Matemática que estuda as propriedades dos números eO conjunto dos números naturais, representado as operações que se podem realizar so-pela letra , é o conjunto: bre eles. = {0,1,2,3,4,5,6,...}, muito utilizado para resolver As operações com os números naturais sãoproblemas de contagem, em que o zero indica a usadas constantemente na vida diária, emboraausência de objetos. seja difícil dizer quando e como se aprende a1. Representação dos números naturais na re- adicionar, subtrair, multiplicar e dividir. Operar ta numérica é agir sobre os objetos e, de alguma manei- ra, realizar transformações. A seguir, o procedimento para representar es- Resolver problemas é uma prática que acom- ses números sobre uma reta ordenada: panha os homens ao longo da história. As ciên- 1) Traça-se uma reta, e sobre ela, marca-se um pon- cias, as sociedades, as artes devem muito do to “O” (chamado ponto de origem). seu desenvolvimento à eterna resolução de problema. George Polya (1887-1985) foi um 2) Escolhe-se uma unidade de comprimento, 1 cen- grande educador matemático que nasceu em tímetro, por exemplo, à direita do ponto O. Budapeste, Hungria. Escreveu muitos artigos e 3) Partindo do ponto de origem, coloca-se essa uni- alguns livros extraordinários, como How to dade de comprimento repetidas vezes, ao longo solve it (“A Arte de Resolver Problemas”, em da reta, da esquerda para a direita. Cada ponto português). da reta está associado a um número natural. Note que: Figura 1: A Arte de Resolver Problemas Fonte: www.mercadolivre.com.br/.../25604126_3848.jpg a) 1 é consecutivo de 0 ou sucessor de 0, porque 0+1=1 Procurando organizar um pouco o processo de resolução de problemas, George Polya divi- b) 3 é consecutivo de 2, porque 2 + 1 = 3 diu-o em quatro etapas. Polya nunca preten- c) 0 < 1 < 2 < 3 → lê-se: 0 é menor que 1, que é deu que sua divisão correspondesse a uma se- qüência de etapas a serem percorridas uma menor que 2, que é menor que 3. O anteces- depois da outra, sem que nunca seja conve- sor é sempre menor que seu sucessor. Esta- niente ou necessário voltar atrás, ou que fun- belece-se, assim, a ordem crescente dos nú- cionasse como uma porção mágica. meros naturais. As quatro etapas para resolução de proble- d) 3 > 2 > 1 > 0 → lê-se: 3 é maior que 2, que é mas segundo George Polya: maior que 1, que é maior que 0. O sucessor 1) Compreender o problema. sempre é maior que seu antecessor. Estabele- ! Ler o enunciado. ce-se, assim, a ordem decrescente dos núme- ! Identificar os dados fornecidos. ros naturais. Portanto sempre é possível esta- ! Identificar as incógnitas (dados desconheci- belecer uma relação de ordem em . dos do problema). 23
  16. 16. UEA – Licenciatura em Matemática ! Verificar as possíveis relações entre os dados 2.a etapa: Traçar um plano. e as incógnitas. Idéia de juntar objetos diferentes. Portanto a ! Se possível, criar um esquema que represen- operação a ser utilizada é a adição. te a situação. ! Identificar o que o problema pede. 3.a etapa: Executar o plano. 2) Traçar um plano: Consiste em construir uma es- Para realizar a soma, será necessário executar tratégia de resolução. uma seqüência de procedimentos, chamada de ! Você já resolveu algum problema parecido? algoritmo. ! É possível resolvê-lo por partes? Será utilizada a seguinte convenção para os algo- ! Quais são as operações matemáticas adequa- ritmos das quatro operações: das para resolver a situação? ! Todos os dados do problema estão envolvidos no plano? 3) Executar o plano: Consiste em colocar a estra- tégia de resolução em prática. ! Tentar responder: o que eu obtenho com esse passo? Figura 3: Convenção utilizada para as quatro operações. ! Ao encontrar dificuldades, volte à primeira eta- pa e reordene as idéias. Primeiro, deve-se representar no quadro valor 4) Comprovar os resultados. lugar as parcelas 123 e 24, e depois deve-se jun- ! Ler o enunciado novamente e verificar se o tar os objetos de cada ordem. que foi perguntado é o que foi respondido. ! Verificar se os argumentos utilizados para obter o resultado são válidos. ! Você pode obter a solução de um outro mo- do? A seguir, serão apresentadas as operações fundamentais: adição, subtração, multiplica- Lê-se: “Cento e quarenta e sete”. ção e divisão. Os problemas que as envolvem serão resolvidos utilizando as etapas de Polya. 4.a etapa: Comprovar os resultados.2.1 Adição A operação de adição é associada a duas idéias: juntar e acrescentar. A seguir, duas situações que envolvem essas idéias. Logo, a quantidade de objetos que há na livraria são 147. Exemplos: 1) Uma livraria tem 123 lápis e 24 livros. Quantos 2) No balde, havia 147 peixes. Marina pescou mais objetos há na livraria? 56 peixes e colocou-os no mesmo balde. Quan- 1. etapa: Compreender o problema. a tos peixes há no balde? Dados conhecidos: 123 lápis e 24 livros. Pede-se: a quantidade de objetos da livraria. Figura 2: Idéia de juntar Figura 4: Idéia de acrescentar. 24
  17. 17. Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais1.a etapa – Compreender o problema.Dados conhecidos: 147 peixes e 56 peixes.Pede-se: a quantidade de peixes no balde.2.a etapa – Traçar um plano.Idéia de acrescentar peixes a uma quantidade de Propriedades da adiçãopeixes já existente. Portanto, a operação a ser uti- A adição em apresenta as seguintes pro-lizada é adição. priedades:3.a etapa – Executar o plano. A1) Propriedade do fechamentoDeve-se representar no quadro valor de lugar as Observe o que acontece com a soma 2 + 6:parcelas da adição 147 + 56. Depois, trocam-sedez unidades por uma dezena e transporta-se 2+6=8para o lugar das dezenas. Portanto: a soma de dois números naturais resulta em um número natural. Ou seja, se a ∈ , b ∈ , então a + b ∈ . A2) Propriedade comutativa Observe o que acontece com a soma 4 + 3 e 3 + 4:Lê-se: “Cento e noventa e três”. Portanto: dados dois números naturais a e b,Chama-se de “vai um” o transporte de uma or- tem-se que a + b = b + a.dem para a ordem imediatamente superior, queaqui significa “vai uma dezena”, pois 7 + 6 = 13, A3) Propriedade associativaou seja, 10 + 3, indicando que restam 3 na or- Observe o que acontece com a soma:dem das unidades. Quando se somam as deze- (3 + 2) + 4 e 3 + (2 + 4)nas, o “vai um” significa “vai uma centena”, pois40 + 50 + 10 = 100. Portanto nada resta na or-dem das dezenas, representando por 0. Este pro-cesso é conhecido como “transporte de reserva”.O resultado da adição é obtido pelos algarismos Portanto: dados três números naturais a, b eque representam a quantidade que restou em c, tem-se que (a + b) + c = a + (b + c).cada ordem. No caso, tem-se 2 centenas, 0dezena e 3 unidades. Portanto, 147 + 56 = 203. A4) Existência do elemento neutro Observe o que acontece com a soma 0+44.a etapa – Comprovar os resultados. e 4+0: Portanto: quando se soma zero a um núme- ro natural, a soma não se altera. Por isso, o zero é o elemento neutro da adição. 25
  18. 18. UEA – Licenciatura em Matemática EXERCÍCIOS1) Para estudar para uma prova de Matemá- TEMA 05 tica, Patrícia resolveu, no sábado, 25 exercí- cios. No domingo, ela fez 7 exercícios a mais. OPERAÇÃO: SUBTRAÇÃO a) Quantos exercícios Patrícia fez no domingo? 2.2 Subtração b) Quantos exercícios fez no fim de semana? Quando uma operação desfaz o que a outra2) Foi realizada uma pesquisa entre os estudan- realizou anteriormente, determinando a volta tes das escolas de um município para verificar ao estado original, diz-se que essa operação é qual o alimento mais consumido (arroz, feijão, a inversa da outra. macarrão, carne). Cada estudante só podia es- colher um único alimento. As respostas foram Veja alguns exemplos: tabuladas segundo o quadro: Figura 5: Operações inversas. Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica a) Quantos estudantes escolheram o alimento arroz? b) Quantos estudantes do sexo feminino responde- Você observou que a adição e a subtração são ram à pesquisa? operações inversas. Uma desfaz o que a outra c) Quantos estudantes foram pesquisados? fez. A operação de subtração é associada a três idéias: retirar, comparar e completar. A se- guir, três situações que envolvem essas idéias. Exemplos: 1) Reginaldo tem em sua biblioteca 134 livros e doa- rá 13 livros para sua escola. Quantos livros fica- rão na biblioteca de Reginaldo? Figura 6: Subtração – Idéia de retirada. 1.a etapa – Compreender o problema. Dados conhecidos: 134 livros de Reginaldo dos quais 13 livros serão doados para a escola. Pede-se: a quantidade de livros que ficará na bi- blioteca de Reginaldo. 2.a etapa – Traçar um plano. Idéia de retirar uma quantidade de outra. Portan- to a operação a ser utilizada é subtração. 26
  19. 19. Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais 3.a etapa – Executar o plano. c) Observe que se trocou uma dezena por dez Deve-se representar no quadro valor de lugar o unidades. A seguir, retiram-se 9 unidades e número 134, de forma que se retire 3 unidades e depois 2 dezenas. 1 dezena (subtraendo). Lê-se: “Vinte e oito”. Lê-se: “Cento e vinte e um”. Normalmente, o “empresta um” chama-se “re- 4.a etapa – Comprovar os resultados. curso à ordem superior”. 121 + 13 = 134 4.a etapa – Comprovar os resultados. 28 + 29 = 572) Num engradado onde cabem 57 garrafas, Márcio Logo, a quantidade de garrafas que faltam para tem apenas 29. Quantos faltam para completá-la? encher o engradado é 28. 3) Marcelo tem 25 anos, sua irmã Carmem tem 9. Quantos anos Marcelo tem a mais que Carmem? Figura 7: Subtração – Idéia de completar (IMENES, p. 63). 1.a etapa – Compreender o problema. Figura 8: Subtração – Idéia de comparar Dados conhecidos: 57 garrafas cabem no engradado, e Márcio possui 29 garrafas. 1.a etapa – Compreender o problema. Pede-se: a quantidade de garrafas que faltam Dados conhecidos: 25 anos (idade maior) e 9 para encher o engradado. anos (idade menor). Pede-se: a quantidade de anos que Marcelo tem 2.a etapa – Traçar um plano. a mais que Carmem. Idéia de completar uma quantidade para atingir outra. Portanto a operação a ser utilizada é a sub- 2.a etapa – Traçar um plano. tração. Idéia de comparar duas quantidades. Portanto a operação a ser utilizada é a subtração. 3.a etapa – Executar o plano 3.a etapa – Executar o plano. Deve-se representar no quadro valor de lugar o Deve-se efetuar a subtração 25 – 9. minuendo da subtração 57 − 29. Como o algarismo das unidades do minuendo é a) Registra-se o minuendo. menor que o do subtraendo, conforme o algorit- mo da subtração, deve-se transportar a unidade superior para a unidade imediatamente inferior. No caso, troca-se uma dezena por dez unidades. b) Faz–se o transporte da unidade superior para Depois, retiram-se 9 unidades das 15 unidades e a unidade imediatamente inferior. 0 dezena de 1 dezena. 27
  20. 20. UEA – Licenciatura em Matemática 4.a etapa – Comprovar os resultados. EXERCÍCIOS 9 + 16 = 25 1) A leitura de um hidrômetro feita no mês janeiro Logo, Marcelo tem 9 anos a mais que Carmem. indicava 3 456 metros cúbicos, e uma nova leitura feita no mês de fevereiro seguinte indi- cava 4 789 metros cúbicos. Quantos metros cúbicos de água foram consumidos a mais no mês de fevereiro? 2) Em uma eleição para prefeito de um município no 2. turno, o candidato A obteve um total de O Esta relação é conhecida como relação funda- 5.789 votos e o candidato B obteve um total de mental da subtração e pode ser representada da seguinte forma: 4.745 votos. Sabendo que houve 165 votos brancos, 59 votos nulos e que o município tem 11 567 habitantes. Responda: a) Quantas pessoas votaram no município? b) Quantas pessoas não votaram? Minuendo − subtraendo = diferença ⇔ subtraendo + + diferença = minuendo c) Quantos votos a mais obteve o candidato A em relação ao candidato B? A relação da subtração também pode ser escrita como: 3) Calcular o valor do elemento desconhecido: A soma de três termos de uma subtração é o a) x + 45 = 312 dobro do minuendo. b) 10 + y = 25 c) a − 8 = 19 Cálculo do elemento desconhecido numa igualdade: Vista a relação fundamental da subtração, ela será usada para calcular o elemento desconheci- do numa igualdade. Exemplo: Calcular o valor de x na igualdade: x + 7 = 12 (relação fundamental da subtração) x+7−7=2−7 Solução: x + 0 = 12 − 7 x=5 Vale lembrar que as propriedades fechamento, comutativa, associativa e elemento neutro não são válidas para a subtração em N. Observe: a) 2 ∈ , 3 ∈ , mas 2 − 3 ∉ (não é possível, no conjunto dos números naturais, retirar 3 unidades de 2 unidades se não possuo a or- dem das dezenas para fazer o “empréstimo”). Nesse caso, não é válida a propriedade de fechamento. b) 3 − 2 ≠ 2 − 3. Nesse caso, não é válida a pro- priedade comutativa. c) Nesse caso, não é vá- lida a propriedade as- sociativa 28
  21. 21. Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais 2) Para fazer um copo de leite, utilizam-se 3 colhe- res de sopa cheias de leite em pó. Quantas co- TEMA 06 lheres de sopa de leite em pó são necessárias OPERAÇÃO: MULTIPLICAÇÃO para fazer 12 copos de leite?2.3 Multiplicação 1.a etapa – Compreender o problema. Dados conhecidos: 1 copo de leite corresponde A operação de multiplicação é associada à a 3 colheres de leite em pó. idéia de adição de parcelas iguais. A seguir, Pede-se: a quantidade de colheres de leite em pó três situações que envolvem essas idéias. para fazer 12 copos de leite. Exemplos: 1) Cristina está escolhendo um sorvete de uma 2.a etapa – Traçar um plano. bola (cupuaçu, buriti, açaí, tucumã) com um tipo Idéia de adição de parcelas iguais por meio da de cobertura (caramelo, chocolate, morango). De proporcionalidade entre copo de leite e colheres quantas maneiras diferentes pode montar o de sopa de leite em pó. Portanto a operação a ser utilizada é a multiplicação. sorvete? 3.a etapa – Executar o plano. 1.a etapa – Compreender o problema. Registra-se o número 12 e repete-se a configu- Dados conhecidos: 4 tipos de sorvete: 4 e 3 tipos ração pela quantidade de vezes a ser repetida. de cobertura. Depois, conta-se a quantidade de objetos de ca- Pede-se: a quantidade de maneiras diferentes de da ordem. se montar o sorvete. Lê-se: “Trinta e seis”. 4.a etapa – Comprovar os resultados. Logo, serão necessárias 36 colheres de sopa de leite em pó para fazer 12 copos de leite. Figura 9: Idéia da multiplicação. 3) Para viajar de uma cidade A para uma cidade B, 2.a etapa – Traçar um plano. percorrem-se 123 quilômetros. Sabe-se que a Idéia de parcelas iguais por meio das combina- distância para ir da cidade B até a cidade C é o ções possíveis de sorvetes. Portanto a operação a ser utilizada é a multiplicação. quádruplo da distância de A até B. Qual é a dis- tância da cidade B até a cidade C? 3.a etapa – Executar o plano. 1.a etapa – Compreender o problema. 4.a etapa – Comprovar os resultados. Dados conhecidos: ! Distância de A até B: 123 quilômetros. ! Distância de B até C: quatro vezes a distância Logo, há 12 maneiras diferentes de montar o de A até B. sorvete. Pede-se: a distância da cidade B até a cidade C. 29
  22. 22. UEA – Licenciatura em Matemática 2.a etapa – Traçar um plano. M2) Propriedade comutativa: Idéia de adição de parcelas iguais por meio da Observe o que acontece com o produto 2 × 3 proporcionalidade entre a distância de A até B e e 3 × 2: a distância de B até C. Portanto a operação a ser utilizada é a multiplicação. 3.a etapa – Executar o plano. Portanto: dados dois números naturais a e b, a) Registra-se o multiplicando e repete-se a con- tem-se que a × b = b × a. figuração pela quantidade de vezes indicada M3) Propriedade associativa: pelo multiplicador. Observe o que acontece com o produto (3 × 5) × 4 e 3 × (5 × 4): b) Trocam-se 10 unidades por uma dezena. Portanto: dados três números naturais a, b e c, tem-se que (a × b) × c = a × (b × c). Esta propriedade da multiplicação, muitas ve- zes é usada no cálculo mental. Exemplo: Nu- ma caixa há 80 lápis. Quantos lápis há em 7 caixas? Lê-se: “Quatrocentos e noventa e dois”. 4.a etapa – Comprovar os resultados. Logo, a distância de B até C é de 492 quilôme- tros. Figura 10: Multiplicação – propriedade associativa. O procedimento para resolver o problema po- de ser interpretado da seguinte forma: 7 × 80 = 7 × (80 × 10) = (7 × 8) × 10 = = 56 × 10 = 560 Propriedades da multiplicação M4) Existência do elemento neutro: Observe o que acontece com o produto M1) Propriedade do fechamento: 1 × 4 = 4 × 1: Observe o que acontece com o produto 3 × 6: 3 × 6 = 18 Portanto, quando se multiplica o número um por Portanto: o produto de dois números natu- qualquer número natural, o produto não se altera. rais resulta em um número natural. Ou seja, Por isso, o 1 é o elemento neutro da multipli- se a ∈ , b ∈ , então a × b ∈ . cação. 30
  23. 23. Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais M5) Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição: TEMA 07 Exemplo: OPERAÇÃO: DIVISÃO 2.4 Divisão Entre a multiplicação e a divisão, há uma rela- ção parecida com a que existe entre a adição e a subtração, já que uma desfaz o que a outra Portanto, dados três números naturais a, b, fez. Veja os exemplos. c, tem-se: a × (b + c) = a × b + a × c Essa propriedade também é muito utilizada no cálculo mental. Exemplo: Um televisor está sendo vendido em uma loja a R$453,00. Quanto a loja irá arre- cadar se vender doze televisores? 453 × 12 = 453 × (10 + 2) = 453 × 10 + 453 × 2 = 4 530 + 906 = 5 436 A divisão está associada a duas idéias: de Logo, pagarei R$5.436,00 pelas doze televi- repartir e de medida. sores. Idéia de repartir: Exemplos: EXERCÍCIOS 1) Distribuir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas.1) Uma cidade A tem 12 624 habitantes. E a cida- Não foi exigido que a divisão fosse feita em par- de B tem o triplo de habitantes da cidade A. tes iguais. Portanto há muitas maneiras de fazer a Quantos habitantes tem a cidade B? distribuição:2) Uma pizzaria oferece 32 tipos de pizza e 9 tipos ! 3 pessoas com 3 bolas e 1 pessoa com 1 bola; de suco. Qual o número de escolhas dife- ! 2 pessoas com 2 bolas e 2 pessoas com 3 rentes que se pode fazer de um tipo de pizza bolas; com um tipo de suco? ! as 4 pessoas receberam 2 bolas cada uma e ficam sobrando 2 bolas, etc; 2) Distribuir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas de modo que: a) Todas recebam a mesma quantidade de bolas. Nesse caso, há 2 possibilidades: cada pessoa recebe 1 bola e sobram 6 bolas ou cada pes- soa recebe 2 bolas e sobram 2 bolas. b) Todas recebam a mesma quantidade de bolas e sobre o menor número de bolas. Nesse ca- so, só há um modo de repartir: 2 bolas para cada pessoa e ficam sobrando 2 bolas. 31
  24. 24. UEA – Licenciatura em Matemática Idéia de medida: Sabendo que há 53 latas, a quantidade de caixas encomendadas pelo dono da loja é suficiente? Exemplos: 1) Deseja-se arrumar 48 livros em pacotes de dois 1.a etapa – Compreender o problema. livros cada. Quantos pacotes serão formados? Dados conhecidos: quantidade total de latas = 53 e quantidade de latas que cabem em cada cai- 1.a etapa – Compreender o problema. xa = 4. ! Quais os dados do problema? Pede-se: verificar se a quantidade de caixas 48 livros, e cada pacote deve possuir 2 livros. encomendadas pelo dono é suficiente. ! O que é pedido? 2.a etapa – Traçar um plano. A quantidade de pacotes de livros. Idéia de medida, pois em cada pacote só cabem 2 livros. Portanto a operação a ser utilizada é a 2.a etapa – Traçar um plano. divisão. Idéia de medida, pois em cada pacote só cabem 2 livros. Portanto, a operação a ser utilizada é a 3.a etapa – Executar o plano. divisão. a) Registra-se o número 53. 3.a etapa – Executar o plano. Será utilizado o algoritmo da divisão: a) Registra-se o dividendo. b) Quando não se podem formar grupos de 4 elementos, devem-se transportar os elemen- tos de uma ordem para a ordem imediatamen- te inferior em grupos de dez. Em seguida, agrupa-se de 4 em 4 e registra-se o resultado. Lê-se: “vinte e quatro”. 4.a etapa – Comprovar os resultados 24 × 2 = 48 Portanto serão formados 24 pacotes com 2 livros cada. Lê-se: “Treze”. 4.a etapa – Comprovar os resultados. 13 × 4 + 1 = 52 + 1 = 53 Logo, 13 caixas não são suficientes para colocar 53 latas. O resto da divisão, nesse caso, indica que ficaria faltando colocar em uma caixa uma lata de refrigerante. Quando esse fato ocorre, diz- Esta relação é conhecida como relação funda- se que a divisão é não-exata. mental da divisão (para divisão exata) e pode também ser escrita como: q × d = D Divisão não-exata: Cálculo do termo desconhecido: A operação que associa cada par de Dada a relação fundamental da divisão, ela será números naturais D e d, ao maior número natural q, que multiplicado por d não supera usada para calcular o elemento desconhecido D, é chamada divisão não-exata com resto r. numa igualdade. Exemplo: Calcular o valor de x na igualdade: 25x = 175 (relação fundamental da divisão) Indica-se por: D = d . Q + r Solução: x = 175 : 25 x=7 2) O dono de uma loja encomendou 13 caixas pa- O maior resto possível é sempre igual a d − 1, isto ra colocar 4 latas de refrigerante em cada uma. é, R ≤ d − 1. 32
  25. 25. Matemática Elementar I – Conjunto dos Números NaturaisQuanto às propriedades da divisão, assim como por zero. Mas, para a Matemática, não há inte-na subtração, não são válidas as propriedades resse algum em ter-se infinitos quocientes pa-fechamento, comutativa, associativa e elemento ra uma só divisão. Portanto não se permite aneutro. Observe: divisão de zero por zero. O zero nunca pode ser divisor!a) 2 ∈ , 3 ∈ , mas 2 : 3 ∉ (não é possível, no conjunto dos números naturais, agrupar 3 uni- Vale destacar que os conceitos relativos à divisão dades se só existem 2 unidades, e não há a no conjunto de números naturais desempenham ordem das dezenas, para fazer o empréstimo). papel importante para os conceitos de números Nesse caso, não é válida a propriedade de fracionários e dos que se relacionam com o con- fechamento. junto de números racionais.b) 6 : 2 ≠ 2 : 6 Nesse caso, não é válida a pro- priedade comutativa. EXERCÍCIOSc) 1) Para ir a pé de casa para a escola ou da esco- la para casa, Maria gasta o triplo do tempo que gastaria se fosse de bicicleta. Ontem, ela foi a Nesse caso, não é válida a propriedade asso- ciativa. pé da escola até sua casa, pegou a bicicleta e, imediatamente, voltou para a escola. Tudo issoA seguir, um exemplo de aplicação da proprieda- demorou 72 minutos. Quantos minutos ela de-de distributiva para a divisão. morou no trajeto de casa à escola? 2) Marcos comprou um CD e 5 agendas de mes- mo preço, gastando ao todo 70 reais. Sabendo que o CD custou 25 reais, quanto custou cada agenda? 3) Tenho 150 mudas para plantar. Já plantei 86 e quero plantar as que faltam em 4 dias, plantan- do o mesmo número de mudas em cada dia. Quantas mudas devo plantar por dia? 4) Efetue as seguintes operações: a) 123 × 78 b) 4 056 × 34 Figura 11: Divisão: propriedade distributiva. c) 1 809 × 908 Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica d) 1 064 : 2 e) 405 : 68Observe que: f) 8 905 : 451299 : 3 = (1200 + 90 + 9) : 3 = 1200 : 3 + 90 : 3 +9 : 3 = 400 + 30 + 3 = 433.Considerações importantes quanto ao númerozero na divisão:1) Quando o zero é dividendo. Exemplo: 0 : 7 = 0, pois 0 × 7 = 0.2) Quando o zero é divisor. Exemplo: se 2 : 0 = q, então q × 0 = 2? Não existe um número que multiplicado por 0 dê 2, pois todo número multiplicado por 0 dá 0. Tal divisão é impossível.3) Quando o dividendo e o divisor são iguais a zero. Se 0 : 0 = q, então q × 0 = 0. Então, have- ria infinitos quocientes para a divisão de zero 33
  26. 26. UEA – Licenciatura em Matemática algarismo 1 seguido de tantos zeros quantos indicar o expoente. TEMA 08 Exemplos: POTENCIAÇÃO – RADICIAÇÃO – a) A velocidade da luz é de trezentos mil quilô- EXPRESSÕES NUMÉRICAS metros por segundo:2.5 Potenciação 300 000 km/s = 3 × 105 km/s Na vida cotidiana, existem várias situações em b) O disco rígido de meu computador tem 20 que são utilizados números muito grandes ou Gigabytes (Gb) muito pequenos. Quantos grãos de areia há na 1 Gb = 1 000 000 000 bytes ou 109 bytes praia? Qual a distância da Terra à Lua? Quanto 4) Toda potência de base zero e expoente pesa nosso planeta? Quantos gigabytes tem o diferente de zero é igual a zero. disco rígido de seu computador? Escrever nú- Exemplo: 04 = 0 meros muito grandes nem sempre é conve- niente. Portanto, para multiplicações em que Propriedades das potências: se tem um mesmo fator, criou-se uma quinta P1) Multiplicação e divisão operação, mais econômica: a potenciação. Exemplos: Exemplo: Como representar matematicamente o número de posições do jogo da velha? Lê-se: “3 elevado ao quadrado”. Quando o expoente for 3, lê-se “(base) elevado ao cubo”. Para os demais expoentes, lê-se: “(base) eleva- do à (n.o ordinal correspondente: quarta, quin- ta,...) potência” ou apenas “(base) elevado à (n.o ordinal correspondente: quarta, quinta,...). Dado dois números naturais a e n (n > 1), a expressão an representa um produto de Então: Para efetuar a multiplicação de potên- n fatores iguais ao número a, ou seja: cias de bases iguais, deve-se manter a base an = a . a . a . ...... a e adicionar os expoentes. am . an = am + n onde m, n ≠ 0 Exemplo: 5 lê-se: “cinco elevado à sexta po- 6 Para efetuar a divisão de potências de bases tência” ou “cinco elevado à sexta”. iguais, deve-se manter a base e subtrair os Casos especiais da potenciação: expoentes. 1) Toda potência de base 1 é igual a 1. am : an = am − n onde a, m, n ≠ 0 Exemplo: 16 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1 Observação: Quando as bases não são 2) Toda potência de expoente 1 é igual à iguais, calcula-se o valor de cada potência. base. A partir da propriedade envolvendo divisão de Exemplo: 51 = 5 potências com bases iguais, tem-se que: 3) Toda potência de base 10 e expoente Toda potência de um número natural dife- natural é igual ao número formado pelo rente de zero com expoente zero é igual a 1. 34
  27. 27. Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais Exemplo: 30 significa um quociente como 2.7 Expressões Numéricas 24 : 24 = 52 : 52 = 1 Para resolver corretamente expressões numéri- cas, é necessário obedecer à ordem em que P2) Potência de uma potência as operações devem ser resolvidas. Exemplos: 1) Potenciações e radiciações, na ordem em que aparecem. 2) Divisões e multiplicações, na ordem em que aparecem. Então: Para efetuar uma ou mais potência de 3) Adições e subtrações, na ordem em que potência, deve-se repetir a base e multipli- aparecem. car os expoentes. No caso dos sinais de associação, eles de- vem ser eliminados na seguinte ordem: pa- P3) Potência de um produto ou quociente rênteses, colchetes parênteses, colchetes e Exemplos: chaves. a) (3 × 5)2 = 152 = 225 = 9 × 25 = 32 × 52 Na figura 12, tem-se vários livros distribuídos b) (46 : 23)2 = 22 = 4 = 2116 : 529 = 462 : 232 em várias prateleiras. Como apresentar duas expressões numéricas diferentes para que se Então: Para efetuar potência de um produto obtenha a quantidade de livros existentes na (ou quociente) pode-se aplicar a potência estante? em cada base e multiplicar (ou dividir) os resultados obtidos.2.6 Radiciação Na potenciação, você viu como representar matematicamente o número de posições do jogo da velha: 32 = 3 × 3 = 9. Agora, se a per- gunta fosse: Qual o número de posições em cada linha (ou coluna) cujo quadrado resulta no total de posições do jogo da velha? Figura 12: Resolução de problemas Chamando “x” o número de posições em cada utilizando expressões numéricas. linha (ou coluna) de x, deve-se encontrar o número “x”, elevado ao quadrado resulta em 9. Portanto é necessário realizar a operação in- versa, chamada radiciação. Exemplos: Observação: quando o índice é 2, não se es- creve o número 2, apenas quando o índice é diferente de 2. Nas expressões com chaves, colchetes e pa- Exemplo: rênteses, eliminam-se primeiro os parênteses, depois os colchetes e em seguida a chave. Lê-se: “raiz cúbica de sessenta e quatro é igual Efetuam-se as operações conforme a ordem a quatro”. descrita anteriormente. 35
  28. 28. UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 09 DIVISIBILIDADE 3. Divisibilidade Sabe-se que o ano bissexto é aquele que pos- sui 366 dias, ao contrário do ano comum que possui 365 dias. Os anos bissextos acontecem de quatro em quatro anos exemplos: os anos de 1 600 e 2 000 foram anos bissextos. Estes números têm uma característica em comum: são números que, quando divididos por 4, dão resto zero. Ou seja, a divisão é exata. 3.1 Conjunto dos divisores de um número na- tural Dados dois números naturais, se a divisão do primeiro pelo segundo é exata, diz-se que: O primeiro é divisível pelo segundo (ou o pri- meiro é múltiplo do segundo); EXERCÍCIOS O segundo é divisor do primeiro (ou o segun-1) Um prédio tem 4 andares. Cada andar tem 4 do é fator do primeiro). apartamentos e cada apartamento tem 4 qua- tro vagas na garagem. Quantas vagas há na Exemplo: Na operação 1600 : 4 = 400; 1600 é garagem do prédio? divisível por 4 ou múltiplo de 4;2) Resolva as expressões numéricas: 4 é divisor de 1600 ou fator de 1600. a) 17 + [ 10 − (15 : 3 + 2) + 4] Para se obter o conjunto dos divisores de um b) 6 + { 9 − [(8 − 10 : 2) × 3]} número, basta dividir esse número pela c) 48 − {28 − 4[3 (40 : 5 − 3) : (17 − 3 × 4)]} sucessão dos números naturais: 1, 2, 3, 4, 5, ... e verificar em quais se obteve resto zero. d) 22 + {25 − [34 : (23 + 3 : 3) − ]} Exemplo: Determinar o conjunto dos divisores e) 3 × (14 − 3)2 : 33 + [ : 13 + (23 × 21)] de 16. Indica-se D(16). Continuando o processo até o divisor ser igual a 16, tem-se: D(16) = {1, 2, 4, 8, 16} 3.2 Conjunto dos múltiplos de um número na- tural Para se obter o conjunto dos múltiplos de um número, basta multiplicar esse número pela su- cessão dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... 36
  29. 29. Matemática Elementar I – Conjunto dos Números Naturais Exemplo: Determinar o conjunto dos múltiplos Divisibilidade por 8: um número será divisí- de 2, indica-se M(2). vel por 8 quando terminar em 000 ou quan- do o número formado pelos seus três últi- 2×0=0 2×1=2 2×3=6 2×4=8 mos algarismos for divisível por 8. M(2) = {0, 2, 4, 6, 8...} Exemplos: Observe que: a) 1000 é divisível por 8 porque termina em 000. b) 1744 é divisível por 8 porque 744 é divisível por 8. O conjunto dos múltiplos diferentes do zero é infinito; Divisibilidade por 9: um número será divisí- vel por 9 quando a soma dos valores abso- Zero é múltiplo de qualquer número; luto de seus algarismos for divisível por 9. Todo número é múltiplo de si mesmo. Exemplo: 2133 é divisÀQ

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