1) La geometría analítica establece una conexión entre el álgebra y la geometría euclidiana mediante el uso de coordenadas cartesianas. 2) En un sistema de coordenadas cartesianas, la posición de un punto en el plano se determina mediante sus distancias a los ejes x e y. 3) Las ecuaciones representan lugares geométricos cuyos puntos satisfacen ciertas relaciones entre sus coordenadas.

1. Definiciones.
Representación Cartesiana
Geometría Analítica:
Parte de las matemáticas que establece
una conexión entre el álgebra y la
Geometría Euclidiana:
*Este sistema se denomina Cartesiano en honor de René Descartes,
por haber sido quien lo empleara en la unión del álgebra y de la
Geometría Euclidiana

2. Geometría Analítica:
Estudia las propiedades de las figuras por
procedimientos algebraicos y sujeta las
cuestiones de la Geometría a Métodos
generales y uniformes, aplicables a
todas las figuras

3. Cuadrantes.
Como se verá en seguida, si se
trazan dos rectas dirigidas x´x,
yý, perpendiculares entre si,
dividen el plano en cuatro
regiones, llamadas cuadrantes

4. y
1º
2º
x´ x
3º 4º
y´

5. Ejes y origen.
Las rectas x´x, y´y se llaman ejes
o líneas de referencia, y el punto
de intersección, origen o cero.
El eje horizontal es el eje de las
“equis”, y el vertical, el de las
“yes”

6. Coordenadas.
La posición de un punto en el
plano está determinado por
medio de sus distancias a cada
uno de los ejes.
Abscisa de un punto P es su
distancia NP al eje vertical; se
representa con “x”

7. Ordenada de un punto P es su
distancia MP al eje horizontal; se
representa con “y”
La abscisa y la ordenada del punto P
se llaman coordenadas rectilíneas o
coordenadas cartesianas de ese
punto
* Cartesianas proviene de descartes (Del Latín Cartesius)

8. +
Y (ordenadas)
P( NP, MP)
N
x . P P(x,y)
y
_ M
+
0 Abscisas X
X`
Y´
_

9. Signos de las coordenadas; por
convención, las rectas dirigidas
que forman los cuatro cuadrantes
son positivas
En el sentido x´x, y´y; negativas
en el sentido opuesto: según esto,

10. Signos de los cuadrantes:
1º Toda abscisa a la derecha de y
´y es positiva
2º Toda abscisa a la izquierda de
y´y es negativa.
3º Toda ordenada arriba de x´x es
positiva.
4º Toda ordenada abajo de x´x es
negativa.

11. Eje de las abscisas y eje de las
ordenadas.
.
Y
Eje de las Ordenadas, un punto tomado en este eje es
.
* de abscisa cero.*
P
.
Eje de las abscisas, un punto tomado en este eje
es de ordenada cero.*
* X
o

12. Designación y localización de un
punto en el plano
Para designar un punto R de
abscisa 3 y ordenada 4, se escribe
R(3,4), para un punto Q de
abscisa 5 y ordenada –7, se
escribe Q(5,-7), Sí las
coordenadas de un punto P son
variables, se escriben P(x,y),
primero se escribe “x”, luego “y”

13. Ejercicios: Representa en los ejes los
puntos (3,2),(-2,3),(-1,-5),(3,-4),(7,-2),(-5,4)
6 y
5
4
3
2
1
x´ -9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
-1
-2
-3
-4
-5 y´

14. Trácese la recta que une los
puntos(3,-1) y (-2,3),
y
x´ 0 x
y´

15. El segmento OA = 5 y las
coordenadas de “C” son (2,3),
Ver Figura¿cuáles son las
coordenadas del vértice B del
paralelogramo OABC?
y
4 C B
3
2
1
A
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8

16. Hállense las coordenadas de los
puntos que distan 13 unidades del
punto P(1,3) y 6 unidades del eje
y´y
Tarea 1:
Ejercicios del 1 al 12, Pág.. 20.
Texto, Anfossi, Agustín
Editorial Progreso

17. AB2 =AC2 +CB2 (1)
Pero, AC = DC – DA = x2- x1
y CB = EB – EC = Y2- Y1
B
D A C
0 F E

18. II. Distancias y Áreas.
Distancia.entre dos puntos;
Sean A(x1,y1) y B(x2,y2) los
puntos cuya distancia se quiere
calcular.
Trácese AC paralelo a OX y BC
perpendicular al mismo eje.
Siendo rectángulo el triángulo
ACB, se tiene;

19. Sustituyendo estos valores en (1),
se obtiene:
AB = (x2- x1) +(y2- y1)
2 2 2
De
donde
AB = (x2- x1) +(y2- y1) =
2 2
(x2- x1)2 +(y2- y1)2

20. AB = (x2- x1)2 +(y2- y1)2 =
AB= (x1- x2)2 +(y1- y2)2
Distancia de un punto al origen
OA = (x1- 0) +(y1- 0)
2 2
OA= x2 + y2

21. Aplicaciones
1ª Calcúlese la distancia de;
A(-3, 4) a B(6,-2)
2º Calcúlense las coordenadas del
punto P(x,y) que equidista de
A(9,3) B(3,7) y C(-2,6) Debe
tenerse PA=PB=PC o sea
(x1-9)2 +(y1-3)2= (x1-3)2 +(y1-7)2
= (x1+2)2 +(y1-6)2

22. 1º. AB = (6+3) +(-2-4)= 81+36
2 2
= 117= 3(13) . 0.5
2º. Elévese al cuadrado cada uno
de los dos primeros radicales y
redúzcase; dando lugar a la
ecuación 3x – 2y = 8, (1),
Se elevan al cuadrado el primero
y el tercer radical, redúzcanse,
Dando lugar a la ecuación
11x-3y = 25 (2)

23. Resolviendo el sistema de dos
ecuaciones de primer grado con
dos incógnitas, tiene solución por
cualquier método de simultaneas;
obteniéndose;
x =2 ; y = -1. Siendo las
coordenadas del punto que se
busca P(2,-1)

24. .
C
y
.
B Gráfica de la función
. A
0
P . x

25. Áreas positivas y Áreas
negativas. Un móvil puede
recorrer el contorno o perímetro
de un polígono o figura cerrada
cualquiera. En dos sentidos:
teniendo constantemente a su
izquierda la superficie limitada
por dicho contorno(+), o bien
teniéndolo siempre a su derecha
(-).

26. y
Áreas Positivas y Áreas negativas
Flechas + Estrella
_
x
0

27. 1º. Área de un triángulo. Sí se
conocen las coordenadas de los
vértices de un triángulo, se puede
calcular su área en función de
dichas coordenadas. Ejemplos:
sea calcular el área del triángulo
ABC, dados los vértices A(3,0),
B(0,4), C(-2,0), área de ABC =

28. 2º Calcular el Área del triángulo
DEF dados los vértices D(1,0),
E(6,0), y F(3,6).
1º 2º
1 (5)(4) 1 (5)(6)
(CA)(OB ) = =10u 2 ÁreaDEF = ( DE )(CF ) = = 15u 2
2 2 2 2
y y F
B
C A
0 x 0 D C E x

29. Fórmula del Área del Triángulo.
Considérense dos casos
1º. El Triángulo tiene un vértice
en el origen en cuyo caso su
fórmula es:
1
AreaOAB = ( x1 y 2 − 2 y1 )
x
2
2º. Área ABC
1
AreaABC = ( x1 y2 − x2 y1 + x2 y3 − x3 y2 + x3 y1 − x1 y3 )
2

30. Área de un Polígono Cualquiera
1
AreaABCDE = ( x1 y2 − x2 y1 + x2 y3 − x3 y2 + x3 y4 − x4 y3 + x4 y5 − x5 y4 + x5 y1 − x1 y5 )
2
 x1 y1 
1
1  
AreaABC =  x2 y 2 
1
2
 x3 y3 
1
 

31. Áreas del polígono por
determinantes.
 1 y1
1x 

1x2 y 2 
1  
AreaABC =  3 y3
1x 
2  
 1 y1
1x 
 2 y2
1x 
 

32. Por lo tanto; El área de la
superficie es igual a la mitad del
resultado que se obtiene al restar,
para cada vértice, del producto de
su abscisa por la ordenada del
vértice consecutivo, el producto
de la abscisa de éste por la
ordenada del vértice que precede.

33. Aplicaciones: Calcular,
1º. El área del triángulo OAB dados
los puntos A(4,2), B(7,9),O(0,0).
Fórmula a usar,
1
AreaOAB = ( x1 y 2 − 2 y1 )
x
2
2º. El área del triángulo ABC, dados
A(2,3),B(-3,4), C(3,-5).
1
AreaABC = ( x1 y2 − x2 y1 + x2 y3 − x3 y2 + x3 y1 − x1 y3 )
2

34. 1º. Área OAB =
1
AreaOAB = ( x1 y 2 − x2 y1 )
2
1 4 2 1
AreaOAB =   = 2 ( 36 − 14 ) = 11u
2
2 2 9 
1
AreaABC = ( x1 y2 − x2 y1 + x2 y3 − x3 y2 + x3 y1 − x1 y3 )
2

35. 2º. Resultado del Área del
triángulo ABC
1 2 3 
1 
ÁreaABC = 1 − 3 4 
2
1 3
 − 5

1
= [ (15 + 9 + 8) − ( − 9 +12 −10 ) ] = 19.5u 2
2

36. Tarea 2 Pág. 26, Ejercicio 2, del
1 al 26, impares. Ejemplo1. ¿A
que distancia del origen está cada
uno de los siguientes puntos:
A(5,12), B(8,-15),
C(-21,20), D(99,-20)?
Fórmula
OA = x 2
+y 2

37. 2. Calcúlese la distancia del
punto A(5,3) al Punto B(3,4), y
del punto C(-2,5) al punto
D(4,-3).
Fórmula
2 2 2 2 2 2
AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )

38. 5. Calcúlese el perímetro del
triángulo cuyos vértices son
A(1,5), B(-2,3), C(4,-3).
8. Los vértices de un triángulo
son A(12,2), B(-3,5), C(8,8).
Calcúlense las coordenadas del
centro de la circunferencia
circunscrita y la longitud del
radio.

39. 9. ¿Qué radio debe tener la
circunferencia que pasa por los
puntos A(10,3),B(9,7), y
C(6,10).?. ¿Son de esta
circunferencia los puntos
D(-2,-4),y E(3,-5).?
12. Demuéstrese que el triángulo
A(3,-2), B(9,6), C(10,5), es
rectángulo en “C”.

40. 19. Obténgase el área del
triángulo de vértices A(1,4),
B(-4,5), y C(8,-3).
21. ¿Cuál es el área del
cuadrilátero de vértices A(8,0),
B(2,3), C(5,4) y D(-1,8)?

41. III. Ecuaciones y su
representación. Ecuación de un
lugar geométrico. Sean las
expresiones:
y =x (1)
y = x + ( 2)
3 2
y 2
=4 x (3)

42. La ecuación 1 indica que se trata
de un lugar geométrico tal que
cada uno de sus puntos tiene
ordenada y abscisa iguales; la 2
indica que, para cada punto, la
ordenada es el triple de la abscisa
aumentado en dos; la 3 expresa
que, para cada punto, el cuadrado
de la ordenada es el cuádruplo de
la abscisa de dicho punto.

43. Estas expresiones se llaman
ecuaciones.
Ecuación de un lugar geométrico
es una expresión que indica la
conexión que debe existir entre
las coordenadas de un punto y
ciertas cantidades constantes,
para que dicho punto sea de ese
lugar geométrico.

44. Ejemplo: El punto P(3,9) no es
del lugar geométrico
representado por (2), y= 3x+2,
porque 9 ≠(3)(3)+2.
Constantes:
En las investigaciones
matemáticas se encuentran dos
clases de cantidades: unas que
son constantes y otras que son
variables.

45. Las constantes pueden ser
absolutas o arbitrarias.
En la ecuación , y = 3x+2, 3 y 2
son valores constantes o
absolutos, porque nunca
cambian; pero en x2+y2 = a2 que,
como se verá más adelante, es la
ecuación de una circunferencia.

46. “a” representa el radio, y se
pueden suponer circunferencias
grandes o pequeñas, en las que
“a” tendrá distintos valores, y
solo permanecerá constante en un
problema determinado. A estas
constantes arbitrarias se las llama
Parámetros.

47. En la ecuación y = mx +b, m y b
son parámetros.
Las constantes se representan con
números o con las primeras letras
del alfabeto.
Variables. Son de dos tipos;
independientes y dependientes.

48. El radio de una circunferencia
puede variar independientemente
de cualquiera otra magnitud,
mientras que la superficie del
círculo varía, forzosamente, al
variar el radio: el radio es en este
caso, variable independiente, y la
superficie del circulo es variable
dependiente.

49. Análogamente, en y = x-12x+32,
a todo cambio de x corresponde
otro para y; x es la variable
independiente(también llamado
Dominio) y “y”es la variable
dependiente(denominado reflejo,
condominio, rango,etc.)

50. Concepto de función.
Atendiendo a todo esto, se dice
que “y” es una función de “x” en
un intervalo, cuando a todo valor
de “x”en ese intervalo se hace
corresponder, de alguna manera,
un valor para “y”.

51. Las variables se representan con
las últimas letras del alfabeto. La
dependencia de una variable con
respecto de otra, por ejemplo,
que “y” es función de “x”, se
indica simbólicamente:
y = f(x), y = F(x), ϕ =
y
(x), etc.
Nota: Si solo intervienen las variables “x” y ”y”se tiene

52. Representación de las funciones
por métodos Cartesianos.
Ejemplo; representar
gráficamente la función y= 2x+1,
1º. Se atribuyen valores a la
−∞
variable independiente x,
haciéndola variar en el sentido
de − ∞ a + ∞

53. Y Gráfica de y= 2x+1
.
F
.
E x -2 -1 0 1 2 3
.
y -3 -1 1 3 5 7
D Puntos A B C D E F
.
C
B . 0 X
A .