123

670 visualizações

Publicada em

0 comentários
2 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
670
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
1
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
9
Comentários
0
Gostaram
2
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

123

  1. 1. Pré-vestibulinho Matemática Matemática para Vestibulinho Prof. Wlad Conteúdo programático1. Conjuntos ............................................................................................................................. 022.Números naturais, inteiros, racionais e irracionais.................................................................... 083. Potenciação, radiciação........................................................................................................... 134. Expressões algébricas............................................................................................................. 145. Produtos notáveis e fatorações............................................................................................... 166. Razões e proporções............................................................................................................... 177. Regra de Três ......................................................................................................................... 208. Porcentagem. Problemas de aplicações................................................................................... 239. Equações de 1º e 2º graus. Problemas de aplicações................................................................ 2710. Sistemas de equações de 1º grau........................................................................................... 3011. Plano cartesiano ................................................................................................................... 3212. Função do 1º Grau ............................................................................................................... 3313. Função exponencial ............................................................................................................. 3514. Elementos fundamentais da geometria plana e semelhança de figuras planas........................ 3715. Relações métricas no triângulo retângulo.............................................................................. 4316. Razões trigonométricas ........................................................................................................ 4617. Áreas de figuras planas......................................................................................................... 5018. Sólidos Geométricos .......................................................................................................... 5319. Análise combinatória e probabilidade.................................................................................... 5620. Noções de estatística............................................................................................................ 5821. Lógica e seqüências ............................................................................................................. 63Anexos .................................................................................................................................... 67 EDIÇÃO 2010Resumo teórico 1
  2. 2. Pré-vestibulinho Matemática a) Extensão ou Enumeração1. CONJUNTOS Quando o conjunto é representado por uma listagem1.1. Introdução ou enumeração de seus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula. a) Conjunto Exemplos: A noção de conjunto em Matemática é praticamentea mesma utilizada na linguagem cotidiana:  Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa,agrupamento, classe, coleção. Por exemplo: Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana};  Conjunto dos meses com menos de 31 dias:  Conjunto das letras maiúsculas do alfabeto; {fevereiro, abril, junho, setembro, novembro};  Conjunto dos números inteiros pares;  Conjunto dos números pares inteiros maiores do  Conjunto dos dias da semana; que 8 e menores do que 22: {10; 12; 14; 16; 18; 20}.b) Elemento Observações:Cada membro ou objeto que entra na formação doconjunto. Assim: 1. Na representação por extensão cada elemento deve ser escrito apenas uma vez;  V, I, C, H, E são elementos do primeiro conjunto 2. É uma boa prática adotar a separação dos acima; elementos em conjuntos numéricos como  2, 4, 6 são elementos do segundo; sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões  Sábado, Domingo do terceiro; com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4}; 3. Esta representação pode, também, ser adotada para conjuntos infinitos em que se evidencia a leic) Pertinência entre elemento e conjunto de formação de seus elementos e colocando-se reticências no final: {2, 4, 6, 8, 10, …}; 4. Representação semelhante pode ser adotada para Por exemplo, V é um elemento do conjunto das conjuntos finitos com um grande número deletras maiúsculas do alfabeto, ou seja, V pertence àquele elementos: {0, 1, 2, 3, …, 100}.conjunto. Enquanto que v não pertence. b) Propriedade dos Elementos Como se vê são conceitos intuitivos e que se supõesejam entendidos (evidentes) por todos. Representação em que o conjunto é descrito por uma propriedade característica comum a todos os seusNotação elementos. Simbolicamente:Conjunto: Representado, de forma geral, por uma letra A = {x | x tem a Propriedade P}maiúscula A, B, C, …Elemento: Por uma letra minúscula a, b, c, x, y, z, … e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a propriedade P.Pertinência: Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x éum elemento de A (ou x pertence a A) indicamos por: Exemplos:  A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de 2006};  B = {x | x é um número inteiro par e 8 < x < 22}.Caso contrário, ou seja, se x não é um elemento de A (ou x Último exemplo do item a) acima;não pertence a A) escrevemos:  C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}. c) Diagrama de Euler-Venn1.2. Representações de Conjuntos Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e não entrelaçada, como mostrado na figura abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os elementos do conjunto.Resumo teórico 2
  3. 3. Pré-vestibulinho Matemática Igualdade de Conjuntos Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A:Conjunto Unitário e Conjunto VazioEmbora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia Observações:de pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar aexistência de conjunto com apenas um elemento, 1. A título de ilustração: O A invertido na expressãochamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem acima significa “para todo”;qualquer elemento, chamado de conjunto vazio (Ø). 2. {a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a noção de ordem não interfere na igualdade deO conjunto vazio é obtido quando descrevemos um conjuntos;conjunto onde a propriedade P é logicamente falsa. 3. É evidente que para A ser diferente de B é suficiente que um elemento de A não pertença a BExemplos de Conjuntos Unitários: ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, c, d}.  Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro};  Conjunto dos números inteiros maiores do que 10 e menores do que 12: {11}; Subconjunto  Conjunto das vogais da palavra blog: {o}. Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se,Exemplos de Conjuntos Vazios: e somente se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B:  { x | x > 0 e x < 0 } = Ø;  Conjunto dos meses com mais de 31 dias;  2 { x | x = -1 e x é um número real} = Ø. onde a notação significa “A é subconjunto de B”Conjunto Universo ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. A leitura da notação no sentido inverso é feita como “B contém A”.É o conjunto ao qual pertencem todos os elementosenvolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é Observe que a abertura do sinal de inclusão ficasimbolizado pela letra U. sempre direcionado para o conjunto “maior”. Na forma de diagrama é representado como:Assim, se procuramos determinar as soluções reais de umaequação do segundo grau, nosso conjunto Universo U é R(conjunto dos números reais); se estamos interessados emdeterminar os deputados federais envolvidos com omensalão, nesse caso o universo U tem como elementostodos os deputados federais da atual legislatura.Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto atravésde uma propriedade P, fixemos o conjunto universo em queestamos trabalhando, escrevendo:Resumo teórico 3
  4. 4. Pré-vestibulinho MatemáticaExemplos: Observações:  {1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6} 1. Enfatizo, apesar de colocado na própria definição,  Ø C {a, b}; que os elementos de P(E) são conjuntos;  {a, b} C {a, b}; 2. Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos  {a, b, c} ¢ {a, c, d, e}, onde ¢ significa “não está símbolos pertence (não pertence) e contido (não contido”, uma vez que o elemento b do primeiro contido); conjunto não pertence ao segundo. 3. No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e {{a}} é um subconjunto de P(A);Observe que na definição de igualdade de conjuntos está 4. Se definirmos n(E) como sendo o número de n(E)explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice- elementos do conjunto E, então n(P(E)) = 2 . Aversa, ou seja, que A está contido em B e B está contido em propriedade é válida para conjuntos finitos; 3A. Assim, para provarmos que dois conjuntos são iguais 5. Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 2 , n(B) 2 1devemos provar que: = 2 e n(P(B)) = 4 = 2 e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 2 .Propriedades da Inclusão 1.3. Operações entre conjuntosSejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem asseguintes propriedades: ►União :  1. Ø C D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer Conjunto união são todos os elementos dos conjunto; conjuntos relacionados. 2. D C D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio (propriedade Reflexiva); 3. D C E e E C D => D = E: veja acima (propriedade A  B = { x  A ou x  B } Anti-Simétrica); 4. D C E e E C F => D C F: Se um conjunto é Exemplo 1: subconjunto de um outro e este é subconjunto de Dados os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4,} e B = {0, 2, 4, 5} a um terceiro, então o primeiro é subconjunto do união desses dois conjuntos é : terceiro (propriedade Transitiva).Com exceção da primeira propriedade, a demonstração das A  B = { 0, 1, 2, 3, 4 ,5 }demais é bastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto,provar a primeira:Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é umsubconjunto de D, então é necessário que pelo menos umelemento desse conjunto não esteja contido no conjunto D.Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, asentença Ø ¢ D é sempre falsa. Logo, o conjunto vazio estácontido em D é sempre verdadeira. A BConjunto das PartesChama-se Conjunto das Partes de um conjunto E - P(E) - o Exemplo 2:conjunto formado por todos os subconjuntos de E: Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5} a união desses conjuntos é: Exemplos: A  B = { 0, 1, 2, 3, 4 ,5 } nesse caso podemos dizer que A  B = B  Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b}, {a.c}. {b,c}, {a,b,c}}  Se B = {a, b}, então P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}};  Se C = {a}, então P(C) = {Ø, {a}}.Resumo teórico 4
  5. 5. Pré-vestibulinho Matemática► Intersecção:  Exemplo 1: Os elementos que fazem parte do conjunto A = {1, 3, 5, 7} e B = {1, 3, 8 } a diferença dos conjuntos é:intersecção são os elementos comuns aos conjuntosrelacionados. A B={ xA e xB} A–BExemplo 1:Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 8}, se A – B = { 1, 2 }pedimos a intersecção deles teremos:A  B = { 2, 3 } , dizemos que A “inter” B é igual a 2 e3. B–A B–A={8} A BExemplo 2:Dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, -9}, sepedirmos a intersecção deles teremos: Exemplo 2: A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {8, 9, 10} a diferença dos conjuntos é: A – B = { 1, 2, 3, 4, 5 } Exemplo 3: A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}a diferença dos conjuntos é: A–B=  ►ComplementarB  C = { } ou B  C =  Dados dois conjuntos A e B em que A  B, chamamos de complementar de A em Bentão B e C são conjuntos distintos. , o conjunto formado pelos elementos de que pertencem a B que não pertencem a A►Diferença entre dois conjuntos. AB  = B - ADados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença oudiferença entre A e B o conjunto formado pelos elementosde A que não pertencem a B.O conjunto diferença é representado por A - BResumo teórico 5
  6. 6. Pré-vestibulinho Matemática ► Número de elementos da união deExemplo 1:A = { 1, 2 , 3} e B = { 1, 2, 3, 4, 5} então = B – A = { 4, conjuntos5} Sendo n(A) o número de elementos do conjunto A e n(B) o número de elementos do conjunto B, temos: n ( A  B ) = n (A) + n(B) – n(A  B ) Exemplo1: n(A) = 5Exercícios resolvidos n (B) = 51. Se A = { 1, 2, 3, 4 , 5} e B = { 2, 3, 7} e C = { 2, 4, 6} ,determine: n(A  B ) = 2a) A  B A  B = { 1, 2, 3, 4 , 5}  { 2, 3, 7} = { 1, 2, 3, 4 , 5, 7} Sendo n ( A  B ) = n (A) + n(B) – n(A  B ), então n ( A  B ) = 5 + 5 – 2. Logo n ( A  B ) = 8b) A  B A B = { 1, 2, 3, 4 , 5}  { 2, 3, 7} = { 2, 3}c) ( A  B )  ( B C) Exemplo2: A  B = { 1, 2, 3, 4 , 5, 7} B  C = { 2, 3, 7 } n(A) = 3 (A B)  (B C) n (B) = 4{ 1, 2, 3, 4 , 5, 7}  { 2, 3, 7 } = { 2, 3, 4, 7 } n(A  B ) = 2. Se A = { 1, 2, 3, 4 , 5 }, B = { 2, 3, 6} e C = { 1, 2, 4 },encontre: Sendo n ( A  B ) = n (A) + n(B) – n(A  B ), entãoa) B – C B – C = { 2, 3, 6 } – { 1, 2, 4 } = { 3, 6 }b) Exercícios resolvidos A - C = { 1, 2, 3, 4 , 5} - { 1, 2, 4 } = { 3, 5 } 1. Determine n (D  M ) sendo D = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} e M = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 }Resumo teórico 6
  7. 7. Pré-vestibulinho Matemática n(D) = 8 n (M) = 8 n(A  B ) = 4Sendo n ( A  B ) = n (A) + n(B) – n(A  B ), entãon ( A  B ) = 8 + 8 – 4. Logo n ( A  B ) = 122. Em uma universidade, 80% dos alunos lêem o jornal A e60% o jornal B. Sabendo que todo aluno lê pelo menos umdos jornais, qual o percentual de alunos que lêem ambosos jornais?SoluçãoComo todos os alunos lêem pelo menos um jornal, n ( A  B )= 100% . Então: n ( A  B ) = n (A) + n(B) – n(A  B) 100% = 80% + 60% – n(A  B) n(A  B) = 140% - 100% n(A  B) = 40%Resumo teórico 7
  8. 8. Pré-vestibulinho Matemática a 2. NÚMEROS NATURAIS, INTEIROS, = x |x = , a ; b e b≠0 b RACIONAIS E IRRACIONAIS. 10 6 Inteiro: - 10, − , + 6, + 1 12.1.Conjunto dos Números Naturais ( ) 1 132 Decimal exato: 0,1 ; ; 1,32 = = { 0,1,2,3,4,.. } 10 100 *= { 0,1,2,3,4,.. } Dízima periódica: 7 a) 0,777... = O conjunto dos números é fechado em relação as 9 operações de adição e multiplicação; isto é a adição de dois números naturais é um outro número natural e a 6 2 b) 1,666 ... = 1 + 0,666... = 0,666... = = multiplicação de dois números naturais terá como 9 3 resultado também um número natural. 2 3+2 5 1+ = = 3 3 3 Representação geométrica dos números naturais 36− 3 33 11 c) 0, 366... = = = 90 90 30 Cuidado! : Nem todo número racional é inteiro. 𝟏 Ex.: 𝟐 = 0,5 é racional mas não é inteiro! 2.2. Números inteiros ( ) = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2 , 3, ...} 2.4. Conjunto dos Números Irracionais ( I ) Subconjuntos de Os números irracionais apresentam infinitas casas * = { ..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } decimais e não periódicas, são números que não podem ser escritos na forma de uma fração. + = { 0, 1, 2, 3, ... } Exs: , 2 , 3 ,  , etc... *+ = { 0, 1, 2, 3, ... } Obs.: As raízes quadradas de números que não são - = { ..., -4, -3, -2, -1, 0 } quadrados perfeitos são também chamadas de números irracionais. *- = { ..., -4, -3, -2, -1 } Representação geométrica dos números inteiros 2.5. Números Reais ( ) A união dos conjuntos dos números racionais e irracionais chama-se conjunto dos números, que será indicado por ” ” 2.3. Conjunto dos Números Racionais ( ) = { números racionais}  { números irracionais } Todo número que pode ser escrito na forma de fração Resumo teórico 8
  9. 9. Pré-vestibulinho Matemática momento, a letra relativa à posição da cadeira ocupada por Bruna é (A) D. (B) I. (C) K. (D) P.Exercícios1.(SENAI 2008) Num jantar de comemoração, no final doano passado, todos os participantes resolveram pedir omesmo prato e a mesma sobremesa. No final do jantarpagaram um total de R$ 450,00 pelo prato principal e R$250,00 pela sobremesa. Se cada sobremesa custou R$ 5,00a menos do que o prato principal, então o grupo eraformado pora. 20 pessoas.b. 30 pessoas.c. 40 pessoas.d. 50 pessoas. (E) R.e. 60 pessoas. 3.(Trajano 2007) Quando estava lendo uma reportagem sobre a sua banda favorita, Paula observou que havia um2.(Trajano 2007) A roda-gigante de um parque de diversões borrão de tinta no texto, como é mostrado a seguir:tem dezoito cadeiras, igualmente espaçadas ao longo doseu perímetro e move-se no sentido anti-horário, isto é, no Curiosa, Paula determinou que o número de ingressossentido contrário ao dos ponteiros do relógio. oferecidos para a área vip foi (A) 260. (B) 400. (C) 540. (D) 760. (E) 910. 4.(Trajano 2007) Uma equipe de reportagem parte em um carro em direção a Santos, para cobrir o evento “Música Boa Só na Praia”. Partindo da cidade de São Paulo, o veículo deslocou-se com uma velocidade constante de 54 km/h, durante 1 hora. Parou em um mirante, por 30 minutos, para gravar imagens da serra e do movimento de automóveis. A seguir, continuaram a viagem para local do evento, com o veículo deslocando-se a uma velocidade constante de 36 km/h durante mais 30 minutos. A velocidade escalar média durante todo o percurso foi, em m/s, de:................................Na figura, as letras A, B, C, ... e R indicam as posições emque as cadeiras ficam cada vez que a roda-gigante pára. (A) 10 m/s. (D) 36 m/s.Com a roda-gigante parada, Bruna senta-se na cadeira que (B) 12 m/s. (E) 42 m/s.está na posição A, posição mais baixa da roda-gigante. A (C) 25 m/s.roda-gigante move-se de uma volta e pára. NesseResumo teórico 9
  10. 10. Pré-vestibulinho Matemática5.(Trajano 2007) Eduardo e Mônica estavam brincando de adivinhações com números inteiros positivos.Ao ouvir a resposta de Mônica, Eduardo imediatamente revelou o número original que Mônica havia pensado.O número que Mônica havia pensado era um(A) divisor de 12.(B) divisor de 15.(C) divisor de 24.(D) múltiplo de 5.(E) múltiplo de 12.Resumo teórico 10
  11. 11. Pré-vestibulinho Matemática6.(Cotil 2002) As infrações de transito são classificadas deacordo com o quadro ao lado. Se um condutor de Qual o total de pontos do lutador japonês e do coreano,automóvel cometer as seguintes infrações: uma grave, duas respectivamente?medias e 1 leve, quantos pontos seriam registrados na suacarteira de motorista? E qual seria o valor total pago dessas 1 9 a) emultas em reais? 1 UFIR = R$ 1,0641 fonte: Receita 2 8Federal 10 5 b) e 8 8 Infrações Pontos Multa 4 7 Gravíssima 7 180 UFIRs c) e 8 8 Grave 5 120 UFIRs 2 5 d) e 8 8 Média 4 80 UFIRs 4 5 Leve 3 50 UFIRs e) e 8 8↘ PROBLEMAS COM FRAÇÕES 8.(Cotil 2006) No COTIL , a alunos carentes são oferecidas6.(Cotil 2005) O medo de atentado terrorista forçou a bolsa-trabalho, cujo valor varia a cada ano. Depois de umaidealização de um plano de segurança para os jogos rigorosa avaliação, alguns alunos são beneficiados eOlímpicos de 2004 de Atenas. A segurança reforçada contou prestam serviço à escola em horário oposto ao que 5 1com milhares de homens e mulheres, sendo policiais , estudam. Em um determinado ano, um estudante recebeu 9 3 uma bolsa. Descubra quanto recebeu, sabendo que no finalmilitares , segurança particulares e voluntários e outros 5 4mil homens eram da guarda costeira. O total de homens do mês ele gastou do total e, em seguida, enviou mais 5que participaram da segurança em Atenas 2004 foi de : 1 , restando-lhe..apenas..R$.7,00.a) 15 mil 6b) 25 milc) 30 mil a) R$ 150,00 d) R$ 240,00d) 45 mil b) R$ 180,00 e) R$ 270,00e) 50 mil c) R$ 210,007.(Cotil 2005) O judô olímpico é um dos esportes maispremiados do Brasil. O primeiro judoca brasileiro a 9.(Cotil 2006) As epidemias que afetam os animanisconquistar o ouro foi Aurélio Miguel, em 1998. Para quem preocupam não só o Brasil, como também a humanidade.na pratica o esporte, entender aquele empurra-empurra, Um fazendeiro da região Centro-Oeste do Brasil possuía umagarra-aguarra e golpes rápidos não é muito fácil. Para rebanho de gado para corte e, num certo mês do ano, viucompreender um pouco mais da dinâmica desse esporte, seu rebanho ser dizimado por uma dessas epidemias. Na 1um caminho é aprender a matemática que envolve o primeira semana perdeu do rebanho; na segundasistema de pontuação dos golpes, conforme a tabela 3 1 1 1abaixo: semana, perdeu ; na terceira ; na quarta , 6 9 12 sobrando apenas 792 cabeças de gado. Quantas cabeças do Golpe Valor Punição Valor rebanho ele perdeu? Ippon 1 ponto Shidô 1/8 pontoWaza-ari 1/2 ponto Chui 1/4 ponto Yuko 1/4 ponto Keikoku 1/2 ponto 10.(Cotil 2007) Os desertos avançam. O total de áreas Koka 1/8 ponto Hansoku-make 1 ponto atingidas por seca dobrou em trinta anos. Só na China, as áreas desérticas avançaram 10.000 quilômetros quadradosAcompanhe a descrição de uma luta entre um japonês e um por ano, o equivalente ao território do Líbano. A Área total 2coreano. da Terra é de aproximadamente 510 milhões de km . Sabe- 3 1 se que da superfície da Terra são cobertos por água e 4 3 O lutador japonês obteve: um koka, um yoko, um waza- do restante é coberto por desertos. A área dos desertos, em ari e três shidô milhões de quilômetros quadrados corresponde a aproximadamente: O coreano teve o seguinte desempenho: um waza-ari, dois koka, um Chuí,um shidô e um yoko.Resumo teórico 11
  12. 12. Pré-vestibulinho Matemática O aluno B errou, pois dividiu as barras em 5 partes iguais,a) 127,5 5 logo sua resposta deveria ser .b) 170 4c) 42,5d) 420,5 d) O aluno A acertou, respondendo com uma adição dee) 425 frações cuja soma corresponde à resposta correta. O aluno B errou, pois dividiu as barras em 5 partes iguais, 5 logo a resposta deveria ser .11.(PSS-SEE/SP) Um professor de uma escola de música vai 4comprar um livro para cada um dos 270 alunos.Pesquisandopreços na internet, encontrou o seguinte: e) O aluno A acertou, pois dividiu as quatro barras em 4• No site A, o preço de cada livro era R$ 16,75. partes iguais e dividiu o que sobrou aos seus 5• No site B, o preço de cada livro era R$ 25,00, e na compra amigos. O aluno B errou, pois dividiu as barras em 5 partesde dois livros o terceiro era cortesia. 5 iguais, logo sua resposta deveria ser . 4Qual a melhor opção para o professor?a) O site A, pois economizaria R$ 2.227,50 em relação aoque pagaria no site B. 12.(PSS-SEE/SP) A partir de um valor inicial igual a 16000,b) O site A, pois economizaria R$ 1.215,00 em relação ao certa população P1 de bactérias dobra a cada 30 minutos.que pagaria no site B. Simultaneamente, partindo de um valor inicial 8 vezesc) O site B, pois economizaria R$ 225,50 em relação ao que menor, outra população P2 de bactérias cresce,pagaria no site A. dobrando de valor a cada 15 minutos. Em qual instante t asd) O site B, pois economizaria R$ 22,50 em relação ao que duas populações terão o mesmo valor?pagaria no site A. a) 60 minutos.e) O site B, pois economizaria R$ 2,25 em relação ao que b) 90 minutos.pagaria no site A. c) 120 minutos.3.(PSS-SEE/SP) Um professor de Matemática apresentou o d) 150 minutos.seguinte problema aos seus alunos: e) 180 minutos.“Roberto comprou quatro barras de chocolate e dividiuigualmente aos seus cinco amigos. Qual a fração da barraque cada um receberá?”Dois alunos responderam da seguinte maneira à questão doprofessor: 3 1Aluno A: Cada um receberá + 4 20 4Aluno B: Cada um receberá a fração 5Considerando as resoluções dos alunos, assinale aalternativa correta:a) O aluno A acertou, pois dividiu as quatro barras em 4partes iguais e dividiu o que sobrou aos seus 5 amigos. Oaluno B também acertou, pois dividiu as barras em 5 partes 4iguais, representando 5b) O aluno A errou, respondendo com uma adição defrações cuja soma não corresponde à resposta correta.O aluno B acertou, pois dividiu as barras em 5 partes iguais, 4representando 5c) O aluno A errou, respondendo com uma adição defrações cuja soma não corresponde à resposta correta.Resumo teórico 12
  13. 13. Pré-vestibulinho Matemática 3.2.1. Propriedades da Radiciação3. POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO3.1. Potenciação Para a  ,b  ,n  *, m  *, temos: Para a   ,n n n n ,b 1) a · b = a · b n a n a 2) n = ,b≠0 b b n m m. nAssim; 3) a = a a0 = 1 4) ( a )p = p n , * a1 = a 5) an = a · a · ... · a , se n  2 n fatores Obs.: Para radicais de índice par, devemos ter b  0 e a  0 a-n = = a≠0 3.2.2. Potenciação com expoente racional Sendo p  , n *, temos:3.1.1. Propriedades da Potenciação a +  a =1) a m · n a =a m+n p m2) a : a = a n m-n 0 = 0 , para > 0 n a= 0 m n3) (a ) = a m ·n p 0 não é definido para ≤ 0 n4) (a · m b) = a m ·bm a nem sempre é real se n for par m m m5) (a : b) = a : b , b ≠0 a -  a = se n for ímpar3.2. Radiciação Para a    Todas as propriedades da potenciação com expoente inteiro são ,b ,n * , temos: válidas também para a potenciação com expoente racional.Assim,  b = an n b =aResumo teórico 13
  14. 14. Pré-vestibulinho Matemática4. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Esses termos semelhantes podem ser reduzidos, basta São expressões matemáticas que apresentam letras ou conservar a parte literal e fazer as respectivas operaçõesapenas letras, as quais são chamadas de variáveis ou com os coeficientes numéricos. Voltando ao exemploincógnitas. anterior temos: 2 2 2 3 ( 3 xy + 6 xy ) e ( - 2 abc + 10 abc ), reduzindo essesEx.: 2a b + 3xy – 7a2x3 – 7a2x2 – b2 y2 2 termos temos: 9xy + 8abcNo exemplo acima: 2; 3; -7 e -1 são chamados de coeficientes numéricos 4.3. Polinômio Toda expressão racional e inteira é determinada pelo a b ; xy ; a x ; a x e b y são chamadas de parte 2 3 2 3 2 2 2 2 número de termos da expressão algébrica.literal a) Monômio: polinômio que possui apenas um termo2a2b + 3xy3 – 7a2x3 – 7a2x2 – b2 y2 2 4 Ex.: 2 x y z1º termo 2º termo 3º termo 4º termo 5º termo b) Binômio: polinômio que possui dois termosOs termos são separados apenas por adição ou subtração. 2 4 Ex.: 3 x y + 2ab 2 c) Trinômio: polinômio que possui três termos4.1. Classificação das expressões algébricas 2 4 2 3 Ex.: 5 a y + 7xb – 7xy za) Racional : Quando não existe variável dentro de uma  Acima de três termos, todos os demais são chamados deraiz, esses tipos de expressões se subdividem em: Polinômio.  Inteiras: quando não aparecem variáveis no Cuidado!: Só podemos classificar um polinômio apósdenominador reduzirmos todos os termos semelhantes. 2 4 Exs.: 3x + 1 ; 7xy – by 2 2 2 Por exemplo: 4x + 3ab + 4x y – 5x aparentemente é um 2 2 polinômio porém o primeiro e o quarto termo ( 4x e – 5x )  Fracionárias: quando aparecem variáveis no são semelhantes, podendo ser reduzidos. Após a reduçãodenominador observamos que o polinômio é um trinômio com esse 2 3 5 2 Exs.: + 5x -2 ; +c aspecto: x ab -x2 + 3ab + 4x2yb) Irracional : Quando existe variável dentro de uma raiz. 2 3 4.4. Grau do PolinômioExs.: 3 3x + 5a b ; 2abc – y O grau de termos é a soma dos expoentes de suas variáveis, o termo que possuir maior soma de expoentes determinará o grau do polinômio.4.2. Termos semelhantes 2 4 2 Ex.: 3a b – 7b + 3 x y z 3 2Termos que apresentam a mesma parte literal, inclusive os 2 3 1º Termo : 3 a b = 2 + 3 = 5 ( Quinto grau)expoentes das variáveis. 2 2º Termo : -7 b = 2 ( Segundo grau) 3 2 3º Termo : 3 x y z = 3 + 2 + 1 = 6 ( Sexto grau) <maior> 2 2Ex.: 3 xy - 2 abc + 6 xy + 10 abc Podemos observar que esse trinômio é do sexto grau Termos semelhantesResumo teórico 14
  15. 15. Pré-vestibulinho Matemática4.5. Valor numérico de uma expressãoToda expressão algébrica tem o seu valor numérico, essevalor é encontrado a partir do momento em que temosou atribuímos valores para as letras. Se em um exercício épedido para que calcule o valor numérico da expressão 2algébrica 2x y é preciso que saibamos ou atribuímos valorespara as letras x e y. 2Então vamos supor que na equação 2x y, os valores dasletras seja x = -2 e y = 1, agora substituindo esses valores,chegaremos em um valor numérico. 2 2x y 2 · (-2) ·1 2 2·4·1 =8  Valor numérico da expressão 2x y 2Veja mais um exemplo de como achar o valor numérico daexpressão a + ab + 5. O valor numérico desse e de todas asexpressões algébricas irão variar dependendo do valor queiremos atribuir para as letras.Nesse exemplo vamos supor que as letras a = 5 e b = -5. 5 + 5 · (-5) + 5 5 – 25 + 5 -20 + 5 = - 15  Valor numérico da expressão a + ab + 5Resumo teórico 15
  16. 16. Pré-vestibulinho Matemática5. PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 5º Caso: Trinômio do 2º grau 2 São expressões da forma x - Sx + P, em que S e P repre-sentam, respectivamente, a soma e o produto de dois núme-ros a e b tal que se pode escrever:5.1. Produtos notáveis São produtos que aparecem com muita freqüência x2 - Sx + P = ( x –(x1 )) ( x + (x2))na resolução de equações ou no desenvolvimento de Exs.: 2expressões. a) x + 7x + 12 = ( x+3) (x+4)Vejamos alguns casos: S P 2 2 2 2 2 2 b) x -6x +8 = ( x - 2 ) (x - 4)a) (a + b) = ( a+ b)( a+b ) = a + ab + ba + b = a + 2ab + b S P 2 2 2 2 2b) (a - b) = ( a - b)( a – b ) = a - ab - ba + b = a - 2ab + b 2 c) x +2x -8 = ( x - 2 ) (x + 4) S P 2 2 2 2c) ( a +b )( a – b ) = a – ab + ba – b = a - bResumindo:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2(a - b)2 = a2 - 2ab + b2( a +b )( a – b ) = a2 - b25.2. Fatoração Fatorar uma expressão algébrica é transformá-la emproduto. Vejamos alguns casos.1º Caso: Fator comum em evidência 2 3 4 2 2Ex.: 6x + 12x z – 8 x b = 2x (3 + 6xz – 4x b )2º Caso: AgrupamentoEx.: xy + xz + ay + az = x( y + z ) + a (y + z ) = (y + z) ( x + a )3º Caso: Diferença de dois quadrados 2 2Ex.: x – y = ( x + y ) ( x – y )4º Caso: Trinômio quadrado perfeitoExs.: 2 2 2 a) x +2xy + y = ( x + y ) x 2 y = 2xy 2 2 2 b) x -2xy + y = ( x - y ) x -2 y = -2xyResumo teórico 16
  17. 17. Pré-vestibulinho Matemática6. RAZÕES E PROPORÇÕES 𝐚 𝐜 =  ax d = bxc 𝐛 𝐝 6.1. Razão Obs. A recíproca também é verdadeira Razão é a comparação entre grandezas de mesma a cespécie. Essa comparação é representada por uma a· d = b·c  =fração, onde o numerador é chamado de antecedente e o b ddenominador de conseqüente. Exs.:Exs.: 3 a) Calcule o valor de “x”.a) A razão entre 3 e 7 = , 7 (onde 3 é antecedente e 7 conseqüente) x 10 = = x · 4 = 2 · 10 2 4 7 4x = 20Se invertermos , a razão entre 7 e 3 será , x=5 3 (agora 7 é antecedente e 3 conseqüente) 2 1 b) Calcule o valor de “y”.b) A razão entre 4 e 2 = 2, a razão entre 2 e 4 = = 4 2 9 y 3 8 2 8 27 = = 2 · y = 9 · 0,2 2 0,2c) A razão entre e = : = 2y = 1,8 2 9 3 9 16 y = 0,96.2. Proporção 6.3. Números proporcionais Duas seqüências de números são proporcionais É uma igualdade entre duas razões. quando a razão entre dois números correspondentes de cada uma das seqüências for sempre a mesma.Exs.: Os números proporcionais são divididos em 2 grupos:A proporção a seguir pode ser representada da seguinte os diretamente proporcionais e os inversamentemaneira: proporcionais. Há também um outro grupo que não pertence a esses chamados números não proporcionais. 6.3.1. Números diretamente proporcionais Dada uma seqüência a; b; c; d; ... e a’; b’ ; c’ ; d’; ... então:Lê-se: 3 está para 2 assim como 9 está para 6 a b c dNesta proporção, o 3 e 6 são extremos e o 2 e o 9 são = = = = .... = k onde a´ b´ c´ d´meios. k = constante de proporcionalidade5.2.1. Propriedade fundamental das proporções Ex: Considere as seqüências 2; 4; 8; 16; 32 e 3; 6; 12; 24; 48“O produto dos meios é igual ao produto dos extremos” 2 4 8 16 32 𝟐 3 6 = = = = =Ex.: =  2· 6 = 3·4 3 6 12 24 48 𝟑 2 4 = 12 2 é a constante de proporcionalidade.Generalizando: 3Resumo teórico 17
  18. 18. Pré-vestibulinho Matemática Portanto, podemos afirmar que as duas seqüências 3.(Trajano 2008)são diretamente proporcionais devido apresentaremsempre como resultado a razão entre as grandezas 𝟐relacionadas 𝟑6.3.2. Números inversamente proporcionaisDada uma seqüência a; b; c; d; ... e a’; b’ ; c’ ; d’; ... então: a b c d 1 = 1 = 1 = 1 = .... = k onde a´ b´ c´ d´ a · a´ = b · b´ = c · c´ = d · d´ = .... = kEx.: Considere as seqüências 2; 4; 8; 16; 32 e 48; 24; 12; 6; 3 2 4 8 16 32 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = .... = k onde 48 24 12 6 3 Se o temor de Eva, a personagem da cena apresentada, se 2 · 48 = 4 · 24 = 8 · 12 = 16 · 6 = 32· 3 = 96 confirmar, e os três dias de espera forem venusianos, então96 é a constante de proporcionalidade. na Terra terão se passado (Obs. Desconsidere o ano bissexto)Portanto, podemos afirmar que as duas seqüências sãoinversamente proporcionais. (A) 1 ano, 10 meses e 19 dias. (B) 1 ano, 11 meses e 29 dias. (C) 2 anos e 2 dias.Exercícios (D) 2 anos e 5 dias. (E) 2 anos e 9 dias.1.(SENAI) Dos 1.200 funcionários de uma empresa, 60% têmidade superior a 30 anos. Se entre o número de homens e ode mulheres com idade superior a 30 anos a razão é de 3homens para 2 mulheres, pode-se afirmar que a quantidadede mulheres com idade superior a 30 anos nessa empresa é 4.(PSS-SEE/SP) O gráfico abaixo indica o preço em reais de cada bolsa que uma fábrica produz, de acordo com oa. 288.b. 296. número de bolsas compradas pelas lojas.c. 312.d. 360.e. 374.2. (Trajano 2008) É possível combater o vibrião coléricocom o uso de uma solução aquosa de hipoclorito de sódio(NaClO) a uma concentração mínima de 0,11g/L. A massa dehipoclorito de sódio necessária para se preparar 10 litrosdessa solução, expressa em miligramas, é(A) 0,11.(B) 1,10.(C) 110.(D) 1 100.(E) 11 000.Resumo teórico 18
  19. 19. Pré-vestibulinho MatemáticaConsidere as afirmações abaixo:I. As grandezas envolvidas são diretamente proporcionais.II. As grandezas envolvidas são inversamente proporcionais.III. As grandezas não são nem diretamente e neminversamente proporcionais.IV. Analisando a relação existente entre as grandezasenvolvidas, percebemos que, quando há aumento deuma, ocorre uma diminuição da outra.Dentre essas afirmações:a) Apenas a I está correta.b) Apenas a II está correta.c) Apenas a III está correta.d) I e IV estão corretas.e) III e o IV estão corretas.Resumo teórico 19
  20. 20. Pré-vestibulinho Matemática7. REGRA DE TRÊS Velocidade (Km/h) Tempo (h) 400 37.1. REGRA DE TRÊS SIMPLES 480 xRegra de três simples é um processo prático para resolver Identificação do tipo de relação:problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemostrês deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dostrês já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna queespécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de contém o x (2ª coluna).espécies diferentes em correspondência. Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui),inversamente proporcionais. podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido 3º) Montar a proporção e resolver a equação. contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Exemplos: 2 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m , umalancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 2watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m ,qual será a energia produzida? Solução: montando a tabela: 2 Área (m ) Energia (Wh) 1,2 400 1,5 x Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 Identificação do tipo de relação: minutos. 3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que Solução: montando a tabela:contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar Camisetas Preço (R$)aumenta. 3 120 Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), 5 xpodemos afirmar que as grandezas são diretamenteproporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preçosentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e aumenta.resolvendo a equação temos: Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. Logo, a Bianca pagaria R$ 200,00 pelas 5 camisetas. 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quantotempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse 4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia,de 480km/h? realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o Solução: montando a tabela: mesmo trabalho?Resumo teórico 20
  21. 21. Pré-vestibulinho Matemática Solução: montando a tabela: proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das Horas por Prazo para término outras razões de acordo com o sentido das setas. dia (dias) 8 20 Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 5 x Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas pordia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta),podemos afirmar que as grandezas são inversamenteproporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equaçãotemos: Logo, serão necessários 25 caminhões. 2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por7.2. REGRA DE TRÊS COMPOSTA 4 homens em 16 dias? Solução: montando a tabela:A regra de três composta é utilizada em problemas com Homens Carrinhos Diasmais de duas grandezas, direta ou inversamente 8 20 5proporcionais. 4 x 16 Exemplos: Observe que: 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m de 3 Aumentando o número de homens, a produção deareia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamentepara descarregar 125m ? 3 proporcional (não precisamos inverter a razão). Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna Aumentando o número de dias, a produção deas grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as carrinhos aumenta. Portanto a relação também égrandezas de espécies diferentes que se correspondem: diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o Horas Caminhões Volume produto das outras razões. 8 20 160 Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 5 x 125 Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na colunaque contém o x (2ª coluna). Logo, serão montados 32 carrinhos. A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquelaonde está o x. Observe que: 3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro Aumentando o número de horas de trabalho, podemos com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando adiminuir o número de caminhões. Portanto a relação é altura para 4m, qual será o tempo necessário parainversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). completar esse muro? Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o Inicialmente colocamos uma seta para baixo na colunanúmero de caminhões. Portanto a relação é diretamente que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantesResumo teórico 21
  22. 22. Pré-vestibulinho Matemáticapara as grandezas diretamente proporcionais com aincógnita e discordantes para as inversamenteproporcionais, como mostra a figura abaixo: Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias. Exercícios complementares Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentandofazer esses exercícios: 1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas.Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas?Resposta: 6 horas. 2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladasde carvão? Resposta: 35 dias. 3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempolevará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas pordia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias. 4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês,viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar paraentregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de60 km/h? Resposta: 10 horas por dia. 5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos.Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros delargura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025metros.Resumo teórico 22
  23. 23. Pré-vestibulinho Matemática E porque ter noção desta distinção?? Ela se torna8. PORCENTAGEM E PROBLEMAS DE muito importante na resolução de problemas envolvendo...APLICAÇÃO. dinheiro. Porcentagem é uma razão centesimal, ou seja, odenominador é igual a 100. 8.1.1. Porcentagem sobre o preço de custo 25Ex.: que se indica por 25% 100 Quando o cálculo sobre o preço de lucro (ou prejuízo) é calculado, em bases percentuais, em cima do preço de Existem dois métodos para se calcular porcentagem: custo do produto adquirido, temos o que é chamado de porcentagem sobre o custo. Este é o processo normal, e quea) Fração de um valor: Multiplica-se a fração pelo valor. é usado e adotado no mercado comercial.....................Ex: Calcule 20% de 45 Desta forma, se um comerciante ou pessoa física, compra um determinado produto por um valor de R$ 20 900 200,00 (preço de custo) e este for ser revendido com um · 45 = =9 lucro de 30%, isto quer dizer que nesta operação o lucro em 100 100 espécie da operação é de R$ 30,00 (lucro) para cada valor Portanto 20% de 45 é igual a 9 de R$ 100,00 do preço do custo.b) Regra de Três Simples e direta: Comparação entre duasgrandezas diretamente proporcionais Acompanhe o raciocínio:Ex: Calcule 30% de 70 Custo LucroEstamos comparando porcentagem e valor. 70 é o valor R$ 100,00 R$ 30,00total portanto equivale a 100%. R$ 100,00 R$ 30,00 Custo total = R$ 200,00 Lucro total = R$ 60,00 100 % ............ 70 20% ................ x 100· x = 20 ·70 100 x = 1400 Através de um cálculo da regra de três , temos: 1400 x = R$ 200,00 .............. 100% 100 X .................... 30% x = 14 200 x 30 X= 100Obs.: É mais conveniente resolver por regra de três, poisserve para todos os casos. 6000 X = 1008.1. PROBLEMAS DE APLICAÇÃO – LUCROS E......PREJUÍZOS X = R$ 60,00 (valor do lucro total na operação) Todo comerciante compra uma certa mercadoriapor um determinado preço, que é chamado de preço de Em toda operação, envolvendo problemascusto, e em seguida, efetua a revenda do mesmo com lucro relacionados com porcentagem sobre o custo do produto,ou prejuízo, dependendo do preço que a mercadoria foi as partes obrigatórios de cálculos na operação são:passada ao mercado consumidor. Em problemas envolvendo porcentagem sobre compra » Vendae venda de mercadorias, temos os seguintes casos » Custodistintos: » Lucro (ou prejuízo, conforme operação) » porcentagem (%) sobre venda Para que haja uma memorização melhor sobre » porcentagem (%) sobre custo estes elementos fundamentais de cálculo sobre porcentagem de custo, observe:Resumo teórico 23
  24. 24. Pré-vestibulinho Matemática C = CUSTO C*L=V » 100% + 50% = 150% V = VENDA R$ 300,00 .............. 100% (custo da operação) X ...................... 150% (venda da operação) L = LUCRO 150 x 300 X= P = PREJUÍZO 100 45000 X= = R$ 450,00 100Dicas importantes! Resposta:O valor do produto será de R$ 450,001. O preço de custo (ou preço de compra) é sempre igual a 100% (cem por cento) c) Uma pessoa vendeu um automóvel pelo valor de R$ 25.000,00, ganhando o valor de 20% (vinte por cento)2. A venda do produto (com prejuízo na operação) é sobre o custo. Qual foi o lucro desta pessoa nesta sempre igual ao preço de custo menos o prejuízo, da operação? seguinte forma: Solução: C–P=V ou V=C–P 100% - 30% = 70% 70% = 100% - 30% C + L = V » 100% + 20% = 120%3. a venda do produto (com lucro na operação) é sempre 25.000 ................. 120% (venda da operação) igual à soma do custo mais o lucro, da seguinte forma: X .................... 20% (lucro da operação) C+L=V ou V=C+L 25000 x 20 100% + 30% = 130% 130% = 100% + X= 120 30% 500.000 X= = R$ 4.166,67 (valor 120 arredondado) Exs.: a) Qual o preço que é possível vender um produto que teve seu custo de R$ 700,00, para se ter um lucro final de 15%? Resposta: O lucro da operação foi de R$ 4.166,67 Solução: C*L=V » 100% + 15% = 115% d) Uma geladeira foi vendida com um lucro final de 35%. Calcule o valor da venda, sabendo que o lucro na operação foi de R$ 250,00. R$ 700,00 ................ 100% (custo da operação)....................X ........................ 115% (venda da operação) 115 x 700 X= Solução: 100 80500 C + L = V -à 100% + 35% = 135% X= = R$ 805,00 100 250 ................ 35% (lucro da operação) O valor do produto será de R$ 805,00 X .................... 135% (venda da operação) 135 x 250 b) Qual o preço que é possível vender um produto que teve X=seu custo de R$ 300,00, para se ter um lucro final de 50%? 35 33750 Solução: X= = R$ 964,29 (valor 35 arredondado)Resumo teórico 24

×