Ketiga hukum Kepler menjelaskan gerak planet di sekitar Matahari. Pertama, orbit planet berbentuk elips dengan Matahari di salah satu fokus. Kedua, garis yang menghubungkan planet dan Matahari menyapu luas yang sama dalam waktu yang sama. Ketiga, kuadrat periode planet berbanding lurus dengan kubik jari-jari orbitnya.

1. HUKUM KEPLER
Mata Kuliah AS - 03
Pelatihan Astronomi
Lembang, 6 September 2004

2. Kepler lahir 27 -12 - 1571 di Weil der Stadt, Wurttemberg
Meninggal 15 - 11 - 1630 di Regensburg. Beberapa hasil karya:
Penemuan supernova: 1604
Pembuatan teropong kepler: 1611
Ketiga hukum kepler: 1609, 1619
Pembuatan tabel logaritmik 8 digit u/ tabel astronomi
Rudolphine: 1626, lih: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history /Mathema
ticians/Kepler.html

3. Ketiga hukum Kepler akan diturunkan
secara umum melalui hukum gravitasi
Newton. Dari penurunan tersebut
disadari bahwa ketiga hukum kepler
adalah manifestasi pergerakan dua
benda di bawah gaya sentral ~ 1/r2
,
dengan r adalah jarak antara kedua
benda yang menghubungkan kedua
pusat massa benda yang berupa bola.
Anggapan tersebut memenuhi untuk
planet-planet di tatasurya.

4. I. Hukum Gerak Dua Benda (Two Body Problem)
Y
Z
X
•(X1,Y1,Z1)
m1
•(X2,Y2,Z2)
m2r
Pada benda 1 bekerja gaya tarik gravitasi
sebesar
m
d r
d t
G
m m
r
r
r1
2
2
1 2
2
 
= − (I.1)
Gaya diurai dalam komponen X, Y, Z
m
d X
d t
G m m
X X
r
m
d Y
d t
G m m
Y Y
r
m
d Z
d t
G m m
Z Z
r
1
2
1
2 1 2
1 2
3
1
2
1
2 1 2
1 2
3
1
2
1
2 1 2
1 2
3
= −
−
= −
−
= −
−
(I.2a)
(I.2b)
(I.2c)
   
r X X i Y Y j Z Z k= − + − + −( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2
Dengan cara sama pada benda 2 bekerja gaya tarik
gravitasi sebesar
m
d X
d t
G m m
X X
r
m
d Y
d t
G m m
Y Y
r
m
d Z
d t
G m m
Z Z
r
2
2
2
2 1 2
2 1
3
2
2
2
2 1 2
2 1
3
2
2
2
2 1 2
2 1
3
= −
−
= −
−
= −
−
(I.3a)
(I.3b)
(I.3c)
Koordinat Cartesian

5. Enam pers. diferensial gerak (1.2a s/d 1.3c) orde 2, dan bila dapat diselesaikan
menghasilkan
koordinat (X1 ,Y1 ,Z1) dan (X2 ,Y2 ,Z2) sebagai fungsi waktu t.
Artinya Letak kedua benda setiap saat dapat diketahui atau ditentukan,
d.l.p. Lintasan atau Orbit kedua benda didapat eksak.
Enam p.d. orde ke-2 itu mempunyai 12 tetapan integrasi. Harga ke-12 tetapan
integrasi dapat ditentukan dari keadaan awal kedua benda, y.i. Enam koordinat
kedudukan awal (tiga koordinat X,Y,Z untuk masing-masing benda), dan enam
komponen kecepatan awal (tiga komponen kecepatan awal vX ,vY ,vZ untuk
masing-masing benda)
Tinjau dalam hal benda yang satu
dianggap diam dan merupakan pusat
koordinat (seperti gerak planet terhadap
matahari) – gerak semacam ini disebut
gerak bendayang satu relatif terhadap
bendayang lain
Maka kita hanya perlu 6
tetapan: tiga koordinat
kedudukan awal dan tiga
komponen kecepatan awal
benda yang bergerak

6. Tulis X = X2 – X1 ; Y = Y2 – Y1 ; Z = Z2 – Z1
dan M = m1 + m2
Diperoleh dari (I.3a, b, c)
d X
d t
G M
X
r
2
2 3= −
d Y
d t
G M
Y
r
2
2 3= −
d Z
d t
G M
Z
r
2
2 3= −
(I.4a,b,c)
(I.5)
(I.6a,b,c)
Jadi bendakeduabergerak seperti di tempat
bendapertama, adamassayang besarnyasama
dengan jumlah massakeduabenda
Kalikan (1.6b) dengan X dan (1.6a) dengan Y, perkurangkan dan integrasikan
Kalikan (1.6c) dengan Y dan (1.6b) dengan Z, perkurangkan dan integrasikan
Kalikan (1.6a) dengan Z dan (1.6c) dengan X, perkurangkan dan integrasikan
X
d Y
d t
Y
d X
d t
2
2
2
2 0− = Y
d Z
d t
Z
d Y
d t
2
2
2
2 0− = Z
d X
d t
X
d Z
d t
2
2
2
2 0− =
X
d Y
d t
Y
d X
d t
a− = 1 Y
d Z
d t
Z
d Y
d t
a− = 2
Z
d X
d t
X
d Z
d t
a− = 3 (I.9a,b,c)

7. Kalikan (I.9a,b,c) masing-masing dengan Z, X dan Y dan dijumlahkan
a1Z + a2X + a3Y = 0 (I.10)
Persamaan bidang datar, orbit benda berada pada bidang
datar tetap
Kalikan (1.6a) dengan 2(dX/dt) dan (1.6b) dengan 2(dY/dt) dan (1.6c) dengan
2(dZ/dt) dan ketiganya dijumlahkan
d
d t
d X
d t
d Y
d t
d Z
d t
G M
r
X
d X
d t
Y
d Y
d t
Z
d Z
d t





 +





 +











 = − + +




2 2 2
3
1
2 (I.12)
v
d X
d t
d Y
d t
d Z
d t
2
2 2 2
=





 +





 +






r X Y Z2 2 2 2
= + +
Jarak antara kedua benda r dan kecepatan benda v nyatakan dengan
(I.13)
(I.14)
Dari (I.12), (I.13) dan (I.14) diperoleh
d v
d t
G M
r
d r
d t
2
22= − (I.15)

8. Integrasikan persamaan dan hasilnya adalah
dengan h tetapan integrasi (I.16)
Definisikan energi potensial gravitasi benda 2
V = - G m2M / r (I.17)
Definisikan energi kinetik benda 2
T = ½ m2v2
(I.18)
Persamaan (I.16), (I.17), (I.18) menghasilkan
T +V = h’ (I.19)
Artinya, energi total benda tetap selama gerak dalam orbitnya
v
G M
r
h2
2= − +
Akan dicari apa makna matematis dari ketiga Hukum Pergerakan Kepler
Hk. Kepler I Orbit planet berupa elips dengan matahari di tiik fokus elips
Hk. Kepler II Garis hubung matahari planet dalam selang waktu sama
menyapu luas daerah yang sama
Hk. Kepler III Kuadrat waktu edar planet mengitari matahari sebanding
dengan pangkat tiga setengah sumbu panjang elips

9. Pilih bidang orbit sebagai bidang (X,Y). Jadi gerak benda hanya ditentukan
oleh persamaan yang mengandung variabel X dan Y saja. Jadi hanya
persamaan (I.9a) dan (I.16) yang relevan.
dengan h tetapan integrasi (I.16)v
G M
r
h2
2= − +X
d Y
d t
Y
d X
d t
a− = 1
d X
d t
d Y
d t
G M
r
h





 +





 + =
2 2
2
Kita beralih ke tata koordinat Cartesian ke tata koordinat Kutub dengan cara
(I.20)X
d Y
d t
Y
d X
d t
c− =(I.21)
X = r cos θ ; Y = r sin θ
(I.21) dan (I.20) menjadi d r
d t
r
d
d t r
h





 +





 = +
2
2
2
2
θ µ
r
d
d t
c2 θ
= µ = G M
(I.26)(I.24)(I.25)
Dari (I.24) dan (I.25) diperoleh
1 1 2
04
2
2 2 2
r
d r
d r c r
h
cθ
µ




 + − − = (I.27)
Nyatakan u
r c
= −
1
2
µ d u
d
u H
θ





 + =
2
2 2
(I.28)
H
c
h
c
2
2
4 2= +
µ
(I.29)

10. Pemecahan persamaan differensial (I.28) adalah
dengan ω tetapan integrasi dan nyatakan
(I.30) dalam variabel lama
u H= −c o s ( )θ ω (I.30)
u
r c
= −
1
2
µ
Diperoleh
r
p
e
p
c
e
h c
=
+
=
= +
= −
1
1
2
2
2
1
2
c o s
( )
ν
µ
µ
ν θ ω
(I.31)
(I.33)
(I.32)
(I.34)
Persamaan (I.31) adalah persamaan irisan kerucut. Irisan kerucut dapat: lingkaran, elips,
parabola atau hiperbola.
Elips adalah sebuah irisan kerucut jadi membuktikan Hk. Kepler I
p = parameter kerucut, e = eksentrisitas, ν = anomali benar (lihat gambar)

11. Dalam hal benda pusat; matahari, perifokus (B) menjadi perhelion dan apofokus (A)
menjadi apohelion
Dalam hal bintang ganda, benda pusat adalah bintang, kedua titik menjadi periastron dan
apoastron
Setengah jarak AB: setengah sumbu besar dan ditulis a yang harganya p = a(1-e2
) (I.35)
Titik perifokus dicapai bila ν = 00
atau r=a(1-e), sedang apofokus bila ν = 1800
atau
r=a(1+e)
Catat: benda pusat m1 di titik fokus orbit
Sudut ω kedudukan perifokus terhadap garis acuan tertentu: garis potong bidang orbit dan
bidang langit (bidang tegaklurus garis pandang).
Bila h < 0 dan e < 1 , orbit berupa elips,
h = 0 dan e = 1, orbit berupa parabola,
h > 0 dan e > 1, orbit berupa hiperbola.
Dari persamaan (I.19) bahwa harga h ditentukan energi total orbit.
Perhatikan dari persamaan (I.25) dapat ditulis
½ r2
dθ= ½ c dt (I.36)
Ruas kiri adalah luas segitiga yang disapu vektor radius dalam waktu dt. Untuk selang
waktu tetap atau sama, ruas kanan akan tetap pula. Ini adalah Hk. Kepler II

12. Akibat hukum itu. Bila benda berada di dekat perifokus akan bergerak cepat, sedang
di sekitar apofokus kecepatannya rendah. Integrasi persamaan (I.36)
luas Elips A = 1/2 c Periode P
A = π ab = π a2
(1 – e2
)1/2
Jadi cP = 2 π a2
(1 – e2
)1/2
, diperoleh harga c
Dengan (I.32), (I.35) dan (I.39) didapat
a3
/P2
= µ/4π2
atau (I.26)
a3
/P2
= G (m1 + m2) / 4π2
Dalam hal planet mengitari matahari m1 = M0 massa matahari dan m2 massa
planet, karena m2 << M0 maka a3
/P2
= GM0 / 4π2
= Konstan
Ini membuktikansemua planet harga a3
/P2
merupakan perbandingan yang tetap.
Hk. Kepler III
Dalam hal orbit lingkaran dengan jari-jari a, maka e = 0, maka v = 2πa/P
didapat v2
= GM0 /a
(I.37)
(I.38)
(I.39)
Latihan: Perlihatkan dengan menuliskan (I.32), (I.33) dan (I.35)
diperoleh (I.16);
v G M
r a
2 2 1
= − −( )

13. Dari (I.32): p
c
=
2
µ
Dan (I.33): e
h c
= +( )1
2
2
1
2
µ
Dan (I.35): p = a(1-e2
)
Didapat a = -µ/h, atau h = -µ/a, maka dari (I.16):
v
G M
r
h2
2= − +
v G M
r a
2 2 1
= − −( )
Kecepatan di dalam Orbit Elips
Kepler menemukan orbit planet mengitari matahari. Tetapi tidak bisa
menjelaskan mengapa planet-planet bisa tetap di dalam orbit.
Jawab ada dua faktor yang menyebabkan planet-planet tetap di
dalam orbit yakni Inersia dan gravitasi
Inersia : kecendrungan obyek tetap bergerak dalam garis lurus atau
diam
Gravitasi : berupaya menarik agar obyek jatuh bebas ke benda yang
menarik.