1. Étude de mesures de débits à l’aide d’un diaphragme ESSTIN MFE Étude de mesures de débits à l’aide d’un diaphragme ESSTIN MFE
ETUDE DE MESURES DE DEBITS
A L’AIDE D’UN DIAPHRAGME
1 Objectifs de la manipulation
L’objectif principal de cette manipulation est de se familiariser avec l’utilisation d’un diaphragme
pour mesurer le débit dans une conduite à différents régimes d’écoulement.
2 Généralités sur les écoulements
(b) Observations du filet coloré
2.1 Des écoulements laminaires aux écoulements turbulents
Une étude qualitative montre que pour une configuration géométrique donnée, un écoulement
permanent de fluide visqueux incompressible est généralement stable si et seulement si les vitesses
(a) Mise en oeuvre expérimentale de O. Reynolds
d’écoulement sont assez faibles. Dans ce cas, une petite perturbation introduite dans l’écoulement
s’atténue jusqu’à disparaître. On parle alors d’écoulement laminaire. F IG . 1 – Expériences de Osborn Reynolds (1883)
A l’inverse, si les vitesses d’écoulement sont importantes, on parle alors d’écoulements turbu-
lents. Dans ce cas, si une petite perturbation est introduite dans le fluide, elle s’intensifie. Le mouve- où ρ, µ et ν sont respectivement la masse volumique kg · m −3 , la viscosité dynamique kg · m−1 .s−1
ment n’a plus le caractère permanent d’un régime laminaire. Les trajectoires s’enchevêtrent inextrica- et la viscosité cinématique m2 .s−1 du fluide concerné.
blement et il devient impossible de décrire avec exactitude l’écoulement.
Au delà d’un simple rapport de grandeurs physiques, le nombre de Reynolds possède directement
une interprétation physique. Il représente le rapport entre les forces d’inertie et les forces de viscosité :
2.2 Les expériences de Osborn Reynolds (1842 - 1912)
Force d’inertie
En 1883, Osborn Reynolds travailla sur les différents régimes d’écoulement d’un fluide. Il mit en Re = (2)
Force de viscosité
place une expérience qui lui permit de définir différentes catégories d’écoulement. Cette expérience
consiste à visualiser la stabilité d’un très fin filet coloré dans un écoulement (Cf. figure 1.a). L’objectif Il sera remarqué que le nombre de Reynolds est indicé ’L’, car il se rapporte toujours à une
est d’étudier le comportement de ce filet pour différents régimes en conduite par la variation du débit échelle de longueur. Dans le cas d’un écoulement en conduite circulaire, cette échelle de longueur
d’alimentation de l’écoulement. est représentée par le diamètre de la conduite.
Les conclusions de Reynolds aboutissent aux constatations suivantes (Cf. figure 1.b) : Pour le cas d’une conduite à géométrie assez complexe (section rectangulaire par exemple), il
– Quand le débit est très faible, le filet coloré reste rectiligne et ne se diffuse que très lentement. est nécessaire d’utiliser la notion de diamètre hydraulique noté D H . Cette grandeur correspond au
C’est la configuration d’un écoulement laminaire. diamètre équivalent d’une conduite à section circulaire respectant un rapport entre la section et le
périmètre de la conduite réelle. Chesy établit vers 1820, la relation théorique suivante :
– A des débits beaucoup plus importants, le filet coloré se met à osciller, et finit par colorer tout
le tube. C’est la configuration d’un écoulement turbulent. 4·S
DH = (3)
P
Cependant il n’est pas possible de remarquer une transition nette entre ces deux régimes d’écou-
où P définit le périmètre dit ’mouillé’ de la conduite et S la section de passage du fluide.
lement. Il existe une phase où l’écoulement passe du régime laminaire à un régime turbulent.
Comme exemples d’applications, il est possible de remarquer que pour :
Pour concrétiser ses résultats, Osborn Reynolds regroupa ses constatations suivant un nombre 2
adimensionnel qui porte son nom : le nombre de Reynolds, noté Re. Ce nombre s’écrit de la manière – une conduite de section circulaire, S = π·D et P = π · D d’où DH = D
4
suivante : – une conduite de section carrée, S = a 2 et P = 4 · a d’où DH = a
ρ·V ·L V ·L QUESTION 1 : En partant de la formule de Chesy, quel est le diamètre hydraulique D H d’une
ReL = = (1)
µ ν conduite à section rectangulaire de dimensions a x b?
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2.4.2 Unités
La pression étant une grandeur qui est depuis très longtemps étudiée, les unités qui la décrivent
sont assez nombreuses. Cependant dans le système d’unités internationales (SI), l’unité est le kg.m −1 .s−2 ,
ou bien le Pascal noté P a. Mais il est utile de connaître les autres équivalences :
1 atm. = 1,01325 bars 1bar = 105 P a
(a) Régime laminaire (b) Régime turbulent = 101325P a = 0,98692 atm.
= 760 mm mercure = 750,06 mm mercure
F IG . 2 – Différents profils de vitesse
= 10,1325 m eau = 10 m eau
En utilisant ce nombre adimensionnel, Osborn Reynolds remarqua que pour des valeurs où Re < 2.4.3 Les différentes pressions
2000, l’écoulement est dit laminaire. On admet que pour Re > 4000, l’écoulement est turbulent en
prenant des précautions expérimentales convenables. Lorsqu’un fluide est en mouvement il est possible de définir trois types de pression : la pression
statique, la pression dynamique et la pression totale.
2.3 Les profils de vitesse en conduite
– La pression statique, notée Ps est celle qui est mesurable par un manomètre à une prise de
Suivant le type de régime d’écoulement, le profil de vitesse du fluide à l’intérieur de la conduite pression située en paroi.
est différent. – La pression dynamique, notée Pd est la composante de la pression totale qui est due à la vitesse
du fluide.
– Pour un écoulement laminaire, il est possible de montrer que le profil de vitesse est parabolique
(Cf. figure 2.a) de la forme : 1
A Pd = ·ρ·V2 (6)
Ux (r) = · (R2 − r 2 ) (4) 2
4·µ – La pression totale, notée Pt est la sommation des pressions statique et dynamique
où A est une constante dénommée "chute linéique" de pression qui peut s’obtenir par le rapport
∆P/∆x. En écoulement pleinement développé, la distribution de vitesse a un profil parabo- Pt = P s + P d (7)
lique, dont la vitesse maximale est au centre de la conduite.
– Pour un écoulement turbulent, le profil de vitesse est très aplati, sauf aux bords pour respecter 2.4.4 Les différentes mesures de pression
les conditions de vitesse nulle à la paroi (Cf. figure 2.b).
Lorsque des mesures de pression sont effectuées, il est nécessaire de définir l’origine de ces me-
sures. Ainsi, on distingue trois types de mesures de pression (Cf. figure 3.a):
2.4 Définitions des différentes pressions – La pression absolue : Cette pression est dite absolue lorsque la pression de référence est constante.
Dans le cas général, le vide est pris comme référence. L’indication ne dépend que des variations
Dans un écoulement de fluides liquides ou gazeux, il est nécessaire de connaître la pression, la
de la pression à mesurer.
température et les vitesses pour parfaitement décrire cet écoulement.
– La pression relative : une mesure de pression est dite relative quand la pression de référence
varie. C’est typiquement le cas avec la pression atmosphérique comme référence. L’indication
2.4.1 Définition correspond à la différence entre la pression à mesurer et la pression de référence.
La pression se définit comme étant le rapport entre l’intensité d’une force et la surface sur laquelle – La pression différentielle : Il s’agit en fait d’une nuance de la pression relative. La pression
cette force est appliquée, soit : différentielle donne la différence de pression entre deux points d’un circuit.
F
P = (5) 2.5 Application des équations générales aux écoulements
S
où F s’exprime en N et S en m2 . Dans cette section, nous allons appliquer la conservation de la masse et le premier théorème de
Bernoulli aux écoulements en conduite.
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Pression à mesurer 2.5.2 Premier théorème de Bernoulli
Pression relative
Pression diff.
Ó En supposant que notre écoulement soit stationnaire, celui d’un fluide parfait (sans viscosité) et
incompressible, le premier théorème de Bernoulli indique qu’il y a conservation de la pression totale
Pression absolue
S1 S2 sur une ligne de courant. Ce théorème revient à écrire :
1
Ps + · ρ · V 2 + ρ · g · z = Constante (13)
2
Pref
1 atm. Si nous introduisons la pression motrice : P ∗ = Ps + ρ · g · z, il vient :
(b) Schéma de principe d’un écoulement 1
P∗ + · ρ · V 2 = Constante (14)
0 atm. 2
(a) Nuances dans les mesures de pression Dans les problèmes d’écoulement en conduite, il n’est pas courant de travailler directement sur la
pression, mais plutôt sur la charge. Cette charge se définit de la manière suivante :
F IG . 3 – Définition des pressions et schéma de principe
Ps V2
H= + +z (15)
ρ·g 2·g
2.5.1 Conservation de la masse
L’unité de la charge est le mètre de fluide utilisé. Dans le cadre du premier théorème de Bernoulli,
Dans le cas d’un système conservatif, sans présence de création ou de disparition de fluide, il est on parle alors de conservation de la charge hydraulique :
possible d’appliquer la conservation de la masse de la façon suivante :
Ps V2
∂ρ H= + + z = Constante (16)
+ div ρ · V = 0 (8) ρ·g 2·g
∂t
Le premier théorème de Bernoulli s’applique dans le cas d’un fluide parfait (sans viscosité). Or
Dans le cas d’un mouvement stationnaire, les termes de dérivée temporelle disparaissent. Il vient
pour des fluides réels, la viscosité engendre des frottements aux parois de la conduite, entraînant
alors :
une certaine déperdition énergétique que l’on nomme également de perte de charge. Elle peut être
régulière ou singulière (Cf TP sur les pertes de charge). Mais ce phénomène de perte énergétique
div ρ · V =0 (9)
n’est pas pris en compte par le théorème de Bernoulli.
Quand cette équation est appliquée à une conduite, elle correspond à la conservation de la quantité
de matière qui est véhiculée dans la conduite. C’est à dire, entre une section S 1 et une autre section
3 Mesure de débit par un diaphragme
S2 , l’équation revient à écrire :
L’objectif de mesure du débit par un diaphragme consiste à insérer une plaque mince percée d’un
ρ1 · S 1 · V 1 = ρ 2 · S 2 · V 2 (10) orifice circulaire dans l’écoulement afin de générer localement une perte de charge connue.
où V1 et V2 correspondent aux vitesses moyennes d’écoulement dans les sections S 1 et S2 . Rap-
Pour déterminer le débit par le diaphragme, nous allons repartir des hypothèses d’un écoulement
pelons la définition d’une vitesse moyenne débitante :
stationnaire, fluide parfait et incompressible. Par application du théorème de Bernoulli, nous pouvons
1 obtenir le débit volumique théorique, noté Q t , de fluide s’écoulant dans la conduite par différence de
v
¯
V = · V · dS (11)
S S
pression.
QUESTION 2 : Démontrer cette formulation de conservation du débit, appliquée à un écoule- En revanche dans la réalité, il existe une perte de charge due au rétrécissement de la conduite.
ment en conduite (Cf. figure 3.b) Cette perte de charge a pour conséquence de réduire l’énergie du fluide et donc d’obtenir un débit réel
de fluide, noté Qr , différent du débit théorique. Cependant il existe une relation entre les deux débits
v
En émettant l’hypothèse que la masse volumique est constante dans la conduite, cela revient à
qui est :
écrire :
Qr = α · Q t
v v (17)
S1 · V 1 = S 2 · V 2 (12)
Étalonner un diaphragme revient à déterminer expérimentalement le coefficient α. Ce coefficient
varie d’un diaphragme à un autre et il est également fonction du nombre de Reynolds basé sur le
diamètre de la conduite.
Année 2004 / 2005 5/13 Année 2004 / 2005 6/13

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3.2 Détermination du débit réel à l’aide d’un tube de Pitot
Le tube de Pitot est un appareil qui permet de mesurer la vitesse d’un écoulement en un point
donné de la conduite. Cet instrument mesure une différence de pression (Cf. figure 5).
F IG . 4 – Schématisation d’un diaphragme inséré dans une conduite
3.1 Détermination du débit théorique F IG . 5 – Tube de Pitot
Pour déterminer ce débit, nous allons appliquer les résultats du théorème de Bernoulli entre les
Sur un tube de Pitot, nous supposons que les points B (point d’arrêt) et A sont sur une même ligne
sections 1 et 2 repérées respectivement sur la figure 4 par les diamètres D et d. Attention dans les
de courant. Supposons que le fluide soit un gaz et que le tube de Pitot soit relié à un manomètre diffé-
lignes qui vont suivre les vitesses seront considérées comme des vitesses moyennes d’écoulement.
rentiel rempli d’un liquide de masse volumique ρ mano . En écrivant le premier théorème de Bernoulli
Si nous nous plaçons sur une ligne de courant, la pression totale se conserve. Nous obtenons donc :
entre A et B, il est possible d’écrire :
1 1
Ps1 + · ρ1 · V12 + ρ1 · g · z1 = Ps2 + · ρ2 · V22 + ρ2 · g · z2 (18) 1 2 1 2
2 2 PsA + · ρ · VA + ρ · g · zA = PsB + · ρ · VB + ρ · g · zB (23)
2 2
En supposant en première approximation que les masses volumiques sont constantes entre les
où VB = 0 et zA ≈ zB , d’où l’écriture simplifiée :
deux sections et que la ligne de courant reste sur le même abscisse (z 1 = z2 ), il vient alors la relation
suivante : 1 2
∆P = PsB − PsA = · ρ · VA (24)
1 2
∆P = Ps1 − Ps2 = · ρ · V22 − V12 (19) De plus, nous savons que le manomètre nous donne comme indication :
2
En utilisant cette fois-ci la conservation du débit, on peut écrire : ∆P = ρmano · g · h (25)
S · V1 = σ · V 2 (20) En égalisant les deux expressions 24 et 25, il vient :
où S et σ sont respectivement les sections aux diamètres D et d. Il est possible d’écrire la vitesse ρmano
dans la section 2, sous la forme suivante : VA = 2·g·h· (26)
ρ
2 · ∆P Mais attention les vitesses sont considérées de façon locale, c’est-à-dire au point de mesure. Il
V2 = (21) ne s’agit en aucun cas, d’une vitesse moyenne, donc : V A = u(r).
σ 2
ρ· 1− S
Pour calculer alors le débit volumique réel dans la conduite, il est nécessaire de passer par une
Connaissant les valeurs de V2 et de la section σ du diaphragme, il est aisé de déduire la valeur du intégration :
débit théorique par :
R
Qt = σ · V 2 (22) Qr =
v 2π · r · u(r) · dr (27)
v 0
Il est donc nécessaire de mesurer à l’aide du tube de Pitot à différentes positions de r les vitesses u(r),
pour déterminer par intégration numérique la valeur de Q r .v
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4.2 Les régimes d’écoulement
Pour évaluer le coefficient α du diaphragme, il est nécessaire de déterminer d’une part le débit
volumique théorique Qt et d’autre part le débit volumique réel Q r .
v v
Nous avons vu que ce coefficient α évolue en fonction du nombre de Reynolds. C’est pourquoi
nous travaillerons à des régimes différents pour déterminer l’évolution de ce coefficient.
Pour réaliser ces différents régimes, il est possible de manipuler une vanne à l’entrée de la souf-
flerie pour ajuster le débit d’air. Pour cette manipulation, nous nous placerons à 5 régimes différents.
Ces régimes seront ajustés de telle sorte que la mesure de la pression différentielle du diaphragme (Cf.
manomètre no 1 figure 7) indique successivement les valeurs suivantes :
1. ∆P = 20mm CE, 3. ∆P = 50mm CE, 5. ∆P = 90mm CE.
2. ∆P = 35mm CE, 4. ∆P = 70mm CE,
(a) Manomètre à alcool où CE signfie Colonne d’Eau.
Valve
(b) Manomètre en U Diaphragme
Tube de Pitot
F IG . 6 – Les différents manomètres
Coté
4 Conduite de la manipulation soufflerie
4.1 Généralités
Pour mesurer les différences de pression au niveau du diaphragme et au niveau du tube de Pitot,
vous avez à votre disposition deux sortes de manomètres :
– un manomètre en U à colonne d’eau, Manomètre 1 Manomètre 2
– un manomètre incliné à alcool.
Avec le premier manomètre, la variation de pression se lit directement par la différence en milli- F IG . 7 – Dispositif expérimental
mètres des niveaux d’eau. Concernant le manomètre à alcool, la lecture de la variation de pression en
millimètres d’eau se fait instantanément grâce aux graduations.
4.3 Détermination du débit théorique
Le choix d’utiliser l’un ou l’autre des manomètres se fait en fonction de la différence de pression à
Connaissant les valeurs du diamètre de la conduite (D = 94mm) et celui du diaphragme (d =
mesurer. Le manomètre à alcool est conçu pour des différences de pression maximales de 50mm, alors
70mm), il est aisé pour chacune de valeurs de ∆P de déterminer la valeur du débit volumique théo-
que le manomètre en U permet de mesurer des variations de pression supérieures. Par exemple, pour
rique Qt .
v
mesurer la différence de pression au niveau du diaphragme, il est nécessaire d’utiliser un manomètre
en U puisque nous devons mesurer au maximum un ∆h = 90mm.
4.4 Détermination du débit réel
Une précaution est nécessaire à prendre : la lecture sur le manomètre à alcool se fait grâce au
En déplaçant le tube de Pitot radialement, par exemple tous les 5mm par rapport à la conduite (de
niveau de liquide contenu dans le tube incliné. Tout d’abord vérifier avec le niveau et avec le pied
ajustable que le manomètre est bien posé à plat. Ensuite si le niveau d’alcool est au dessus du zéro de r = 0 à r = R), il est possible de lire sur le manomètre n o 2 la pression différentielle. Ensuite il est
quelques millimètres, vous les retrancherez à toutes vos mesures de pression. Par contre si le niveau aisé de calculer la vitesse locale u(r) associée à cette pression différentielle. Le diamètre approximatif
est en dessous du zéro, appelez votre moniteur de TP pour refaire la mise à niveau. du tube de Pitot est de 4mm.
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4.5 Les relevés – Pression différentielle du manomètre n o 1 : 50 mmCE
– Pression différentielle du manomètre n o 1 : 20 mmCE Estimation du débit volumique théorique : Q t = ......... m3 .s−1
v
Estimation du débit volumique théorique : Qt
v = ......... m3 .s−1
Position du tube de Pitot Pression différentielle Vitesse axiale déduite
en mm du manomètre no 2 m · s−1
Position du tube de Pitot Pression différentielle Vitesse axiale déduite
en mm du manomètre no 2 m · s−1 45
40
45
35
40
30
35
25
30
20
25
15
20
10
15
5
10
0
5
0
– Pression différentielle du manomètre n o 1 : 70 mmCE
– Pression différentielle du manomètre n o 1 : 35 mmCE Estimation du débit volumique théorique : Q t = ......... m3 .s−1
v
Estimation du débit volumique théorique : Q t = ......... m3 .s−1
v
Position du tube de Pitot Pression différentielle Vitesse axiale déduite
en mm du manomètre no 2 m · s−1
Position du tube de Pitot Pression différentielle Vitesse axiale déduite
en mm du manomètre no 2 m · s−1 45
40
45
35
40
30
35
25
30
20
25
15
20
10
15
5
10
0
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7. Étude de mesures de débits à l’aide d’un diaphragme ESSTIN MFE
– Pression différentielle du manomètre n o 1 : 90 mmCE
Estimation du débit volumique théorique : Q t = ......... m3 .s−1
v
Position du tube de Pitot Pression différentielle Vitesse axiale déduite
en mm du manomètre no 2 m · s−1
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
4.6 Traitement des données
A l’issue des mesures, il vous est demandé d’effectuer les points suivants :
– Tracer sur une feuille de papier millimétré, les profils de vitesse u(r), pour les différentes va-
leurs de ∆P . Quelles sont vos remarques quand à l’évolution de ces profils. Justifications.
– Estimer, par intégration numérique des profils de vitesse le débit réel correspondant à chacune
des valeurs de ∆P .
– Regrouper l’ensemble de vos résultats dans le tableau suivant :
Pression Débit théorique Débit réel Coefficient Estimation du nombre
différentielle∆P Qt (m3 · s−1 )
v Qr (m3 · s−1 )
v α de Reynolds ReD
20
35
50
70
90
– Observations, remarques et bilan de la manipulation.
Remarque :
Pour effectuer vos calculs, vous utiliserez les propriétés de l’air à 20 o C, soit :
µair = 1,8 · 10−5 P a · s
ρair = 1,2kg · m−3
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