Álgebra vectorial orientada al estudio de la teoría de campos electromagnéticos, Ingeniería Electrónica - UPC Lima - Perú

2. Algebra vectorial Sistema de coordenadas y su transformación Cálculo aplicado a vectores Análisis Vectorial 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 2

3. Álgebra Vectorial 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 3

4. Álgebra Vectorial 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 4 Escalares Un escalar es una cantidad determinada completamente por su magnitud. Ejemplos de escalares son: la temperatura, el tiempo, el potencial eléctrico, la densidad, etc. Cantidades físicas Vectoriales Un vector es una cantidad que se determina completamente por su magnitud y dirección. Ejemplos de cantidades vectoriales son: la fuerza, la velocidad, el campo eléctrico, el campo magnético, etc.

5. Álgebra Vectorial 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 5 Campo escalar Es una función de la posición que se determina completamente por su magnitud en todos los puntos del espacio. Campo Un campo es una función que especifica una cantidad particular en cualquier parte de una región. Campo vectorial Es una función de la posición que se determina completamente por su magnitud y dirección en todos los puntos del espacio.

6. Álgebra Vectorial En mecánica de fluidos la presión puede ser tratada como un campo escalar, o la distribución de temperatura sobre un cuerpo es otro campo escalar. Todos estos campos son clasificados como campos escalares por motivo de la descripción matemática necesaria. Una construcción que caracteriza los campos escalares son las superficies equipotenciales que son el conjunto de puntos sobre el cual la función toma un mismo. 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 6

7. Álgebra Vectorial 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 7 Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la física para especificar diversos fenómenos. Por ejemplo para modelar la velocidad y la dirección de un líquido en movimiento, la intensidad y la dirección de una cierta fuerza, tal como la fuerza electromagnética o la gravitatoria, que varían de punto a punto.

9. La magnitud del vector 𝐴 se denota mediante 𝐴 y es un escalar.

10. Un vector unitario 𝑎𝐴 a lo largo de 𝐴 es un vector cuya magnitud es la unidad y cuya dirección coincide con la de 𝐴 Álgebra Vectorial 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 8 𝑎𝐴 𝐴 𝑎𝐴=𝐴𝐴 𝑎𝐴=1

11. Un vector 𝐴 en coordenadas cartesianas o rectangulares puede expresarse como: 𝐴=𝐴𝑥𝑎𝑥 + 𝐴𝑦𝑎𝑦 + 𝐴𝑧𝑎𝑧 Donde Ax, Ay y Az se llaman componentes de 𝐴 en las direcciones x, y y z respectivamente y 𝑎𝑥, 𝑎𝑦y 𝑎𝑧 son vectores unitarios en la direcciones x, y, y z. Álgebra Vectorial 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 9 z 𝑎𝑧 z 𝐴 𝑎𝑦 𝐴𝑧𝑎𝑧 y 𝐴𝑥𝑎𝑥 y 𝑎𝑥 𝐴𝑦𝑎𝑦 x x

12. La magnitud del vector 𝐴 está dada por: 𝐴=𝐴𝑥2+𝐴𝑦2+𝐴𝑧2 Un vector unitario paralelo al vector 𝐴: 𝑎𝐴=𝐴𝐴 =𝐴𝑥 𝑎𝑥 + 𝐴𝑦 𝑎𝑦 + 𝐴𝑧 𝑎𝑧 𝐴𝑥2+𝐴𝑦2+𝐴𝑧2 Álgebra Vectorial 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 10

13. - 𝐵 𝐵 𝐵 𝐴 𝐴 𝐷=𝐴−𝐵 𝐶=𝐴+𝐵 Adición y sustracción de vectores Dados los vectores 𝐴=𝐴𝑥𝑎𝑥 + 𝐴𝑦𝑎𝑦 + 𝐴𝑧𝑎𝑧 y 𝐵=𝐵𝑥𝑎𝑥 + 𝐵𝑦𝑎𝑦 + 𝐵𝑧𝑎𝑧 Suma y resta 𝐶=𝐴+𝐵=(𝐴𝑥+𝐵𝑥)𝑎𝑥 +(𝐴𝑦+𝐵𝑦)𝑎𝑦 + (𝐴𝑧+𝐵𝑧)𝑎𝑧 𝐷=𝐴−𝐵=(𝐴𝑥−𝐵𝑥)𝑎𝑥 +(𝐴𝑦−𝐵𝑦)𝑎𝑦 + (𝐴𝑧−𝐵𝑧)𝑎𝑧 Álgebra Vectorial 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 11

14. Multiplicación de un vector 𝑨 por un escalar c 𝑐𝐴=𝑐𝐴𝑥𝑎𝑥 + c𝐴𝑦𝑎𝑦 + c𝐴𝑧𝑎𝑧 Propiedades básicas 𝐴+𝐵=𝐵+𝐴 𝐴+(𝐵+𝐶)=(𝐴+𝐵)+𝐶 𝑘𝐴+𝐵=𝑘𝐴+𝑘𝐵 Álgebra Vectorial 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 12

15. Vector posición y desplazamiento Un punto P en coordenadas cartesianas se puede representar con (x, y, z). El vector posición 𝑟 es: 𝑟=x𝑎𝑥 + y𝑎𝑦 + z𝑎𝑧 El vector desplazamiento entre dos posiciones es: 𝑟𝑃𝑄=𝑟𝑄−𝑟𝑃 =(𝑥𝑄−𝑥𝑃)𝑎𝑥 + (𝑦𝑄−𝑦𝑃)𝑎𝑦 +(𝑧𝑄−𝑧𝑃)𝑎𝑧 Álgebra Vectorial 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 13

16. Producto escalar (producto punto) 𝐴∙𝐵=(𝐴𝑥𝐵𝑥) +(𝐴𝑦𝐵𝑦) + (𝐴𝑧𝐵𝑧) 𝐴∙𝐵=𝐴𝐵 cos  Propiedades básicas 𝐴∙𝐵=𝐵∙𝐴 𝐴∙(𝐵+𝐶)=𝐴∙𝐵+𝐴∙𝐶 Álgebra Vectorial 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 14

17. Producto vectorial (producto cruz) 𝐴×𝐵=𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝐴𝐵 𝑎𝑛 Donde 𝑎𝑛 es un vector unitario normal al plano que contiene a 𝐴 y a 𝐵. Dados los vectores 𝐴=𝐴𝑥𝑎𝑥 + 𝐴𝑦𝑎𝑦 + 𝐴𝑧𝑎𝑧 y 𝐵=𝐵𝑥𝑎𝑥 + 𝐵𝑦𝑎𝑦 + 𝐵𝑧𝑎𝑧 entonces tenemos: 𝐴×𝐵=𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝐴𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐵𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧 𝐴×𝐵=𝐴𝑦𝐵𝑧−𝐴𝑧𝐵𝑦𝑎𝑥+(𝐴𝑧𝐵𝑥−𝐴𝑥𝐵𝑧)𝑎𝑦+(𝐴𝑥𝐵𝑦−𝐴𝑦𝐵𝑥)𝑎𝑧 Álgebra Vectorial 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 15

18. Componentes de un vector Una aplicación directa del producto escalar es su uso en la determinación de la componente de un vector en una dirección dada. 𝐴𝐵=𝐴∙𝑎𝐵𝐴𝐵=(𝐴∙𝑎𝐵)𝑎𝐵 Álgebra Vectorial 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 16 𝐴 𝐴   𝐴𝐵 𝐵 𝐵 AB Componente escalar Componente vectorial

19. Ejercicios Los vectores del origen a los puntos A, B, C y D son: 𝐴= 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧𝐵= 2𝑎𝑥 + 3𝑎𝑦 𝐶= 3𝑎𝑥 + 5𝑎𝑦 − 2𝑎𝑧𝐷= − 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧 Calcule: 𝐴+𝐵−3𝐶 𝐴∙𝐵 𝐵×𝐶 Álgebra Vectorial 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 17

20. Determine el ángulo ABC si A = (1, -2, 3), B = (2, 4, -6) y C = (5, -3, 2). Exprese 𝑢= 2𝑎𝑥 + 4𝑎𝑦 + 5𝑎𝑧 como la suma de un vector 𝑚paralelo a 𝑣= 2𝑎𝑥 −𝑎𝑦 − 2𝑎𝑧 y otro perpendicular a 𝑣. Dados los vectores 𝐴= 2𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧, 𝐵= 𝑎𝑥 − 3𝑎𝑦 − 5𝑎𝑧 y 𝐶= 3𝑎𝑥 − 4𝑎𝑦 − 4𝑎𝑧 C = <3, -4, -4>, demuestre que forman los lados de un triangulo y que es rectángulo. Dado el vector 𝐴= 4𝑎𝑥 − 5𝑎𝑦 − 3𝑎𝑧, calcule los ángulos directores α, βyγque forma el vector 𝐴 con los ejes x, yyz respectivamente. Demuestre que cos2α + cos2β + cos2 = 1. Ejercicios 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 18

21. Dibuje el plano 3x + 4y + 2z = 12 y encuentre un vector perpendicular a dicho plano. Hallar la ecuación de un plano (Ax + By + Cz = D) que pasa por el punto (5, 1, -2) y es perpendicular a 𝑛=2𝑎𝑥 +4𝑎𝑦 + 3𝑎𝑧. Sean dos campos vectoriales dados por: 𝐸=2x𝑎𝑥 +𝑎𝑦 + yz𝑎𝑧 𝐹=xy𝑎𝑥 −𝑦2𝑎𝑦 + xyz𝑎𝑧 Determine: (a) la magnitud de 𝐸 en el punto (1,2,3), (b) La componente de 𝐸 a lo largo de 𝐹 en (1,2,3) y (c) un vector unitario en el punto (0,1,-3) que se a perpendicular a ambos. Ejercicios 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 19

22. 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 20 Sistema de coordenadas y su transformación

23. Coordenadas cartesianas (x, y, z) Como mencionamos antes cualquier punto P del espacio se puede representar con una triada de coordenadas (x, y, z), siendo los intervalos de estas variables: -  < x <  -  < y<  -  < z<  Un vector en cartesianas puede expresarse como: 𝐴=𝐴𝑥𝑎𝑥 + 𝐴𝑦𝑎𝑦 + 𝐴𝑧𝑎𝑧 Donde 𝑎𝑥, 𝑎𝑦y 𝑎𝑧 son los vectores unitarios a lo largo de las direcciones x, yyz respectivamente. 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 21 Sistema de coordenadas y su transformación z (x, y, z) z y x x y

24. Coordenadas cilíndricas ( ,  , z) 0 ≤ 𝜌 < ∞ 0 ≤ ∅ <2𝜋 −∞ <𝑧 < ∞ Un vector en cilíndricas es: 𝐴=𝐴𝜌𝑎𝜌 + 𝐴𝜙𝑎𝜙 + 𝐴𝑧𝑎𝑧 Donde 𝑎𝜌, 𝑎𝜙, 𝑎𝑧 son los vectores unitarios a lo largo de la dirección en que cambia 𝑟 al aumentar solamente ,  y z respectivamente. 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 22 Sistema de coordenadas y su transformación

25. Sistema de coordenadas y su transformación La magnitud del vector será: Relación entre coordenadas cilíndricas y cartesianas Relación entre coordenadas cartesianas y cilíndricas 𝐴=𝐴2+𝐴2+𝐴𝑧2 𝜙=𝑡𝑎𝑛−1𝑦𝑥 𝜌=𝑥2+𝑦2 𝑧=𝑧 𝑥=𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑦=𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑧=𝑧 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 23

26. Relación entre los vectores unitarios: 𝑎𝑥=cos𝜙 𝑎𝜌−𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑎𝜙+0 𝑎𝑧 𝑎𝑦=𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑎𝜌+𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑎𝜙+0 𝑎𝑧 𝑎𝑧=0 𝑎𝜌+0 𝑎𝜙+𝑎𝑧 Sustituimos estos vectores unitarios en la expresión del vector 𝐴: 𝐴𝜌=𝐴𝑥𝑐𝑜𝑠𝜙+𝐴𝑦𝑠𝑒𝑛𝜙 𝐴𝜙=−𝐴𝑥𝑠𝑒𝑛𝜙+𝐴𝑦𝑐𝑜𝑠𝜙 𝐴𝑧=𝐴𝑧 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 24 Sistema de coordenadas y su transformación 𝐴𝜌𝐴𝜙𝐴𝑧=𝑐𝑜𝑠𝜙𝑠𝑒𝑛𝜙0−𝑠𝑒𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜙0001𝐴𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧 𝐴𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧=𝑐𝑜𝑠𝜙− 𝑠𝑒𝑛𝜙0𝑠𝑒𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠𝜙0001𝐴𝐴𝜙𝐴𝑧

27. Coordenadas esféricas (r,  , ) 0 ≤𝑟 < ∞ 0 ≤ 𝜃 ≤𝜋 0 ≤ 𝜙 <2𝜋 Un vector en esféricas es: 𝐴=𝐴𝑟𝑎𝑟+ 𝐴𝜃 𝑎𝜃+𝐴𝜙𝑎𝜙 Donde 𝑎𝑟, 𝑎𝜃, 𝑎𝜙 son los vectores unitarios a lo largo de la dirección en que cambia 𝑟 al aumentar solamente r, y respectivamente. 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 25 Sistema de coordenadas y su transformación

28. Sistema de coordenadas y su transformación La magnitud del vector será: 𝐴=𝐴𝜃2+𝐴𝜃2+𝐴𝜙2 Relación entre coordenadas esféricas y cartesianas Relación entre coordenadas cartesianas y cilíndricas 𝜃=𝑡𝑎𝑛−1𝑥2+𝑦2𝑧 𝜌=𝑥2+𝑦2+𝑧2 𝜙=𝑡𝑎𝑛−1𝑦𝑥 𝑥=𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑦=𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑧=𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 26

29. Relación entre los vectores unitarios: 𝑎𝑥=𝑠𝑒𝑛 𝜃cos𝜙 𝑎𝑟+cos 𝜃cos𝜙 𝑎𝜃−𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑎𝜙 𝑎𝑦=𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑎𝑟+cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑎𝜃+𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑎𝜙 𝑎𝑧=𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑎𝑟−𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑎𝜃+0 𝑎𝜙 Sustituimos estos vectores unitarios en la expresión del vector 𝐴: 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 27 Sistema de coordenadas y su transformación 𝐴𝑟𝐴𝜃𝐴𝜙=𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙sen𝜃𝑠𝑒𝑛𝜙𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙cos𝜃sen𝜙−𝑠𝑒𝑛𝜃−𝑠𝑒𝑛 𝜙𝑐𝑜𝑠 𝜙0𝐴𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧 𝐴𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧=𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙cos𝜃cos𝜙−𝑠𝑒𝑛 𝜙𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜙cos𝜃sen𝜙𝑐𝑜𝑠 𝜙𝑐𝑜𝑠𝜃−𝑠𝑒𝑛𝜃0𝐴𝑟𝐴𝜃𝐴𝜙

30. La distancia entre dos puntos, suele ser necesaria en la teoría electromagnética: 𝑑 = 𝑟2−𝑟1 𝑑= 𝑥2−𝑥12+𝑦2−𝑦12+𝑧2−𝑧12 𝑑= 𝜌22+𝜌12−2𝜌1𝜌2𝑐𝑜𝑠𝜙2−𝜙1+𝑧2−𝑧12 𝑑= 𝑟22+𝑟12−2𝑟1𝑟2𝑐𝑜𝑠 𝜃2𝑐𝑜𝑠 𝜃1−2𝑟1𝑟2𝑠𝑒𝑛 𝜃2𝑠𝑒𝑛 𝜃1𝑐𝑜𝑠𝜙2−𝜙1 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 28 Sistema de coordenadas y su transformación

31. Exprese los puntos siguientes en cartesianas: (a) (1,60º, 2) (b) (3, 45º, 210º) y (c) (4, /2, /6) Exprese los puntos siguientes en cilíndricas y esféricas: (a) (1,-4,-3) (b) (3,0,5) y (c) (-2,6,0). Exprese el siguiente campo escalar V = xz – xy + yz en cilíndricas. Exprese el siguiente campo escalar U = x2 - 2y2 + 3 z2 en esféricas. Transforme los siguientes campos vectoriales a cilíndricas y esféricas: 𝐷=𝑥+𝑧𝑎𝑦 𝐸=𝑦2−𝑥2 𝑎𝑥+𝑥𝑦𝑧 𝑎𝑦+ 𝑥2−𝑧2 𝑎𝑧 EJERCICIOS 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 29

32. Exprese los campos vectoriales siguientes en coordenadas cartesianas. 𝐴=𝜌𝑧2+1𝑎𝜌−𝜌𝑧cos𝜙𝑎𝜙 𝐵=2𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑎𝑟+𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑎𝜃−𝑟𝑠𝑒𝑛𝜙𝑎𝜙 Determine la componentes de: 𝐺=𝑥+𝑦2𝑎𝑥+𝑥𝑧 𝑎𝑦+ 𝑧2+𝑧𝑦2 𝑎𝑧 A lo largo de 𝑎𝜙 en el puntos P(8,30º, 60º) . Exprese su respuesta en el sistema cartesiano. EJERCICIOS 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 30

33. Calculo aplicado a vectores 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 31

34. Los elementos diferenciales de longitud, área y volumen son útiles en el cálculo aplicado a vectores. Coordenadas cartesianas: 𝑑𝑙=𝑑𝑥𝑎𝑥+𝑑𝑦𝑎𝑦+𝑑𝑧𝑎𝑧 𝑑𝑆=𝑑𝑦𝑑𝑧𝑎𝑥+𝑑𝑥𝑑𝑧𝑎𝑦+𝑑𝑥𝑑𝑦𝑎𝑧 𝑑𝑣=𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Calculo aplicado a vectores 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 32

35. Coordenadas cilíndricas 𝑑𝑙=𝑑𝜌𝑎𝜌+𝜌𝑑𝜙𝑎𝜙+𝑑𝑧𝑎𝑧 𝑑𝑆=𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧𝑎𝜌+𝑑𝜌𝑑𝑧𝑎𝜙+𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙𝑎𝑧 𝑑𝑣=𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧 Calculo aplicado a vectores 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 33

36. Coordenadas esféricas 𝑑𝑙=𝑑𝑟𝑎𝑟+𝑟𝑑𝜃𝑎𝜃+𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜙𝑎𝜙 𝑑𝑆=𝑟2𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑑𝜃𝑑𝜙𝑎𝑟+𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜙𝑎𝜃+𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑎𝜙 𝑑𝑣=𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜙 Calculo aplicado a vectores 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 34

37. Integral de línea La integral de línea 𝐿𝐴∙𝑑𝑙 es la integral de la componente tangencial de 𝐴 a lo largo de la curva L. 𝐿𝐴∙𝑑𝑙= 𝐿𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑙 Si la trayectoria de integración es una curva cerrada, la integral recibe el nombre de circulación de 𝐴 alrededor de L. 𝐿𝐴∙𝑑𝑙 Calculo aplicado a vectores 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 35 𝑑𝑙 𝐴 L

38. La integral de superficie o flujo Dado un campo vectorial 𝐴 continuo en una región que contiene una superficie S, la integral de superficie o flujo de 𝐴 a través de S es: Ψ= 𝑆𝐴∙𝑑𝑆 Calculo aplicado a vectores 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 36 𝑑𝑆 𝐴 En el caso de una superficie cerrada, tenemos el flujo neto hacia afuera de 𝐴 desde S. Ψ=𝑆𝐴∙𝑑𝑆 𝐴 𝑑𝑆 𝐴

39. La integral de volumen Definimos la integral de volumen del escalar v sobre el volumen v, como: 𝑣𝜌𝑣𝑑𝑣 El significado físico de un integral de línea, de superficie o de volumen, depende de la naturaleza de la cantidad física representada por 𝐴 o v Calculo aplicado a vectores 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 37

40. Suponiendo que un campo vectorial expresado en coordenadas cilíndricas es: 𝐴 = 3 cos  𝑎𝜌 − 2𝑎𝜙 + z𝑎𝑧 Determine el campo en el punto P (4, 60°, 5) Exprese este campo en P, en coordenadas cartesianas Exprese la ubicación de P en cartesianas Suponiendo que una nube de electrones, confinada en una región entre dos esferas con radios 2,0 cm y 5,0 cm, tiene densidad de carga: 𝜌𝑣= −3×10−8𝑟4 𝑐𝑜𝑠2𝜙C/m3, encuentre la carga total contenida en la región. Ejercicios 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 38

41. Obtenga la fórmula de la superficie de una esfera de radio R. |Para el siguiente campo vectorial: 𝐹= 𝑥2𝑎𝑥 − xz 𝑎𝑦 − 𝑦2𝑎𝑧 Calcule la circulación de 𝐹 alrededor de la trayectoria cerrada que se muestra en la figura. Ejercicios 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 39 1 1 1

42. Calcule la circulación de 𝐴 = cos 𝑎𝜌+ z sen 𝑎𝑧 alrededor del borde L de la cuña definida por 0 <  < 2 , 0 <  < 60° y z = 0 Si 𝐹= r 𝑎𝑟 + r sen 𝑎𝜙y C es la circunferencia r = 1 ,  = /4, evaluar 𝐶𝐹∙𝑑𝑙. Determinar el flujo del campo vectorial 𝐹=r2𝑎𝑟 + R2cos𝑎𝜙através de (a) Una esfera de radio R y (b) del semicírculo de radio 1, centrado en el origen y en el plano  = /4. Para el siguiente campo vectorial 𝐹= (x2 + yz)𝑎𝑥+ (y2 + xz) 𝑎𝑦+ (z2 + xy)𝑎𝑧 la superficie delimitada por los siguientes planos S1 x = 0, S2 y = 0, S3 z = 0, S4 z = c, S5 y = b y S6 x = a. Calcule el flujo de 𝐹 a través de S. 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 40 Ejercicios

43. Este operador se escribe 𝛻, es el operador diferencial del vector. En coordenadas cartesianas es: 𝛻 = 𝜕𝜕𝑥𝑎𝑥+𝜕𝜕𝑦𝑎𝑦+𝜕𝜕𝑧𝑎𝑧 Este operador no es un vector en sí mismo, pero cuando opera sobre una función escalar, genera un vector. Este operador es útil para definir: El gradiente de un escalar V, el cual se escribe 𝛻𝑉. La divergencia de un vector 𝐴, la cual se escribe 𝛻∙𝐴. El rotacional de un vector 𝐴, la cual se escribe 𝛻×𝐴. El laplaciano de un escalar V, el cual se escribe 𝛻2𝑉. Operador gradiente 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 41

44. El gradiente de un campo escalar V es un vector que representa la magnitud y dirección de la máxima rapidez de incremento espacial de V. 𝛻 = 𝜕𝑉𝜕𝑥𝑎𝑥+𝜕𝑉𝜕𝑦𝑎𝑦+𝜕𝑉𝜕𝑧𝑎𝑧 𝛻 = 𝜕𝑉𝜕𝜌𝑎𝜌+1𝜌𝜕𝑉𝜕𝜙𝑎𝜙+𝜕𝑉𝜕𝑧𝑎𝑧 𝛻 = 𝜕𝑉𝜕𝑟𝑎𝑟+1𝑟𝜕𝑉𝜕𝜃𝑎𝜃+1𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝜕𝑉𝜕𝜙𝑎𝜙 Gradiente de un escalar 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 42

45. 1.- Hallar el gradiente de los siguientes campos escalares: V = e –zsen 2x cosh y U = 2 z cos 2 W = 10r sen2  cos 2.- La intensidad de campo eléctrico puede derivarse como el gradiente negativo de una función potencial escalar V. Determine E en el punto (1, 1, 0) V = Vo e –xsen y/4 V = Eo r cos  Ejercicios

46. La divergencia de 𝐴en un punto dado P es el flujo hacia fuera por unidad de volumen a medida que el volumen se contrae alrededor de P. 𝛻∙𝐴 = lim∆𝑣->0𝑆𝐴∙𝑑𝑆∆𝑣 En cartesianas: 𝛻∙𝐴= 𝜕𝐴𝑥𝜕𝑥+𝜕𝐴𝑦𝜕𝑦+𝜕𝐴𝑧𝜕𝑧 Divergencia de un vector 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 44

47. En cilíndricas: 𝛻∙𝐴=1𝜌𝜕𝜕𝜌(𝜌𝐴𝜌)+1𝜌𝜕𝐴𝜙𝜕𝜙+𝜕𝐴𝑧𝜕𝑧 En esféricas: 𝛻∙𝐴=1𝑟2𝜕𝜕𝑟𝑟2𝐴𝑟+1𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝜕𝜕𝜃𝐴𝜃𝑠𝑒𝑛 𝜃+ 1𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝜕𝐴𝜙𝜕𝜙 Divergencia de un vector 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 45

48. Este teorema establece que el flujo total hacia afuera de un campo vectorial 𝐴 a través de una superficie cerrada S equivale a la integral de volumen de la divergencia de 𝐴. 𝑆𝐴∙𝑑𝑆= 𝑣𝛻∙𝐴 𝑑𝑣 Teorema de la divergencia 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 46

49. El rotacional de 𝐴es un vector axial (o rotacional) cuya magnitud es la circulación máxima de 𝐴 por unidad de área conforme el área tiende a cero y cuya dirección es la dirección normal del área cuando el área se orienta de tal forma que de ello resulta la circulación máxima. 𝛻×𝐴 =lim∆𝑠->0𝐿𝐴∙𝑑𝑙∆𝑆𝑎𝑛𝑚𝑎𝑥 Donde el área S está circunscrita por la curva L y 𝑎𝑛 es el vector unitario normal a S, el cual se determina aplicando la regla de la mano derecha. Rotacional de un vector 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 47

50. En cartesianas: 𝛻×𝐴=𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧𝜕𝜕𝑥𝜕𝜕𝑦𝜕𝜕𝑧𝐴𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧 En cilíndricas : 𝛻×𝐴=1𝜌𝑎𝜌𝜌𝑎𝜙𝑎𝑧𝜕𝜕𝜌𝜕𝜕𝜙𝜕𝜕𝑧𝐴𝜌𝜌𝐴𝜙𝐴𝑧 Rotacional de un vector 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 48

51. En esféricas: 𝛻×𝐴=1𝑟2 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑎𝑟𝑟𝑎𝜃𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑎𝜙𝜕𝜕𝑟𝜕𝜕𝜃𝜕𝜕𝜙𝐴𝑟𝑟𝐴𝜃𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐴𝜙 Rotacional de un vector 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 49

52. El teorema de Stokes establece que la circulación de un a campo vectorial 𝐴 alrededor de una trayectoria cerrada L es través de una superficie cerrada S equivale a es igual a la integral de superficie del rotacional de 𝐴 sobre la superficie abierta S circunscrita por L, siempre que 𝐴 y 𝐴sean continuos en S. 𝐿𝐴∙𝑑𝐿= 𝑣𝛻×𝐴∙𝑑𝑆 Teorema de Stokes 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 50

53. El laplaciano de un campo escalar V, el cual se escribe 2V, es la divergencia del gradiente de V. El laplaciano 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 51

54. Se dice que un campo vectorial 𝐴 es senoidal (o sin divergencia) si: ·𝐴= 0 Se dice que un campo vectorial 𝐴 es irrotacional (o potencial o conservativo) si: 𝐴 = 0 Clasificación de los campos

55. Para el siguiente campo vectorial 𝐹 = (x2 + yz)𝑎𝑥+ (y2 + xz) 𝑎𝑦 (z2 + xy)𝑎𝑧 y la superficie delimitada por los siguientes planos S1 x = 0, S2 y = 0, S3 z = 0, S4 z = c, S5 y = b y S6 x = a. Verifique el teorema de la divergencia. Determine el rotacional del siguiente campo vectorial: 𝐹= 5x 𝑎𝑥. Dado el siguiente campo vectorial 𝐹= x2𝑎𝑥 + y 𝑎𝑦 + (xz – y)𝑎𝑧y sea C el contorno de un rectángulo en el plano xz cuyos vértices son (0,0,0), (0,0,c), (a,0,c), (a,0,0). Verificar el teorema de Stokes. Ejercicios

56. Para el campo vectorial 𝐹 = r sen 𝑎𝑟+ r cos 𝑎𝜃 + r(1 + sen2) 𝑎𝜙 , evalúe: 𝛻∙F en el punto (3, 4, -2) 𝛻×F en el punto (-2, 0, 0) S𝛻×𝐹∙d𝑆 donde S es el hemisferio superior (encima del plano xy) de radio R = 3. El flujo total de 𝐹 a través de la superficie de un cubo de un cubo de lado l = 3 centrado en el origen de coordenadas. Ejercicios

57. Elementos de electromagnetismo Matthew N. O. Sadiku Oxford Bibliografía 2011-2 Ing. Hugo Enrique Vizcarra Valencia 55