matemática para estudar.

1. TURMA DO M˘RIO
Álgebra
Porcentagem
Taxa percentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, b ≠0 é a razão
x
tal que: x
=a, e se indica: x = x%
.
100
100 b
100
A palavra porcentagem deriva de por (dividido) e centagem (100). Quando se fala x % de
um número, significa multiplicar este número por x
100
.
Exemplo: 15 % de 200 = 15 . 200 30
100
= .
Potenciação
Definições
0
∀ ∈ ⇒ =
∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ =
Propriedades
1. am. an = am+n
2.
a R a 1
a R e n N a n a n1
− . a
m
a a m n
,a
a
n
= − ≠0
3. (am )n =am . n
4. (a . b)n =an . b
n
5. (a : b)n = an : bn , b ≠0
6. a – n = n
1 , a ≠
0
a
Nota: Em geral ( ) am n ≠amn
Em geral ( )a+b n ≠ an +bn
Radiciação
Propriedades
1. n a . b = n a . n b
2. n a : b = n a : n b , b ≠ 0
3. ( n a )m = n a
m 4. m n a = n . m a
m
5.
n am = a n
6. n . p am . p = n am
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2. Produtos notáveis
(a + b) (a – b) = a2 - b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a + b + c)2 = a2+ b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc)
Fatoração
ab + ac = a (b + c)
ab +ac + db + dc = a (b + c) + d (b + c) = (b +c) (a + d)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
ax2 + bx + c = a.(x – 1) (x – 2), onde 1 e 2 são as raízes de ax2 + bx + c = 0.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
a2 + b2 +c2 + 2 (ab +ac + bc) = (a + b + c)2
Números naturais
Números primos: Um número natural e maior que 1 é primo se ele tiver apenas dois
divisores naturais distintos: 1 e ele mesmo.
Números primos entre si: Dois números naturais são primos entre si se o único divisor
natural comum entre eles for 1.
Quantidade de divisores naturais de um número natural
Se n = ap.bq.cr.ds..., então n tem (p+1) (q+1) (r+1)... divisores positivos, sendo n um
número natural e a, b, c, d, ... fatores primos do número n.
Seqüências
Definições
Seqüência real é toda função f : I R, onde I = N* ou I = {1, 2, 3, ... ..., n}
Se I = N*, a seqüência é chamada infinita.
Se I = {1, 2, 3, ... ..., n} , a seqüência é chamada finita.
2

3. Progressão Aritmética (PA)
Definição
Progressão aritmética (PA) é toda seqüência numérica onde, a partir do primeiro termo
encontramos os demais somando ao anterior um valor fixo r chamado de razão da PA.
Conseqüência da definição: r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ... ... = a n+1 – a n = r
Classificação das PA´s
Uma PA de números reais pode ser:
I.crescente: (razão positiva): r 0 a n+1 a n
II.decrescente (razão negativa): r 0 a n+1 a n
III. constante (razão nula): r = 0 a n+1 = a n
Fórmula do termo geral de uma PA
an = a1 + (n – 1) r, n N*
Termos eqüidistantes em PA
Na PA genérica: PA(a1, a2, a3,... ..., ap-1, ap, ap+1,... ...,an), tem-se:
com p, k IN*
p k p k
Soma dos n primeiros termos de uma PA
Seja a PA(a1, a2, a3,... ..., an,......) , a soma de seus n primeiros termos é dada por:
3
Seja a PA(a1, a2, a3, ... ... an). Então:
Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p
(ap), poderemos utilizar a regra:
an = ap + (n – p) r, n,p N*
a
a a
2 p
S
(a a )
n
1 n
2 n

4. Progressão Geométrica (PG)
Definição
Progressão geométrica (PG) é toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é
igual ao produto do termo anterior por uma constante q, que é chamada razão da P.G.
Conseqüência da definição:
Se an 0, então q =
a
a
n 1
n
; ou seja, encontramos a razão da PG dividindo um termo
qualquer pelo seu antecessor.
Classificação das PG´s:
Uma PG pode ser:
I.Crescente: quando an+1an
Exemplo: PG(1, 2, 4, 8, 16, ...), q = 2
II.Decrescente: quando an+1an
Exemplo: PG(81, 27, 9, 3, 1, ...), q = 1/3
III. Constante: quando an+1=an
Exemplo: PG(2, 2, 2, 2, 2, ...), q = 1
IV.Alternante: quando a1 0 e q 0
Exemplo: PG(2, – 4, 8, – 16, 32, ...), a1 = 2 e q = –2
V. Não decrescente: quando a1 0 e q = 0
Exemplo: PG(– 2, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = – 2 e q = 0
VI.Não crescente: quando a1 0 e q = 0
Exemplo: PG(5, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = 5 e q = 0
Fórmula do termo geral da PG
Termos eqüidistantes em PG
Na PG genérica: PG(a1, a2, a3,... ..., ap-1, ap, ap+1,... ...,an), então:
Produto dos n primeiros termos de uma PG (Pn)
4
Seja a PG genérica: PG(a1, a2, a3, a4, ......). Assim:
Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p
(ap), poderemos utilizar a regra:
an = a1 qn – 1, n N*
an = ap qn – p, n,p N*
(ap)2 = (ap – k) (ap + k), p,k N*
Seja a PG(a1, a2, a3, ..., an, ..., .... ) indicaremos por Pn o produto de seus n primeiros
termos. Assim: Pn = a1
n q
n( n
1)
2
ou Pn = (a1 an)
n
2

5. Soma dos n primeiros termos de uma PG (Sn)
Seja (a1, a2, a3, ..., an, ...) uma PG de razão q e indiquemos por Sn a soma de seus n
primeiros termos. Assim:
Se a PG não for constante, ou seja q 1 teremos:
Sn =
n
a (q 1)
q 1
1
Sn= n a1
Soma dos termos de uma PG infinita (S)
Seja a P.G. = (a1, a2, a3, . . . , an, . . . ) de razão q e a soma de seus infinitos termos
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . (série)
Quando lim S =S
n
n
existe e é finito, dizemos que a série converge para S.
Quando esse limite não existe ou não é finito dizemos que a série diverge (não se pode
determinar tal soma). Se – 1 q 1, pode-se demonstrar que: lim S =S
n
n
=
a
1
1
q
Função Exponencial
f(x) = ax ; a 0 e a 1 Imf = IR*
Df = IR
y y
a 1
função crescente
Propriedades de potência
1. am . an = am + n
2. am : an = am – n , a 0
3. (am)n = am .n
4. n am = am n, n IN / n 1
5. a– n =
1
an
, a 0
5
0
1
x
0 a 1
função decrescente
0 x
Se a PG for constante, ou seja q = 1 teremos:

6. Equação exponencial
af(x)= ag(x)

7. f(x) = g(x)
Inequação exponencial
af(x) ag(x)

8. f(x) g(x), se a 1
af(x) ag(x)

9. f(x) g(x), se 0 a 1
Logaritmo
Definição
logba = x

10. a = bx com a 0, 0 b 1
Propriedade de logaritmo
1. logc (a.b) = logca + logcb; a 0, b 0, 0 c 1
2. logc
a
b
= logca – logcb; a 0, b 0, 0 c 1
3. logc am = m . logca; a 0, 0 c 1 e m IR
4. log a cm =
1
m
. logca; a 0, 0 c 1 e m IR*
Função Logarítmica
f
f(x) m= logax , a0 e a1 I= IR
*
Df = IR
6
0 1 x 0 1 x
a 1
função crescente
0 a 1
função decrescente
y y

11. Geometria Plana
Relações métricas no triângulo retângulo
b c
h
m n
a
Relações métricas no círculo
PA PB = PC PD PA PB = PC PD (PT)2 = PA PB
Lei dos
Lei dos cossenos
7
A
B
C
D
P
T
B
A
P
A
B
C
P D
h2=m n b c=a h
b2=a m a2=b2 + c2 (Pitágoras).
c2=a n
a
sen
b
sen
c
sen
2R
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos
b2 = a2 + c2 – 2 a c cos
c2 = a2 + b2 – 2 a b cos

12. Teorema de Tales
a1 // a2 // a3 // .....
Teorema da bissetriz interna
b c
Teorema da bissetriz externa
A
b c
C S
Semelhança de triângulos
H y
a
x
k Área ABC
b
y
c
z
H
h
k2
Área PQR
8
AB
A'B'
BC
B'C'
CD
C'D'
AC
A' C'
AD
A'D'
x y
S
A
b
x
c
y
c
y
x
B
b
x
c
y
b
c
A
B a C
z
P
Q x R
h

13. Arcos e ângulos
= a a
2
a+b
2
a – b
2
a
2
Razões trigonométricas
Comprimento da circunferência
Base média de triângulo
9
b
sen
b
a
sen
c
a
cos
c
a
cos
b
a
tg
b
c
tg
c
b
R
C 2R
MN
// BC
MN =
BC
2

14. Base média de trapézio
Baricentro de triângulo
Polígonos convexos
Sendo n = número de lados;
d = número de diagonais;
Si= soma dos ângulos internos e
Se= soma dos ângulos externos,
temos: d=
n(n – 3)
2
Si = (n – 2) 180ºe Se = 360º
Áreas
Retângulo Quadrado Paralelogramo
Triângulo Trapézio
10
MN
// AB
MN =
AB+CD
2

15. Losango 1 Losango 2
B A
Fórmulas especiais para área do triângulo
A
3
4
2
A
b c
2
A p(p – a) (p – b)(p – c)
em que p
a b c
2
A
1
2
a bsen A = r p A
a b c
4R
p
a b c
2
Círculo
Setor circular
A
R2
360º
A
R2
2
A
R
2
em radianos
11
C
(AC) (BD)
Los
2
R
A R2

16. Análise Combinatória / Probabilidades
Número binomial:
n
p
=
n!
p!(n – p)!
=C =
combinação de n objeto
n, p
s distintos
agrupados de p em p
Teorema binomial: (a + b)n=
n
0
anb0 +
n
1
an – 1b1+. . .+
n
n
a0bn =
n
i
n
n–i i
a b
i o
Arranjo: An, p =
n!
(n – p)!
n objetos distintos seqüenciados (enfileirados) de p em p
Permutação de n objetos distintos: Pn = n!
Probabilidade de ocorrer um evento =
n.o de elementos do conjunto evento
n.o de elementos do espaço amostral
=
n(A)
n(E)
=P(A)
probabilidade de ocorrer
o evento A
e em se
guida
ocorrer o
evento B
=
=
probabilidade de
ocorrer o evento A
x
prob
abilidade de
ocorrer o evento B
sabendo que A ocorreu
Teorema da multiplicação
Exemplo:
Conjuntos, Funções e Inequações
Relação
Considerando dois conjuntos A e B, não-vazios, chamamos relação (binária) de A e B a
qualquer subconjunto do produto cartesiano ( A x B = {(x; y) / x A x B}).
Definição
Uma relação f de A em B é uma função de A em B, se, para todo x A, existe um único y
B tal que (x; y) f. (Indica-se: f : A B).
12
Permutação de elementos repetidos: Pn
,, =
n!
!!!
, objetos iguais entre si
objetos iguais entre si
objetos iguais entre si
2 bolas azuis
5 bolas verdes
P
tirar uma bola azul e em
seguida uma bola azul
=
2
7
1
6
chance de retirar uma
bola azul sabendo que
já saiu uma azul

17. Exemplo Contra-exemplo
A B A B
Tipos de função
Função crescente e decrescente
Uma função f é crescente em A Df

18. (x1 x2 f(x1) f(x2), x1, x2 A).
Uma função f é decrescente em A Df

19. (x1 x2 f(x1) f(x2), x1, x2 A).
Função injetora, sobrejetora e bijetora
Uma f : A B é injetora se todos os elementos distintos em A têm imagens distintas em
B ( x1, x2 A, x1 x2 f(x1) f(x2)).
Uma f : A B é sobrejetora se todos os elementos de B são imagens de elementos de A
(Im(f) = CD(f) ou y B, x A / f(x) = y)
Uma função de f : A B é bijetora se é injetora e sobrejetora.
Exemplos:
A B
A B
Função par e ímpar
A B
Uma função f : A B é par

20. x A, f(x) = f( – x).
Uma função f : A B é ímpar

21. xA, f(x) = – f( – x).
Função periódica
A B
Uma função f : A B é periódica de período p

22. x A, f(x + p) = f(x), p 0.
Função composta
Dadas duas funções f e g, podemos obter uma outra função fog, tal que
fog(x) = f(g(x)), chamada função composta de f com g.
13
1
2
3
4
5
f
f é sobrejetora
e não é injetora
3
4
6
1
2
3
f
f é bijetora
1
2
3
4
5
6
f
f não é injetora
e nem sobrejetora
1
3
5
4
3
2
1
f
f é injetora
e não é sobrejetora
1
2
5
1
2
3
3
4
6
4
5
6
f g
f é função g não é função
Domínio de f = D(f) = A = {1, 2, 5}
Conjunto Imagem de f = Im(f) = {3, 4}
Contradomínio = CD(f) = B = {3, 4, 6}
4 é imagem de 5, isto é, 4 = f(5)
4 é imagem de 2, isto é, 4 = f(2)

23. Função inversa
Denomina-se inversa da função bijetora y = f(x), f : A B a função f– 1: B A, tal que
f–1 (y) = x.
Observação:
Para se obter a inversa de uma função f (bijetora) definida por uma sentença matemática
y = f(x)
a. troca-se x por y e y por x;
b. coloca-se o novo y em função do novo x.
Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
Propriedades dos determinantes
a. det(At) = det(A).
b. Se uma linha (ou coluna) é formada só de zeros, o determinante é igual a zero.
c. Quando trocamos de lugar duas linhas (ou colunas) paralelas, o determinante fica
multiplicado por –1.
d. Se duas linhas (ou colunas) paralelas são iguais (ou proporcionais), o determinante é
igual a zero.
e. Se os elementos de uma linha (ou coluna) apresentam um fator comum k, este pode ser
colocado em “evidência”.
f. Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então det(k.A) = kn.det(A)
g. Teorema de Binet: det(A.B) = det(A).det(B)
Atenção: em geral, det(A+B) det(A) + det(B)
h. Teorema de Jacobi (importante para obtenção de zeros). O determinante de uma
matriz não se altera quando somamos a uma linha (ou coluna) outra linha (ou coluna)
paralela multiplicada por uma constante.
i. Matriz Triangular: A
1 0 0 0
–3 4 0 0
2 3 –5 0
5 6 7 8
####
det(A) 1 4(–5) 8
!
Multiplicação de matrizes
a b
x y
=
c d
z w
ax+bz ay+bw
cx+dz cy+dw
a. Todo sistema de equações lineares apresenta apenas uma solução, ou seja, é um
sistema possível e determinado (s. p. d.), quando D 0, onde D é o determinante da
matriz dos coeficientes de tal sistema.
b. Para os casos onde D = 0, para analisar o sistema, ou seja, dizer se o mesmo é
impossível (s. i.) ou indeterminado (s. p. i.), deve-se escalonar tal sistema, eliminando
ordenadamente as incógnitas das equações.
A equação, na incógnita x, ax = b tem apenas uma solução para a 0; tem infinitas
soluções para a = 0 e b = 0 e não temsolução para a = 0 e b 0.
14

24. Trigonometria
Relações Fundamentais Conseqüências x
k
2
sen2x + cos2x = 1, x R cotgx
1
tgx
tgx
senx
cosx
x
k
2
1 + tg2x = sec2x
cotgx
cosx
senx
(x k$ 1 + cotg2x = cossec2x
secx
1
cosx
x
k
2
cos x
1
1+ tg x
2
2
cossecx
1
senx
(x k) sen x
tg x
1+ tg x
2
2
2
Fórmulas de adição
cos(a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b
cos(a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b
sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
sen(a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a
tg(a b)
tg a tg b
1– tg a tg b
tg(a b)
tg a tg b
1+ tg a tg b
–
–
Fórmulas de multiplicação
15
Arcos duplos
sen 2a = 2 sen a cos a
cos 2a=
2 2
cos a – sen a
ou
2cos 2
a – 1
ou
1– 2sen2a
%
'''
'''
(
tg 2a=
2 tg a
1– tg2a
Arcos Triplos
sen 3a = 3 sen a – 4 sen3 a
cos 3a = 4 cos3 a – 3 cos a
tg 3a=
3
3 tga – tg a
1– 3tg 2
a

25. Fórmulas de divisão
sen
x
2
=
1– cos x
) cos
2
x
2
=
1+cos x
) tg
2
x
2
=
1– cos x
1+cos x
)
Fórmulas de transformação em produto
cos p+cos q=2 cos
p+q
2
cos
p – q
2
cos p – cos q= –2 sen
p+q
2
sen
p – q
2
sen p+sen q=2 sen
p+q
2
cos
p – q
2
sen p – sen q=
2 sen
p – q
2
cos
p+q
2
tg p+tg q=
sen(p+q)
cos p cos q
tg p
– tg q=
sen(p – q)
cos pcos q
Equações trigonométricas fundamentais
sen = sen = + 2k ou = ( – ) + 2k
cos = cos = )+ 2k
tg = tg = + k
Funções circulares inversas
y = arc senx

26. seny = x e –
2
* y *
2
y = arc cosx

27. cosy = x e 0 * y *
y = arc tgx

28. tgy = x e –
2
y
2
16

29. Geometria Espacial
O volume de um prisma e o de umcilindro (retos ou oblíquos) é igual ao produto da
área da base (B) pela altura (H). E o volume de uma pirâmide e o de umcone reto (ou
oblíquo) é igual a 1/3 do produto da área da base pela altura.
R
Planificando a superfície lateral de um cilindro reto de raio R e altura H obtemos um
retângulo de lados 2R e H. Então a área lateral (AL) do cilindro reto é:
Planificando a superfície lateral de um cone reto de raio R e geratriz g obtemos um setor
circular de raio g e arco 2R. Então a área lateral do cone reto é.
O volume V e a área A de uma esfera de raio R são dados por:
17
B
H H
V = BH
B
H H
g
R
V = 1 BH
3 —
AL = Asetor AL =
2
2
R g
AL =Rg
Sendo a medida, em graus, do setor,
temos:
Asetor =
2
2
R g
=
360º
g2 R =
360º
g
R A = 4R2 e V= 4
3
R3

30. Números Complexos
Forma algébrica
Nomenclatura
z = a + bi (a, b IR)
i = unidade imaginária
a = Re (z) = parte real de z
b= Im (z) = coeficiente da parte imaginária de z
Exemplos de números complexos
z = 3i = 0 + 3i = número imaginário puro.
z = – 6 = – 6 + 0i = número real.
z = a + bi (b 0) = número imaginário ou número complexo não real.
Potências inteiras de i (ik, k ZZ )
i0= 1 e i4k = 1
i1= i e i4k+1 = i4k . i1 = i
i2= – 1 e i4k+2 = i4k . i2 = – i
i3= – i e i4k+3 = i4k . i3 = – i
Conjugado de z = a + bi (a, b IR)
z = a – bi
Propriedades
1. z + w = z + w
2. z . w = z . w
3.
z
w
=
z
w
4. zn =( z )n (n ZZ)
5. ( z )=z
Produtos e divisões notáveis
1. (1 + i)2 = 2i
2. (1 – i)2 = – 2i
3. (1+ i)(1 – i) = 2
4.
1+i
1– i
= i
5.
1– i
1+i
= – i
18

31. Igualdade na forma algébrica
Representação no plano de Argand-Gauss
Propriedades
1. | z |2 = z . z
2. |z . w | = | z | . | w |
3.
z
w
=
z
w
(w 0)
4. | z n| = | z | n, n ZZ
5. | z + w | * | z | + | w |
6. | z | = | z |
Forma trigonométrica de z C*
z = a + bi = | z | (cos + isen +)
| z | = a2 b2 e
cos =
a
z
sen =
b
z
+
+
%
''
''
(
Igualdade na forma trigonométrica
|z|( cos +i sen
+ +$
z
= |w|( cos +i sen
$
w
19
a + bi = c + di

32. a = c e b = d (a, b, c, d IR)
z = a + bi = (a, b) = P (a, b IR)
P = afixo de z
dop = |z| = a2 +b2 = módulo de z
+ + k . 2 = arg(z) = argumento de z
(0 * + 2)
+ = argumento principal de z
0
z = w

33. |z| = |w| e
+ = + k . 2
k ZZ

34. Operações na forma trigonométrica
Sejam z = |z| (cos + isen +)
z1= |z1| (cos +1 isen +1)
z2= |z2| (cos +2 isen +2 )
Multiplicação
z1 . z2= |z1
| . |z2| . [cos (+1 ++2) + isen (+1 ++2)]
Divisão
z
z
1
2
=
|z
|z
|
|
1
2
[cos (+1 – +2) + isen (+1 – +2)]
Potenciação
zn = |z|n . [cos (n +) + isen (n+)]
Radiciação
z =w = z cos
n
+k
n
+i sen
n
+k
n
n C
+ +
k n
2 2 !
#
, (k = 0, 1, 2, . . . , n – 1)
Propriedades
1. w0 + w1 + w2 + . . . + wn – 1 = 0
2. A raiz enésima de z divide a circunferência em n partes iguais.
3. O raio dessa circunferência é n | z |.
4. O “ponto de partida” (wo) é o arco
+
n
e o “pulo’ de uma raiz para outra é de
2
n
.
Equação binômia em C
axn + b = 0 (a 0)
axn = – b xn =
–b
a
x =
–b
a
n
C
= wk , (k = 0, 1, 2, . . . , n – 1)
Geometria Analítica
Distâncias
De dois pontos A e B
dAB (xB – x A ) (y – y )
2
2
B A
Do ponto P à reta (r) ax + by + c = 0
|ax P +by d
P
+c|
2 2
a +b
20

35. Pontos especiais
a.
M divide AB na razão
AM
MB
= r
r =
x –x
x x
=
y –y
y y
M A
B M
M A
– B – M
Se M é ponto médio de AB, M =
x A +xB yA +yB
,
2 2
b. Ponto do eixo x: A = (a, 0)
Ponto do eixo y: B = (0, b)
Ponto da bissetriz dos quadrantes pares: C = (k, k)
Ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares: D = (k, – k)
x A x Baricentro do ABC: G =
B x
C A B C
3
y y y
3
,
Área do ABC
S =
|D|
2
onde D =
x y 1
x y 1
x y 1
A A
B B
C C
Observação: Se A, B e C são colineares, D = 0.
Equação de circunferência
(x – xC)2 + (y – yC)2 = r2
Centro C e raio r, equação reduzida.
Equação de reta
Geral: ax + by + c = 0 (r)
Conhecendo 2 pontos A e B de r:
x y 1
x y 1
x y 1
A A
B B = 0
Reduzida: y = mx + k
21
m... coeficiente angular de r
k.... coeficiente linear de r
m =tg (não existe, se m é vertical)
Conhecendo 2 pontos A e B da reta,m
y – y
x – x
B A
B A

36. Paralelas / perpendiculares
r // s

37. mr=ms
Exemplos:
Paralela a y = 2x – 3 é y = 2x + k
Paralela a 2x + 5y – 3 é 2x + 5y + k = 0
r , s

38. mr. ms = – 1
Exemplos:
Perpendicular a y =
2
3
x – 3 é y = –
3
2
x + k
Perpendicular a 2x + 5y – 6 = 0 é 5x – 2y + k = 0
Observação:
Se P pertence a ax + by + c = 0, então axP + byP + c = 0.
22