書籍「層・圏・トポス」内の定理の証明。

1. P53 3
f' g' f g pullback g mono
f' mono f'
g' f
g

2. 3 (1)
f' mono
f'￮k1 = f'￮k2 k1 k2
k1 f'
k2
g' f
g

3. 3 (2)
k1
f'￮k1 g'￮k2
f'￮k1
￮￮
￮￮
￮ ￮ f'
g'￮k1
￮￮
g' f
g

4. 3 (3)
pullback
e
f'￮k1
e
g'￮e = g'￮k1
f'
g'￮k1
f'￮e = f'￮k1 g' f
g

5. 3 (4)
k1 (3) e
f'￮k1
e k1
k1
f'
g'￮k1 = g'￮k1 g'￮k1
g' f
f'￮k1 = f'￮k1
g

6. 3 (5)
k2 (3) e
f'￮k1
e k2
k2
f'
g'￮k2 = g'￮k1 g'￮k1
g' f
f'￮k2 = f'￮k1
g

7. 3 (6)
f'￮k2 = f'￮k1
k1 k2
k1 f'
((1) )
k2
g' f
g

8. 3 (7)
g mono
￮ ￮ ￮ ￮ ￮ ￮
￮ ￮
f'￮k1
￮ ￮
￮ ￮
g'￮k1
￮ ￮
f'
￮ ￮ g'￮k2
g' f
mono
g
g'￮k1 = g'￮k2 ∴

9. 3 (8)
k2 (3) e
f'￮k1
e k1,k2
f'
k1 = k2 g'￮k1
g' f
g

10. 3 (9)
k1 k2
f'￮k1 = f'￮k2 k1 = k2
f' mono
k1 f'
Q.E.D.
k2
g' f
g