Se presentan diferentes métodos numéricos para determinar la solución aproximada de un sistema de ecuaciones lineales.

1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICE RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE ELÉCTRICA
ANÁLISIS NUMÉRICO
TUTOR: Lic. Domingo Méndez.
ESTUDIANTE: TSU Oswaldo Heredia
Unidad III . Solución de
Sistemas de Ecuaciones Lineales

2. Métodos de Eliminación
Métodos para resolver
sistemas de ecuaciones lineales
utilizando matrices.
Eliminación Gaussiana
También llamado Algoritmo de
Gauss, propone la eliminación
progresiva de variables en el sistema
de ecuaciones, hasta tener sólo una
ecuación con una incógnita. Una vez
resuelta ésta, se procede por
sustitución regresiva hasta obtener los
valores de todas las variables. Consta
de los siguientes pasos:
1. Determinar la primera columna (a la
izquierda) no cero.
2. Si el primer elemento de la columna
es cero, intercambiarlo por un
renglón que no tenga cero.
3. Obtener ceros abajo del elemento
delantero sumando múltiplos
adecuados a los renglones debajo
de él.

3. Métodos de Eliminación
5. Comenzando con el último renglón
no cero avanzar hacia arriba para
que en cada renglón tenga un 1
delantero y arriba de él queden sólo
ceros. Para ello debería sumar
múltiplos adecuados del renglón a
los renglones correspondientes.
Ejemplo:
4. Cubrir el renglón y la columna de
trabajo y repetir el proceso
comenzando en el paso 1. Al
término del ciclo entre el paso 1 al
4 (es decir cuando se han barrido
todos los renglones), la matriz
debería tener forma de escalón.

4. Métodos de Eliminación

5. Gauss-Jordan
Métodos de Eliminación
Consiste en realizar transformaciones
elementales en el sistema inicial,
destinadas a transformarlo en un sistema
diagonal. El número de operaciones de
este método, es mayor en un 50% al del
método de Gauss.
Pasos de este método:
1. Determinar la primera columna (a la izquierda) no cero.
2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercambiarlo por un
renglón que no tenga cero. Multiplicar el renglón, y hacerlo 1. Este
primer 1 será llamado 1 pivote.
3. Obtener ceros arriba y abajo del 1 pivote sumando múltiplos adecuados
a los renglones debajo de renglón pivote en la matriz completa.
4. Cubrir la columna y el renglón de trabajo y repetir el proceso
comenzando en el paso 1 con la columna siguiente.

6. Métodos de Eliminación
Ejemplo:
Gauss-Jordan

7. Métodos de Eliminación
Gauss-Jordan

8. Métodos de Eliminación
Descomposición LU
Se basa en la descomposición de la matriz original de coeficientes
(A) en el producto de dos matrices (L y U). Esto es: A=LU, siendo L la
Matriz Triangular Inferior y U la Matriz Triangular Superior con todos los
elementos de la diagonal principal iguales a 1.
PASOS:
1. Descomposición LU: A se factoriza en matrices
triangulares inferior L y superior U.
2. Sustitución: L y U se usan para determinar una
solución X para un lado derecho b. Primero se genera
un vector intermedio Y mediante la sustitución hacia
delante. Después el resultado se sustituye en la
ecuación para obtener mediante sustitución hacia
atrás el valor de X.

9. Métodos de Eliminación
Ejemplo:
Descomposición LU

10. Métodos de Eliminación
Descomposición LU

11. Métodos de Eliminación
Factorización De Cholesky
Una matriz simétrica definida positiva puede ser descompuesta
como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la
matriz triangular inferior. La matriz triangular inferior es el triángulo de
Cholesky de la matriz original positiva definida. El resultado de
Cholesky ha sido extendido a matrices con entradas complejas. Es
una manera de resolver sistemas de ecuaciones matriciales y se
deriva de la factorización LU con una pequeña variación.
Ejemplo:

12. Métodos de Eliminación
Factorización de QR, Householder
La Factorización QR
Dada una matriz cuadrada y no singular A de orden n x n,
entonces existe una matriz ortogonal Q y una matriz triangular
superior R tal que A = QR; esta es llamada la factorización QR de A.
Si la matriz A no es cuadrada y de orden m x n con m mayor que n
entonces:
donde R1 es una matriz triangular inferior de orden n x n y 0 es una
matriz de ceros de orden (m-n) x n.
Si la matriz A es de orden m x n con m menor que n entonces
A = QR = (R1 S); donde S es un matriz de orden (n-m) por m.
Existen tres métodos de obtener la factorización QR y uno de
ellos es Transformaciones Householder.

13. Métodos de Eliminación
Factorización de QR, Householder
Transformaciones Householder y la factorización QR
Una matriz de la forma:
es llamada una matriz Householder, donde I es la matriz identidad y
u es un vector no nulo.
Propiedades de la matriz H:
a) |Hx|2=|x|2 para todo vector x. Es decir, la matriz Householder no
cambia la longitud del vector.
b) H es una matriz ortogonal.
c) H2= I
d) Det(H)=-1.

14. Métodos de Eliminación
Método De Gauss Seidel
Este método utiliza valores iniciales y después itera para obtener
estimaciones refinadas de la solución. Es un método indirecto, puesto
que después de tener la aproximación inicial, se repite el proceso
hasta alcanzar la solución con un margen de error tan pequeño como
se desee.
La fórmula utilizada para hallar los xi viene dada por el despeje de
cada una de las xi en cada una de las ecuaciones. Los nuevos
valores de xi sustituyen de inmediato a los valores anteriores y los
cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevo valor xi
depende de los valores actualizados de x1, x2, ..., xi-1.
La desventaja de este método es que no siempre converge a la
solución exacta o algunas veces los hace de manera muy lenta.
Únicamente es confiable para aquellos sistemas dominantes
diagonalmente.
.

15. Métodos de Eliminación
Método De Gauss Seidel
Ejemplo:

16. Métodos de Eliminación
Es el método más simple y se aplica sólo a sistemas cuadrados, es
decir a sistemas con tantas incógnitas como ecuaciones.
PASOS:
1. Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para ello se ordenan
las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se despeja la
incógnita i. En notación matricial se escribirse como:
x = c + Bx
donde x es el vector de incógnitas.
2. Se toma una aproximación para las soluciones y a ésta se le designa
por xo
3. Se itera en el ciclo que cambia la aproximación
xi+1 = c + Bxi
Método de Jacobi

17. Métodos de Eliminación
Método de Jacobi
Ejemplo:
Matriz A:
D: matriz diagonal.
L: matriz triangular inferior.
U: matriz triangular superior.

18. FIN