3. X
Apabila terdapat fungsi F x yang
dapat didefinisikan pada integral.
sedemikian hingga dF x
F' x f x
dx Sifat-Sifat Umum Integral Tertentu
maka anti turunan dari F x adalah Rumus-Rumus Pengintegralan Tak Tentu
Pengintegralan Fungsi Trigonometri Tentu
Fungsi Trigonometri dg Peubah Sudut(ax+b
F x C dengan konstanta sembarang. Sifat Fungsi Trigonometri
Integral Substitusi
Contoh soal
Integral Parsial
3
Tentukan integral dari fungsi f x 4x Luas Daerah Dibawah Kurva
Luas daerah yg dibatasi kurva y=f(x),
Sumbu x, garis x=a dan x=b
Jawab Luas Daerah Antar 2 Kurva
Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu x
4
Jika fungsi f x x diturunkan , maka F ' x f x 4 xV3olume Benda Putar Mengelilingi Sumbu y
Volume Benda Putar Suatu
Daerah Antara 2 Kurva
MENU
4. Sifat-Sifat Umum Integral Tertentu
b b b
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx
a a a
b b b
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx
a a a
c b b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx,
a c a
untuk a<c<b
CONTOH
5. Contoh:
Hitunglah nilai dari integal-integral tentu
berikut ini
3 3
1 2 1 2 1 2 9
x dx x (3) (0)
0
2 0 2 2 2
3 3
1 2
( x 2)dx x 2x
2
2 2
1 2 1
(3) 2(3) ( 2) 2 2(2)
2 2
9 4 1
6 4
2 2 2
6. Rumus-Rumus Pengintegralan Tak Tentu
dx x c adx ax c
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx
n 1
x dx xn 1
c, dengan n bilangan rasional dan
n 1 n 1
a n
ax n dx x 1
c, dengan n bilangan rasional dan
n 1 n 1
7. Pengintegralan Fungsi Trigonometri Tentu
cos xdx sin x c
sin xdx cos x c
sec2 xdx tan x c
tan x. sec xdx sec x c
cot x. cosecxdx cosecx c
cosec 2 xdx cot x c
8. Fungsi Trigonometri dengan Peubah Sudut
(ax+b)
1
cos(ax b)dx sin(ax b) c
a
1
sin x(ax b)dx cos(ax b c)
a
2 1
sec (ax b)dx tan(ax b) c
a
9. Seperti pada integral fungsi aljabar, pada
fungsi integral trigonometri juga berlaku
sifat:
k f ( x) dx k f ( x) dx
[ f ( x) g ( x)] dx f ( x)dx g ( x)dx
CONTOH
10. Contoh:
1
cos 2 x dx sin 2 x c
2
2 2
x sin x dx x dx sin x dx
1 3
x cos x c
3
2 2
2 sec x dx 2 sec dx
2 tan x c
11. Integral Substitusi
du
1. Diubah ke dalam bentuk f u
dx
dx
2. Yang memuat bentuk a2 x2 , a2 x2 , x2 a2
bentuk a2 x 2 dx disubstitusikan dengan x=a sin Ѳ
bentuk a2 x 2 dx disubstitusikan dengan x= a tan Ѳ
bentuk x 2 a 2 dx disubstitusikan dengan x= a sec Ѳ
CONTOH
12. 1. Tentukn integral dari
Jawab
Misal u = 2x+5
Maka atau
Subtitusi u = 2x+5 dan , maka dapat diubah menjadi
=
=
=
13. 2. Carilah hasil integral dari
Jawab:
Sehingga
Misalkan x = 2 sin t
x = 0 → 2 sin t = 0 → t = 0 = =2
x = 2 → 2 sin t = 2 → t =
x = 2 sin t → dx = 2 cos t 2
dt =2
= = 2
= =2
= 2 =
= 2 cos t
14. Integral Parsial
Integral Parsial digunakan apabila soal Integral tidak dapat
diselesaikan dengan Integral Substitusi.
Jika y = u . v , maka:
dy = v du + u dv Jadi,Rumus Integral Parsial
u dv = dy – v du
CONTOH
15. Tentukan hasil dari sinx dx
Jawab:
sin x dx
misal: u = x → du = dx
dv = sin x dx → v = -cos x
dv = u . v - du
sin x dx = x (-cos x) - dx
= -x cos x + dx
= -x cos x + sin x + c
16. Penggunaan Integral Tentu
A. LUAS DERAH
b
L f ( x) dx
a
1. Luas daerah dibawah kurva
Menghitung luas daerah dibawah kurva
Rumus teorema dasar integral
b b
f ( x)dx f ( x) f (b) f (a)
a a
b
Notasi kurung siku) a
f (x
Bentuk f(b)-f(a) dapat ditulis dengan notasi khusus
CONTOH
17. 2. Luas daerah yang dibatasi kurva y=f(x),
sumbu x dan garis-garis x=a dan x=b
dapat ditentukan oleh integral tertentu .
b b
f ( x)dx f ( x) f (b) f (a)
a a
-a dan b masing-masing disebut
batas bawah dan batas atas
pengintegralan
-interval (a,b) disebut wilayah
pengintegralan
CONTOH
18. 3. Luas daerah antara 2 kurva
b
L1 f ( x) dx
a
b
L2 g ( x) dx
a
Sehingga luas daerah yang dibatsi oleh kurva
y=f(x), kurva y=g(x) garis x=a dan garis x=b
ditentukan dengan rumus:
b
f ( x) g ( x) dx
a
CONTOH
19. B. Volum benda putar
1. Volum benda putar mengelilingi sumbu x
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x),
sumbu x dan garis-garis x=a dan x=b diputar
sejauh 360 mengelilingi sumbu x, maka volum
atau isi benda putar yang terjadi dapat
ditentukan.
Dengan rumus:b b 2
2
y dx f ( x) dx
a a
CONTOH
20. 2. Volum benda putar mengililingi sumbu y
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x=g(y),
sumbu y dan garis-garis y=c dan y=d diputar
sejauh 360 mengelilingi sumbu y, maka
volum atau isi benda putar yang terjadi
dapat ditentukan.
Dengan rumus: 2
d d
2
x dy g ( y ) dy
c c
CONTOH
21. 3. Volum benda putar suatu daerah
antara 2 kurva
1. Diputar mengelilingi sumbu x
Rumus yang dipakai adalah
b b
2 2 2 2
f ( x) g ( x) dx ( y1 y2 )dx
a a
22. 2. Diputar mengelilingi sumbu y
Rumus yang digunakan adalah
d d
2 2 2 2
f ( y) g ( y) dy ( x1 x2 )dy
c c
CONTOH
23. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y x 2 6 x dan sumbu x!
Jawab:
Batas belum diketahui, dicari dengan:
y x 2 6 x, y 0
x2 6x 0
x ( x 6) 0 6 0
x 0 x 6 L x 2 6 x dx atau L x 2 6 x dx
0 6
6
L x 2 6 x dx
0
3 6
x 6 2 63 6 2
x .6 0 36satuan luas
3 2 0
3 2
24. Carilah luas daerah antara y 2x x2 dengan sumbu x!
Jawab:
Batas belum diketahui, maka dicari dengan:
y 2 x x 2 dan y 0
0 2x x2
0 x(2 x)
x 0 x 2
2 2
1 3
L 2 x x 2 dx x2 x
0
3 0
2 1 3 2 1 3 1
2 .2 0 .0 1 satuan luas
3 3 3
25. Carilah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x2 x dan y 5 x x 2 !
Jawab: y y
Batas:
x2 x 5x x 2
2x2 6x 0
x 0 x 3
Untuk menggambar:
3 3
>> y x2 x
L 5x x2 x2 x dx 6x 2 x 2 dx
0 x2 x 0 0
0 x( x 1) 3 3
6 2 2 3 2 3
x 0 x 1 x x 3x 2 x
2 3 0 3 0
>> y 5x x 2
2 3 2 3
0 5x x 2 3.32 .3 3.0 2 .0
3 3
0 x(5 x)
9 0 9 satuan luas
x 0 x 5
26. Tentukan isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y 2x x2
Dan sumbu x, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°!
Jawab:
b 2
2 2 2
V y dx 2x x dx
a 0
2 2
2 3 4 4 3 4 4 1 5
4x 4x x dx x x x
0
3 4 5 0
4 3 4 4 1 5 4 3 4 4 1 5
2 2 2 0 0 0
3 4 5 3 4 5
16 16
0 satuan volume
15 15
27. Daerah yang dibatasi ole y=3x, y=1, y=2, dan sumbu y, diputar mengelilingi sumbu y.
Tentukan volume benda yang terjadi!
Jawab: y 3x
y
x
3
2
V x 2 dy
1
2 2 2 2
y y2
dy dy y 2 dy
1
3 1
9 9 1
2 3
1 3 1 3 1 3 8 1
. y .2 .1
9 3 1 9 3 3 9 3 3
7
satuan volume
27
28. Hitunglah volume benda yang terjadi jika daerah dua kurva y x2 , y x 2
diputar mengelilingi sumbu x!
Jawab:
2
2
V x 2 x 2 2 dx
1
2
x 2 4 x 4 x 4 dx
1
2
1 3 1
x 2 x 2 4 x x5
3 5 1
1 3 32 1 1
2 2.4 4.2 2 4
3 5 3 5
2
14 satuan volume
5
