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Teoremas da Incompletude de Gödel

  1. 1. Teoremas da Incompletude de G¨del o Teoremas da Incompletude de G¨del o Helio H. L. C. Monte-Alto Anderson da Silva Marcolino Lucas de Oliveira Teixeira 2012 1 / 28
  2. 2. Teoremas da Incompletude de G¨del o Sum´rio aSum´rio I a 1 Sum´rio a 2 Vis˜o geral a 3 Defini¸˜es co 4 Demonstra¸˜o ca 5 Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos ca 2 / 28
  3. 3. Teoremas da Incompletude de G¨del o Vis˜o geral aVis˜o geral a Kurt G¨del o Matem´tico austr´ a ıaco Desenvolveu os dois teoremas da incompletude em 1931 Matem´tica no in´ do s´culo XX a ıcio e Positivismo Acreditava-se que seria poss´ encontrar um conjunto de ıvel axiomas completo e consistente para toda matem´tica a Segundo problema de Hilbert: provar que a aritm´tica ´ e e consistente Os teoremas da incompletude s˜o largamente aceitos como a uma resposta negativa a este problema 3 / 28
  4. 4. Teoremas da Incompletude de G¨del o Vis˜o geral aTeoremas - Vis˜o geral a Defini¸˜o informal: ca 1 Qualquer teoria axiom´tica recursivamente enumer´vel e a a capaz de expressar aritm´tica elementar n˜o pode ser, ao e a mesmo tempo, consistente e completa. 2 Para qualquer teoria formal recursivamente enumer´vel T que a inclui verdades aritm´ticas b´sicas e tamb´m certas verdades e a e da teoria da prova, se T inclui uma afirma¸˜o de sua pr´pria ca o consistˆncia, ent˜o T ´ inconsistente e a e 4 / 28
  5. 5. Teoremas da Incompletude de G¨del o Defini¸oes c˜Defini¸oes c˜ Um sistema ´ consistente se n˜o ´ poss´ deduzir e a e ıvel contradi¸˜es a partir de seus axiomas. co Um sistema ´ completo se ´ de poss´ deduzir todas as e e ıvel f´rmulas verdadeiras a partir de seus axiomas. o Uma teoria axiom´tica ´ uma teoria baseada num conjunto de a e axiomas a partir dos quais s˜o deduzidos teoremas utilizando a procedimentos bem definidos. Em s´ıntese, G¨del provou que, se a aritm´tica ´ consistente, ent˜o o e e a ´ incompleta. e 5 / 28
  6. 6. Teoremas da Incompletude de G¨del o Demonstra¸˜o caDemonstra¸˜o ca Princ´ ıpio: auto-referˆncia e Reescrita de um sistema formal utilizando a linguagem dos n´meros naturais u Exemplo: Problema de Smullyan 6 / 28
  7. 7. Teoremas da Incompletude de G¨del o Demonstra¸˜o caProblema G¨deliano de Smullyan o Seja um programa que imprime cadeias com os seguintes s´ ımbolos ¬, I , N, (, ) Uma cadeia X ´ imprim´ se o programa pode imprimi-la. e ıvel Supomos que o programa imprimir´, mais cedo ou mais tarde, a todas as cadeias imprim´ ıveis. A norma de uma cadeia X ´ a cadeia X (X ). e Uma senten¸a ´ uma cadeia de uma das quatro formas abaixo: c e 1 I (X ) 2 IN(X ) 3 ¬I (X ) 4 ¬IN(X ) onde X ´ uma cadeia. e 7 / 28
  8. 8. Teoremas da Incompletude de G¨del o Demonstra¸˜o caProblema G¨deliano de Smullyan o Seja a senten¸a ¬IN(¬IN). c Por defini¸˜o, esta senten¸a ´ verdadeira se e somente se a norma ca c e da cadeia ¬IN n˜o ´ imprim´ a e ıvel. No entanto, a norma de ¬IN ´ justamente a senten¸a ¬IN(¬IN), e c logo esta senten¸a ´ verdadeira se e somente se ela n˜o ´ c e a e imprim´ıvel. Temos duas hip´teses: o a senten¸a ´ imprim´ c e ıvel, mas falsa - contradi¸˜o, pois o ca programa s´ imprime senten¸as verdadeiras; o c a senten¸a ´ verdadeira, mas n˜o imprim´ c e a ıvel; 8 / 28
  9. 9. Teoremas da Incompletude de G¨del o Demonstra¸˜o caProblema G¨deliano de Smullyan o Analogia: O programa n˜o ´ capaz de imprimir todas as senten¸as a e c verdadeiras Um sistema formal possuir´ afirma¸˜es verdadeiras que n˜o a co a podem ser provadas 9 / 28
  10. 10. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos caProva usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos ca Os teoremas foram inicialmente provados para o sistema formal da aritm´tica (Aritm´tica de Peano) e e Prova mais gen´rica: utilizando Sistemas de Representa¸˜o e ca Abstratos (SRA) SRAs permitem representar sistemas de alta diversidade de estruturas sint´ticas a 10 / 28
  11. 11. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos caSistemas de Representa¸˜o Abstratos ca Um sistema de representa¸˜o abstrato (SRA) Z ´ uma s´tupla ca e e E, g , S, T , R, P, Φ onde E ´ um conjunto enumer´vel de elementos chamados de e a express˜es; o g ´ uma fun¸˜o de E em N, bijetora, chamada de enumera¸˜o de e ca ca G¨del; o S ⊆ E: senten¸as;c T ⊆ S senten¸as verdadeiras, ou teoremas; c R ⊆ S senten¸as falsas, ou anti-teoremas; c P ⊆ E ´ um conjunto de predicados un´rios; e a Φ, chamada de fun¸˜o de representa¸˜o, ´ uma fun¸˜o de E × N ca ca e ca em E, que atribui a cada express˜o H e n´mero natural n, a a u express˜o Φ(H, n), que ser´ abreviada por H(n). a a 11 / 28
  12. 12. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos caSistemas de Representa¸˜o Abstratos ca Figure : Sistemas Abstratos de Representa¸˜o (SRA). ca 12 / 28
  13. 13. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos caSistemas de Representa¸˜o Abstratos ca Exemplo: Teoria dos n´meros - N´meros primos u u Seja o predicado Primo. Ent˜o Φ(Primo, n) ´ a senten¸a Primo(n), lida como ”n ´ a e c e primo”. Supondo que n = 5 temos que Primo(5) ´ uma senten¸a e c verdadeira (Primo(5) ∈ T ) e que se n = 6 temos que Primo(6) ´ uma senten¸a falsa (Primo(6) ∈ R). e c 13 / 28
  14. 14. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos caSRAs - Consistˆncia e Completude e Seja Z = E, g , S, T , R, P, Φ um SRA. Dizemos que Z ´: e Consistente Se T ∩ R = ∅; Completo Se T ∪ R = S; Saturado Se Z ´ consistente e completo. e Z ´ completo se, e somente se, toda senten¸a de Z ´ decid´ em e c e ıvel Z 14 / 28
  15. 15. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos caDiagonaliza¸˜o, n´meros e senten¸as de G¨del ca u c o Diagonaliza¸˜o ca Seja Z um SRA e X uma express˜o de Z, cujo n´mero de G¨del ´ a u o e g(X). A express˜o Φ(X , g (X )) ´ a diagonaliza¸˜o ou norma de X. a e ca Caso X seja um predicado H, Φ(H, g (H)) ´ uma senten¸a, e c chamada de senten¸a diagonal, que denotamos por H(h). c N´meros de G¨del u o Seja Z um SRA e W ⊆ E. W ∗ ´ o conjunto dos n´meros de G¨del e u o das express˜es X cuja diagonaliza¸˜o Φ(X , Xγ ) ∈ W, isto ´: o ca e W ∗ = {Xγ |Xγ = g (X ) e Φ(X , Xγ ) ∈ W} 15 / 28
  16. 16. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos caDiagonaliza¸˜o, n´meros e senten¸as de G¨del ca u c o Figure : Diagonaliza¸˜o de duas express˜es: a de uma express˜o X ca o a qualquer e a de um predicado H. 16 / 28
  17. 17. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos caSenten¸as de G¨del c o Senten¸as de G¨del c o Seja X uma senten¸a e A um conjunto de n´meros. Dizemos que c u X ´ uma senten¸a de G¨del para A se e somente se X tem a e c o propriedade: X ∈ T ⇐⇒ Xγ ∈ A. Intuitivamente, uma senten¸a de G¨del afirma que o n´mero de c o u G¨del de um predicado satisfaz o predicado. o X ´ uma senten¸a de G¨del para um conjunto A de n´meros e c o u quando g (X ) (o significado de X em N) pertence ao conjunto A se e somente se este fato (sua pertinˆncia) ´ prov´vel no sistema, isto e e a ´, pertence a T . e 17 / 28
  18. 18. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos caSenten¸as de G¨del c o Exemplo - Analogia Conjunto das palavras que gozam da propriedade implicada por seu significado Ex: proparox´ ıtono ´ uma proparox´ e ıtona Vamos chamar as palavras que n˜o gozam dessa propriedade a de heterossignificantes. Pergunta: heterossignificante ´ heterossignificante? e 18 / 28
  19. 19. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos caSenten¸as de G¨del c o Exemplo - Analogia Conjunto das palavras que gozam da propriedade implicada por seu significado Ex: proparox´ ıtono ´ uma proparox´ e ıtona Vamos chamar as palavras que n˜o gozam dessa propriedade a de heterossignificantes. Pergunta: heterossignificante ´ heterossignificante? e ¸˜ CONTRADICAO!! 18 / 28
  20. 20. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos caSenten¸as de G¨del c o Senten¸as de G¨del c o Seja X uma senten¸a e W um conjunto de express˜es. Dizemos c o que X ´ uma senten¸a de G¨del para W se e somente se X tem a e c o propriedade: X ∈ T ⇐⇒ X ∈ W. Podemos concluir disso que todas as senten¸as de G¨del se c o encontram na regi˜o (T ∩ g −1 (A)) ∪ (S − (T ∪ g −1 (A))) a 19 / 28
  21. 21. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos caSenten¸as de G¨del c o Figure : Senten¸as de G¨del para W. c o 20 / 28
  22. 22. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos caSenten¸as de G¨del c o Primeiro lema da diagonaliza¸˜o ca Seja Z um SRA e W ⊆ E. Se W ∗ ´ represent´vel em Z ent˜o W e a a admite (existe) uma senten¸a de G¨del. Mais especificamente, se c o H ´ um predicado que representa W ∗ , ent˜o H(h) ´ uma senten¸a e a e c de G¨del para W . o 21 / 28
  23. 23. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos caSenten¸as de G¨del c o Primeiro lema da diagonaliza¸˜o ca Seja Z um SRA e W ⊆ E. Se W ∗ ´ represent´vel em Z ent˜o W e a a admite (existe) uma senten¸a de G¨del. Mais especificamente, se c o H ´ um predicado que representa W ∗ , ent˜o H(h) ´ uma senten¸a e a e c de G¨del para W . o Teorema 1 Seja Z um SRA. O conjunto T ∗ n˜o ´ represent´vel em Z. a e a Demonstra¸˜o: Suponha que T ∗ ´ represent´vel. Ent˜o existe um ca e a a predicado H que o representa em Z. Pelo Lema da diagonaliza¸˜o, ca H(h) ´ uma senten¸a de G¨del para T ∗ . Desse modo, H(h) ∈ T se e c o e somente se H(h) ∈ T , o que ´ um absurdo. Logo, T ∗ n˜o ´ e a e represent´vel. a 21 / 28
  24. 24. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos caSenten¸as de G¨del c o Figure : Senten¸as de G¨del para W. c o E se considerarmos W = R, quais seriam as senten¸as de G¨del c o para R? 22 / 28
  25. 25. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos caSenten¸as de G¨del c o Figure : Senten¸as de G¨del para W. c o E se considerarmos W = R, quais seriam as senten¸as de G¨del c o para R? Corol´rio a Seja Z um SRA. Ent˜o, toda senten¸a indecid´ ´ uma senten¸a a c ıvel e c de G¨del para R. o 22 / 28
  26. 26. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos caSenten¸as de G¨del c o Teorema ”Quase L´” a Seja Z um SRA. Se R∗ ´ represent´vel em Z, ent˜o Z ´ e a a e inconsistente ou incompleto. Demonstra¸˜o: Se R∗ ´ represent´vel ent˜o existe um predicado, ca e a a digamos H, que o representa. Pelo lema da diagonaliza¸˜o, H(h) ´ ca e uma senten¸a de G¨del para R. Assim, H(h) ∈ T ⇐⇒ H(h) ∈ R. c o Isto significa que: (i) H(h) ∈ T ∩ R e assim Z seria inconsistente ou (ii) H(h) ∈ T ∪ R e neste caso Z seria incompleto. / 23 / 28
  27. 27. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos caSenten¸as de G¨del c o Figure : As duas alternativas para um SRA. 24 / 28
  28. 28. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos caSistemas formais como SRAs Teorema 1F Seja Z uma SRAE. Se todo conjunto recursivo ´ represent´vel em e a Z, ent˜o Z ´ um sistema formal indecid´ a e ıvel. Demonstra¸˜o: Suponha que T fosse recursivo. Logo T tamb´m ca e seria recursivo. Ent˜o, T ∗ seria recursivo. Desta forma, T ∗ seria a represent´vel em Z, pela hip´tese do teorema, o que contraria um a o dos teoremas mostrados. 25 / 28
  29. 29. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos caSistemas formais como SRAs Teorema 2F Seja Z uma SRA. Se Z ´ um sistema formal indecid´ e ıvel, ent˜o Z ´ a e inconsistente ou incompleto. Demonstra¸˜o: Se Z ´ saturado (nega¸˜o do teorema), ter´ ambos ca e ca a T e R como conjuntos recursivamente enumer´veis e a complementares com respeito a S, portanto ambos T e R seriam recursivos e portanto Z decid´ ıvel. Logo Z ´ n˜o saturado, ou seja, e a inconsistente ou incompleto. 26 / 28
  30. 30. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos caTeorema final Primeiro Teorema de G¨del o Se um sistema formal Z ´ suficientemente poderoso para e representar todos os conjuntos recursivos, ent˜o Z ´ inconsistente a e ou incompleto. Demonstra¸˜o: Por hip´tese todo conjunto pode ser representado ca o em Z, ent˜o, pelo Teorema 1F, Z ´ indecid´ e, portanto, pelo a e ıvel Teorema 2F, Z ´ inconsistente ou incompleto. e 27 / 28
  31. 31. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos caConclus˜es o At´ hoje se especula as implica¸˜es dos Teoremas da e co Incompletude na matem´tica e na filosofia. a G¨del discute exaustivamente em seus trabalhos posteriores o quest˜es que variam, desde o conceito de inteligˆncia at´ a o e e existˆncia de Deus (argumento ontol´gico de G¨del). e o o Em teoria da computabilidade: os teoremas s˜o relacionados a a v´rios resultados a Stephen Cole Kleene (1947) mostrou que se a aritm´tica fosse e consistente e completa isto for¸aria o problema da parada a ser c decid´ ıvel, o que implica em uma contradi¸˜o. ca Sempre haver´ mais coisas que s˜o verdadeiras do que se a a pode provar; Todos os sistemas fechados dependem de suposi¸˜es feitas co fora do sistema e que n˜o podem ser provadas; a 28 / 28
  32. 32. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos ca [1] R. de Carvalho, Modelos de computa¸˜o e sistemas formais. ca DCC/IM, COPPE/UFRJ, NCE-UFRJ, 1998. [2] O. Goldreich, Computational complexity - a conceptual perspective. Cambridge University Press, 2008. [3] D. Hilbert, Mathematische Probleme, ser. Archiv der Mathematik und Physik, M. W. English Translation, Ed. Bulletin of the American Mathematical Society 8, 1901, vol. 3, no. 1. [Online]. Available: http://aleph0.clarku.edu/∼djoyce/hilbert/problems.html [4] J. Hopcroft, R. Motwani, and J. Ullman, Introduction to automata theory, languages, and computation. Addison-wesley Reading, MA, 1979, vol. 2. [5] S. Kleene, Mathematical logic. Dover publications, 2002. 28 / 28
  33. 33. Teoremas da Incompletude de G¨del o Prova usando Sistemas de Representa¸˜o Abstratos ca [6] M. Sipser and R. de Queiroz, Introdu¸˜o ` teoria da ca a computa¸˜o. Thomson Learning, 2007. ca [7] R. Smullyan, Five Thousand BC and Other Philosophical Fantasies. St. Martin’s Press, 1983. [8] A. Whitehead and B. Russell, Principia mathematica. University Press, 1912, vol. 2. 28 / 28

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