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Mat 9

  1. 1. CadernoCaderno Material do professoreducacionaleducacional Material do professor Material do professor Ciências MATEMÁTICA ciências 9 Material de apoio Material de apoio o ano
  2. 2. ExpedienteMarconi Ferreira Perillo JúniorGovernador do Estado de GoiásThiago Mello Peixoto da SilveiraSecretário de Estado da EducaçãoErick Jacques PiresSuperintendente de Acompanhamento de Programas InstitucionaisRaph Gomes AlvesChefe do Núcleo de Orientação PedagógicaValéria Marques de OliveiraGerente de Desenvolvimento CurricularGerência de Desenvolvimento CurricularElaboradoresAbadia de Lourdes da CunhaAlexsander Costa SampaioAline Márcia dos SantosCarlos Roberto BrandãoDeusite Pereira dos SantosInácio de Araújo MachadoJúnior Marques CarneiroLidiane Rodrigues da MataMárcio Dias de LimaMarlene Aparecida FariaMônica Martins PiresRegina Alves Costa FernandesSilma Pereira do Nascimento Vieira
  3. 3. SumárioApresentação...............................................................................................................................................5Aula 01 Conjunto dos Números Naturais (N )........................................................................7Aula 02 Conjunto dos números inteiros (Z ) – Operações............................................10Aula 03 Conjunto dos Números Racionais (Q ) – Frações..............................................14Aula 04 Conjunto dos números racionais (Q ) Números Decimais – Operações..................................................................................................19Aula 05 Conjunto dos números racionais (Q ): Equivalência de frações..................23Aula 06 Conjunto dos números racionais (Q ) – Conversão..........................................27Aula 07 Conjunto dos Números Irracionais.........................................................................30Aula 08 Conjunto dos Números Reais (R ) ..........................................................................32Aula 09 Os números racionais na reta numérica...............................................................35Aula 10 Potenciação: Definição................................................................................................37Aula 11 Potenciação: Propriedades........................................................................................41Aula 12 Potência com expoente negativo...........................................................................43Aula 13 Potenciação: expressões numéricas.......................................................................46Aula 14 Decomposição em fatores primos..........................................................................48Aula 15 Radiciação: Definição / Extração de raiz...............................................................50Aula 16 Radiciação (propriedades).........................................................................................55Aula 17 Radiciação inexata .......................................................................................................58Aula 18 Relacionando potências e radicais..........................................................................60Aula 19 Resolução de situações problema envolvendo números R .........................62Aula 20 Exercícios – números Reais........................................................................................64Aula 21 Rotação de polígonos – Propriedades..................................................................66Aula 22 Reflexão de polígonos – Propriedades..................................................................70Aula 23 Translação de polígonos – Propriedades.............................................................75Aula 24 Plano Cartesiano Ortogonal......................................................................................79Aula 25 Construção de polígonos no plano cartesiano..................................................83Aula 26 Exercícios envolvendo polígonos............................................................................88Aula 27 Circunferência e círculo: Definição e diferenças...............................................90Aula 28 Razão I................................................................................................................................94Aula 29 Razão II (situações problema envolvendo razões em porcentagens) ����100Aula 30 Proporção ......................................................................................................................104
  4. 4. Aula 31 Proporção – Propriedade..........................................................................................111Aula 32 Exercícios envolvendo razão e proporção.........................................................117Aula 33 Perímetro de polígonos diversos...........................................................................118Aula 34 Área de polígonos: quadrados e retângulos....................................................123Aula 35 Área de polígonos – Triângulos.............................................................................126Aula 36 Área de polígonos: paralelogramo.......................................................................131Aula 37 Área de polígonos: trapézio....................................................................................135Aula 38 Área de polígonos: pentágono e hexágono.....................................................138Aula 39 Área de superfície de figuras não planas: cubo, cilindro e paralelepípedo..........................................................................................................142Aula 40 Exercícios envolvendo a área de superfície de figuras não planas: cubo, cilindro e paralelepípedo, aplicados em avaliações externas........146Aula 41 Leitura de gráficos e tabelas...................................................................................150Aula 42 Construir tabelas de dados estatísticos..............................................................155Aula 43 Construir gráficos de frequência de dados estatísticos – coluna.............161Aula 44 Construção de gráficos de frequência de dados estatísticos – barra �����166Aula 45 Construção de gráficos de frequência de dados estatísticos – setores..........................................................................................................................172Aula 46 Conclusões com base na leitura de gráficos.....................................................177Aula 47 Relacionar gráficos com tabelas............................................................................181Aula 48 Relacionar tabelas com gráficos............................................................................187Aula 49 Conclusões com base na leitura de tabelas......................................................195
  5. 5. Apresentação O Governo do Estado de Goiás, por meio da Secretaria de Estado da Edu-cação (SEDUC), criou o “Pacto pela Educação com o objetivo de avançar na ”oferta de um ensino qualitativo às crianças, jovens e adultos do nosso Estado.Assim, busca-se adotar práticas pedagógicas de alta aprendizagem. Dessa forma, estamos desenvolvendo, conjuntamente, várias ações, dentreelas, a produção deste material de apoio e suporte. Ele foi concebido tendo porfinalidade contribuir com você, professor, nas suas atividades diárias e, tam-bém, buscando melhorar o desempenho de nossos alunos. Com isso, espera-seamenizar o impacto causado pela mudança do Ensino Fundamental para oMédio, reduzindo assim a evasão, sobretudo na 1ª série do Ensino Médio. Lembramos que a proposta de criação de um material de apoio e suportesempre foi uma reivindicação coletiva de professores da rede. Proposta estaque não pode ser viabilizada antes em função da diversidade de Currículos queeram utilizados. A decisão da Secretaria pela unificação do Currículo paratodo o Estado de Goiás abriu caminho para a realização de tal proposta. Trata-se do primeiro material, deste tipo, produzido por esta Secretaria,sendo, dessa forma, necessários alguns ajustes posteriores. Por isso, contamoscom a sua colaboração para ampliá-lo, reforçá-lo e melhorá-lo naquilo que forpreciso. Estamos abertos às suas contribuições. Sugerimos que este caderno seja utilizado para realização de atividades den-tro e fora da sala de aula. Esperamos, com sua ajuda, fazer deste um objeto deestudo do aluno, levando-o ao interesse de participar ativamente das aulas. Somando esforços, este material será o primeiro de muitos e, com certeza,poderá ser uma importante ferramenta para fortalecer sua prática em sala deaula. Assim, nós o convidamos para, juntos, buscarmos o aperfeiçoamento deações educacionais, com vistas à melhoria dos nossos indicadores, proporcio-nando uma educação mais justa e de qualidade. A proposta de elaboração de outros materiais de apoio continua e a suaparticipação é muito importante. Caso haja interesse para participar dessas ela-borações, entre em contato com o Núcleo da Escola de Formação pelo e-mailcadernoeducacional@seduc.go.gov.br Bom trabalho! 5
  6. 6. MatemáticaAula 01Conjunto dos Números Naturais (N)Objetivo geral Relembrar as quatro operações (adição, subtração,multiplicação, divisão) do conjunto dos números naturais. O que devo aprender nesta aulaConceito básico u Reconhecer a aplicação dos números naturais e suas Os números naturais surgiram da necessidade de fazer diferentes formas de utilizaçãocontagens, portanto, fica claro que tal conjunto é formado no cotidiano.pelos números que utilizamos para contar. Representa-se u Reconhecer e aplicar aso conjunto dos números naturais por N : propriedades das operaçõesN = "0, 1, 2, 3, ... , com números naturais e percebê-las como facilitadoras na compreensão das técnicas A seguir faremos uma pequena revisão acerca das operatórias.operações de adição, subtração, multiplicação e divisão u Analisar, interpretar, formulartrabalhadas no conjunto N . e resolver situações problema em diferentes contextos sociais Adição: É a operação matemática que permite juntar e/ e culturais.ou acrescentar quantidades. Tais quantidades são chama­das termos ou parcelas. A operação 2 936 + 4 652 = 7 588indica uma adição. Subtração: É a operação matemática que permite retirar certa quantidade de outra. Taisquantidades, também, são chamadas termos ou parcelas. A operação 1527 – 1354 = 173 indicauma subtração. Multiplicação: É a operação matemática que permite adicionar quantidades iguais. Oresultado de uma multiplicação é chamado de produto. A operação 12 . 46 = 552 indica umamultiplicação. Divisão: É a operação matemática que permite repartir um número em quantidades iguais. Aoperação 1554 37 = 42 indica uma divisão.Propriedades importantes da adição e da multiplicação Quando trabalhamos com a adição ou a multiplicação de números naturais existem algumaspropriedades comuns que devem ser relembradas. São elas: Comutativa: A ordem das parcelas não altera o resultado final da operação. Adição: a + b = b + a Exemplo: 5 + 7 = 12 e 7 + 5 = 12, portanto, 5 + 7 = 7 + 5. 7
  7. 7. Matemática Multiplicação: a . b = b . a Exemplo: 5 . 7 = 35 e 7 . 5 = 35, portanto, 5 . 7 = 7 . 5 = 35. Associativa: O agrupamento das parcelas não altera o resultado. Adição: (a + b) + c = a + (b + c) Exemplo: (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 e 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10, portanto, (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) Multiplicação: (a . b) . c = a . (b . c) Exemplo: (3 . 4) . 2 = 12 . 2 = 24 e 3 . (4 . 2) = 3 . 8 = 24, portanto, (3 . 4) . 2 = 3 . (4 . 2) Observação: Quando temos uma expressão envolvendo parênteses, devemos realizar primei­ramente as operações contidas em seu interior.Expressão Numérica Na expressão numérica, os sinais de associação devem seguir a ordem: os parênteses ( ) devemficar dentro dos colchetes [ ], e estes, dentro das chaves { }. Nesse caso, deve-se efetuar primeiro as operações que estão entre parênteses, em seguida asoperações que estão nos colchetes e, finalmente, as que estiverem entre chaves. Em relação as operações matemáticas devemos obedecer a seguinte ordem: multiplicação e/ou divisão e, em seguida, adição e/ou subtração. Por exemplo: (I) 8+5.3= 8 + 15 = 23 ( II ) 15 + [(3 . 6 - 2) - (10 - 6 : 2) + 1] = 15 + [(18 - 2) - (10 - 3) + 1] = 15 + [16 - 7 + 1] = 15 + [9 + 1] = 15 + 10 = 25Atividades 01 Efetue cada uma das operações a seguir:a) 487 + 965b) 1238 – 6498
  8. 8. Matemáticac) 35 . 126d) 9114 : 62Sugestão de solução:a) 1452; b) 589; c) 4410; d) 147. 02 Calcule o valor das seguintes expressões numéricas:a) 50 – {15 + [16 : (10 – 2) + 5 . 2]} =b) 70 – [5 . (4 : 4) + 9] =c) 25 + {27 : 9 + [9 . 5 – 3 . (8 – 5)]} =d) 25 – [27 – (4 – 1 + 6 – 4)] =Sugestão de solução:a) 23; b) 56; c) 64; d) 3. 03 Resolva os probleminhas a seguir:a) Um pai deixou de herança para seus 3 filhos uma coleção com 3.216 selos de diversos países. Supondo uma divi- são equilibrada, quantos selos caberão a cada filho? (Desenvolva o algoritmo da divisão).b) Antônio recebe R$ 35,00 de mesada de seu pai. Quanto ele terá recebido depois de 1 ano e meio?c) Maria levou R$ 20, 00 para fazer compras no supermercado. Ela gastou R$ 5,00 com bolachas e chocolates e R$ 9,00 com produtos de limpeza. Quantos reais sobraram para Maria?d) Um funcionário precisa colocar 336 latas de refrigerantes em caixas de papelão. Se em cada caixa cabem 16 latas, quantas caixas serão necessárias para armazenar todas as latas de refrigerante?Sugestão de solução:a) 1 072 selos; b) R$ 630,00; c) R$ 6,00; d) 21 caixas. Desafio Sabendo que Tiago tem uma coleção composta por 396 figurinhas, responda: a) Se Tiago dividir suas figurinhas com seu primo Mateus em duas partes exatamente iguais, quantas figurinhas terá cada um? b) Se Tiago triplicar sua coleção a nova quantidade corresponderá a que valor? c) Caso o pai de Tiago lhe dê mais 89 figurinhas qual será a nova quantidade obtida por ele? d) Se Tiago der 129 figurinhas a Lucas, quantas figurinhas lhe sobrarão? Sugestão de solução: a) 198; b) 1 188; c) 485; d) 267. 9
  9. 9. MatemáticaAULA 02Conjunto dos númerosinteiros (Z) – OperaçõesObjetivo Geral Interpretar e resolver situações problema envolvendooperações com números inteiros. O que devo aprender nesta aulaConceitos Básicos u Reconhecer a importância das operações que envolvem O conjunto dos números inteiros ( Z ) encontra-se números reais, inclusivepresente em diversas situações do dia-a-dia, principalmente potenciação e radiciação, paraquando apresentam o envolvimento de números negativos. a resolução de problemas dos mais variados contextos sociaisÉ formado pela união do conjunto dos números naturais e culturais.com os seus simétricos em relação ao zero. Portanto, é u Utilizar as propriedades dasformado por números positivos e negativos: operações com números reais Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} como facilitadoras da resolução de situações problema. u Criar e resolver situações Dois números são ditos simétricos quando sua soma problema que envolvem números reais ampliando e for igual a zero. Portanto, dizemos que os números consolidando os significados negativos  (-1, -2, -3, ...) são simétricos dos números das operações adição, naturais, uma vez que: subtração, multiplicação, divisão, potenciação e 1 + (-1) = 0, 2 + (-2) = 0, 3 + (-3) = 0 radiciação.Operações com Números Inteiros As operações que envolvem os números inteiros requerem a utilização de regras matemáticasenvolvendo os sinais positivos (+) e negativos (–). Para isso é necessário que fique claro queoperação matemática está sendo desenvolvida: adição ou multiplicação.Adição de números inteiros É importante perceber que a expressão adição de números inteiros é utilizada quando há asequenciação de números positivos e negativos sem que haja as operações de multiplicação e/oudivisão. Para isso é importante observar se as parcelas à serem operadas possuem sinais iguais oudiferentes. Assim:10
  10. 10. Matemática  as parcelas possuírem sinais iguais o resultado final terá o mesmo sinal das parcelas e Se será obtido a partir da adição das mesmas, não importando se ambas forem positivas ou negativas. Observe: a) - 20 - 25 = - 45 b) 32 + 17 =+ 32 + 17 = + 49 = 49  as parcelas possuírem sinais diferentes o resultado final terá o sinal da parcela que Se possuir o maior valor absoluto e será obtido a partir da subtração das mesmas. Observe: a) - 25 + 45 =+^ 45 - 25h =+ 20 b) 38 - 51 =- (51 - 38) = - 13Multiplicação e ou divisão de números inteiros Para operarmos a multiplicação ou a divisão de dois números inteiros assim como na adição denúmeros inteiros inicialmente é necessário perceber o sinal das parcelas à serem operadas. Assim:  produto ou o quociente de duas parcelas que possuem o mesmo sinal é um número O positivo. a) (- 6) $ (- 18) =+ 108 = 108 b) (5) $ (9) = (+ 5) $ (+ 9) = + 45 = 45 c) (- 90) (- 15) =+ 6 = 6 d) (170) (17) = (+ 170) (+ 17) =+ 10 = 10  produto ou quociente de dois números de sinais diferentes é um número negativo. O a) (- 8) $ (+ 9) =- 72 b) (+ 7) $ (- 13) =- 91 c) (- 45) (+ 5) =- 9 d) (+ 100) (- 10) =- 10Atividades01 Uma microempresa representou em um gráfico seus resultados do segundo semestre do ano. 11
  11. 11. Matemática Atenção: Os números positivos indicam o lucro da empresa e os negativos indicam o prejuízo da empresa.Analisando os dados do gráfico responda:a) Em quais meses a microempresa teve lucro?b) Em quais meses a microempresa teve prejuízo?c) Em qual mês a microempresa apresentou o pior resultado? Porque?d) Qual foi o lucro médio nesses semestre?e) Contabilizando o lucro e o prejuízo total desta empresa nos seis meses apresentadas determine se a empresa terminou com saldo positivo ou negativo? Qual foi o montante deste saldo?Sugestão de solução:a) Nos meses de agosto, outubro e dezembro.b) Nos meses de julho, setembro e novembro.c) No mês de novembro.d) Lucro. 12 milhões.e) 2 milhões.12
  12. 12. Matemática 02 Observe o saldo bancário de Gabriel relativo aos meses de março a junho. Mês Saldo Março + R$ 800,00 Abril + R$ 250,00 Maio - R$ 150,00 Junho - R$ 950,00 Qual é o saldo do Gabriel ao final desses quatro meses?Sugestão de solução: - 50 reais 03 Imagine uma sequência numérica onde o primeiro termo é o número (–8). Então: a) Determine o segundo termo desta sequência sabendo que ele é o dobro do primeiro mais quatro. b) Determine o terceiro termo desta sequência sabendo que ele é igual ao triplo do primeiro termo menos dez. c) Determine o quarto termo desta sequência sabendo que ele é igual ao quádruplo do primeiro menos cinco. d) Determine o sexto termo desta sequência sabendo que ele é igual ao quíntuplo do primeiro dividido por menos quatro (-4).Sugestão de solução: a) -12; b) -34; c) -37; d) 10. 04 Em uma operação onde o resto é 0 e o dividendo é + 72 , o quociente é - 8. Qual é o divisor?Sugestão de solução: 9 Desafio Em um campeonato de damas ficou estabelecido o seguinte critério de pontuação: Vitória + 5 pontos Empate + 3 pontos Derrota - 2 pontos Paulo terminou a primeira fase do campeonato com 30 pontos e, na segunda fase atingiu 3 vitórias, 1 empate e 2 derrotas. Marcos, por sua vez, terminou a primeira fase do campeonato com 32 pontos e, na segunda fase atingiu 1 vitória, 2 empates e 3 derrota. 13
  13. 13. Matemática Responda: a) Quantos pontos Paulo e Marcos alcançaram, respectivamente, ao final da 2ª fase do campeo- nato? b) Quem foi o ganhador? Sugestão de solução: a) Paulo 44 pontos e Marcos 37 pontos. b) Paulo.Aula 03Conjunto dos Números Racionais (Q )FraçõesObjetivo Geral Compreender a ideia de fração (parte-todo), razão edivisão; O que devo aprender Efetuar cálculos e resolver situações problema que nesta aulaenvolvam as operações com números racionais na forma u Compreender as fraçõesfracionária. e utilizá-las em situações diversas.Conceito básico u Formular e resolver situações problema que envolva a Os números racionais são os que podem ser escritos na ideia de fração (parte-todo) eforma de fração a , em que a e b são números inteiros e b também de razão e divisão. b! zero. O conjunto dos números racionais (representado porQ ) é definido por: a Q=$ a ! Z ; b ! Z e b ! 0. b Em outras palavras, o conjunto dos números racionais é formado por todos os quocientes denúmeros inteiros a e b, em que b é não nulo. Exemplos: 3 (lê-se: três décimos) 0 (é o mesmo que 0 ) 10 114
  14. 14. Matemática 4 (lê-se: quatro quintos) - 3 (é o mesmo que - 3 ) 5 1 13 (lê-se: treze vinte avos) - - 8 (é o mesmo que 8 ) 20 5 5Fração Fração é a parte de um todo. Em sua representação há o numerador e o denominador.SignificadoNumerador Número colocado acima do traço que indica quantas partes daunidade foram tomadas.Denominador Número colocado abaixo do traço que indica em quantas partesiguais a unidade foi dividida. Exemplo 1: Observe a figura: Ela representa uma pizza dividida em 8 pedaços iguais. Cada pedaço representa uma fração da pizza, que é indicado por 1 . 8 Como foram colocados em destaque dois pedaços, podemos repre­ entá-los pela fração 2 . s 8 Exemplo 2: João pegou na biblioteca da escola um livro de 34 páginas para ler. Até o momento João leu22 paginas. Qual a fração que representa o número de páginas que João leu? Para a resolução do problema, temos que identificar o conjunto universo, que neste caso é ototal de páginas do livro, ou seja, 34. O total de páginas lidas por João é 22. Logo a fração correspondente às páginas lida será: 22 . 34 15
  15. 15. MatemáticaOperações com fraçõesAdiçao e subtração Dividiu-se um hexágono em 6 partes iguais e pintou-se de vermelho 2 dessas partes, e de rosa,outras 3, conforme figura abaixo. Nesta condição podemos dizer que 2 do hexágono está pintado de vermelho e 3 está pintadode rosa. 6 6 Assim, observando a figura temos que das 6 partes do hexágono, 5 estão pintadas. Logo podemos dizer que no total, 5 do hexágono está pintado. 6 2 +3 = 5 Concluímos que: 6 6 6 Na soma ou subtração de frações com denominadores iguais, basta conservar o denominadore operar os numeradores (somar ou subtrair). Exemplos: a) 3 + 8 = 11 (ou seja, 1 inteiro) b) 2 + 7 = 9 11 11 11 17 17 17 c) - 2 + 3 = 1 d) 5 - 3 = 2 6 6 6 9 9 9 e) 3 - 4 =- 1 5 5 5Multiplicação e divisão Observe a figura a seguir:16
  16. 16. Matemática Considerando o triplo da área pintada da figura acima teremos: 2 6 Assim, a parte pintada corresponde a 6 do retângulo. Logo, 3 $ = . 8 8 8 3 Lembre-se que todo numero inteiro pode ser escrito na forma de fração, assim 3 = . 1 Logo, 3 $ 2 = 6 , pois, 3 $ 2 = 6 . 1 8 8 1$8 8 O resultado de uma multiplicação entre duas frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores. Para dividir duas frações, temos que: O quociente de uma fração por outra é igual ao produto da primeira fração pelo inverso da segunda fração. Exemplos: 3 5 3 4 = 12 & 2 4 2 5 10 2 1 2 3 = 6 & 5 3 5 1 5Atividades01 Observe as figuras abaixo Que fração a parte pintada representa em cada figura? Escreva por extenso.Sugestão de soluçao: 17
  17. 17. Matemática 02 A mãe de Fabrício fez um delicioso bolo. Ela tinha uma dúzia de ovos, e, para fazer o bolo utilizou 4 ovos. Quefração representa os ovos que sobraram? Qual o denominador dessa fração? E o numerador?Sugestão de solução12 – 4 = 8A fração que representa os ovos que sobraram é: 8 . 12O denominador é 12, e o numerador é 8. 03 Calcule a) 1 2 = b) 2 3 = c) 3 5 = $ $ 5 4 3 5 2 6Sugestão de solução: 3 6 = 18 a) 1 2 = 2 $ b) 2 3 = 6 $ c) $ 5 4 20 3 5 15 2 5 10 04 Amanda tem 15 anos. A idade de sua prima é 2 de sua idade. 5 Quantos anos tem a prima de Amanda?Sugestão de solução: 2 de 15 = 15 : 5 = 3, 2 partes equivale a 6. 5 A prima de Amanda tem 6 anos. 05 Maurício leu 15 páginas de uma revista. Desse modo, Maurício leu 3 da revista. Quantas páginas tem a revis- 5ta de Maurício?Sugestão de solução: A revista tem 25 páginas. 06 Efetue a seguinte operação: $ $ 8 - ` + jB. = 2 1 6 2 3 a) 3 2 7 7 7Sugestão de solução: $ $ 8 - B. = 2 1 6 5 3 2 7 7 2 1 1 $ $ . = 3 2 7 2 1 = 2 14 = 28 $ 3 14 3 1 318
  18. 18. Matemática Desafio Marina ganhou certa quantia de dinheiro de sua mãe, dessa quantia ela gastou 2 comprando chocola- 5 tes. Do que sobrou, ela gastou 1 com pirulitos. 2 Que fração do dinheiro que Marina ganhou foi gasto com pirulitos? Sugestão de solução: 3 10Aula 04Conjunto dos números racionais (Q )Números Decimais – OperaçõesObjetivo Geral Operar com números decimais e resolver situaçõesproblema do cotidiano envolvendo as operações com O que devo aprendernúmeros decimais. nesta aula u Reconhecer a importânciaConceito básico das operações que envolvem Um número é dito decimal quando apresentar uma números reais, inclusive potenciação e radiciação, paravírgula em sua escrita. Por exemplo 3,7 . a resolução de problemas dos Para ler o número escrito na forma decimal mais variados contextos sociaisprimeiramente faz-se a leitura do número como se e culturais.não existe vírgula. Assim, no número 14,2 lê-se cento e u Utilizar as propriedades dasquarenta e dois. operações com números reais O passo seguinte é especificação da parte decimal. Para como facilitadoras da resolução de situações problema.isso basta seguir as seguintes orientações: u Criar e resolver situações  Se houver apenas um número após a vírgula será problema que envolvemusada a expressão décimos. números reais ampliando e consolidando os significados u 1,4 (lê-se: quatorze décimos) das operações adição,  Se houverem dois números após a vírgula será subtração, multiplicação, divisão, potenciação eusada a expressão centésimos. radiciação. u 1,13 (lê-se: cento e treze centésimos) 19
  19. 19. Matemática  Se houverem três números após a vírgula será usada a expressão milésimos. u 2,075 (lê-se: dois mil e setenta e cinco milésimos). É válido salientar que todo número escrito na forma de fração pode ser escrito como decimal.Para isso basta dividir o numerador pelo denominador. Veja os exemplos: 3 = - 11 =- 1, 22222....... 0, 3 10 9 4 = 71 = 0, 8 0, 71 5 100 13 = 8 = 0, 65 1, 6 20 5 Este processo é extremamente importante para auxiliar na localização de um número racionalna reta numérica. Para transformar um número decimal em uma fração decimal, escreve-se uma fração cujonumerador é o numero decimal sem vírgula, o denominador será o algarismo um (1) seguido detantos zeros quanto forem as casas decimais do número decimal dado. Exemplos: = 122 13 3 1, 22 0, 013 = 0, 3 = 100 1000 10 duas casas dois zerosComparando dois números decimais Para comparar dois números decimais é necessário, primeiramente, igualar as casas decimaisdos dois, acrescentando zeros á direita do número que possuir menor quantidade de algarismos.Em seguida, é preciso eliminar a vírgula de ambos. Após o desenvolvimento destas duas etapasfaz-se a comparação dos produtos finais. Exemplos: Vamos comparar os números 0,197 e 0,0987, usando os sinais: < (menor), > (maior) ou = (igual). 0, 0987 0, 1970 S S 4 casas acrescenta-se um zero para igualar as casas decimais com o outro número Elimina-se a vírgula dos dois números e os compara: 987 e 1970 " 987 < 1970. Logo, 0,0987 < 0,19720
  20. 20. MatemáticaOperações com números decimaisAdição e subtração Para somar ou subtrair dois números decimais, primeiramente, é preciso acrescentar quantoszeros forem precisos para igualar o número de casas decimais de ambos: 2, 7 + 3, 0456 2, 7 + 3, 0456 " 2, 7 + 3, 0 456 2, 7 000 + 3, 0456 S S " 3 casas a mais 3 casas completadas com o 0 Mesma quantidade de casas decimais ? 7 44 8 6 44 ? 4 4 2, 7000 + 3, 0456 O passo seguinte será a organização do algoritmo de forma que ambos fiquem com suasrespectivas vírgulas uma embaixo da outra. Vírgula debaixo de vírgula . 2, 7000 + 3, 0456 Desta forma realiza-se a operação identificada (adição ou subtração) colocando o resultadocom sua respectiva vírgula alinhada com as anteriores. Vírgula debaixo de vírgula . 2, 7000 + 3, 0456 5, 7456Multiplicação Para multiplicar dois números decimais primeiramente multiplica-se ambos omitindo avírgula do processo. 3, 21 # 2, 4 1284 642 + 7704 No resultado obtido coloca-se a vírgula na casa decimal correspondente ao resultado da somadas casas decimais das parcelas da multiplicação. 21
  21. 21. Matemática 3, 21 " Duas casas após a vírgula Total de três casas decimais # 2, 4 " Uma casa após a vírgula 1284 642 + 7 704 3, 21 # 2, 4 1284 642 + 7, 704Divisão O procedimento inicial para dividir dois números decimais assemelha-se ao utilizado na adiçãoe subtração de números decimais uma vez que é necessário igualar as casas decimais das parcelas. Assim, para dividir o número 4,7 pelo número 2,35 será necessário igualar a quantidade decasas decimais do primeiro número com a quantidade de casas decimais do segundo. Portanto, Mesma quantidade Uma casa Duas casas de casas decimais decimal decimais ? ? ? ? 4, 7 2, 35 " 4, 7 2, 35 " 4, 70 2, 35 " 4, 70 2, 35 A etapa seguinte consiste em eliminar as vírgulas de ambas as parcelas (dividendo e divisor) edesenvolver o algoritmo da divisão. 4, 70 2, 35 " 470 235Atividades 01 Efetue as operações a seguir: a) 2,47 + 0,0165 e) 32,51 + 0,4 b) 3 – 1,276 f) 13,31 – 2,3 c) 4 x 2,195 g) 5,2 x 2,3 d) 66 : 2,2 h) 4,50 : 1,5Sugestão de solução: a) 2,4865; b) 1,724; c) 8,78; d) 30; e) 32,91; f) 11,01; g) 11,96; h) 3.22
  22. 22. Matemática02 Dona Ângela foi ao supermercado fazer compras e levou consigo R$ 50,00. Comprou 3 latas de milho que custamR$ 1,15 cada uma, 1 pacote de macarrão que custa R$ 2,10 e 2 kg de carne que custam R$ 9,80 cada quilo. a) Quanto ela gastou no supermercado? b) Com o total do troco dona Ângela comprou 3,5 metros de tecido par fazer cortinas. Quanto custa o metro desse tecido?Sugestão de solução: a) R$ 25,15; b) R$ 7,10. 03 Uma fábrica de refrigerantes produz 55 litros de refrigerante por hora e deseja encher garrafas com 2,5 litroscada uma. Quantas garrafas serão utilizadas em uma hora?Sugestão de solução: 22 garrafas Desafio (UFRJ) Em uma viagem ao exterior o carro de um turista brasileiro consumiu, em uma semana, 50 galões de gasolina, a um custo total de 152 dólares. Considere que um dólar, durante a semana da viagem, valia 1,60 reais e que a capacidade do galão é de 3,8 L. Durante essa semana, o valor, em reais, de 1 L de gasolina era de: a) 1,28 b) 1,40 c) 1,75 d) 1,90 Sugestão de solução: Letra aAula 05Conjunto dos números racionais (Q ):Equivalência de fraçõesObjetivo geral Relembrar o conceito de frações equivalentes. 23
  23. 23. MatemáticaConceito básico Pode-se falar que duas ou mais frações são equivalentes O que devo aprender nesta aulase estas representam a mesma quantidade de uma grandeza. u Reconhecer a importância das operações que envolvem números reais, inclusive potenciação e radiciação, para a resolução de problemas dos mais variados contextos sociais e culturais. u Utilizar as propriedades das operações com números reais como facilitadoras da resolução de situações problema. u Criar e resolver situações problema que envolvem números reais ampliando e consolidando os significados Observe que nas duas figuras a parte pintada é a mesma. das operações adição, subtração, multiplicação,Daí, conclui-se que as frações 2 e 1 representam a divisão, potenciação e 4 2 radiciação.mesma quantidade, logo, são frações equivalentes, e podemser indicadas como: 2 = 1 , ou, 2 + 1 . 4 2 4 2 Portanto, dizemos que duas ou mais frações são equivalentes quando corresponderem àmesma quantidade. Exemplo: Ana e Maria ganharam duas pizzas do mesmo tamanho. Ana dividiu sua pizza em 8 partesiguais e comeu 4 delas. Maria dividiu a sua em 4 partes iguais e comeu duas partes. Quem comeumais pizza?24
  24. 24. Matemática A partir das ilustrações fica perceptível que 2 e 4 representam a mesma quantidade, logo, 4 8as frações são equivalentes. Podemos concluir, então, que ambas comeram a mesma quantidadede pizza. Para saber se duas frações são equivalentes, há um método extremamente simples: bastamultiplicar o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda fração e multiplicaro denominador da primeira fração pelo numerador da segunda fração. Se os resultados obtidosforem iguais conclui-se que as frações são equivalentes. Exemplos: Verifique se cada um dos pares de frações a seguir são equivalentes: a) 2 e 4 . 4 8 2 4 4 8 2$8 = 4$4 " 16 = 16 Como os resultados foram iguais (16 = 16) temos que as frações são equivalentes. Logo, 2 + 4 . 4 8 b) 9 e 6 . 12 8 9 6 12 8 9 $ 8 = 6 $ 12 " 72 = 72 Como os resultados foram iguais (72 = 72) temos que as frações são equivalentes. Logo, 9 + 6 . 12 8 c) 1 e 4 . 2 6 1 4 2 6 1$6 = 2$8 " 6=8 Como os resultados foram diferentes ( 6 ! 8 ) temos que as frações não são equivalentes. 25
  25. 25. MatemáticaSimplificação de frações Simplificar uma fração implica em dividir seus termos (numerador e denominador) por ummesmo número diferente de zero. É importante perceber que haverá situações em que os termosterão mais de um divisor comum. Por exemplo, a fração 18 onde tanto numerador como odenominador são múltiplos de 2, 3 e 6. 24 Por conta disso é importante simplificar a fração até que ela fique na sua forma irredutível,ou seja, até que não seja mais possível encontrar um número que divida seus termos ao mesmotempo. Exemplos: Simplifique as frações a seguir até sua forma irredutível: a) 60 2 = 30 3 = 10 5 = 2 90 2 45 3 15 5 3 84 2 = 42 3 = 14 7 = 2 b) 126 2 63 3 21 7 3Atividades 01 Simplifique cada uma das frações a seguir até torná-las irredutíveis. a) 54 b) 150 81 180 c) 512 d) 125 600 175Sugestão de solução: a) a) 2 5 64 5 ; b) ; c) ; d) . 3 6 75 7 02 Verifique quais dos pares de frações são equivalentes: a) 36 36 b) 36 50 e e 24 24 60 70 c) 100 e 400 d) 7 e 84 125 500 5 60Sugestão de solução: a) não; b) não; c) sim; d) sim. 03 Marque V se a afirmativa for verdadeira e F se a afirmativa for falsa. a) ( ) A fração 30 encontra-se em sua forma irredutível. 3526
  26. 26. Matemática b) ( ) As frações 86 56 são equivalentes. e 93 63 c) ( ) Se simplificar a fração 84 por 2 e o resultado obtido por 3, a nova fração será igual a 14 . 108 18 d) ( ) A forma irredutível da fração 136 é igual a 34 . 140 35Sugestão de solução: a) F; b) F; c) V; d) V. Desafio 7 Determine três frações equivalentes à forma irredutível . 9 14 21 35 Sugestão de solução: ; ; 18 27 45AULA 06Conjunto dos números racionais (Q ) –ConversãoObjetivo geral O que devo aprender Compreender e transformar fração em números nesta auladecimais e vice-versa. u Utilizar as propriedades das operações com números reais como facilitadoras da resoluçãoConceito básico de situações problema. Em nosso dia a dia nos deparamos com números u Criar e resolver situaçõesescritos na forma de fração e precisamos transformá-los problema que envolvemem números decimais para facilitar a resolução de diversas números reais ampliando esituações problema. consolidando os significados das operações adição, subtração, multiplicação, Exemplo 1: divisão, potenciação e Márcio passou R$10,00 para que seus 20 sobrinhos radiciação.dividissem em partes iguais. Quanto cada um ganhou? 27
  27. 27. MatemáticaSugestão de solução: Total em dinheiro: R$ 10,00 Quantidade de sobrinhos: 20 100 20 100 0, 5 0 Portanto, cada sobrinho ganhará R$ 0,50. Exemplo 2: Efetue a divisão e escreva na forma decimal 32 = 125 = a) 3, 2 b) 1, 25 10 100 5 = 28 = c) 0, 005 d) 0, 028 1000 1000 5 = e) 0, 005 1000Atividades 01 Represente a fração decimal 121 na forma decimal. 100Sugestão de solução: 1,21 02 Represente cada uma das frações na forma decimal. a) 2 b) 35 c) 518 10 10 10 d) 3 148 e) 68 f) 448 10 100 100 g) 2 634 h) 538 i) 5 114 100 1 000 1 000 j) 8 356 l) 4 761 m) 15 832 1 000 10 000 10 000Sugestão de solução: a) 0,2; b) 3,5; c) 51,8; d) 314,8; e) 0,68; f) 4,48; g) 26,34; h) 0,538; i) 5,114; j) 8,356; l) 0,4761; m) 1,5832.28
  28. 28. Matemática03 Represente os números decimais em frações: a) 0,3 = b) 5,3 = c) 6,99 = d) 0,654 = e) 4,336 =Sugestão de solução: a) 3 b) 53 c) 699 10 10 100 d) 654 e) 4 336 1 000 1 000 Desafio Observe as frações e suas respectivas representações decimais. I. 3 = 0, 003 1000 II. 2 367 = 23, 67 100 III. 129 = 0, 0129 10 000 267 = IV. 10 2, 67 Analisando as igualdades apresentadas, escolha a alternativa que expressa as representações corretas. a) I e II b) I e IV c) I, II e III d) I, II, III e IV Sugestão de solução Letra c. 29
  29. 29. MatemáticaAULA 07Conjunto dos Números IrracionaisObjetivo Geral Ampliar os conceitos sobre o conjunto dos números O que devo aprenderirracionais bem como suas operações. nesta aula u Reconhecer que a união dosConceito Básico números Racionais e Irracionais constitui o conjunto dos Os números irracionais são os números que não podem números Reais.ser representados pela divisão de dois inteiros; ou seja, são u Reconhecer um númeronúmeros reais, mas não são racionais. O conjunto dos irracional.números irracionais é representado por alguns autores u Criar e resolver situaçõespelo símbolo I . problema que envolve números irracionais. Sendo assim, representando a ideia expressa ante­ ior­ rmente em forma de diagrama temos: Exemplos de números irracionais. r , { , p , onde p é um número primo. Observação: a raiz quadrada de qualquer número primo é um número irracional.Atividades01 Observe os números escritos no quadro a seguir30
  30. 30. Matemática 4 3600 3 36 17 Quais desses números são racionais e quais são irracionais?Sugestão de solução Racionais: 4 = 2 ; 36 = 6 ; 3600 = 60 ; Irracionais: 3 ; 17 , pois 3 e 17 são primos. 02 O número irracional r está compreendido entre os números: a) 0 e 1 b) 1 e 2 c) 2 e 3 d) 3 e 4Sugestão de solução: d. 03 Considere a expressão: 3 2 -4 2 + 2 -3 3 Qual das alternativas corresponde ao resultado simplificado desta expressão? a) 0 b) 4 4 - 4 2 - 3 3 c) - 3 3 d) não tem como simplificar esta expressãoSugestão de solução: Letra c. Desafio Escreva quatro números irracionais que estejam compreendidos entre 1 e 10 Sugestão de solução Existem infinitos números irracionais entre 1 e 10, como exemplo, podemos citar um número bem famoso: r , 3, 14 ; 3 ; 5 ; 7 ; e 8. 31
  31. 31. MatemáticaAULA 08Conjunto dos Números Reais (R )Objetivo Geral Conhecer a definição conceitual de números reais O que devo aprender nesta aulaConceito Básico u Reconhecer que a união dos O conjunto dos números reais R é determinado números Racionais e Irracionaispela união do conjunto dos números racionais com o constitui o conjunto dos números Reais.conjunto dos números irracionais. u Identificar cada número real Como já estudamos nas aulas anteriores: com um ponto da reta e vice- N " simboliza o conjunto dos Números Naturais versa. N = "0, 1, 2, 3, 4, 5 ... , u Utilizar as propriedades das operações com números reais Z " simboliza o conjunto dos Números Inteiros como facilitadoras da resolução Z = "... , - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3... , de situações problema. u Criar e resolver situações Q " simboliza o conjunto dos Números Racionais problema que envolvem números 5 3 reais ampliando e consolidando Q = ... , - 3, - , - 2, - 1, 0, , 1, 2, 3... 1 2 5 os significados das operações adição, subtração, multiplicação, Observação: usaremos o símbolo I para representar o divisão, potenciação e radiciação.conjunto dos Números Irracionais Assim, I é o conjunto formado pelos números quenão podem ser representados na forma de uma fração, ou seja, não podem ser obtidos pela divisãode dois números inteiros. Então podemos falar que os irracionais são números decimais infinitose não periódicos. Exemplos: 2 , 3 , e r. R " simboliza o conjunto dos Números Reais R = Q,I Representando os conjuntos na formade diagrama temos:32
  32. 32. Matemática Na reta numérica o conjunto dos números reais pode ser representado da seguinte forma: Quando trabalhamos com operações no campo dos números reais nos retratamos das operaçõesrevisadas anteriormente no conjunto N, Z, I, Q e R . Veja o seguinte exemplo que retrata operações no campo dos números reais: Calcule e descubra o valor do resultado das seguintes operações: a) 3 3 + 2 3 = b) 0 + 1 = 18 = c) 3 $ 3 = d) 2Sugestão de solução 18 = a) 5 3 b) 1 c) 9 =3 d) 2 9 =3Atividades 01 Seja o conjunto B = " 3 , 13 , 16 , 25 , 30 , 64 , . a) Quais desses números são naturais? b) Quais desses números são racionais? c) Quais desses números são irracionais? d) Quais desses números são reais?Sugestão de solução a) 16 , 25 , 64 , pois são raízes quadradas exatas. b) 16 , 25 , 64 , pois todo número natural também é um número racional. c) 3 , 13 , 30 , são irracionais, pois se trata de raiz quadrada não exata. d) 3 , 13 , 16 , 25 , 30 , 64 , todo número racional ou irracional faz parte do conjunto dos números reais. 02 O valor numérico da expressão x2 – 3x + y + 9 para x = 6 e y = 5 indica a idade da professora Rita. Faça os cálculos e descubra quantos anos a professora Rita tem.Sugestão de solução Substituindo os valores de x e y na expressão temos: 33
  33. 33. Matemática x2 – 3x + y + 9 = 62 – 3.6 + 5 + 9 = 36 – 18 + 5 + 9 = 32. Portanto, a professora Rita tem 32 anos. 03 Indique corretamente a localização dos números reais a seguir na reta númérica: 3 r -3,4 - 1 -3 5 2Sugestão de solução Distribuindo esses números na reta numérica temos: 04 O número 51 é um número pertencente ao conjunto dos números a) naturais b) inteiros c) racionais d) reaisSugestão de solução Como já sabemos o número 51 não possui raiz quadrada exata, logo é um número irracional e todo número irracional pertence ao conjunto dos números reais. Alternativa d. Desafio Determine o que se pede na tabela a seguir: 01 Escreva cinco números naturais ( N ) 02 Escreva cinco números inteiros positivos ( Z+) 03 Escreva cinco números inteiros negativos ( Z- ) 04 Escreva cinco números Racionais ( Q ) 05 Escreva cinco números irracionais ( I ) 06 Escreva cinco números Reais ( R )34
  34. 34. MatemáticaAULA 09Os números racionais na reta numéricaObjetivo geral Possibilitar ao estudante a ampliação sobre o conjunto dos números racionais, relacionando-os com outros conjuntos e representando-os na reta numérica.Conceito básico Um número é dito racional quando puder ser escrito na O que devo aprender nesta aulafor­ma fracionária a , sendo a (numerador) e b (denominador) b u Identificar cada número realnúmeros inteiros e o b ser, obrigatoriamente, diferente de com um ponto da reta e vice-zero. Sendo assim, o quociente dessa divisão também será versa.denominado número racional. Portanto,  Todo número natural ( N ) é um número racional uma vez que qualquer natural n é escrito na forma n . 1 3 Ex: 3 = 1 e 15 = 15 . 1  Todo número inteiro ( Z ) é um número racional uma vez que qualquer inteiro n é escrito na forma n . 1 -7 - 26 7 Ex: - 7 = 1 =- 1 e - 26 = 1 =- 26 . 1  Todo número escrito na forma decimal, também, é um número racional, uma vez que todo número decimal pode ser escrito na forma ` a , com a e b ! Z, com b ! 0j . b Ex: 1, 8 = 18 e 0, 6 = 3 . 10 2 O conjunto dos números racionais é formado pelos números racionais positivos e negativos,juntamente com o zero. Este conjunto é representado pela letra ( Q ), por ser a letra inicial dapalavra quociente. 35
  35. 35. MatemáticaAtividades01 A professora Raquel escreveu os seguintes alguns números no quadro, conforme mostra a figura a seguir. Quais dos números escritos pela professora Raquel são racionais: a) inteiros? b) escritos na forma decimal? c) escritos na forma fracionária?Sugestão de solução a) 1, +4, +6 e 12 b) -2,1; 0,11 e +3,5 c) - 1 5 e+ 3 502 Escreva a quais conjuntos (IN, Z ou Q) pertencem os números: a) – 6 b) + 8 c) + 3 d) – 5,9 e) 32 5Sugestão de solução a) Z e Q b) IN, Z e Q c) Q d) Q e) IN, Z e Q03 Observe a reta numérica a seguir e indique: a) O ponto que corresponde ao número + 3 . 4 b) O número racional que corresponde ao ponto N. c) O número racional que corresponde ao ponto X. d) O ponto que corresponde ao número - 1 2 . 4 e) O ponto que corresponde ao número – 3.Sugestão de solução a) Z b) 7 ou 1 3 c) - 11 ou - 2 3 d) T e) X 4 4 4 436
  36. 36. Matemática Desafio Se necessário, troque ideias com seus colegas e complete a tabela com números racionais, substituindo o símbolo por números que tornam as igualdades verdadeiras. Sugestão de soluçãoAULA 10Potenciação: DefiniçãoObjetivo geral O que devo aprender nesta aula Recordar os conceitos de potenciação com expoenteinteiro não negativo e base real diferente de zero. u Reconhecer a importância das operações que envolvem números reais, inclusive potenciação eConceito básico radiciação, para a resolução de problemas dos mais variados a n = a $ a $ a $ ... $ a, a!R e n!Z contextos sociais e culturais. 1 44 2 44 3 4 4 u Utilizar as propriedades das n - vezes operações com números reais A potenciação é a operação matemática que envolve o como facilitadoras da resolução de situações problema.produto de fatores iguais. Denominaremos por u Criar e resolver situações a n ) potência a ) base n) problema que envolvem númerosexpoente. reais ampliando e consolidando os significados das operações adição, Numa potenciação, o expoente indica quantas vezes a subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.base será multiplicada. 37
  37. 37. Matemática Note que o expoente n é um número inteiro. Iremos trabalhar inicialmente com valorespositivos para n. Exemplo: Calcular o valor de 54. 5 4 = 5 $ 5 $ 5 $ 5 = 625Expoente maior que 1. Vejamos o exemplo: a) Calcular 25. 2 ) base 5 ) expoente 25 ) potência 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 ) fatores 25 = 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 = 32 Perceba que o expoente indica quantas vezes a base será multiplicada. b) Calcular ^- 5h3 ^- 5h ) base 3 ) expoente ^- 5h3 ) potência ^- 5h $ ^- 5h $ ^- 5h ) fatores ^- 5h $ ^- 5h $ ^- 5h = - 125 Observação: Professor, lembre-se nesse momento da importância de relembrar as operações com sinais.Expoente igual a 1. Como o expoente indica quantas vezes a base será multiplicada, então se o expoente é igual a1, a potência será igual à base. Vejamos os exemplos: 71 = 7 7 ) base 1 ) expoente 71 ) potência ^- 12h1 =- 12 ^- 12h ) base 1 ) expoente ^- 12h1 ) potência Deste modo, podemos afirmar que todo número elevado a é igual ao próprio número.Expoente igual a 0 Todo número não nulo elevado a zero é igual a 1.38
  38. 38. Matemática Exemplo: 20 = 1, 30 = 1 e 50 = 1. Vejamos como isso acontece: 26 = 64 36 = 729 56 = 15 625 2 25 = 32 35 = 243 55 = 3 125 2 24 = 16 34 = 81 54 = 625 2 23 = 8 33 = 27 53 = 125 2 22 = 4 32 = 9 52 = 25 Observe que quando o expoente é igual a 1, o resultado é a própria base, que pode ser obtido utilizando a mesma estratégia acima. 21 = 2 31 = 3 51 = 5 Seguindo o processo de divisão, concluímos que todo número não nulo elevado a zero é igual a 1. Não podemos esquecer que a base tem que ser diferente de zero uma vez que 00 gera uma indeterminação. 20 = 1 30 = 1 50 = 1Atividades 01 Calcule as seguintes potências: a) 24 b) (-3)2 c) (-5)1 d) 70 e) (-12)3 f) ` 3 j2 4 `- 2 j 4 `- 3 j 5 g) h) i) 1,24 5 10 j) -(-0,2)2 Sugestão de solução: a) 16; b) 9; c) -5; d) 1; e) -1 728; f) 9 ; g) 16 ; h) - 243 ; i) 1,44 j) -0,04 16 625 100 000 02 Uma das maneiras de obter a medida da área do quadrado é através da fórmula l2, onde l indica a medida doseu lado. Nessas condições, qual é a medida da área do quadrado, quando o lado mede a) 3 cm. b) 2,5 m. c) 3 km. d) 7 m. e) 9,3 m. 39
  39. 39. MatemáticaSugestão de solução: a) A = 9 cm2. b) A = 6,25 m2. c) A = 9 km2. d) A = 49 m2. e) A = 86,49 m2.03 Responda: a) Se a base tem sinal positivo e expoente par, qual será o sinal da potência? b) Se a base tem sinal positivo e expoente ímpar, qual será o sinal da potência? c) Se a base tem sinal negativo e expoente par, qual será o sinal da potência? d) Se a base tem sinal negativo e expoente ímpar, qual será o sinal da potência?Sugestão de solução Base Expoente Potência + Par + + Ímpar + – Par + – Ímpar – Desafio Márcio fez a seguinte proposta a seu filho Gustavo. Daria R$ 1,00 no primeiro mês e iria dobrando esse valor a cada mês, enquanto isso Gustavo daria a seu pai R$ 50,00, por mês. Ao final de 9 meses, quem terá recebido mais dinheiro? Quanto? Sugestão de solução: Pagamentos feitos a Gustavo por Márcio 1 mês 2 mês 3 mês 4o mês 5o mês o o o 6o mês 7o mês 8o mês 9o mês R$ 1,00 R$ 2,00 R$ 4,00 R$ 8,00 R$ 16,00 R$ 32,00 R$ 64,00 R$ 128,00 R$ 256,00 Portanto, Márcio pagou R$ 511,00 para Gustavo. Pagamentos feitos a Márcio por Gustavo 1 mês 2 mês 3 mês 4o mês 5o mês o o o 6o mês 7o mês 8o mês 9o mês R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 Portanto, Gustavo pagou R$ 450,00 para Márcio. Logo, Gustavo recebeu mais que Márcio R$ 61,00.40
  40. 40. MatemáticaAULA 11Potenciação: PropriedadesObjetivo geral Recordar as propriedades de potenciação com expoente inteiro não negativo e base realdiferente de zero.Conceito básico O que devo aprender Como podemos resolver 5 $ 5 $ 5 e apresentar o resulta­ o 3 2 4 d nesta aulaem forma de potência? u Reconhecer a importância das operações que envolvem Vamos lá. números reais, inclusive potenciação e radiciação, para 53 = 5 $ 5 $ 5 a resolução de problemas dos 52 = 5 $ 5 mais variados contextos sociais 54 = 5 $ 5 $ 5 $ 5 e culturais. Sabendo que o expoente indica quantas vezes a base será u Utilizar as propriedades das operações com números reaismultiplicada, então como facilitadoras da resolução de situações problema. u Criar e resolver situações problema que envolvem Portanto teremos nove vezes o valor 5, assim 5 $ 5 $ 5 = 5 . 3 2 4 9 números reais ampliando e consolidando os significados das operações adição,1ª propriedade: subtração, multiplicação, divisão, potenciação e Em um produto de potência de mesma base, devemos radiciação.conservar a base e somar os expoentes. Dado a ! R e n, m ! N , então a n $ a m = a n + m . Observe o seguinte quociente: 5 4 5 2 5$5$5$5 54 52 = 5$5 Simplificando os fatores comuns, 5 $5 $5$5 54 52 = 5 $5 Assim, 54 52 = 54 - 2 = 52 41
  41. 41. Matemática2ª propriedade: Em uma divisão de potência de mesma base, devemos conservar a base e subtrair os expoentes. n Dado a ! R* e n, m ! N , então a n a m = a n + m ou am = a n - m . a Uma outra situação é apresentada na propriedade a seguir: Calcule (23)4 ^23h4 = 23 $ 23 $ 23 $ 23 = 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 = 212 SSSS 3 3 3 3 2 2 2 2 Assim, ^23h4 = 23 $ 4 = 2123ª propriedade: Em uma potência, onde a base é uma potência, devemos conservar a base e multiplicar osexpoentes. Dado a ! R* e n, m ! N , então ^a nhm = a n - m .Exercícios01 Aplicando as propriedades, escreva o resultado na forma de uma só potência. a) 95 $ 93 b) ^- 4h2 $ ^- 4h $ ^- 4h3 c) 0, 5 $ 0, 52 $ 0, 53 d) `- 3 j3 $ `- 3 j2 $ `- 3 j5 $ `- 3 j1 5 5 5 5Sugestão de solução: a) 98 b) ^- 4h6 c) 0, 56 d) `- 3 j11 502 Aplicando as propriedades, escreva o resultado na forma de uma só potência. 3 a) 9 5 b) ^- 3h 2 9 ^- 3h2 `- 2 j 7 c) 5 d) 10 6 2 4 10 5 `- j 5Sugestão de solução: a) 93 b) -3 c) `- 2 j3 d) 10 542
  42. 42. Matemática03 Resolva as seguintes expressões: a) ^35h2 b) ^42h6 c) ^53h3 d) `` 2 j j 6 3 3Sugestão de solução: c) 59 d) ` 2 j 18 a) 310 b) 412 3 Desafio Simplificando a expressão ; E ^0, 0001h4 $ 1027 $ ^0, 01h5 6 100 3 $ ^0, 1h Obtemos como resultado: a) 10-6 b) 10-3 c) 10-2 d) 10 e) 103 Sugestão de solução: Alternativa d.AULA 12Potência com expoente negativoObjetivo geral Recordar os conceitos de potenciação com expoenteinteiro e base real diferente de zero. O que devo aprender nesta aula u Reconhecer a importância dasConceito básico operações que envolvem números reais, A professora Marina pediu para que seus alunos inclusive potenciação e radiciação, pararesolvessem o seguinte quociente: 53 5 4 . a resolução de problemas dos mais variados contextos sociais e culturais. Julieth resolveu de duas maneiras e perguntou a u Utilizar as propriedades dasprofessora qual era a maneira correta. operações com números reais como facilitadoras da resolução de situações Vejamos suas respostas. problema. 1º maneira: u Criar e resolver situações problema 53 5 $5 $5 que envolvem números reais ampliando 5 5 = 4 = 3 4 =1 e consolidando os significados 5 5 $5 $5 $5 5 das operações adição, subtração, 2ª maneira: multiplicação, divisão, potenciação e 53 = -1 radiciação. 53 5 4 = 5 54 43
  43. 43. Matemática A resposta da professora surpreendeu Julieth pois as duas estavam corretas. No estudo de potências, nos deparamos com expoente negativo. Vejamos como procedernesse caso: 23 = 8 33 = 27 53 = 125 2 22 = 4 32 = 9 52 = 25 2 21 = 2 31 = 3 51 = 5 2 20 = 1 30 = 1 50 = 1 2 1 = -1 1 1 2-1 = 2 31 = 5-1 = 2 3 5 2 1 = -2 1 1 2-2 = 2 3-2 = 5-2 = 2-2 32 52 2 1 1 1 2 = -3 = 2-3 -3 3-3 = 5-3 = 2 33 53 Assim quando o expoente é negativo e a base é um número real diferente de zero, então: 1 = ` 1 jn a- n = an a Exemplo: 1) Calcule cada uma das potências a seguir: 2 -4 a) 3-3 b) c 3 m d) `- 10 j -2 c) -^- 4h 2 - 12Sugestão de solução: a) 3-3 = 13 = 27 ; b) c 3 m = ` 3 j = 16 ; c) -^- 4h 2 = c- 1 m =- 16 ; d) `- 10 j = `- 12 j = 144 1 2 -4 81 1 4 2 -2 2 - 3 2 4 12 10 100Atividades01 Calcule as potências a seguir: b) `- 5 j c) 7-3 -2 a) - 4-2 2 1 -5 d) ` 10 j e) -^0, 3h-5Sugestão de solução: a) - 1 b) 4 c) 1 16 25 34344
  44. 44. Matemática d) 1000 000 e) -` 3 -5 = - 10 5 = - 100 000 j ` j 10 3 24302 Determine o valor da expressão: ^- 2h-3 - `- 2 j -3 5Sugestão de solução: 124 803 Calcule o valor de ^5 -1 + 3 -2h-2Sugestão de solução: 2 025 196 Desafio Os círculos a seguir estão empilhados formando um triângulo. Utilizando as propriedades da potenciação, calcule os valores de x, y e z, sabendo que o produto de cada lado é igual . Sugestão de solução: 45
  45. 45. MatemáticaAULA 13Potenciação: expressões numéricasObjetivo geral Trabalhar as propriedades da potenciação com expoenteinteiro e base real diferente de zero em expressões numéricas. O que devo aprender nesta aulaConceito básico u Reconhecer a importância das operações que envolvem Em muitos casos as operações matemáticas se misturam. números reais, inclusiveQuando nos deparamos com tais situações devemos tomar potenciação e radiciação, paracuidado com a ordem de resolução dessas operações. Assim, a resolução de problemas dos mais variados contextos sociaisprimeiramente levamos em conta a ordem de resolução de e culturais.parênteses, colchetes e chaves, respectivamente. Em paralelo, u Utilizar as propriedades dasdevemos respeitar a seguinte ordem: operações com números reais 1o resolvemos as potenciações e/ou radiciações; como facilitadoras da resolução de situações problema. 2o resolvemos as multiplicações e/ou divisões; u Criar e resolver situações problema que envolvem 3 resolvemos as adições e/ou subtrações. o números reais ampliando e consolidando os significados Exemplo: Calcule o valor da expressão numérica: das operações adição, subtração, multiplicação, "5 2 + 6^- 3h5 ^- 3h4 @3 + ^10 - 4 2h2 , divisão, potenciação e radiciação.Sugestão de solução: "25 + 6^- 3h5 - 4 @3 + ^10 - 16h2 , "25 + 6^- 3h1 @3 + ^- 6h2 , "25 + ^- 3h3 + 36 , "25 - 27 + 36 , "- 2 + 36 , 34Atividades01 Resolva as expressões numéricas a seguir: a) 32 - 25 23 b) 28 $ 23 - 53 $ 32 c) ^10-3 $ 105h 5246
  46. 46. MatemáticaSugestão de solução: a) 5 b) 923 c) 402 Gustavo resolveu corretamente a expressão a seguir ;c m E 5 2 -1 -2 2 -3 2 Qual foi o resultado encontrado por ele? a) 1 b) 25 c) 625 d) 1 25 e) 1 625Sugestão de solução: Alternativa C.03 Simplifique a expressão x a-2 $ x - a + 3 $ x a + 1 $ x 2a - 5Sugestão de solução: x 3a - 3 Desafio -3 2 +5 5 4 3 Qual é o resultado da expressão E = 32 . Sugestão de solução: 41 E= 72 . 47
  47. 47. MatemáticaAULA 14Decomposiçãoem fatores primos O que devo aprender nesta aulaObjetivo Geral u Reconhecer a importância Relembrar como decompor um número natural em das operações que envolvem números reais, inclusivefatores primos. potenciação e radiciação, para a resolução de problemas dos mais variados contextos sociaisConceito Básico e culturais. A princípio é válido ressaltar que todo número natural u Utilizar as propriedades dasmaior que 1 pode ser escrito como produto de dois ou operações com números reaismais fatores primos. Por exemplo, o número 50 pode ser como facilitadoras da resoluçãoescrito como o produto 2 x 5 x 5. de situações problema. Assim, para se determinar os fatores primos de um u Criar e resolver situaçõesnúmero natural, maior que 1, uma opção é proceder da problema que envolvem números reais ampliando eseguinte forma: consolidando os significados I) Divida o número especificado pelo menor número das operações adição,primo que resulte em uma divisão exata. Escreva o valor subtração, multiplicação, divisão, potenciação eobtido da divisão imediatamente abaixo do número a ser radiciação.decomposto. II) Repita o procedimento adotado no tópico anterior de forma iterativa (repetida) até chegarao resultado igual a 1(quociente igual a 1). Assim:48
  48. 48. Matemática III) Os valores (resultados) encontrados na coluna da direita serão os fatores primos do númeroem questão (300). Assim, o número 300 pode ser escrito como produto dos fatores obtidos: 300 = 2 . 2 . 3 . 5 . 5 = 22 . 3 . 52Atividades 01 Quais desses números abaixo são divisíveis por 2, 3, 4, 5 ou 6? a) 116 b) 30 c) 111 d) 60 e) 210 f) 405Sugestão de solução: 116 (2 e 4); 30 (2, 3, 5 e 6); 111 (3); 60 (2, 3, 4, 5 e 6); 210 (2, 3, 5 e 6); 405 (3 e 5). 02 Determine os fatores primos dos números naturais a seguir: a) 150 b) 93 c) 62 d) 768Sugestão de solução: a) 2 . 3 . 52; b) 3 . 31; c) 2 . 31; d) 28 . 3 03 Qual é o número cuja fatoração é: a) 2 . 33 . 5 . 7 b) 11 . 13 c) 23 . 5 . 7 . 31 d) 2 . 3 . 5 . 7 . 11Sugestão de solução: a) 1 890; b) 143; c) 8 680; d) 2 310. 49

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