Función

1. H´ector P´erez
27 de octubre de 2016
Resumen
En esta secci´on trabajaremos con el concepto de funci´on, algunas de
sus propiedades geom´etricas, algebraicas y graficas.
1. Funci´on
Empezaremos por dar la definici´on de funci´on.
Definici´on: Una funci´on es una relaci´on que asigna a cada elemento de un
conjunto A un ´unico elemento del conjunto B. De esto podemos decir que una
funci´on es una colecci´on de parejas (a, b), que tienen la propiedad de que si (a, b)
y (a, c) corresponden a la funci´on, entonces b = c.
Se puede ilustrar el concepto de funci´on con la gr´afica siguiente:
Para la funci´on f(x) = 0 · 2x2
, podemos trazar una linea vertical en cualquier
punto(por ejemplo las que est´an en rojo), y esta recta s´olo cortar´a a la funci´on
una sola vez, por lo que la gr´afica corresponde a una funci´on, pues cada elemento
en el eje x, le corresponde un ´unico punto.
En la gr´afica que se muestra abajo, se tiene un ejemplo de lo que no corre-
sponde a una funci´on, pues como se observa tenemos dos puntos (3,5) y (-3,5)
que se encuentran en la gr´afica; por lo que al 3 le corresponden dos valores
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2. diferentes, esto contradice a la definici´on de funci´on, concluimos que esto no
corresponde a una funci´on.
As´ı para determinar si una gr´afica corresponde o no a una funci´on, trazamos
una l´ınea vertical, si esta l´ınea corta m´as de una vez a la gr´afica, entonces no
corresponde a una funci´on, en caso de que s´olo la corte una vez, se trata de una
funci´on.
Observaci´on: Una funci´on se pude dar en tres formas, mediante una expresi´on
algebraica, por ejemplo f(x) = −3x2
+ 7x − 12, mediante una tabla de valores
o mediante una gr´afica.
Para poder realizar la gr´afica de una funci´on, podemos evaluar a la funci´on
f en diversos valores, la pregunta es ¿en cu´ales? Para determinar en donde
debemos evaluar la funci´on usamos lo siguiente.
Dominio: El dominio de una funci´on f es un subconjunto de elementos x de
los N´umero reales, tales que f(x) existe, es decir donde f est´a definida. Gen-
eralmente se denota por domf .
Ejemplo: Determina el dominio de la funci´on f(x) = 2x − 3
El dominio de esta funci´on es el conjunto de todos los n´umeros reales. No hay
problema de evaluar a la func´ıon f. Por ejemplo evaluemos en x = −3, x = 0 y
x = 6. Obtenemos:
f(−3) = 2(−3) − 3 f(0) = 2(0) − 3 f(6) = 2(6) − 3
= −6 − 3 = 0 − 3 = 12 − 3
= −9 = −3 = 9
2

3. Por lo tanto hemos obtenido que f(−3) = −9, f(0) = −3 y f(6) = 9, podemos
evaluar en cualquier n´umero real sin ning´un problema. De hecho, en general para
funciones polinomiales, es decir de la forma f(x) = a0 +a1x+a2x2
+· · ·+anxn
,
su dominio ser´a el conjunto de los n´umeros reales R = (−∞, +∞).
El problema de determinar el dominio es cuando tenemos funciones racionales,
con ra´ız cuadrada, con logaritmos, ya que estas operaciones no est´an definidas
para todos los casos.
Funci´on con ra´ız cuadrada
Determina el dominio y realiza la gr´afica de la funci´on f(x) =
√
2x + 4
Soluci´on:
Dado que hay una ra´ız cuadrada, se debe considerar s´olo n´umeros que sean no
negativos, es decir debemos resolver:
2x + 4 ≥ 0
2x ≥ -4
x ≥ -2
Por lo tanto, domf = [−2, +∞), en este intervalo podemos evaluar la funci´on
para obtener la gr´afica. Evaluemos en x = −2, x = −1 y en x = 0:
f(−2) = 2(−2) + 4 f(−1) = 2(−1) + 4 f(0) = 2(0) + 4
=
√
−4 + 4 =
√
−2 + 4 =
√
0 + 4
=
√
0 =
√
2 =
√
4
= 0 = 1 · 4142 = 2
De esta misma forma podemos ir evaluando en cada punto del dominio para
construir una tabla, la gr´afica obtenida es:
3

4. Ejemplo: Determina el dominio de la funci´on cuadr´atica f(x) =
√
x2 + 2x − 8
y realiza su gr´afica.
Hay una ra´ız cuadrada, por lo que se debe determjinar el conjunto de los reales
donde la expresi´on dentro de la ra´ız sea no negativa, es decir debemos resolver
la desigualdad x2
+ 2x − 8 ≥ 0, como es una cudra´atica podemos aplicar la
ecuaci´on general de segundo grado, pero tambi´en se puede realizar por factor-
izaci´on, x2
+ 2x − 8 = (x − 2)(x + 4), este producto de factores ser´a positivo
cuando ambos sean del mismo sigo, mostramos el an´alisis de los signos en la
siguiente figura:
Por lo tanto observamos que x2
+2x−8 ≥ 0 en el conjunto (−∞, −4]∪[2, +∞).
Por lo tanto obtenemos el dominio de la funci´on domf = (−∞, −4] ∪ [2, +∞).
Evaluamos en puntos de este conjunto y obtenemos la gr´afica:
4

5. Funciones racionales
Una funci´on es racional si es el cociente de dos funciones, es decir, es de la
forma f(x) =
g(x)
h(x)
. Un ejemplo de funci´on racional es f(x) =
2x − 1
x − 3
. Para
graficar, primero debemos determinar el dominio, debemos poner especial in-
ter´es donde la funci´on en el denominador sea cero, pues hay que recordar que
la divisi´on sobre cero no est´a definida. Vamos a ejemplificar este caso con dos
ejemplos.
Ejemplo Determine el dominio y realice la gr´afica de la funci´on f(x) =
6
2x − 6
.
Dado que es una funci´on racional, observamos que la funci´on en el numerador
g(x) = 6 no tiene ning´un problema, en la funci´on del denominador h(x) = 2x−6
debemos ver d´onde la funci´on vale cero; por lo que debemos resolver 2x−6 = 0.
La soluci´on a esta ecuaci´on es x = 3. Por lo tanto la funci´on f no est´a definida
en este punto, en todos los dem´as no hay ning´un problema. Por lo tanto el do-
minio de la funci´on es domf = R − {3} = (−∞, 3) ∪ (3, +∞). Es decir podemos
evaluar en cualquier valor menos en x = 3. Damos ejemplo de evaluaci´on en
diferentes puntos:
f(2) =
6
2(2) − 6
f(2 · 9) =
6
2(2 · 9) − 6
=
6
4 − 6
=
6
5 · 8 − 6
=
6
−2
=
6
−0 · 2
= −3 = −30
f(3 · 1) =
6
2(3 · 1) − 6
f(4) =
6
2(4) − 6
=
6
6 · 2 − 6
=
6
8 − 6
=
6
0 · 2
=
6
2
= 30 = 3
Como se puede observar, no evaluamos en x = 3, sin embargo evaluamos en
puntos muy cercanos como x = 2·9 y x = 3·1. Podemos evaluar en m´as puntos
y obtenemos la gr´afica:
5

6. Como se puede observar, la funci´on se rompe en x = 3, es decir tiene una discon-
tinuidad en este punto, tambi´en se puede observar que la gr´afica se va acercando
a la recta x = 3 que est´a en rojo, pero nunca la toca, a esta recta se le llama
as´ıntota. Es una particularidad de las funciones racionales, tienen as´ıntotas, en
algunos casos pueden tener m´as de una.
Ejemplo: Determine el dominio de la funci´on f(x) =
4
x2 − x − 6
Dado que es una funci´on racional, analicemos d´onde el denominador se hace
cero, es decri debemos resolver la ecuaci´on x2
− x − 6 =, esta ecuaci´on se puede
resolover por la ecuaci´on general de segundo grado o por factorizaci´on. Resolva-
mos por factorizaci´on.
x2
− x − 6 = (x + 2)(x − 3) = 0 cuya soluci´on est´a dada por x1 = −2 y por
x2 = 3. Por lo tanto el dominio de la funci´on es domf = R − {−2} − {3} =
(−∞, −2) ∪ (−2, 3) ∪ (3, +∞). Observemos que va a tener dos as´ıntotas, en
x = −2 y en x = 3. La gr´afica queda como:
6

7. 7