Obtención detallada de eigenvalores del oscilador armónico simple a partir de ecuación de Schrödinger, utilizando solo operadores kets, valores esperados momento lineal y cuadrado de la posición de la partícula

1. [1]
Valores propios de Energía de Vibración de Oscilador Armónico simple
Por Hector L.Cervantes C.
Email: chemisthectorcervantes@gmail.com
Eigenvalores de Energia Vibracional
Abstract.- Este articulo presupone la aceptación del eigen-ket de posición cuántico y así mismo del
eigen-ket de movimiento lineal; utiliza la fórmula de energía total como la suma de la energía
cinética (la cual procede del momento lineal p) más la energía potencial que depende de la
posición X y de su frecuencia angular ω, de su dependencia X implica un carácter potencial.
ENERGIA CUÁNTICA VIBRACIONAL
𝐸 =
𝑚𝜔2
2
𝑄2
+
1
2𝑚
𝑃2
(1)
Donde los valores Q y P son valores esperados de posición X y de momento lineal; X es la
distancia respecto de la posición de equilibrio de la molécula di-atómica y mes su masa reducida
entre los dos nucleos.
VALORES ESPERADOS POSICIÓN Y MOMENTO LINEAL CUÁNTICOS
EIGEN-KET POSICIÓN
𝒙│𝒏⟩ = √
𝒉†
𝟐𝒎𝝎
(√ 𝒏│𝒏 − 𝟏⟩ + √ 𝒏 + 𝟏│𝒏 + 𝟏⟩) (2)
EIGEN-KET MOMENTO LINEAL
𝒑│𝒏⟩ = 𝒊√
𝒉† 𝒎𝝎
𝟐
(√ 𝒏 + 𝟏│𝒏 + 𝟏⟩ − √ 𝒏│𝒏 − 𝟏⟩) (3)
Donde 𝒉†
=
𝒉
𝟐𝝅
entoncesℎ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑐𝑘
OBTENCIÓN DE VALORES ESPERADOS AL CUADRADO
De (2) multiplico por X

2. [2]
Valores propios de Energía de Vibración de Oscilador Armónico simple
𝒙 { 𝒙│𝒏⟩ = √
𝒉†
𝟐𝒎𝝎
(√ 𝒏│𝒏 − 𝟏⟩ + √𝒏 + 𝟏│𝒏 + 𝟏⟩)} =
𝑥2
│𝑛⟩ = √
ℎ†
2𝑚𝜔
(√ 𝑛 𝒙│𝒏 − 𝟏⟩ + √ 𝑛 + 1 𝒙│𝒏 + 𝟏⟩)(4)
De (3) multiplico por P
𝒑{ 𝒑│𝒏⟩ = 𝒊√
𝒉† 𝒎𝝎
𝟐
(√𝒏 + 𝟏│𝒏 + 𝟏⟩ − √ 𝒏│𝒏 − 𝟏⟩)} =
𝑝2
│𝑛⟩ = 𝑖√
ℎ† 𝑚𝜔
2
(√ 𝑛 + 1 𝒑│𝒏 + 𝟏⟩ − √ 𝑛 𝒑│𝒏 − 𝟏⟩) (5)
Cristo para simplificar los resultados (4) y (5) que implican a su vez eigen-kets en el lado derecho
de ambas expresiones (resaltado en negrillas), estos deben ser remplazados por sus valores
correspondientes aplicados al estado cuántico correspondiente; Así:
De (2)
𝒙│𝒏 − 𝟏⟩ = √
𝒉†
𝟐𝒎𝝎
(√ 𝒏− 𝟏│𝒏 − 𝟐⟩ + √ 𝒏│𝒏⟩) (4a)
𝒙│𝒏 + 𝟏⟩ = √
𝒉†
𝟐𝒎𝝎
(√ 𝒏+ 𝟏│𝒏⟩ + √ 𝒏 + 𝟐│𝒏 + 𝟐⟩) (4b)
Estos dos resultados (4a) y (4b) se lograron al remplazar n en (2) por 𝒏 − 𝟏 y también 𝒏 + 𝟏
respectivamente.
De (3) análogamente:
𝒑│𝒏 + 𝟏⟩ = 𝒊√
𝒉† 𝒎𝝎
𝟐
(√ 𝒏 + 𝟐│𝒏 + 𝟐⟩ − √ 𝒏 + 𝟏│𝒏⟩) (5a)
𝒑│𝒏 − 𝟏⟩ = 𝒊√
𝒉† 𝒎𝝎
𝟐
(√ 𝒏│𝒏⟩ − √ 𝒏 − 𝟏│𝒏 − 𝟐⟩) (5b)
Cristo ahora introduzco (4a) y (4b) en (4); también (5a) y (5b) en (5)

3. [3]
Valores propios de Energía de Vibración de Oscilador Armónico simple
𝑥2
∣ 𝑛⟩ =
ℎ†
2𝑚𝜔
{√ 𝑛( 𝑛 − 1) ∣ 𝑛 − 2⟩ + (2𝑛 + 1) ∣ 𝑛⟩ + √( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2) ∣ 𝑛 + 2⟩}
𝑝2
│𝑛⟩ = (
ℎ†
𝑚𝜔
2
){−√( 𝑛 + 1)( 𝑛 + 2) ∣ 𝑛 + 2⟩ + (2𝑛 + 1) ∣ 𝑛⟩ − √ 𝑛( 𝑛 − 1) ∣ 𝑛 − 2⟩}
Cristo ahora completo con el Bra ⟨m∣ las dos expresiones anteriores:
⟨𝒎 ∣ 𝒙 𝟐
∣ 𝒏⟩ =
⟨𝒎 ∣ 𝒑 𝟐
│𝒏⟩ =
Cristo ahora introduzco símbolos de Dirac en ambas expresiones:
⟨𝒎 ∣ 𝒑 𝟐
│𝒏⟩ =
⟨𝒎 ∣ 𝒙 𝟐
∣ 𝒏⟩ =
Introduciendo estas dos expresiones en: 𝐸 =
𝑚𝜔2
2
𝑄2
+
1
2𝑚
𝑃2
ya que:
𝐄 =
𝐦𝛚 𝟐
𝟐
〈𝐦│𝐱 𝟐
│𝐧⟩ +
𝟏
𝟐𝐦
〈𝐦│𝐩 𝟐
│𝐧⟩
∴ Así

4. [4]
Valores propios de Energía de Vibración de Oscilador Armónico simple
Donde para 𝒎 = 𝒏 ; 𝜹 𝒎,𝒏 = 𝟏
Cristo este es un resultado esperado
SEGUNDA PARTE
¿De donde viene el Eigen-Ket del Oscilador armónico?
Introducción.- La primera parte de la obtención de los valores propios de la energía de vibración de
molécula di-atómica en oscilación armónica simple, se utilizaron eigenkets sacados de la manga; y
ésta segunda parte se ocupa de explicar detalladamente. Pero se presupone el conocimiento de
los operadores destrucción y creación para el movimiento de vibración armónica simple; estos
operadores son explicados en la tercera parte.
OBJETIVO
El propósito de este artículo es la obtención de los dos eigen-kets siguientes:
𝑥⃓𝑛〉 = √
ℎ†
2𝑚𝜔
(√ 𝑛⃓𝑛 − 1〉 + √𝑛 + 1⃓𝑛 + 1〉)
𝑝⃓𝑛〉 = 𝑖√
𝑚𝜔ℎ†
2
(√𝑛 + 1⃓𝑛 + 1〉 − √ 𝑛⃓𝑛 − 1〉)
OPERADORES CREACIÓN Y DESTRUCCIÓN
𝑎 = √
𝑚𝜔
2ℎ†
( 𝑥 +
𝑖𝑝
𝑚𝜔
)operador destrucción
𝑎†
= √
𝑚𝜔
2ℎ†
( 𝑥 −
𝑖𝑝
𝑚𝜔
)operador creación
Cristo sumando ambos operadores: 𝑎 + 𝑎†
= √
𝑚𝜔
2ℎ†
(2𝑥)
Despejando 𝒙se obtiene: 𝑥 = √
ℎ†
2𝑚𝜔
( 𝑎 + 𝑎†)(1)

5. [5]
Valores propios de Energía de Vibración de Oscilador Armónico simple
Cristo ahora resto ambos operadores para eliminar 𝑥:
√
2ℎ†
𝑚𝜔
( 𝑎†
− 𝑎) = −
2𝑖𝑝
𝑚𝜔
Así √2𝑚𝜔ℎ†( 𝑎†
− 𝑎) = −2𝑖𝑝
Despejando a operador momento lineal 𝑝:
√2𝑚𝜔ℎ†
−2𝑖
( 𝑎†
− 𝑎) = 𝑝 = −
1
𝑖
√
𝑚𝜔ℎ†
2
( 𝑎†
− 𝑎)
Multiplicando en el lado derecho, el numerador y denominador por 𝑖 :
𝑝 = 𝑖√
𝑚𝜔ℎ†
2
( 𝑎†
− 𝑎)(2)
Cristo ahora a resultados (1) y (2) se les da el carácter de eigen-vectores, en cada lado de ambas
ecuaciones. Sobre el nivel cuántico 𝑛 de oscilación; no confundir la masa reducida 𝑚del radical
con el nivel cuántico 𝑚 del Bra que más adelante se utiliza.
(3)
(4)
Cristo ahora con la obtención de los eigenkets para los operadores creación y destrucción; se les
sustituye en resultados (3) y (4) y se obtienen los eigenkets buscados.
Notemos que el operador creación es el conjugado del operador destrucción y viceversa. Además
El conjugado de un Ket es un Bra con sus respectivas funciones conjugadas también.
Los conmutadores siguientes son útiles en el tratamiento de los kets: 𝑵𝒂 ∣ 𝒏〉y 𝑵𝒂†
∣ 𝒏〉los
cuales serán remplazados en (3) y (4) para obtener los eigenkets iniciales de esta segunda parte.

6. [6]
Valores propios de Energía de Vibración de Oscilador Armónico simple
[ 𝑵, 𝒂] = [ 𝒂†
𝒂, 𝒂] = 𝒂†
𝒂𝒂− 𝒂𝒂†
𝒂 = (𝒂†
𝒂− 𝒂𝒂†
)𝒂 = (−𝟏) 𝒂 = −𝒂(5)
[ 𝑵, 𝒂†] = [ 𝒂†
𝒂, 𝒂†] = 𝒂†
𝒂𝒂†
− 𝒂†
𝒂†
𝒂 = 𝒂†
(𝒂𝒂†
− 𝒂†
𝒂) = 𝒂†( 𝟏) = 𝒂†
(6)
Aplicando los kets mencionados, donde el operador son 𝑵𝒂y 𝑵𝒂†
nivel cuántico es 𝒏
𝑵𝒂 ∣ 𝒏〉 = ( 𝑵𝒂 − 𝒂𝑵 + 𝒂𝑵) ∣ 𝒏〉 = ([ 𝑵, 𝒂] + 𝒂𝑵) ∣ 𝒏〉 = (−𝒂 + 𝒂𝑵) ∣ 𝒏〉
= 𝒂(−𝟏 + 𝑵) ∣ 𝒏〉 = 𝑎( 𝑁 − 1) ∣ 𝑛〉 = 𝑎(𝑛 − 1) ∣ 𝑛〉 = ( 𝑛 − 1) 𝑎 ∣ 𝑛〉(7)
Cristo esto es debido a que 𝑛es un eigen valor del operador 𝑁esto es que: 〈 𝑛 ∣ 𝑁 ∣ 𝑛 〉 = 𝑛
Análogamente:
𝑵𝒂†
∣ 𝒏〉 = (𝑵𝒂†
− 𝒂†
𝑵+ 𝑎†
𝑁) ∣ 𝒏〉 = ([ 𝑵, 𝒂†] + 𝑎†
𝑁) ∣ 𝒏〉 =
= (𝑎†
+ 𝑎†
𝑁) ∣ 𝑛〉 = 𝑎†(1 + 𝑁) ∣ 𝑛〉 = ( 𝑛 + 1) 𝑎†
∣ 𝑛〉(8)
En (7) y (8) se respetó el orden de aplicación de los operadores producto hasta el momento de
aplicación del eigenvalor del operador 𝑵
JUSTIFICACIÓN DEL CONMUTADOR (5) Y (6)
Como: 𝑎 = √
𝑚𝜔
2ℎ†
(𝑥 +
𝑖𝑝
𝑚𝜔
)y 𝑎†
= √
𝑚𝜔
2ℎ†
(𝑥 −
𝑖𝑝
𝑚𝜔
) entonces
𝑎𝑎†
= (
𝑚𝜔
2ℎ†
) ( 𝑥2
−
𝑖𝑥𝑝
𝑚𝜔
+
𝑖𝑝𝑥
𝑚𝜔
−
𝑖2
𝑝2
𝑚2 𝜔2
)
𝑎†
𝑎 = (
𝑚𝜔
2ℎ†
) ( 𝑥2
+
𝑖𝑥𝑝
𝑚𝜔
−
𝑖𝑝𝑥
𝑚𝜔
−
𝑖2
𝑝2
𝑚2 𝜔2
)
Entonces:
Como por definición (en cualquier sistema coordenado contraído ó expandido) y esto indica que no
se puede obtener de un sistema a otro con el uso de regla de la cadena, sino con la definición.

7. [7]
Valores propios de Energía de Vibración de Oscilador Armónico simple
𝑝𝑥 =
ℎ
𝑖
+ 𝑥𝑝(9) insertando (9) en ecuación anterior resulta:
Así 𝒂𝒂†
− 𝒂†
𝒂 = 𝟏 y 𝒂†
𝒂 − 𝒂𝒂†
= −𝟏
RESUMEN DE LOS KETS (7) Y (8)
𝑵𝒂 ∣ 𝒏〉 = ( 𝑛 − 1) 𝑎 ∣ 𝑛〉 (7)
𝑵𝒂†
∣ 𝒏〉 = ( 𝑛 + 1) 𝑎†
∣ 𝑛〉 (8)
Estas relaciones (7) y (8) implican que:
De (7), 𝒂 ∣ 𝒏〉 y 𝒂 ∣ 𝒏 − 𝟏〉 son iguales hasta una constante multiplicativa 𝒄
𝑎 ∣ 𝑛〉 = 𝑐 ∣ 𝑛 − 1〉 (10)
De (8), 𝒂†
∣ 𝒏〉 y 𝒂†
∣ 𝒏 + 𝟏〉 son iguales hasta una constante multiplicativa 𝑪 𝟐,
𝑎†
∣ 𝑛〉 = 𝐶2 ∣ 𝑛 + 1〉 (11)
OBTENCIÓN DE ESAS CONSTANTES MULTIPLICATIVAS
Conjugados de Kets: ( 𝑎 ∣ 𝑛〉)†
= (〈𝑛 ∣ 𝑎†
) = 〈𝑛 − 1 ∣ 𝑐∗
(12)
Analogamente: (𝑎†
∣ 𝑛〉)
†
= (〈𝑛 ∣ 𝑎) = 〈𝑛 + 1 ∣ 𝐶2
∗
(13)
Cristo ahora completo los braket (10) con (12)
〈 𝑛 ∣∣ 𝑎†
𝑎 ∣∣ 𝑛 〉 = (〈𝑛 − 1 ∣ 𝑐∗)( 𝑐 ∣ 𝑛 − 1〉) =∣ 𝑐 ∣2
〈 𝑛 ∣∣ 𝑎†
𝑎 ∣∣ 𝑛 〉 = 〈 𝑛 ∣ 𝑁 ∣ 𝑛 〉 = 𝑛; entonces: 𝑐 = √ 𝑛 (14)
Análogamente: completando braket (11) con (13)

8. [8]
Valores propios de Energía de Vibración de Oscilador Armónico simple
(〈𝑛 ∣ 𝑎) 𝑎†
∣ 𝑛〉 = 〈𝑛 ∣ 𝑎𝑎†
∣ 𝑛〉 = 〈 𝑛 + 1 ∣∣ 𝐶2
∗
𝐶2 ∣∣ 𝑛 + 1 〉 =∣ 𝐶2 ∣2
Haciendo la correspondencia del conjugado de: 〈 𝑛 + 1 ∣∣ 𝐶2
∗
𝐶2 ∣∣ 𝑛 + 1 〉 y trasponiendo
〈 𝑛 ∣∣ 𝑎𝑎†
∣∣ 𝑛 〉 = (〈 𝒏 ∣∣ 𝒂𝒂†
∣∣ 𝒏 〉)
†
= 〈 𝒏 + 𝟏 ∣∣ 𝒂†
𝒂 ∣∣ 𝒏 + 𝟏 〉 =
〈 𝑛 + 1 ∣ 𝑁 ∣ 𝑛 + 1〉 = 𝑛 + 1 ; entonces: 𝐶2 = √ 𝑛 + 1 (15)
Insertando resultados (14) y (15) en (10) y (11)
𝑎 ∣ 𝑛〉 = 𝑐 ∣ 𝑛 − 1〉 = √ 𝑛 ∣ 𝑛 − 1〉 (16)
𝑎†
∣ 𝑛〉 = 𝐶2 ∣ 𝑛 + 1〉 = √ 𝑛 + 1 ∣ 𝑛 + 1〉 (17)
Cristo los resultados (16) y (17) sustituidos en:
Y en
Se obtienen los eigen-kets buscados al inicio de esta segunda parte:

9. [9]
Valores propios de Energía de Vibración de Oscilador Armónico simple
TERCERA PARTE
Operadores creación y destrucción Hermite
Introducción.- Esta tercera parte de articulo referente a la oscilación armónica simple, es para la obtención de
los operadores creación y destrucción de las funciones de onda de vibración, para el observable Oscilación
armónica de molécula di-atómica.
ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER PARA OSCILACION ARMÓNICA SIMPLE
(1)
Cristo aquí se trata el paréntesis como una diferencia de cuadrados; es decir una suma por
diferencia.
(2)
Descomponiendo paréntesis:
Haciendo: entonces el paréntesis de (2)
Ese algo es el resultado de que los operadores no conmutan, es decir no son
intercambiables en posición, además “m” es la masa reducida de los dos núcleos de la
molécula di-atómica.
1
𝑚
=
1
𝑚 𝐴
+
1
𝑚 𝐵
de núcleos A y B
Cristo luego de haber multiplicado y dividido por i a las fracciones en p se le da la presentación
adecuada final; dividiendo ambos lados de la ecuación total (original) entre:

10. [10]
Valores propios de Energía de Vibración de Oscilador Armónico simple
(3)
De la parte operativa
𝑚𝜔
2ℎ
( 𝑥 −
𝑖𝑝
𝑚𝜔
) ( 𝑥 +
𝑖𝑝
𝑚𝜔
) = {√
𝑚𝜔
2ℎ
( 𝑥 −
𝑖𝑝
𝑚𝜔
)} {√
𝑚𝜔
2ℎ
( 𝑥 +
𝑖𝑝
𝑚𝜔
)}
Llamando: 𝑎†
= √
𝑚𝜔
2ℎ
( 𝑥 −
𝑖𝑝
𝑚𝜔
) y 𝑎 = √
𝑚𝜔
2ℎ
( 𝑥 +
𝑖𝑝
𝑚𝜔
)
Son los operadores creación y destrucción respectivamente.
OBTENCIÓN DE LA PARTE ADICIONAL
Entonces para compensar la expresión de la multiplicación de operadores se debe sumar :
∴ (4)
Introduciendo (4) en (3):
Esto es:
Llamando operador número 𝑵 = 𝒂†
𝒂
VALORES PROPIOS DE ENERGIA VIBRACIONAL EN FORMA DE OPERADOR NUMERO
Como consecuencia el operador Hamiltoniano H

11. [11]
Valores propios de Energía de Vibración de Oscilador Armónico simple