项目反应理论项目进度报告20090929

目反理段度告项应论阶进报
2009.9.29
albert.xu@watervilleinc.com

典理（经测验论 CTT ）、真分数理论
 理模型：论 T=E(X(T)) ， X(T)=T+e(T) ， E(e(T))=0
 推：论
Cov(T,e)=0 ，真分和差分相互独立；误
Var(X)=Var(T)+Var(e) ，察分方差等于真分方差和差分方差之观误
和；
Cov(X,T)=Var(T) ，真分和察分的方差等于真分方差；观协
 信度：测验
ρ2
XT=Cov(X,T)2
/Var(X)Var(T)=1-Var(e)/Var(X)

典理（经测验论 CTT ）、真分数理论
 格定的平行是存在的，即：严义测验
 T=T’ ， Var(e|T)=Var(e’|T’)
 ρ2
XT=ρ2
X’T’=ρXX’
 通性回就可由的察分估真分：过线归经测验观计
 T=ρXX ·X+E(X) ·(1-ρXX )
 一步假进设 TX 和 TY 是个两测验 XY 的真分：
 ρTXTY=ρXY/√ρXX’ρXX’
 也就是 “ 效度小于或等于信度的平方根”说测验总测验
 ρXY √ρ≤ XX

目反理是建立在强假基之上项应论设础
 潜在特空的性假：指所有目都是量同一潜在特质间单维设项测质
；格性可能以到，只要有一个因子占主地位就可严单维难达仅导
以了。“ Phi 系数的一个公因子的特征大于特征的阵值总值 20%”
 局部独立性假：目无相存在。是与一性假相等同设项间关这维设
的，它是指考生中不同目的反在上是互相独立的。对测验题应统计
也就是考生在中某目上的正反概率不依于他在说测验对题确应赖
其他目上的正反概率。题确应
 目特征曲假项线设 : 是考生某目的正反概率与其能力之对项确应
的函数系所作的模型，指考生目所作反的概率遵循一间关对项应
定的函数系关 , 函数系可以用目特征曲形式表示出来。这种关项线
目特征曲等既承作基数据的目与被参数是估项线值认为础项试计
，又能全面利用度与区分度参数所提供的信息。值难
 的非限性假：测验时设

3-PLM （三参数 LOGISTIC 模型）

3-PLM （三参数 LOGISTIC 模型）
 三参数斯蒂模型中有目区分度、目度、猜逻辑项项难
三个参数：测
 a 参数，目的区分度，即特征曲的斜率，它的越题线值
大明目受者的区分程度越高说题对测
 b 参数，目的度，即特征曲在横坐上的投影题难线标
 c 参数，目的猜系数，即特征曲的截距题测线
 一个参考的范是：围
 0<a<2 ， -0.3<b<3 ， 0<c<1
 被人数和目数一般不小于试项 200 和 50

2-PLM 和 1-PLM
 2-PLM ：
 a 参数，目的区分度，即特征曲的斜率，它的越题线值
大明目受者的区分程度越高说题对测
 1-PLM ：

模数据拟
 在行数据模，如果有考生的真能力（进拟时实值 θ ）
，知道某个的度（试题难 b ）、区分度（ a ）和猜度测
（ c ）等参数的，我可以算得到考生在个值们计该这试
上的答概率。题对
 将此概率 P 和一个随机生的产 [0 ， 1 ）之的随机数间
r 相比，如果较 P>=r ，考生在个上回答正则该这试题
，确 x=1 ；否则 P<r ，考生答，则该错该题 x=0 。这
，名考生答的概率正好等于样这对试题 P 。
 通方法，只要知道考生的能力和的参数，过这种值试题
我可以模出目反理中任何考生的作答反，们拟项应论应
而且些作答反都是完全符合模型的理想化的考生作这应
答。

模数据拟
//Refer to Dr. Wen Jianbing's dissertation
function LOGISTIC_MODEL(a,b,c,theta){
return c+(1-c)/(1+Math.exp(-1.7*a*(theta-b))) ；
}
function PRINT_RESULT(result){
if(result>Math.random()){
document.write("1");
}
else document.write("0");
}
function GENERATE_DATA(){
for (i=0;i<500;i++){
PRINT_SUBJECT(i);
for (j=0;j<30;j++){
result = LOGISTIC_MODEL(item[j][0],item[j][1],item[j][2],subject[i]);
PRINT_RESULT(result);
}
document.write("<br />");
}
}

价一个目的劣（信息函数）评试题项优
 信息函数：
 判断准一：标
 判断准二：标
 “ 在制程中根据前者来目可能更方便一点，而测验编过选择项
要地比目的劣可能是要用后者。”笼统较项优则还
 “ 最佳分权”评
∑=
=
n
1i
i )u,I()(I θθ
),I(M ii u
∫
+
−
3
3
),( θθ duI i

最佳分权评
 以 ui 第记 i 个目的得分（答得项对 1 分，答不得分）：错
 以作目为项 i 得分的加权数所的信息函数是最大对应
的
 参数的最佳分权：单评
 双参数的最佳分权：评
 三参数的最佳分权：评
∑=
=
n
1i
iiuwy
)()(P
P
ii
'
i
θθ Q
Dwi =
ii Daw =
)1(
)(Da
w i
i
ii
ii
cP
cP
−
−
=

Phase 1: INPUT
 The input routine reads formatted data records.
 Data for each observation consist of
 Item responses of individual examinees comprise one character for
each of n items.
 The answer key, not-presented, and omit codes are read in exactly
the same format as the observations.
 For aggregate-level data, the "responses" consist of number of
attempts and number correct for each item.
 If data are for the aggregate-level model, vectors of numbers of
attempts and correct responses to the items are read in decimal
format.
Subject ID [ Form Number ] [ Group Number ] Item Response Data

Example 1 ： exampl01.dat
a b c

参数估的思路（大似然估）计极计
 目参数和能力参数都未知项
 1. 全部能力参数和目参数指定初，对项值 θ 用 Z 分数， ai
0
用
目项 i 的典区分度参数加上一个比例因子，经 bi
0
用 6×(0.5-
Bi) ，其中 Bi 目典度系数，为项经难 ci
0
取目项 i 个数的倒备选项
数
 2. 把能力参数 θ 看作固定，目参数对项 a ， b ， c 行求解进
 3. 将求出的 a ， b ， c 看作固定，求解 θ
 “ 大似然估只是叶斯估的一特例，即极计贝计种 f(θ) ， f(a) ，
f(b) ， f(c) 都是常数；因而可以大似然估是在各参说极计对种
数的先分布一无所知的情形下的一最的参数估方法”验种简单计

牛顿 - 拉夫迭代（逊 Newton-Raphson ）
void function4(){
double expression1(double);
double expression2(double);
double x=1.5;
while(expression1(x)>0.00001) {
x=x-expression1(x)/expression2(x);
}
printf(" 用牛法所求果运顿结 :%fn",x);
}
double expression1(double x){
double result;
result=x*x*x-x*x-1; // 原函数
return result;
}
double expression2(double x){
double result;
result=3*x*x-2*x; // 一数阶导
return result;
}

多分（人格量）级评测
 ECT 各目均采用项 5 点 Likert 量表式（共测题
1 、 2 、 3 、 4 、 5 五个等），因此采用级应 IRT 中的
等反模型（级应 Graded Response Model ， GRM ），用
MULTILOG 件行参数估软进计
 由于被可能存在中化和端化反向，第试趋极应倾选择 1 、
2 个等和第级 4 、 5 个等的人可能并不存在差，因级别
此可以将第 1 、 2 个等和第级 4 、 5 个等合并，将级 5
分改级评为 3 分级评
 自量表中也常采用陈 2 分的形式，而如果将级评测题 5
分的目合并成评项 2 分，从上也能得到同级评逻辑讲样
的效果。 Schmitt 等明如果将证 5 分的前三个级评选择
项赋 0 分 , 后个两选择项赋 1 分，量精度并不受很时测
大影响

对 Logistic 模型的替代
 ARCTG 模型
p=0.5+(0.43-0.03a)arctg(a(θ-b))
 COS 模型
p=0.5-(0.85-0.16a)cos(πa(θ-b)/10+π/2)
 LINEAR 模型（ θ0 是 ICC 上曲率最大的点）
p=0.5+(0.025+0.366a)(θ-b)
θ0=b+0.73/a+0.139
 《目反理中若干模型的比》，嘉元，项应论较俞 1990
 * 上代算机已能足速度上的要求实际现计经够满

其他目反模型项应
 Nominal Categorical Model （ Bock ， 1972 ）
 分部反模型（目度不一定应项难单
，调 Masters ， 1982 ）
, ,
, ,
,
1
( )
i h i h
i
i h i h
a C
i h m
a C
h
e
P
e
θ
θ
θ
+
+
=
=
∑
,
0
,
0
( )
, ,
( )
0
( )
x
j i k
k
h
j i k
k
i j x
m
k
e
P
e
θ δ
θ δ
θ
=
=
+
+
=
∑
=
∑
∑
, ,
0
( ) 1
im
i j x
h
P θ
=
=∑
,
0
( ) 0
im
j i k
h
θ δ
=
− =∑ ,
0 1
( ) ( )
h h
j k j i k
k k
θ δ θ δ
= =
− = −∑ ∑

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