1. UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD.
ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES
MÉTODOS MATEMÁTICOS
SEGUNDA UNIDAD: FORMULACIÓN INTEGRAL Y DIFERENCIAL
CAPÍTULO CUATRO: FUNCIONES ESPECIALES.
LECCIÓN DIEZ.
TRANSFORMACIONES DE LAPLACE.
La transformada de Laplace puede utilizarse para solucionar ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Es
ideal para problemas de valor inicial, y muy útil para resolver sistemas de ecuaciones simultaneas.
El primer paso para aplicar la transformada de Laplace es aprender como realizar la primera integración:
f st
Lf ( t ) ³0 e f( t )dt f(s) 1
Esencialmente, esta expresión integra el tiempo en la relación y lo reemplaza por una variable s (que pertenece al
dominio de la variable compleja). Para ecuaciones diferenciales ordinarias, la operación reduce al problema al
campo del algebra.
La transformada de Laplace de una función f(t) se define como los valores positivos de t en función de una
nueva variable s, según la integral de la primera ecuación.
La función más sencilla es una constante K:
K f
LK @ ³ Ke
st
0 s
Entonces, es claro que cuando en el campo de la transformada se tenga a/s, en la inversión que se denota como
L1 (a / s) , se obtendrá a.
Propiedades de la transformada.
La TL, existe si f(t) satisface las siguientes condiciones:
- f(t) es continua o continua a trozos en el intervalo de trabajo (de valores positivos)
- t n f( t ) n esta limitado cerca de t=0 cuando se aproxima desde los valores positivos de t, para cualquier
n, donde n 1.
- e so t f( t ) Es acotada para valores grandes de t para cualquier número so.
La función f(t) es continua a trozos en el rango t 1 d t d t 2 si es posible dividir el rango en un número finito de
intervalos de tal forma que f(t) sea continua en cada intervalo y se aproxime a valores finitos a medida que se
acerca al limite de cada intervalo.
De la definición, se pueden extraer las siguientes propiedades:
Propiedad de transformación lineal: L^af( t ) bg( t )` af(s) b(g(s)
Transformación de derivadas: Realizando una integración por partes se puede obtener:
­ d n f( t ) ½
° ° ª df(0 ) d 2 f(0 ) d n 1 f (0 ) º
L® ¾ s n f ( s ) «s n 1 f ( 0 ) s n 2 s n 3 .... »
° dt n °
¯ ¿ «
¬ dt dt 2 dt n 1 » ¼
(0 ) significa : evaluado en cero
1 Se ofrece disculpas al estudiante, el símbolo de la transformada de la place es un “ele” mayúscula estilizada que no se
encuentra disponible en el editor de ecuaciones, por lo cual se empleará la “L”.
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Esta ecuación es una de las propiedades más útiles de la transformada de Laplace. Esta relaciona la
transformada de la n-ésima derivada de f(t) a la transformada de f(t) junto a valores numéricos de la derivada
de menor orden a medida que esta se aproxima a cero (para valores positivos). Cuando la transformada de
Laplace se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales, es en la ecuación presentada donde se incluyen las
condiciones de frontera, lo cual arroja una ventaja adicional cuando se conoce el valor de frontera en t=0.
Las condiciones en las que la propiedad presentada en la última ecuación es válida son:
- si la primera derivada de f(t) es continua en el intervalo 0 a t2.
- Si es al menos continua a trozos en e intervalo 0 a t2.
- Si f(t) y sus primeras n derivadas son de “orden exponencial”.2
La transformación de un integral se logra por partes y se obtiene (válido si Lf(t) existe):
­t ½ 1
L ® ³ f( t )dt ¾ f(s) y
¯0 ¿ s
­ t ½ 1 1a
L ® ³ f( t )dt ¾ f(s ) ³ f( t )dt
¯a ¿ s s0
Propiedad de traslado de la transformada:
^ `
L e at f( t ) f(p a)
Esta ecuación establece que la transformada de un producto e at f( t ) se obtiene reemplazando s por s-a n la
transformada de f(t). Si:
­0 ta
f( t ) ®
¯g( t a ) tta
f(s) e ap g (s)
La utilidad de la expresión anterior se presenta cuando una función f(t) es cero para todos los valores de t
menores a un valor positivo a, y es de la forma g(t-a) para t t a, entonces la transformada de esta función se
encuentra como el producto de e as y la transformada de g(t).
La transformada inversa.
En la práctica, la mayor dificultad del método de la transformada de Laplace es determinar la función que
corresponde a la expresión encontrada en función de s. Entonces, f( s) es relativamente fácil de encontrar y el
paso final es la determinación de “la transformada inversa de Laplace f(t)”.
El proceso de inversión es único pues a una función f(t) corresponde una transformada f( s) . Sin embargo no
todas las funciones en el dominio de “s” son funciones susceptibles de ser transformadas. Aun así, si f(s) tiende
a cero a medida que s tiende a infinito y sf(s) es acotada a medida que s tiende a infinito, entonces f( s) es la
transformada de alguna función f(t) que es al menos continua a trozos en un intervalo 0 d t d t 2 y es de orden
exponencial.
Cuando el valor inicial de f(t) se necesita y f( s) es conocida, lo siguiente es útil:
Lim sf ( s ) f( 0 )
s of
Al continuación se presenta una tabla resumen de transformadas comunes.
2 so t
El orden exponencial se cumple cuando e f( t ) es limitada para valores altos de t.
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f
st
Transformada f(s) ³e f( t )dt Función f(t)
0
1
1
s
1
t
s2
1 t n 1
n 1,2,3,.....
sn n 1

4. !
1 1
s St
1 t
3 /2 2
s S
1 2 n t n 1 / 2
n 1,2,3,...
s n 1 / 2 1x3x5x....( 2 n 1)@ S
*( k )
k!0 t k 1
sk
1
e at
sa
1
te at
s a

5. 2
1 1
n 1,2 ,3 ,... t n 1 e at
s a

6. n
( n 1)!
*( k )
k!0 t k 1 e at
s a

7. k
1
s a

8. s b

9. azb
1
ab
e at e bt

10. s
s a

11. s b

12. azb
1
ab
ae at be bt

13. 1 ( b c)e at ( c a )e bt ( a b)e ct
azbzc
s a

14. s b

15. s c

16. ( a b)( b c)( c a )
Para que el estudiante pueda profundizar, en la carpeta correspondiente al capítulo cuatro encontrara el capítulo
sexto del libro “Ecuaciones diferenciales aplicadas” de Murray Spiegel (Prentice Hall-1983).
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