Makalah ini membahas metode numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial awal nilai (Initial Value Problems/IVP) untuk persamaan diferensial biasa orde pertama tunggal dan sistem persamaan diferensial orde pertama terkait, serta mengkonversi persamaan diferensial orde tinggi menjadi sistem persamaan orde pertama. Berbagai metode penyelesaian seperti Euler, Runge-Kutta, dan Trapezoidal dijelaskan beserta contoh penerapannya dalam te

1. Tugas Kelompok Metode Numerik
INITIAL VALUE PROBLEMS
(Single, First Order ODE and
Systems of Coupled First Order ODE)
Oleh :
Kelompok 6
Kelas C
Ella Melyna 0907114082
Riska Widiya 0907114087
Muchlis Ade Putra 0907114265
Andreas Sahat P 0907133207
PROGRAM SARJANA TEKNIK KIMIA
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS RIAU
PEKANBARU
2011

2. KATA PENGANTAR
Metode Numerik merupakan mata kuliah wajib Semester V pada program
studi S1 Teknik Kimia dengan beban 3 SKS. Setelah mengikuti perkuliahan ini,
mahasiswa diharapkan dapat menyelesaikan masalah matematis teknik kimia
secara numerik.
Makalah Initial Value Problems (Single, First Order ODE and Systems of
Coupled First Order ODE) ini disusun untuk memenuhi nilai tugas pada semester
V mata kuliah Metode Numerik. Makalah ini disusun berdasarkan hasil studi
pustaka dan diskusi kelompok.
Penulis menyadari sepenuhnya bahwa makalah ini masih jauh dari
kesempurnaan. Untuk itu penulis mengharapkan saran-saran yang sifatnya
membangun sebagai bahan pertimbangan untuk penulisan makalah di masa yang
akan datang. Semoga makalah ini dapat memberikan sumbangan bagi
perkembangan pendidikan dan bermanfaat bagi kita semua terutama bagi
mahasiswa Teknik Kimia, Universitas Riau.
Pekanbaru, November 2011
Penulis

3. DAFTAR ISI
Kata Pengantar .........................................................................................................i
Daftar Isi..................................................................................................................ii
Bab I : Pendahuluan
1.1 Pengertian Persamaan Differensial.................................................................1
1.2 Initial Value Problem (IVP)...........................................................................3
1.3 Contoh – Contoh Permasalahan Dalam Bidang Teknik yang diselesaikan
dengan IVP.....................................................................................................4
Bab II : Dasar Teori
2.1 Metode Penyelesaian Single, First Order ODE ............................................8
2.1.1 Metode Euler (Explicit).........................................................................8
2.1.2 Metode Runge Kutta............................................................................11
2.1.3 Metode Implisit....................................................................................14
2.2 Metode Penyelesaian Systems of Coupled First Order ODE.......................14
2.2.1 Metode Explicit Euler..........................................................................14
2.2.2 Metode Runge Kutta............................................................................17
2.2.3 Metode Trapezoidal.............................................................................22
2.3 Converting an nth Order ODE to a System of First Order ODE’s..............26
Bab III: Contoh-Contoh Kasus Dalam Teknik Kimia dan Penyelesaiannya.30
Bab IV : Ringkasan..............................................................................................41
Daftar Pustaka......................................................................................................43

4. BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Pengertian Persamaan Differensial
Persamaan differensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan
fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas.
(A differential equation is any equation which contains derivatives, either
ordinary derivatives or partial derivatives). Selanjutnya jika dalam persamaan
tersebut turunan fungsi itu hanya tergantung pada satu variabel bebas, maka
disebut Persamaan Differensial Biasa (PDB) dan bila tergantung pada lebih dari
satu variabel bebas disebut Persamaan Differensial Parsial (PDP).
Contoh:
1. 5=+
∂
∂
+
∂
∂
xy
t
y
x
y
(Persamaan Differensial Parsial)
2. 03
2
2
2
=−





−+ x
dx
dy
dx
yd
dx
dy
(Persamaan Differensial Biasa)
Order suatu persamaan differensial biasa adalah order tertinggi dari turunan
dalam persamaan 0),....,",',( )(
=n
yyyxF .
Contoh no.2 adalah persamaan differensial biasa order dua. Persamaan
differensial biasa order n dikatakan linier bila dapat dinyatakan dalam bentuk.
)()(')(......)()( 1
)1(
1
)(
0
xFyxayxayxayxa nn
nn
=++++ −
−
dengan
0)(0
≠xa .
1. Jika tidak dapat dinyatakan dalam bentuk di atas dikatakan tidak linier.
2. Jika koefisien )(),.....,(),( 10
xaxaxa n konstan maka disebut persamaan
differensial linier dengan koefisien konstan, jika tidak disebut persamaan
differensial linier dengan koefisien variable.
3. Jika 0)( =xF , maka disebut persamaan differensial linier homogen, jika
0)( <>xF disebut tidak homogen.
Persamaan differensial itu terbagi berdasarkan :

5. 1. Berdasarkan pangkat orde :
a. Persamaan differensial biasa orde satu
Persamaan differensial orde satu merupakan bentuk persamaan
differensial yang paling sederhana, karena hanya melibatkan turunan
pertama dari suatu fungsi yang tidak diketahui. Jika dalam persamaan
tersebut variabel bebas dan variabel tak bebasnya berada pada sisi yang
berbeda dari tanda persamaannya, maka disebut persamaan differensial
yang terpisah dan untuk menentukan selesaiannya tinggal diintegralkan.
Jika tidak demikian, maka disebut persamaan differensial tak terpisah.
Suatu persamaan differensial orde satu yang tak terpisah biasanya dapat
dengan mudah dijadikan persamaan differensial terpisah melalui
penggantian (substitusi) dari salah satu variabelnya.
b. Persamaan differensial biasa orde dua
c. Persamaan differensial biasa orde tiga
2. Berdasarkan kondisi batas:
a. IVP (Initial Value Problems), bila nilai variabel tak bebas atau turunannya
diketahui pada kondisi nilai mula-mula
b. BVP (Boundary Value Problems), bila nilai variabel tak bebas atau turunannya
diketahui lebih dari satu nilai variabel bebasnya
1.2 Initial Value Problem (IVP)
Initial Value Problem (IVP) merupakan materi yang penting untuk
dipelajari oleh mahasiswa teknik. Kelas terbesar IVP adalah masalah sementara
yaitu, variabel-variabel dependen berubah terhadap waktu. Salah satu contoh

6. permasalahan yang bisa diselesaikan dengan IVP dalam bidang teknik kimia
adalah variasi konsentrasi sebagai hasil reaksi dalam reaktor batch.
ODE (Ordinary Differential Equation) adalah sebuah persamaan
differensial yang berisi turunan dari satu variabel independen, sementara itu PDE
berisi turunan dari variabel independen yang lebih dari satu. Pada persamaan
differensial biasa (ODE), hanya terdapat 1 variabel bebas.
Penyelesaian persamaan differensial biasa (ODE) dapat dilakukan dengan 4
metode yaitu :
• Metode Euler (Explicit)
• Metode Runge Kutta
• Metode Euler Modifikasi (Implisit)
• Metode Trapezoidal
Initial Value Problem (IVP) terbagi 3 yaitu :
1.2.1 Single, First Order ODE
Persamaan untuk IVP Single, First Order ODE bisa ditulis mengikuti
bentuk:
dimana :
Metode penyelesaian Single, First Order ODE ada 3 yaitu:
• Metode Euler (Explicit)
• Metode Runge Kutta
• Metode Euler Modifikasi (Implisit)
1.2.2 Systems of Coupled First Order ODE
Persamaan untuk IVP Systems of Coupled First Order ODE bisa ditulis
mengikuti bentuk:

7. Permasalahan yang lebih umum akan menjadi salah satu di mana f1 dan f2
juga fungsi dari variabel independen, x; yaitu
Metode penyelesaian Systems of Coupled First Order ODE ada 3 yaitu:
• Metode Euler (Explicit)
• Metode Runge Kutta
• Metode Trapezoidal
1.2.3 Initial Value Partial Diffrential Equations
1.3 Contoh – Contoh Permasalahan Dalam Bidang Teknik yang
diselesaikan dengan IVP
a. Untuk menghitung panjang lintasan bisbol yang dilempar dari bidang
tengah lapangan bisbol ke home plate (lihat gambar 1.1). Asumsikan
bahwa outfielder melepaskan bola delapan meter di atas tanah dan bisbol
yang memiliki kecepatan awal V0 yang memiliki sudut θ dengan
horizontal. Ingatlah bahwa perjalanan bisbol melalui udara, udara akan
menyebabkan gaya gesek pada bola menentang kecepatan bola. Kekuatan
tarik dapat ditunjukkan bervariasi dengan kuadrat kecepatan.
Keseimbangan gaya pada bola di kedua arah x dan y hasil dalam
dimana k adalah konstanta tarik, m adalah massa bola, ag adalah
accelaration gravitasi, ay adalah accelaration bersih bola dalam arah y,
dan ax adalah accelaration bersih bola dalam arah x. Perhatikan bahwa

8. kV2
adalah gaya gesekan total dan bahwa Vx/V adalah komponen gaya
gesekan dalam arah x. Kedua accelaration dari bola dan kecepatan bola
yang berhubungan dengan laju perubahan terhadap waktu dari jarak, x
dan y, yaitu,
persamaan yang dihasilkan adalah
dimana
pada t=0
Perhatikan, bahwa semua kondisi yang diketahui ditentukan pada satu
kondisi waktu (yaitu, t = 0) dan dengan demikian ini merupakan kondisi
awal dari masalah. Oleh karena itu,
Trajectory of Baseball

9. Centerfielder Home Plate
Gambar 1.1 Lintasan Bisbol
masalah ini adalah masalah nilai awal (IVP) karena semua kondisi
tertentu untuk satu nilai dari variabel independen (t) yaitu 0.
x=0 x=250 ft
t=0 t=3 sec
y=6 y=1 ft
Untuk menemukan lintasan yang cocok untuk kondisi batas akan
mewakili Boundary Value Problem (BVP).
b. Diasusmsikan reaktor Batch non-isotermal yang dioperasikan pada
keadaan adiabatik (tidak ada pertukaran panas diantara rekator dengan
lingkungan). Reaktor dapat dilihat pada gambar 4.7. Dalam reaktor
terdapat reaksi campuran cairan dengan reaksi
A P
dimana r = kCA dan
CA adalah konsentrasi A, dan E adalah energi aktivasi dari reaksi, R
adalah konstanta gas, dan T adalah temperatur absolut. Dimana reaktor
diasumsikan teraduk sempurna, unsteady state kesetimbangan mol
komponen A adalah
Karena volum reaktor, VR adalah konstan dan CA =nA/VR

10. Unsteady state kesetimbangan energi
Dimana adalah densitas dari campuran reaksi, Cp adalah panas kapasitas
rata-rata dari campuran reaksi, dan adalah panas reaksi dalam fungsi
temperatur. Jadi untuk dT/dt,
Persamaan ini kira-kira mendekati persamaaan 4.10 yang menjelaskan
dimana konsentrasi A dan temperatur dalam sistem akan berubah
terhadap waktu. Secara umum, panas reaksi tidak akan berpengaruh besar
pada temperatur, sehingga persamaan 4.10 da 4.11 bisa menjadi
dimana T=T0 dan CA=CA0 pada saat t=0. Di bawah ini adalah contoh
gabungan dari dua persamaan pada sistem orde pertama. Dua persamaan
ini digabungkan karena dCA/dt adalah fungsi T sementara CA dT/dt juga
dalam fungsi CA dan T.
BAB II
DASAR TEORI

11. 2.1 Metode Penyelesaian Single, First Order ODE
2.1.1 Metode Euler (Explicit)
Metode Ekplisit Euler disebut juga metoda integrasi nilai awal, dimana
kondisi awal digunakan untuk menghitung slope y(x) pada saat x=x0
kemudian diasumsikan bahwa slope tetap konstan untuk jarak yang kecil
, maka nilai adalah
Rekursi umum hubungan metode Explicit Euler adalah
atau
...................................................(2.1)
Example 4.1
Hitung nilai y pada x = 1 dengan metode Euler jika persamaannya
dimana y=1 pada saat x=0
Solusi
Langkah 1. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk dy/dx = f(x,y)
maka
Langkah 2. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk explicit euler
yi+1 = yi + ∆x f (xi , yi)
maka
yi+1 = yi + ∆x xi
2
yi
Langkah 3. Pilih ∆x yang tepat lalu selesaikan

12. Asumsi ∆x= 0.1, ∆x= 0.05, ∆x= 0.02, ∆x= 0.01 xo = 0, yo = 1
Perbandingan nilai analitis dengan metode euler:
x
∆x Nilai
Analisis0,1 0,05 0,02 0,01
0 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
0,1 1,0000 1,0001 1,0002 1,0003 1,0003
0,2 1,0010 1,0018 1,0023 1,0025 1,0027
0,3 1,0050 1,0069 1,0081 1,0086 1,0090
0,4 1,0140 1,0176 1,0199 1,0207 1,0216
0,5 1,0303 1,0361 1,0400 1,0412 1,0425
0,6 1,0560 1,0650 1,0707 1,0727 1,0747
0,7 1,0940 1,1070 1,1154 1,1182 1,1211
0,8 1,1476 1,1661 1,1718 1,1819 1,1861
0,9 1,2211 1,2468 1,2635 1,2692 1,2751
1,0 1,3200 1,3559 1,3792 1,3873 1,3956
∆x y (x=1)
0,1 1,3200
0,05 1,3559
0,02 1,3792
0,01 1,3873
Gambar 2.1 Perbandingan nilai analitis dengan nilai yang didapat dengan metode
Euler
Example 4.2
Nilai Analisis

13. dimana nA=0 pada saat t=0
Gunakan metode explicit euler dan tentukan konsentrasi A (nA) pada saat t=100
sekon.
Solusi
Langkah 1. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk dy/dx = f(x,y)
maka
Langkah 2. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk explicit euler
yi+1 = yi + ∆x f (xi , yi)
maka
nA (t + ∆t) = nA (t) + ∆t
Langkah 3. Pilih ∆t yang tepat lalu selesaikan. Untuk ∆t=1.
i t nA
0
1
2
3
.
.
.
10
.
.
.
100
0
1
2
3
.
.
.
10
.
.
.
100
0
10
19,8333
29,2713
.
.
.
80,9194
.
.
.
297,9401
Jadi, konsentrasi A (nA) pada saat t=100 sekon adalah 297,9401 gmol/liter

14. Berdasarkan tabel di atas dapat dibuat grafik hubungan antara nA dengan t
Gambar 2.2 Hubungan konsentrasi A (nA) dengan waktu (t)
2.1.2 Metode Runge Kutta
Metode Runge Kutta menyediakan pendekatan orde tinggi untuk integrasi
explicit dari Persamaan Differesial Biasa (PDB) yang telah diketahui nilai
awalnya (initial value). Sehingga, metode ini sangat luas penggunaanya untuk
menyelesaikan integrasi PDB secara numerik. Seperti metode Euler, PDB
diasumsikan memiliki bentuk umum sebagai berikut
......................................................(2.2)
Metode Runge Kutta didasari oleh perluasan deret Taylor dari fungsi y(x)
sebagai berikut
.........................(2.3)
Sebagai tambahan, ∆y diasumsikan memiliki bentuk sebagai berikut :
.................................(2.4)
dimana

15. ..........................(2.5)
konfigurasi ini dipilih dengan tujuan untuk mendapatkan pendekatan slope y
terhadap ∆x yang lebih baik. Dengan menuliskan perluasan deret Taylor untuk k1,
k2, k3, dan k4 kemudian mensubtitusikannya ke persamaan (2.3), akan diperoleh
persamaan yang bentuknya mirip dengan persamaan (2.2). Kemudian, dengan
menyamakan koefisien yang variabelnya sama dan mengasumsikan nilai untuk n,
m, dan p, maka nilai a, b, c, dan d dapat ditentukan.
Berikut ini adalah persamaan umum Runge Kutta (n= ½, m=1/2, dan p= 1)
............................(2.6)
dimana
)
)
)
Example 4.3
Diketahui persamaan differensial sebagai berikut:
Dimana y = 1, pada x = 0. Tentukan nilai y pada saat x = 1 dengan metode Runge
Kutta!
Solusi
Langkah 1. Ubah persamaan ke bentuk dy/dx = f(x,y)

16. Langkah 2. Ubah persamaan tersebut ke bentuk Runge Kutta
)
)
)
maka
+0.0025x0.1) = 0.01
Langkah 3. Tentukan nilai yi+1 dengan persamaan
Langkah 3. Pilih nilai ∆x yang tepat, lalu selesaikan
Untuk ∆x = 1
i x y k1 k2 k3 k4
0 0 1 0 0,0025 0,0025 0,010003
1 0,1
1,00033
3
0,01000
3
0,02251
9
0,02253
3 0,040103
2 0,2 1,00267
0,04010
7
0,06279
2
0,06286
3 0,090806
3 0,3
1,00904
1
0,09081
4
0,12416
4
0,12436
8 0,163436
4 0,4 1,02156 0,16345 0,20852 0,20897 0,260615

17. 3 1 8
5 0,5
1,04254
7
0,26063
7
0,31931
3 0,3202 0,386844
6 0,6
1,07465
5
0,38687
6
0,46221
5
0,46380
6 0,549308
7 0,7
1,12112
6
0,54935
2
0,64608
4
0,64880
4 0,759044
8 0,8
1,18609
5
0,75910
1
0,88437
6
0,88890
2 1,032738
9 0,9
1,27506
9
1,03280
6
1,19735
5 1,20478 1,395547
10 1
1,39561
2
1,39561
2
1,61559
6
1,62772
2 1,885645
Jadi nilai y pada saat x=1 adalah 1,395612.
Berdasarkan tabel di atas dapat dibuat grafik hubungan antara y dengan x

18. Gambar 2.3 Hubungan konsentrasi A (nA) dengan waktu (t)
2.1.3 Metode Implisit
Metode implisit Euler dapat diturunkan dari perluasan deret Taylor sebagai
berikut
)
kemudian, dengan mengurangi ∆x2
dan orde yang lebih tinggi, maka persamaan
(2.6) menjadi
Metode implisit lain yang umum digunakan adalah metode trapezoidal.
Persamaan umumnya adalah
......................(2.7)
2.2 Metode Penyelesaian Systems of Coupled First Order ODE
2.2.1 Metode Explicit Euler
Metode Explicit Euler disajikan pada bagian terakhir dapat langsung
diperpanjang untuk solusi sistem n-coupled first order ODE’s. Hal ini karena
masing-masing dyi/dx bergantung secara umum pada semua nilai yi, masing-
masing fi(x,y) dihitung sebelum nilai baru yi dihitung. Oleh karena itu, algoritma
ini
.
.
.

19. ......................................(2.8)
dimana yi = (y1,j, y2,j, ..., yn,j). Sebagai contoh, yi,j adalah nilai yi pada ke-j nilai x
(yaitu bila kondisi awal yang ditentukan saat x=0, maka j-ke nilai x akan menjadi
jΔx).
Karena metode ini didasarkan pada metode Euler Explicit, ini adalah
metode orde pertama. Bergantung variabel (yi) yang paling cepat berubah
biasanya menentukan apakah metode ini akan stabil untuk ukuran langkah yang
diberikan. Untuk contoh pengantar untuk bagian ini, konsentrasi berubah dengan
cepat dengan waktu, kemudian akan menentukan ukuran langkah yang diperlukan
untuk stabilitas.
Example 4.4
Diketahui persamaan differensial sebagai berikut:
Dimana CA awal = 1 dan T awal = 300 K, tentukan konsentrasi dan temperatur
setelah 100 sekon hingga tiga angka penting jika
Solusi
Langkah 1. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk
maka
Langkah 2. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk Explicit Euler

20. maka
dimana T0=300 K dan CA0=1 gmol/liter
Langkah 3. Pilih Δt yang tepat untuk menyelesaikan persamaan differensial di
atas
Untuk Δt = 0,02
i t NA T
0
1
2
.
.
.
2500
.
.
.
5000
0
0,02
0,04
.
.
.
50
.
.
.
100
1
0,999264
0,998529
.
.
.
0,153627
.
.
.
0,023062
300
300,007358
300,01471
.
.
.
308,463728
.
.
.
309,769376
Jadi, konsentrasi A (CA) dan temperatur (T) setelah t=100 sekon adalah
CA=0,023062 gmol/liter dan T=309,769376 K
Berdasarkan tabel di atas dapat dibuat grafik hubungan antara CA dan T terhadap t

21. Gambar 2.4 Hubungan antara konsentrasi A (CA) dan Temperature (T) terhadap
waktu (t)
2.2.2 Metode Runge Kutta
Dalam cara yang mirip dengan pengembangan metode Euler Explicit,
metode Runge Kutta dapat diterapkan langsung ke solusi dari a set of coupled first
order ODE’s. Mempertimbangkan urutan metode Runge Kutta keempat disajikan
dalam bagian terakhir, Nilai-nilai k1 ditentukan untuk masing-masing bergantung
variabel dan kemudian nilai ini digunakan untuk menghitung nilai-nilai k2, dan
sebagainya. Kemudian hubungan rekursi untuk metode Runge Kutta urutan
keempat diberikan sebagai

22. ................(2.9)
dimana y,i,j adalah nilai i-ke bergantung variabel setelah langkah-langkah j dalam
x dan
..................(2.10)
Metode ini adalah metode urutan keempat. Perilaku stabilitas metode ini
akan serupa dengan yang dari metode Euler Explicit.
Integrator Explicit dapat dengan mudah dimodifikasi untuk menyesuaikan
ukuran langkah x selama proses integrasi. Sebagai contoh, Δx dapat dipilih
sedemikian rupa sehingga perubahan relatif maksimal dalam setiap variabel
adalah P persen. Dengan cara ini, ketika variabel-variabel bergantung yang
berubah dengan cepat, ukuran langkah kecil dapat digunakan, dan ketika mereka
berubah lebih cepat, langkah-langkah lebih besar dapat diambil.
i=1,2,...,n
Prosedur ini harus menghasilkan proses integrasi yang lebih efisien. Selain
itu, P biasanya harus antara 1 dan 20%, sehingga memeriksa keakuratan
ditentukan lebih langsung.
Example 4.5
Persamaan differensial sebagai berikut:
dimana y1=y2=y3=1 dan x=0.

23. Tentukan y1, y2, y3 pada x=0,3 menggunakan 4 urutan langkah metode
Runge Kutta dengan Δx=0,1.
Solusi
Langkah 1. Ubah persamaan differensial tersebut ke persamaan
maka
Langkah 2. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk Runge Kutta
maka

24. Langkah 3. Tentukan nilai yi+1 dengan persamaan
maka
Langkah 4. Pilih Δx yang tepat lalu selesaikan persamaan differensial tersebut
Δx=0,1

26. x y1 y2 y3 dy1/dx dy2/dx dy3/dx k1,1 k1,2 k1,3 k2,1 k2,2 k2,3 k3,1 k3,2 k3,3 k4,1 k4,2 k4,3
0 1 1 1 0 3 0 0 3 0 0,0575 3,325 0,165 0,058 3,385 0,1678 0,1324 3,8471 0,373
0,1 1,0061 1,3378 1,0173 0,1323 3,8467 0,373 0,1323 3,8467 0,373 0,2244 4,4625 0,6276 0,2271 4,5935 0,6437 0,3418 5,4981 0,9811
0,2 1,029 1,7954 1,0823 0,3414 5,4936 0,9808 0,3414 5,4936 0,9808 0,4785 6,7218 1,4227 0,4865 7,0447 1,4793 0,657 9,0141 2,1285
0,3 1,0778 2,4961 1,2308 0,6557 8,997 2,1267 0,6557 8,997 2,1267 0,8564 11,822 3,0436 0,8755 12,822 3,2477 1,1322 18,213 4,8373
Berdasarkan tabel di atas dapat dibuat grafik hubungan antara y dengan x
Jadi didapat nilai y1=1,0778, y2=2,4961, dan y3=1,2308 pada x=0,3.

27. 2.2.3 Metode Trapezoidal
Metode trapezoidal juga dapat digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan a set of coupled first order ODE’s. Secara umum, jika ada n-
coupled first order ODE’s, setiap langkah akan membutuhkan solusi dari
persamaan aljabar ditambah seperangkat n-nonlinier. Menerapkan metode
trapezoidal ke sistem agar hasil of first order ODE’s di persamaan berikut (yaitu,
satu untuk setiap ODE);
.
.
.
...................(2.11)
dimana
........................................(2.12)
dan di mana yi,j adalah i-ke bergantung variabel setelah langkah-langkah j.
Example 4.6
Gunakan metode Trapezoidal untuk
dimana y1=y2=0 pada x=0
Tentukan y1 dan y2 pada x=0,2 dengan Δx=0,1.
Solusi
Langkah 1. Ubah persamaan differensial tersebut ke persamaan
maka

28. Langkah 2. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk Trapezoidal
.
.
.
dimana
maka
..............................................................................................(1)
..............................................................................................(2)

29. Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) sehingga menjadi
Masukkan nilai y1,1 ke persamaan (2) sehingga didapatkan y1,2
Kemudian dicari y1,2 dan y2,2

30. ..............................................................................................(3)
.............................................................................................(4)
Substitusi persamaan (4) ke persamaan (3) sehingga menjadi

31. Masukkan nilai y1,2 ke persamaan (4) sehingga didapatkan y2,2
2.3 Converting an nth Order ODE to a System of First Order ODE’s
Perhatikan ODE orde kedua dengan kondisi awal:
dimana y(x0) = a dan
karena kedua kondisi yang ditentukan untuk nilai x yang sama, masalahnya adalah
sebuah IVP. Membuat substitusi berikut:
kemudian turunan differensial menjadi
kemudian kedua persamaan disusun kembali
dimana
z(x0) = b
y(x0) = a

32. sekarang orde kedua ODE telah diubah menjadi a set of two coupled first order
ODE’s yang dapat terintegrasi dengan menggunakan salah satu metode yang
dijelaskan sebelumnya.
Sekarang perhatikan masalah umum dari orde n-ke ODE, IVP; yaitu
dimana
. x = x0
.
.
dalam rangka untuk mengubah masalah ini menjadi a set of coupled first order
ODE’s membuat, maka dibuat substitusi berikut:
.
.
.
maka selama kamu dapat secara eksplisit memecahkan
dalam fungsi umum, masalah dapat diubah menjadi bentuk berikut
.
.
.

33. dimana
.
. x = x0
.
sekarang masalah telah dikonversi ke dalam a set of n coupled first order ODE’s
membentuk suatu IVP.
Example 4.7
Ubah persamaan differensial orde 3 berikut ke Systems First Order ODE’s
dimana
Solusi
Persamaan nya dapat diubah menjadi:
gunakan substitusi:

34. sehingga menjadi
dengan

35. BAB III
CONTOH-CONTOH KASUS DALAM TEKNIK KIMIA DAN
PENYELESAIANNYA
1) Dua buah tangki air tersambung secara seri dan saling berinteraksi. Kecepatan
aliran keluar merupakan fungsi akar kuadrat dari ketinggian air, jadi untuk
tangki 2 sebagai fungsi . Akan ditentukan ketinggian h1 dan h2 sebagai
fungsi waktu dari t = 0 sampai t=40 menit dengan interval 4 menit. Setelah
disusun neraca bahan diperoleh persamaan differensial simultan sebagai fungsi
waktu :
Harga – harga parameter yang ada :
β1 = 2.5 ft2.5
/menit β1 = 5/ ft3
/menit
A1 = 5 ft2
A2 = 10 ft2
F= 5 ft3
/menit
Dengan kondisi awal pada t = 0, h1 = 12 ft dan h2 = 7 ft
Solusi menggunakan Metode Euler:
Langkah 1. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk dy/dx = f(x,y)
Langkah 2. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk explicit euler
yi+1 = yi + ∆x f (xi , yi)
maka
hi+1 = hi + ∆x

36. hi+1 = hi + ∆x(
Langkah 3 : Pilih ∆x yang tepat lalu selesaikan
Untuk ∆t= 4
i t (menit) h1 (ft) h2 (ft)
1 0 12 7
2 4
11,5278
6 6,665495
3 8
11,1177
1 6,357934
4 12
10,7543
3 6,080485
5 16
10,4305
1 5,832305
6 20
10,1418
3 5,611301
7 24 9,88482 5,415085
8 28 9,65647 5,241286
9 32
9,45400
3 5,087661
10 36
9,27484
4 4,952119
11 40
9,11661
1 4,832731
2) Sebuah persamaan isotermal tekanan konstan reaktor batch mengikuti reaksi
berikut :
r
A (g)  2P (g)
dimana r = 0,1 CA
2
[=] gmole/L.sec
Mula – mula reaktor mengandung 0,01 gmole A dan 0.01 gmole dari gas inert
pada volum 0,5 L.

37. Tentukan volum reaktor setelah 25 detik reaksi. Reaktor dijalankan pada
unsteady-state dengan persamaan mole balance pada komponen A di reaktor,
yielding :
dimana gas dapat diasumsikan sebagai gas ideal, maka :
V = 0,75 – 25 nA [=] L
maka
Solusi menggunakan Metode Euler:
Langkah 1. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk dy/dx = f(x,y)
Langkah 2. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk explicit euler
yi+1 = yi + ∆x f (xi , yi)
maka
Langkah 3 : Pilih ∆x yang tepat lalu selesaikan
Untuk ∆t= 1 sekon
i t nA
1 0 0,01
2 1 0,00998
3 2 0,00996
4 3 0,00994
5 4 0,009921
6 5 0,009901
7 6 0,009881
8 7 0,009862
9 8 0,009843

38. 10 9 0,009824
11 10 0,009804
12 11 0,009785
13 12 0,009766
14 13 0,009748
15 14 0,009729
16 15 0,00971
17 16 0,009692
18 17 0,009673
19 18 0,009655
20 19 0,009636
21 20 0,009618
22 21 0,0096
23 22 0,009582
24 23 0,009564
25 24 0,009546
26 25 0,009528
27 26 0,00951
Diperoleh nA setelah 25 detik = 0,00951 gmole
Langkah 4 : Hitung Volum setelah 25 detik reaksi :
V = 0,75 – 25 nA
V = 0,75 – 25 (0,00951)
V = 0,51225 L
3) Suatu sistem aliran di mana air ditambahkan ke dalam tangki dengan laju alir
masuk 50 galon per menit dan laju alir keluar pada tingkat Q GPM sampai
tangki terisi setringgi, H (t). Tentukan H sebagai fungsi waktu untuk data
berikut
H awal 2 ft
Fluida adalah H2O
Diameter Tangki, Dt = 5 ft
Lc= 30 ft
Dp= 1 inch
Persamaan kesetimbangan neraca massa dalam sistem

39. Dimana Q berhubungan dengan H(t)
penurunan tekanan melalui pipa pembuangan nilainya sama dengan perbedaan
tekanan antara pembukaan ke garis debit dan tekanan atmosfer, yaitu
dimana
dan
dan
ρ adalah densitas dan µ adalah viskositas, substitusi persamaan menjadi
Dengan menggunakan metode numerik maka Q
Dengan H dalam ft dan Q dalam GPM, maka
Dimana H = 2 pada t = 0. Hitung waktu yang dibutuhkan untuk mencapai 90%
level tangki pada keadaan unsteady state dengan menggunakan metode Runge
Kutta.
Solusi menggunakan Metode Runge Kutta:
Langkah 1. Ubah persamaan ke bentuk dy/dx = f(x,y)
Langkah 2. Ubah persamaan tersebut ke bentuk Runge Kutta

40. )
)
)
maka
Langkah 3. Tentukan nilai yi+1 dengan persamaan
Langkah 3. Pilih nilai ∆x yang tepat, lalu selesaikan
Untuk ∆t = 1=0,2 menit
i t H k1 k2 k3 k4
0 0 2
0,19861
3
0,19781
1
0,19781
5 0,19702
1 0,2 2,039563 0,19702
0,19623
1
0,19623
5 0,195453
2 0,4 2,07881
0,19545
3
0,19467
7 0,19468 0,19391
3 0,6 2,117745 0,19391
0,19314
7 0,19315 0,192392
... ... ... ... ... ...
449 89,8 8,343568
0,02002
7
0,01998
3
0,01998
4 0,01994
450 90 8,347565 0,01994
0,01989
6
0,01989
6 0,019853
451 90,2 8,351544
0,01985
3
0,01980
9
0,01980
9 0,019766
452 90,4 8,355506
0,01976
6
0,01972
2
0,01972
3 0,019679

41. 453 90,6 8,35945
0,01967
9
0,01963
6
0,01963
6 0,019593
... ... ... ... ... ...
4407 881,4 9,278408 1,2E-09 1,2E-09 1,2E-09 1,2E-09
4408 881,6 9,278408 1,2E-09 1,2E-09 1,2E-09 1,19E-09
4409 881,8 9,278408 1,19E-09 1,19E-09 1,19E-09 1,19E-09
4410 882 9,278408 1,19E-09 1,19E-09 1,19E-09 1,18E-09
Sehingga diperoleh H pada keadaan unsteady state ( H konstan terhadap waktu )
adalah 9,278407 ft pada waktu 881,4 menit. Maka untuk mencapai 90% H (0,9 x
9,278407=8,3505663 ft) diperlukan waktu 90,2 menit.
Berdasarkan tabel di atas dibuat grafik hubungan H dengan t
Gambar 2.6 Hubungan antara konsentrasi tinggi tangki (H) dengan waktu
4) Pada reaktor semi batch dengan reaksi

42. Dimana konsentrasi dalam gmol/liter dan kecepatan reaksi dalam
gmol/liter.sekon. Tentukan waktu yang dibutuhkan untuk beraksi untuk
mencapai konsentrasi maksimum B.
Kesetimbangan mol komponen pada keadaan unsteady-state:
tapi
dan
Dengan asumsi:
Substitusi nilai numerik sehingga menghasilkan
dimana nA=nB=nC=0 pada t=0.
Solusi menggunakan Metode Euler:
Langkah 1. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk

43. maka
Langkah 2. Ubah persamaan differensial tersebut ke bentuk Explicit Euler
maka
Langkah 3. Pilih Δt yang tepat untuk menyelesaikan persamaan differensial di
atas, dengan
dan
Untuk Δt = 1 sekon
i t nA nB nC VR CA CB CC
0 0 0 0 0 50 0 0 0
1 1 10 0 0 60
0,16666
7 0 0
2 2
19,8333
3
0,16666
7 0 70
0,28333
3
0,00238
1 0

44. 3 3
29,2797
2
0,72025
8 1,98E-05 80
0,36599
7
0,00900
3 2,48E-07
4 4
38,2441
1
1,75554
8
0,00034
4 90
0,42493
5
0,01950
6 3,82E-06
5 5
46,7067
6
3,29118
3
0,00205
6
10
0
0,46706
8
0,03291
2 2,06E-05
6 6 54,6898
5,30272
9
0,00747
2
11
0 0,49718
0,04820
7 6,79E-05
7 7
62,2358
7
7,74387
9
0,02025
4
12
0
0,51863
2
0,06453
2 0,000169
8 8
69,3953
1
10,5594
5 0,04524
13
0 0,53381
0,08122
7 0,000348
9 9
76,2188
9
13,6929
8
0,08812
5
14
0
0,54442
1
0,09780
7 0,000629
1
0
1
0
82,7540
3
17,0908
9
0,15508
9
15
0
0,55169
4
0,11393
9 0,001034
1
1
1
1
89,0430
8
20,7044
6
0,25245
5
16
0
0,55651
9
0,12940
3 0,001578
1
2
1
2
95,1228
9 24,4907
0,38641
6
17
0
0,55954
6
0,14406
3 0,002273
1
3
1
3
101,024
9
28,4123
2
0,56282
6
18
0
0,56124
9
0,15784
6 0,003127
1
4
1
4
106,775
5
32,4374
8
0,78706
5
19
0
0,56197
6
0,17072
4 0,004142
1
5
1
5
112,396
8
36,5392
4
1,06395
7
20
0
0,56198
4
0,18269
6 0,00532
1
6
1
6
117,907
2
40,6950
2
1,39773
6
21
0
0,56146
3
0,19378
6 0,006656
1
7
1
7
123,321
9
44,8860
2
1,79204
2
22
0
0,56055
4
0,20402
7 0,008146
1
8
1
8
128,653
4
49,0966
8 2,24994
23
0
0,55936
3
0,21346
4 0,009782
1
9
1
9
133,911
8
53,3142
2
2,77395
9
24
0
0,55796
6
0,22214
3 0,011558
2
0
2
0
139,105
7
57,5281
6
3,36612
6
25
0
0,55642
3
0,23011
3 0,013465
2
1
2
1 144,242
61,7300
2
4,02802
4
26
0
0,55477
7
0,23742
3 0,015492
2
2
2
2
149,326
3
65,9129
2
4,76083
1
27
0 0,55306
0,24412
2 0,017633
2
3
2
3
154,363
3
70,0713
7 5,56537
28
0
0,55129
7
0,25025
5 0,019876
2
4
2
4
159,356
8
74,2010
2
6,44215
6
29
0
0,54950
6
0,25586
6 0,022214
2 2 164,310 78,2984 7,39143 30 0,5477 0,26099 0,024638

45. 5 5 1 6 0 5
2
6
2
6
169,225
8
82,3610
3
8,41320
5
31
0 0,54589
0,26568
1 0,027139
2
7
2
7 174,106
86,3867
5
9,50729
2
32
0
0,54408
1
0,26995
9 0,02971
2
8
2
8
178,952
5
90,3741
5
10,6733
3
33
0 0,54228
0,27386
1 0,032343
2
9
2
9 183,767
94,3221
8
11,9108
3
34
0
0,54049
1
0,27741
8 0,035032
3
0
3
0
188,550
7
98,2301
8
13,2191
7
35
0
0,53871
6
0,28065
8 0,037769
3
1
3
1
193,304
6
102,097
7
14,5976
2
36
0
0,53695
7
0,28360
5 0,040549
3
2
3
2
198,029
9
105,924
7
16,0453
9
37
0
0,53521
6
0,28628
3 0,043366
3
3
3
3
202,727
2
109,711
1
17,5616
1
38
0
0,53349
3
0,28871
4 0,046215
3
4
3
4
207,397
5
113,457
2
19,1453
7
39
0
0,53178
8
0,29091
6 0,049091
3
5
3
5
212,041
2
117,163
2
20,7956
9
40
0
0,53010
3
0,29290
8 0,051989
3
6
3
6 216,659
120,829
5
22,5115
9
41
0
0,52843
6
0,29470
6 0,054906
3
7
3
7
221,251
4
124,456
6
24,2920
5
42
0
0,52678
9
0,29632
5 0,057838
3
8
3
8
225,818
9 128,045
26,1360
3
43
0 0,52516
0,29777
9 0,060781
3
9
3
9
230,362
1
131,595
4
28,0424
9
44
0 0,52355
0,29908
1 0,063733
4
0
4
0
234,881
2
135,108
4
30,0103
7
45
0
0,52195
8
0,30024
1 0,06669
4
1
4
1
239,376
8
138,584
5
32,0386
2
46
0
0,52038
4
0,30127
1 0,069649
4
2
4
2
243,849
3
142,024
5 34,1262
47
0
0,51882
8 0,30218 0,072609
4
3
4
3
248,298
9
145,429
1
36,2720
5
48
0
0,51728
9
0,30297
7 0,075567
4
4
4
4
252,726
1
148,798
8
38,4751
3
49
0
0,51576
8
0,30367
1 0,078521
4
5
4
5
257,131
3
152,134
3
40,7344
2
50
0
0,51426
3
0,30426
9 0,081469
4
6
4
6
261,514
7
155,436
4
43,0489
1
51
0
0,51277
4
0,30477
7 0,08441
4
7
4
7
265,876
7
158,705
7
45,4175
8
52
0
0,51130
1
0,30520
3 0,087342

46. 4
8
4
8
270,217
7
161,942
9
47,8394
6
53
0
0,50984
5
0,30555
3 0,090263
4
9
4
9
274,537
9
165,148
5
50,3135
6
54
0
0,50840
4
0,30583
1 0,093173
5
0
5
0
278,837
7
168,323
3
52,8389
3
55
0
0,50697
8
0,30604
2 0,096071
5
1
5
1
283,117
5
171,467
9
55,4146
4
56
0
0,50556
7
0,30619
3 0,098955
5
2
5
2
287,377
4
174,582
9
58,0397
5
57
0
0,50417
1
0,30628
6 0,101824
5
3
5
3
291,617
8
177,668
9
60,7133
6
58
0
0,50278
9
0,30632
6 0,104678
5
4
5
4 295,839
180,726
4
63,4345
9
59
0
0,50142
2
0,30631
6 0,107516
5
5
5
5
300,041
3
183,756
1
66,2025
6
60
0
0,50006
9 0,30626 0,110338
5
6
5
6 304,225
186,758
6
69,0164
2
61
0
0,49872
9
0,30616
2 0,113142
5
7
5
7
308,390
3
189,734
4
71,8753
3
62
0
0,49740
4
0,30602
3 0,115928
5
8
5
8
312,537
6
192,683
9
74,7784
9
63
0
0,49609
1
0,30584
8 0,118696
Dari tabel di atas, didapat konsentrasi maksimum B adalah 0,306326 gmol/L
pada saat t=53 sekon.
Berdasarkan tabel di atas dibuat grafik hubungan CB dengan t
Gambar 2.7 Hubungan antara konsentrasi B (CB) dengan waktu (t)

47. BAB IV
RINGKASAN
1) Persamaan differensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi
dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas. (A
differential equation is any equation which contains derivatives, either
ordinary derivatives or partial derivatives). Selanjutnya jika dalam persamaan
tersebut turunan fungsi itu hanya tergantung pada satu variabel bebas, maka
disebut Persamaan Differensial Biasa (PDB) dan bila tergantung pada lebih
dari satu variabel bebas disebut Persamaan Differensial Parsial (PDP).

48. 2) Initial Value Problem (IVP) merupakan materi yang penting untuk dipelajari
oleh mahasiswa teknik. Kelas terbesar IVP adalah masalah sementara yaitu,
variabel-variabel dependen berubah terhadap waktu. Salah satu contoh
permasalahan yang bisa diselesaikan dengan IVP dalam bidang teknik kimia
adalah variasi konsentrasi sebagai hasil reaksi dalam reaktor batch.
3) ODE (Ordinary Differential Equation) adalah sebuah persamaan differensial
yang berisi turunan dari satu variabel independen, sementara itu PDE berisi
turunan dari variabel independen yang lebih dari satu. Pada persamaan
differensial biasa (ODE), hanya terdapat 1 variabel bebas.
4) Ada 3 metode penyelesaian persamaan differensial, Single, First Order ODE
a) Metode Euler (Explicit)
b) Metode Runge Kutta
dimana
)
)
)
c) Metode Euler Modifikasi (Implisit)
5) Ada 3 metode penyelesaian persamaan differensial, Systems of Coupled First
Order ODE
a) Metode Explicit Euler

49. .
.
.
b) Metode Runge Kutta
dimana y,i,j adalah nilai i-ke bergantung variabel setelah langkah-langkah j
dalam x dan
c) Metode Trapezoidal
.
.
.
dimana
DAFTAR PUSTAKA
http://alifis.files.wordpress.com/2009/09/bab-v-masalah-nilai-awal-persamaan-
diferensial.pdf
http://elista.akprind.ac.id/upload/files/9637_BAB_IIOK.pdf

50. Riggs., B., J. 1988. An Introduction To Numerical Methods For Chemical
Enggineers. Texas Tech University Press, Texas.