BÀI TẬP ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN KHÓ CÓ LỜI GIẢI

Tr¬ng v¨n thanh

bµi tËp phÇn ®éng lùc häc vËt r¾n líp 12 ®t : 0974.810.957

BÀI TẬP TỰ LUẬN ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN
Bài 1: Một cánh quạt bắt đầu quay quanh trục của nó với gia tốc góc không đổi. Sau 5s (từ lúc bắt đầu quay) nó
quay được một góc 50rad. Tính tốc độ góc và gia tốc góc tại thời điểm t = 10s ?
Giải :
Chọn mốc thời gian t = 0 tại thời điểm vật rắn bắt đầu quay, toạ độ góc ban đầu ϕ0 = 0 . Chọn chiều dương là
chiều quay của vật rắn.
1 2
- Áp dụng công thức: ϕ = ϕ0 + ω0 t + γt , trong đó: ϕ0 = 0 , vì vận rắn bắt đầu quay nên tốc độ góc ban đầu
2
1
2ϕ 2.50
ω0 = 0 . Suy ra: ϕ = γt 2 ⇒ γ = 2 = 2 = 4rad / s 2 . Vì cánh quạt quay với gia tốc góc không đổi nên tại thời
2
t
5
điểm t = 10s gia tốc góc của cánh quạt bằng 4rad/s2.
- Áp dụng công thức: ω = ω0 + γt = 0 + γt = 4.10 = 40rad / s .
Bài 2: Một bánh xe đang quay đều quanh một trục cố định với tốc độ góc 20rad/s thì chịu một lực hãm tác dụng
và chuyển động quay chậm dần đều với gia tốc góc 10 rad/s 2. Tính thời gian từ khi bánh xe chịu lực hãm tác dụng
đến lúc dừng lại và góc quay trong khoảng thời gian đó?
Giải :
- Áp dụng công thức: ω = ω0 + γt , trong đó ω0 = 20rad / s , vì bánh xe quay chậm dần đều nên γ = −4rad / s 2 . Khi
20
= 5s . Vậy sau 5s thì bánh xe dừng lại.
bánh xe dừng lại thì ω = 0 ⇒ 0 = 20 − 4t ⇒ t =
4
- Chọn mốc thời gian t = 0 tại thời điểm bánh xe bắt đầu chịu lực hãm tác dụng, toạ độ góc ban đầu ϕ0 = 0 . Chọn
chiều dương là chiều quay của vật rắn.
1 2
1
2
Áp dụng công thức: ϕ = ϕ0 + ω0 t + γt = 0 + 20.5 − .4.5 = 50rad.
2
2
Bài 3: Một thanh kim loại đồng chất có tiết diện nhỏ so với chiều dài l = 2m của thanh. Tác dụng một momen lực
20N.m vào thanh thì thanh quay quanh trục cố định đi qua điểm giữa và vuông góc với thanh với gia tốc góc
4rad/s2. Bỏ qua ma sát ở trục quay và các mọi lực cản. Xác định khối lượng của thanh kim loại đó?
Giải :
- Ta có phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục:
M 20
=
= 2kg.m 2 .
M = I. γ ⇒ I =
γ 10
1 2
12I 12.2
= 6kg .
- Áp dụng công thức tính momen của vật rắn : I = ml ⇒ m = 2 =
12
4
l
Bài 4: Một vật hình cầu đặc đồng chất có bán kính R = 1m và momen quán tính đối với trục quay cố định đi qua
tâm hình cầu là 6kg.m2. Vật bắt đầu quay khi chịu tác dụng của một momen lực 60N.m đối với trục quay. Bỏ qua
mọi lực cản. Tính thời gian để từ khi chịu tác dụng của momen lực đến lúc tốc độ góc đạt giá trị bằng 100rad/s và
khối lượng của vật
Giải :
2
5I
5.6
2
=
= 15kg .
- Áp dụng công thức tính momen của vật rắn hình cầu: I = mR ⇒ m =
2
5
2R
2.12
- Theo phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục:
1

Tr¬ng v¨n thanh
M = I. γ ⇒ γ =


M 60
=
= 10rad / s 2 . Mặt khác ω = ω0 + γt ⇒ 100 = 0 + 10t ⇒ t = 10s.
I
6

Bài 5: Một vật rắn bắt đầu quanh nhanh dần đều quanh một trục cố định, sau 6s nó quay được một góc bằng 36
rad.
a) Tính gia tốc góc của bánh xe.
b) Tính toạ độ góc và tốc độ góc của bánh xe ở thời điểm t = 10s tính từ lúc bắt đầu quay.
c) Viết phương trình và vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của toạ độ góc của vật rắn theo thời gian?
d) Giả sử tại thời điểm t =10s thì vật rắn bắt đầu quay chậm dần đều với gia tốc góc có giá trị bằng gia tốc góc
ban đầu. Hỏi vật rắn quay thêm được một góc bằng bao nhiêu thì dừng lại ?
Giải :
Chọn mốc thời gian t = 0 tại thời điểm vật rắn bắt đầu quay, toạ độ góc ban đầu ϕ0 = 0 . Chọn
chiều dương là chiều quay của vật rắn.
a) Tính gia tốc góc
1 2
- Áp dụng công thức: ϕ = ϕ0 + ω0 t + γt , trong đó: ϕ0 = 0 , vì vận rắn bắt đầu quay nên tốc độ
2
1 2
2ϕ 2.36
2
góc ban đầu ω0 = 0 . Suy ra: ϕ = γt ⇒ γ = 2 = 2 = 2rad / s .
2
t
6
b) Tính toạ độ góc và tốc độ góc của bánh xe ở thời điểm sau khi quay được 10s
1 2 1
2
- Ta có ϕ = γt = .2.10 = 100rad .
2
2
- Tốc độ góc được xác định: ω = ω0 + γt = 0 + 2.10 = 20rad / s .
c) Phương trình biểu diễn sự phụ thuộc của toạ độ góc của vật rắn theo thời gian có dạng
ϕ(rad)
1
ϕ = ϕ0 + ω0 t + γt 2 . Mặt khác, ϕ0 = 0 , ω0 = 0 và theo Bài a) ta có γ = 2rad / s 2 suy ra: ϕ = t 2 .
2
- Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của toạ độ góc của vật rắn theo thời gian chính là đồ thị của hàm
số ϕ = t 2 , đồ thị hàm số là nửa nhánh parabol đi qua gốc toạ độ như hình vẽ.
2
2
d) Áp dụng công thức: ω − ω0 = 2γ ( ϕ − ϕ0 ) = 2γ.∆ϕ , trong đó ω = 0 là tốc độ góc tại thời điểm
vật rắn dừng quay, ω0 là tốc độ góc của vật rắn tại thời điểm khi bắt đầu quay chậm dần đều và
cũng chính là tốc độ góc của vật rắn khi quay nhanh dần đều tại thời điểm t = 10 s. ∆ϕ là góc mà
O
vật rắn quay được khi tốc độ góc biến thiên từ ω0 đến ω , hay chính là góc mà vật rắn quay được
tính từ lúc bắt đầu quay chậm dần đều cho đến lúc dừng hẳn. γ là gia tốc góc của vật rắn trong
2
ω2 − ω0 0 − 202
2
=
= 100rad .
thời gian quay chậm dần đều nên γ = −2rad / s . Thay số ta được ∆ϕ =
2γ
2.(−2)

t (s)

Bài 6: Một vật rắn có thể quay quanh một trục cố định đi qua trọng tâm. Vật rắn bắt đầu quay khi chịu tác dụng
của một lực không đổi F = 2,4 N tại điểm M cách trục quay một đoạn d = 10cm và luôn tiếp tuyến với quỹ đạo
chuyển động của M. Sau khi quay được 5s thì tốc độ góc của vật rắn đạt giá trị bằng 30rad/s. Bỏ qua mọi lực cản.
a) Tính momen quán tính của vật rắn đối với trục quay của nó ?
b) Tính tốc độ góc của vật rắn tại thời điểm t1 = 10s ?
c) Giả sử tại thời điểm t1 = 10s vật rắn không chịu tác dụng của lực F thì vật rắn sẽ chuyển động như thế nào?
Tính toạ độ góc tại thời điểm t2 = 20s ? Chọn mốc thời gian t = 0 là lúc vật rắn bắt đầu quay, toạ độ góc ban đầu
của vật rắn bằng 0 và chiều dương là chiều quay của vật rắn.
Giải :
2

Tr¬ng v¨n thanh


a) Ta có ω = ω0 + γt = 0 + γt ⇒ γ =

ω 30
=
= 6rad / s 2 . Mặt khác momen lực tác dụng lên vật rắn được xác định:
t
5

F.d 2, 4.0,1
=
= 0, 04kg.m 2 .
γ
6
b) Áp dụng công thức: ω = ω0 + γt = 0 + 6.10 = 60rad / s .
c) Tại thời điểm t1 = 10s, vật rắn không chịu tác dụng của lực F nên M = 0, suy ra I. γ =0 ⇒ γ = 0 . Vậy vật rắn
chuyển động quay đều với tốc độ góc bằng 60rad/s.
- Để tính toạ độ góc tại thời điểm t 2 = 20 s, ta tính góc quay ϕ1 của vật rắn trong quá trình vật rắn quay nhanh dần
đều trong khoảng thời gian t1 = 10s và góc quay ϕ2 của vật rắn trong quá trình vật rắn chuyển động quay đều
trong khoảng thời gian t2 – t1 = 20 -10 =10s. Toạ độ góc của vật rắn tại thời điểm t 2 = 20s được xác định :
ϕ = ϕ1 + ϕ2 .
1 2 1 2 1
2
Ta có : ϕ1 = ϕ0 + ω0 t + γt = γt = .6.10 = 300rad
2
2
2
ϕ2 = ωt = 60.10 = 600rad
Suy ra: ϕ = ϕ1 + ϕ2 = 300 + 600 = 900rad .
M = F.d = Iγ ⇒ I =

Bài 7: Một ròng rọc là một đĩa tròn đồng chất có bán kính R = 20cm và có momen quán tính đối với trục quay đi
qua tâm bằng 0,05kgm2. Ròng rọc bắt đầu chuyển động quay nhanh dần đều khi chịu tác dụng của lực không đổi
F = 1 N tiếp tuyến với vành của ròng rọc (như hình vẽ). Bỏ qua ma sát giữa ròng rọc với trục quay và lực cản
không khí.
a) Tính khối lượng của ròng rọc?
b) Tính gia tốc góc của ròng rọc?
c) Tính tốc độ góc của ròng rọc sau khi đã quay được 10 s ?
d) Tại thời điểm ròng rọc đã quay được 10s lực F đổi ngược chiều với chiều ban đầu nhưng độ lớn vẫn giữ
nguyên. Hỏi sau bao lâu thì ròng rọc dừng lại?
Giải:
1
2I 2.0, 05
2
= 2,5kg
a) Áp dụng công thức: I = mR ⇒ m = 2 =
2
R
0, 22
F.d F.R 1.0, 2
r
=
=
= 4rad / s 2 .
b) Ta có: M = F.d = Iγ ⇒ γ =
F
I
I
0, 05
c) Áp dụng công thức: ω = ω0 + γt = 0 + 4.10 = 40rad / s .
d) Khi lực F đổi ngược chiều với chiều ban đầu thì momen của lực F đóng vai trò là momen cản.
Chọn mốc thời gian t = 0 lúc lực F đổi chiều ngược với chiều ban đầu thì tốc độ góc ban đầu (xét
quá trình chuyển động của vật rắn khi lực F đã đổi chiều) của ròng rọc bằng tốc độ góc của ròng
rọc tại thời điểm 10s khi lực chưa đổi chiều. Momen cản của lực F gây ra một gia tốc góc bằng
gia tốc góc của ròng rọc lúc chưa đổi chiều nhưng có giá trị – 4rad/s2.
Áp dụng công thức: ω = ω0 + γt ⇒ 0 = 40 − 4.t ⇒ t = 10s . Vậy sau 10s ròng rọc có tốc độ góc
bằng 0.
Bài 8: Cho cơ hệ như hình vẽ, vật nặng có khối lượng m = 2kg được nối với sợi dây quấn quanh
một ròng rọc có bán kính R = 10cm và momen quán tính I = 0,5kg.m 2. Dây không dãn, khối
lượng của dây không đáng kể và dây không trượt trên ròng rọc. Ròng rọc có thể quay quanh trục
quay đi qua tâm của nó với ma sát bằng 0. Người ta thả cho vật nặng chuyển động xuống phía
dưới với vận tốc ban đầu bằng 0. Lấy g = 10m/s2.
a) Tính gia tốc của vật nặng m?

Qr

T
Pr
T
3

P

Tr¬ng v¨n thanh


b) Tính lực căng của dây?
c) Từ lúc thả đến lúc vật nặng chuyển động xuống một đoạn bằng 1m thì ròng rọc quay được một góc bằng bao
nhiêu?
d) Xác định tốc độ góc của ròng rọc tại thời điểm vật nặng đã chuyển động được 1m sau khi thả?
Giải:
- Chuyển động của vật nặng là chuyển động tịnh tiến, chuyển động của ròng rọc là chuyển động quay quanh một
trục cố định.
- Phân tích lực tác dụng vào vật nặng và ròng rọc như hình vẽ. Trọng lực và phản lực của trục quay tác dụng vào
ròng rọc cân bằng nhau.
Áp dụng định luật II Niu – tơn cho chuyển động tịnh tiến của vật nặng ta được:
mg – T = ma(1)
Áp dụng phương trình động lực học cho ròng rọc chuyển động quay quanh một trục cố định ta được:
M = TR = I γ (2)
a
Iγ Ia
Mặt khác, ta lại có: γ = , thay vào (2) và rút T ra: T = = 2 .
R
R R
a) Tính gia tốc a của vật nặng
Thay T vào (1) ta được:
Ia
ma − 2 = ma
R
mg
1
1
⇒a=
=
g=
10 = 0,385m / s 2
I
I
0,5
m + 2 1+
1+
2
R
mR
2.0,12
b) Tính lực căng T
Iγ Ia 0,5.0,385
= 19, 25N
Ta có: T = = 2 =
R R
0,12
c) Chọn mốc thời gian t = 0 là lúc bắt đầu thả cho vật nặng chuyển động, toạ độ góc ban đầu của ròng rọc ϕ0 = 0 .
Vật nặng bắt đầu chuyển động nên v0 = 0 và tốc độ góc ban đầu của ròng rọc ω0 = 0 .
Áp dụng công thức tính đường đi cho vật nặng chuyển động tịnh tiến:
1
1
2
s = v0 t + at 2 ⇒ 1 = 0 + 0,385.t 2 ⇒ t =
s.
2
2
0,385
a 0,385
= 3,85rad / s 2 .
Gia tốc góc của ròng rọc: γ = =
R
0,1
2
s vật nặng chuyển động được đoạn đường s = 1m thì ròng rọc quay được một
0,385
góc ϕ . ϕ được tính theo công thức tính toạ độ góc của ròng rọc:
Trong khoảng thời gian t =

2

1
1
1
2
3,85.2
ϕ = ϕ0 + ω0 t + γt 2 = γt 2 = .3,85.
=
= 10rad .
2
2
2
0,385
2.0,385
2
= 77rad / s .
0,385
Bài 9: Một người đứng trên ghế xoay như hình bên (ghế giucôpxky), hai tay cầm hai quả tạ áp sát vào ngực. Khi
người và ghế đang quay với tốc độ góc ω1 = 10rad / s thì người ấy dang tay đưa hai quả tạ ra xa người. Bỏ qua
mọi lực cản. Biết rằng momen quán tính của hệ ghế và người đối với trục quay khi chưa dang tay bằng 5kg.m 2, và
momen quán tính của hệ ghế và người đối với trục quay khi dang tay là 8kg.m2.
a) Xác định momen động lượng và động năng của hệ ghế và người khi chưa dang tay?
4
d) Áp dụng công thức: ω = ω0 + γt = 0 + 3,85.

Tr¬ng v¨n thanh


b) Xác định tốc độ góc của hệ người và ghế khi đã dang tay và động năng của hệ khi đó?
Giải:
a) Tính momen động lượng và động năng của hệ gồm người và ghế.
- Áp dụng công thức tính momen động lượng của hệ: L1 = ω1I1 = 10.5 = 50kg.m 2 / s
1
1
2
2
- Áp dụng công thức tính động năng của hệ: W1 = I1ω1 = .5.10 = 250J
2
2
b) Vì bỏ qua mọi lực cản, trọng lực của người và ghế cân bằng với phản lực nên tổng momen lực tác dụng vào hệ
bằng 0. Suy ra tổng momen động lượng của hệ được bảo toàn:
I ω 5.10
⇒ L1 = L 2 ⇒ I1ω1 = I 2ω2 ⇒ ω2 = 1 1 =
= 6, 25rad / s .
I2
8
1
1
2
2
Suy ra động năng của hệ sau khi đã dang tay là: W2 = I 2 ω2 = .8.6, 25 = 156, 25J .
2
2
Bài 10: Cho cơ hệ như hình vẽ. Hai vật A và B được nối qua sợi dây không dãn, khối lượng không đáng kể vắt
qua ròng rọc. Khối lượng của A và B lần lượt là m A = 2kg, mB = 4kg. Ròng rọc có bán kính là R = 10cm và
momen quán tính đối với trục quay của ròng rọc là I = 0,5kg.m 2. Bỏ qua mọi lực cản, coi rằng sợi dây không trượt
trên ròng rọc và lấy g = 10m/s2. Người ta thả cho cơ hệ chuyển động với vận tốc ban đầu của các vật bằng 0.
a) Tính gia tốc của hai vật?
b) Tính gia tốc góc của ròng rọc?
c) Tính lực căng ở hai bên ròng rọc?
d) Tính tổng momen lực tác dụng vào ròng rọc?
e) Từ lúc thả đến lúc cơ hệ chuyển động được 2s thì tốc độ góc của ròng rọc bằng bao nhiêu? Khi đó ròng rọc
quay được một góc bằng bao nhiêu?
Giải :
- Chuyển động của hai vật nặng là chuyển động tịnh tiến, chuyển động của ròng rọc là chuyển động quay quanh
một trục cố định. Vì PB > PA nên vật A chuyển động đi lên, vật B chuyển động đi xuống.
- Phân tích lực tác dụng vào ròng rọc và các vật A và B như hình vẽ. Trọng lực của ròng rọc và phản lực của trục
quay tác dụng vào ròng rọc cân bằng nhau.
- Áp dụng định luật II Niu – tơn cho chuyển động tịnh tiến của hai vật nặng ta được:
TA − PA = m A a (1)
PB − TB = m Ba (2)
- Áp dụng phương trình động lực học cho ròng rọc chuyển động quay quanh một trục cố định ta được:
M = ( TB − TA ) R = Iγ (3)
- Vì sợi dây không trượt trên ròng rọc nên:
a
γ=
(4)
R
a
a
a) Thay (4) vào (3) ta được: ( TB − TA ) = I 2 ⇒ TB = TA + I 2 , thay TB vào (2) ta được:
R
R
Qr
a
 I

PB − TA = I 2 + m Ba ⇒ PB − TA =  2 + m B ÷a (2’)
R
R


TA P
 I

PB − PA
 PB − TA =  2 + m B ÷a ⇒ a =
r
I
Giải hệ hai phương trình (1) và (2’): 
R

mA + mB + 2
T − P = m a
R
TA T
A
 A A
2
B
Thay số ta tính được gia tốc của hai vật: a = 0,357m/s .

TB

PA

PB

5

Tr¬ng v¨n thanh


a 0,357
=
= 3,57rad / s 2 .
R
0,1
2
c) Thay a = 0,357m/s vào (1): TA = m A a + PA = 2.0,357 + 2.10 = 20, 714N .
Thay a = 0,357m/s2 vào (2): TB = PB − m Ba = 4.10 − 4.0,357 = 38,572N .
d) Tổng momen lực tác dụng vào ròng rọc là: M = Iγ = 0,5.3,57 = 1, 785N.m
b) Thay a = 0,357m/s2 vào (4): γ =

e) Chọn mốc thời gian t = 0 là lúc bắt đầu thả cơ hệ chuyển động, toạ độ góc ban đầu của ròng rọc ϕ0 = 0 . Cơ hệ
bắt đầu chuyển động nên tốc độ góc ban đầu của ròng rọc ω0 = 0 .
- Áp dụng công thức tính tốc độ góc của ròng rọc:
ω = ω0 + γt = 0 + 3,57.2 = 7,14rad / s .
- Áp dụng công thức tính toạ độ góc của ròng rọc:
1
1
1
ϕ = ϕ0 + ω0 t + γt 2 = γt 2 = .3,57.22 = 7,14rad .
TA
2
2
2

TT

TB

Bài 11: Cho hai vật A và B có khối lượng của A và B lần lượt là m A = 2kg, mB =
TA T
6kg được nối qua sợi dây không dãn, khối lượng không đáng kể vắt qua hai ròng
B
rọc như hình bên. Ròng rọc 1 có bán kính R 1 = 10cm và momen quán tính đối với
trục quay là I1 = 0,5kg.m2. Ròng rọc 2 có bán kính R2 = 20cm và momen quán PA
tính đối với trục quay là I2 = 1kg.m2. Bỏ qua mọi lực cản, coi rằng sợi dây không
PB
trượt trên ròng rọc và lấy g = 10m/s 2. Thả cho cơ hệ chuyển động, tính gia tốc của
hai vật A và B? Tính gia tốc góc của hai ròng rọc?
Giải:
- Chuyển động của hai vật nặng là chuyển động tịnh tiến, chuyển động của hai ròng rọc là chuyển động quay
quanh một trục cố định. Vì PB > PA nên vật A chuyển động đi lên, vật B chuyển động đi xuống.
- Phân tích lực tác dụng vào các ròng rọc và các vật A và B như hình vẽ. Trọng lực của ròng rọc và phản lực của
trục quay tác dụng vào ròng rọc cân bằng nhau.
TA − PA = m A a (1)
PB − TB = m Ba (2)
- Áp dụng phương trình động lực học cho hai ròng rọc chuyển động quay quanh một trục cố định ta được:
M1 = ( T − TA ) R1 = I1γ1 (3)
M 2 = ( TB − T ) R 2 = I 2 γ 2 (4)

a
γ1 =
(5)
R1
a
γ2 =
(6)
R2
Thay (5) vào (3) ; (6) vào (4) ta được:
I1

( T − TA ) = R 2 a
 I
I 

1
cộng vế với vế của hai phương trình ta được: TB − TA =  12 + 22 ÷a

R
÷
( T − T ) = I 2 a
 1 R2 
B

R2
2

 I
I 
⇒ TB =  12 + 22 ÷a + TA , thay TB vào (2) ta được:
R
÷
 1 R2 
6

Tr¬ng v¨n thanh



I
I 
PB − TA =  m B + 12 + 22 ÷a (2’)

R1 R 2 ÷




I
I 
 PB − TA =  m B + 12 + 22 ÷a
PB − PA

R1 R 2 ÷ ⇒ a =
Giải hệ phương trình (1) và (2’): 


I
I

m A + m B + 12 + 22
TA − PA = m A a

R1 R 2
2
Thay số ta được: a = 0,482m/s .
Thay a = 0,482m/s2 vào (5) và (6) ta được:
a
0, 482
γ1 =
=
= 4,82rad / s 2 .
R1
0,1
a
0, 482
γ2 =
=
= 2, 41rad / s 2 .
R2
0, 2
Bài 12: Hai vật A và B được nối với nhau bằng một sợi dây không dãn, khối lượng không đáng kể và vắt qua một
ròng rọc trên đỉnh một mặt phẳng nghiêng góc α = 30o như hình vẽ. Khối lượng của hai vật lần lượt là mA = 2kg,
mB = 3kg. Ròng rọc 1 có bán kính R1 = 10cm và momen quán tính đối với trục quay là I 1 = 0,05kg.m2. Bỏ qua
mọi lực cản, coi rằng sợi dây không trượt trên ròng rọc và lấy g = 10m/s 2. Thả cho hai vật chuyển động không vận
tốc ban đầu. Tính áp lực của dây nối lên ròng rọc?
Giải:

TA
TA
r
PA

TBT

B

r
P2

r
N
r
P2

r
PB

α

- Chuyển động của hai vật nặng là chuyển động tịnh tiến, chuyển động của ròng rọc là chuyển động quay quanh
một trục cố định. Vì PA > PBsin α nên vật A chuyển động đi xuống, vật B chuyển động đi lên.
- Phân tích lực tác dụng vào ròng rọc và các vật A và B như hình vẽ. Trọng lực của ròng rọc và phản lực của trục
quay tác dụng vào ròng rọc cân bằng nhau.
PA − TA = m A a (1)
TB − PB sin α = m Ba (2)
- Áp dụng phương trình động lực học cho ròng rọc chuyển động quay quanh một trục cố định ta được:
M = ( TA − TB ) R = Iγ (3)
a
γ=
(4)
R
a
a
Thay (4) vào (3) ta được: ( TA − TB ) = I 2 ⇒ TA = TB + I 2 , thay TA vào (1) ta được:
R
R
a
I


PA − TB = I 2 + m A a ⇒ PA − TB =  2 + m A ÷a (2’)
R
R

7

Tr¬ng v¨n thanh



 I

P − P sin α
 PA − TB =  2 + m A ÷a ⇒ a = A B
I
Giải hệ hai phương trình (1) và (2’): 
R

mA + mB + 2
T − P sin α = m a
R
B
 B B
Thay số ta tính được gia tốc của hai vật: a = 0,5m/s2.
Thay a = 0,5m/s2 vào (1) ta được: TA = m A a + PA = 2.0,5 + 2.10 = 21N
1
Thay a = 0,5m/s2 vào (2) ta được: TB = m Ba + PB sin α = 3.0,5 + 3.10. = 16,5N
2
Áp lực của dây lên ròng rọc là tổng hợp lực của hai lực căng TA và TB :
2
2
T = TA + TB + 2.TA .TB cos ( 90 − α ) = 1059, 75 ≈ 32.55N .

Bài 13: Một thanh AB dài 2m khối lượng m = 2kg được giữ nghiêng một góc α trên mặt sàn nằm ngang bằng một
sợi dây nằm ngang BC dài 2m nối đầu B của thanh với một bức tường đứng thẳng, đầu A của thanh tự lên mặt
3
sàn. Hệ số ma sát giữa thanh và mặt sàn bằng
.
2
a) Tìm giá trị của α để thanh có thể cân bằng.
b) Tính các lực tác dụng lên thanh và khoảng cách AD từ đầu A của thanh đến góc tường khi α = 45 0. Lấy g =
10m/s2.
Giải:
1) Các lực tác dụng lên thanh AB là trọng lực P (Đặt lên trung điểm của thanh AB); lực ma sát nghỉ F ms; phản lực
N vuông góc với mặt sàn; lực căng T của sợi dây BC.
- Áp dụng điều kiện cân u urtổng uu u của vật rắn cho thanh AB:
bằng
quátr
r
r
(1)
P + F ms + N + T = 0
T
B
C
và tổng đại số các momen đối với trục quay đi qua u bằng không:
A
u
r
ur
uu
r
r
M ( P ) + M ( Fms) + M ( N ) + M (T ) = 0
N
AB
P
Ta có: T.AB.sinα - P
cosα = 0
(2)
α
2
D
1
A
Fms
- Từ (2) ta có: T = mgco tan α
(3)
2
- Chiếu (1) lên phương thẳng đứng và phương nằm ngang:
Fms – T = 0
(4) và - P + N = 0
(5)
mg cot anα
Hay: Fms = T =
(6)
2
Và: N = P = mg
(7)
- Lực ma sát Fms phải là lực ma sát nghỉ, do đó ta có:
Fms ≤ µ N
mg cot anα
≤ µ mg ⇒ cot anα ≤ 2 µ = 3 ⇒≥ 300
Từ (6) và (7) ta có:
2
2) Khi α = 450, thay số vào (6) và (7) ta được:
Fms = T = 10N
N = P = 20N
Từ hình vẽ ta có: AD = BC – Abcosα = 0,59m.
Bài 14: Một thanh mảnh AB, nằm ngang dài 2,0m có khối lượng không đáng kể, được đỡ ở đầu B bằng sợi dây nhẹ, dây
làm với thanh ngang một góc 300, còn đầu A tì vào tường thẳng đứng, ở đó có ma sát giữ cho không bị trượt, hệ số ma sát

8

Tr¬ng v¨n thanh


nghỉ µ0= 0,5. Hãy xác định khoảng cách nhỏ nhất x từ điểm treo một vật có trọng lượng 14N đến đầu A để đầu A không bị
trượt.
Giải:

- Tương tự bài trên ta phân tích lực như hình vẽ: T, P, N, Fms
- Áp dụng điều kiện cân u ur tổnguu u của vật rắn cho thanh AB:
bằng
quát
r
r r
(1)
P + F ms + N + T = 0
và tổng đại số các momen đối với trục quay đi qua A bằng không:
u
r
ur
uu
r
u
r
M ( P ) + M ( Fms) + M ( N ) + M (T ) = 0 (2)
Ta có: T.AB.sinα – P.x = 0
T . AB.sin α
⇒x=
(3)
P
- Chiếu (1) lên phương nằm ngang và phương thẳng đứng ta có:
N – T.cosα = 0
(4)
Fms + T.sinα – P = 0 (5)
- Ta có:
Fms = μN
(6)
- Từ (4); (5) và (6) ta có: μTcosα + Tsinα – P = 0
P
⇒T =
(7)
µ cosα + sinα
AB sin α
2.0,5
=
= 1, 07 m
- Thay (7) vào (3) ta có: x =
µ cosα + sin α 0,5. 3.0.5 + 0.5

Fms
A

300

T
B

N
x

P

Bài 15: Một thanh thẳng mảnh, đồng chất dài 0,5m, khối lượng 8kg. Thanh có thể quay trên mặt phẳng nằm
ngang, quanh một trục thẳng đứng đi qua khối tâm của nó. Thanh đứng yên, thì một viên đạn 6g bay trên mặt
phẳng ngang của thanh và cắm vào một đầu thanh. Phương vận tốc của viên đạn làm với thanh một góc 60 0. Vận
tốc góc của thanh ngay sau khi va chạm là 10rad/s. Vận tốc của viên đạn ngay trước khi va chạm là bao nhiêu:
Giải:
v
- Momen động lượng của hệ ngay trước va cham:
vt
0
l
v sin 60
L1 = Iđ.ωđ = mđR2.
= mđ.R.v.sin600 = mđ. .v.sin600 (1)
600
2
R
vn
- Momen động lượng của hệ ngay sau va chạm:
1
1
L2 = ( I d + I l )ω = ( md l 2 + mt l 2 )ω
4
12
- Áp dụng định luật bảo toàn momen động lượng ta có:
L1 = L2
l
1
1
2
2
mđ. .v.sin600 = ( md l + mt l )ω
2
4
12
1
1
( md l 2 + ml l 2 )ω
12
⇒v= 4
Thay số ta có: v = 1285,9m/s.
l
md sin 600
2
Bài 16: Một cái cột dài 2,0m đồng chất, tiết diện đều đứng cân bằng trên mặt đất nằm ngang. Do bị đụng nhẹ cột
rơi xuống trong mặt phẳng thẳng đứng. Giả sử đầu dưới của cột không bị trượt. Lấy g=9,8m/s2, bỏ qua kích thước
9

Tr¬ng v¨n thanh


cột. Tốc độ của đầu trên của cột ngay trước khi nó chạm đất là bao nhiêu.
A. 7,70 m/s. B. 10,85 m/s. C. 15,3 m/s. D. 6,3 m/s.
Giải:
- Momen quán tính của cột đối với trục quay O là:
1
1
1
ml 2 + ml 2 = ml 2
I = I G + IO =
12
4
3
- Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho khối tâm:
l I ω 2 mv 2 I ω 2 mω 2l 2
mg =
+
=
=
2
2
2
2
6
3g
3.9,8.
⇒ω =
=
= 3,83rad / s
l
2
- Vậy tốc độ đầu trên ngay khi chạm đất: v = ωl = 3,83.2 = 7,7m/s

O

Bài 17:
Một bánh xe khối lượng m, bán kính R có trục hình trục bán kính r tựa trên hai đường ray song song nghiêng góc
α so với mặt phẳng nằm ngang.
1. Giả sử bánh xe lăn không trượt. Tìm lực ma sát giữa trục
bánh xe và đường ray.
2. Khi góc nghiêng α đạt tới giá trị tới hạn α0 thì bánh xe

α

trượt trên đường ray. Tìm α0 . Cho biết hệ số ma sát của
đường ray lên trục bánh xe là k = tan α , và momen quán
tính của bánh xe ( kể cả trục ) I = mR 2.

Bài 18:
Một thanh đồng chất AB = l, tiết diện đều, khối lượng M được gắn vuông góc tại trung điểm O với một trục quay
r
thẳng đứng. Một vật khối lượng m bay ngang với vận tốc v
theo phương vuông góc với thanh đến đập vào đầu A và dính vào đó.
r
Hỏi sau va chạm, thanh quay được bao nhiêu vòng thì dừng? Biết rằng
Av
O
ma sát ở ổ trục quay tạo ra một mômen MC.
m
B
Áp dụng : M = 1kg ; m = 140g ; v = 10m/s ; MC = 0,1M/m
Bài 19:
Một hình trụ đặc đồng chất có bán kính R = 20cm, lăn không trượt trên mặt phẳng
r
Ngang với vận tốc v 0 , rồi mặt phẳng nghiêng tạo một góc α = 45 0
r
v0
với mặt phẳng ngang.
O
Tìm giá trị cực đại v0 của vận tốc mà với giá trị đó hình trụ lăn trên
A α
mặt phẳng nghiêng không bị bật lên.
Bài 20:
Tấm ván khối lượng Mrđặt trên sàn nhẵn nằm ngang. Đặt trên tấm ván một quả cầu đồng chất có khối lượng m.
Tác dụng vào ván lực F không đổi nằm ngang.
Xác định gia tốc của ván và của quả cầu khi giữa chúng
không có sự trượt.
Bài 21:
Một đĩa tròn đặc đồng chất bán kính R = 20cm, khối lượng M = 0,8kg, hai vật nặng nhỏ A, B cấu tạo thành một
hệ cơ như hình vẽ. Cho mA = 0,4kg ; mB = 0,1kg, OA = r = 10cm.
O
Bỏ qua mọi ma sát, dây nối mảnh không co giãn. Kéo vật B từ vị trí cân bằng
xuống dưới một đọan nhỏ rồ thả không vận tốc ban đầu.
A

r
F M

m

10

Tr¬ng v¨n thanh


Chứng minh hê dao động điều hòa. Tìm chu kì dao động của hệ .
Lấy g = 10m/s2.
Bài 22:
Một thanh đồng chất chiều dài AB = l có thể quay quanh một trục nằm ngang đi qua đầu A của thanh và vuông
góc với thanh. Cho gia tốc rơi tự do là g và bỏ qua ma sát.
1. Tìm vận tốc cực tiểu phải truyền cho thanh ở vị trí cân bằng để nó quay qua vị trí nằm ngang.
2. Khi thanh dao động một góc nhỏ quanh vị trí cân bằng. Chứng minh thanh dao động điều hòa và tìm chu
kì.
3. Nếu gắn thêm vào đầu B một quả cầu nhỏ có khối lượng bằng khối lượng của thanh AB thì chu kì dao
động nhỏ của thanh sẽ thay đổi thế nào?
Bài 23:
Trên mặt phẳng nghiêng góc α có một hộp nhỏ A khối lượng m1 và một hình trụ rỗng B khối lượng m 2 (momen
quán tính của hình trụ đối với trục của nó là I = m 2r2 ). Hai vật cùng bắt đầu chuyển động xuống phía dưới. Hộp
trượt với hệ số ma sát k, còn hình trụ lăn không trượt.
1. Tìm góc nghiêng α để khi chuyển động hai vật luôn luôn cách nhau một khỏang không đổi.
2. Để có chuyển động trên đây thì hệ số ma sát giữa hình trụ và mặt phẳng nghiêng phải thỏa mãn điều kiện gì ?
Bài 24:
Một hình trụ đặc đồng chất có khối lượng m nằm trên một đường ray nằm ngang. Một lực F không đổi có phương
thẳng đứng được đặt tại đầu dây buông thỏng của một sợi dây quấn trên hình trụ. Tìm giá trị cực đại của F để hình
trụ còn lăn không trượt nếu hệ số ma sát giữa hình trụ và đường ray là k. Hình trụ lúc đó có gia tốc bằng bao
nhiêu? Cho biết momen quán tính của hình trụ đối với trục quay là I =

mR 2
.
2

Bài 25 :
Một thanh mỏng đồng chất chiều dài L khối lượng M đang nằm cân bằng trên mặt sàn ngang, không ma sát thì có
xung lực F. ∆t tác dụng tức thời vào một đầu thanh theo phương vuông góc với thanh.
1. Tìm tốc độ góc của thanh sau đó.
2. Khối tâm của thanh sẽ đi được đọan đường bao nhiêu sau khi thanh quay được một vòng?
Cho mômen quán tính của thanh đồng chất đối với trục quay qua khối tâm là I =

ML2
12

Bài 26 :
Trên một mặt bàn nhẵn, có một chiếc xe khối lượng m. Trên sàn có đặt một bánh xe khối lượng 3m đứng phân bố
đều trên vành bánh xe. Hê số ma sát giữa bánh xe và sàn xe là µ . Người ta đặt vào xe một lực F = const theo
phương ngang. Hỏi F có giá trị bằng bao nhiêu để bánh xe có thể lăn không trượt trên sàn xe?
Bài 27 :
Một đĩa tròn đồng chất khối lượng m bán kính R được đặt trên một dây không giãn mắc qua một lò xo độ cứng k,
đĩa lăn không trượt trên dây. Từ vị trí cân bằng, ta đưa đĩa xuống
dưới theo phương thẳng đứng một đọan đủ nhỏ rồ thả ra, đĩa sẽ chuyển
động theo phương thẳng đứng. Hỏi chu kì dao động của đĩa sẽ tăng hay giảm
k
như thế nào nếu bán kính R của đĩa đủ nhỏ hoặc đủ lớn để có thể bỏ qua
hay không bỏ qua.
Bài 28 :
Bánh đà có dạng là một hình trụ đồng chất, khối lượng M, bán kính R quay quanh trục cố định nằm ngang. Một
sợi dây được quấn quanh bánh đà, đầu kia sợi dây treo một vật khối lượng m. Vật năng được nâng lên rồ thã cho
rơi xuống. Sau khi rơi một đọan h, vật năng làm căng sợi dây và quay bánh đà. Tìm tốc độ góc của bánh đà tại
thời điểm đó.
Bài 29 :
Một thanh đồng chất, khối lượng M, dài L có thể quay không ma sát trong mặt

.

r
m
V0

11

Tr¬ng v¨n thanh


phẳng thẳng đứng quanh một trục nằm ngang đi qua một đầu thanh. Lúc đầu thanh
r
ở vị trí cân bằng. Một vật nhỏ khối lượng m. Bay với vận tốc V0 theo phương vuông
r
góc với thanh đến va chạm vào đầu tự do của thanh. ( V0 cũng vuông góc
với trụ của thanh ). Va chạm là đàn hồi. Tìm V0 để thanh đến vị trí
nằm ngang thì tạm dừng.
Bài 30 :
Một hình trụ đặc được gắn với một lò xon không khối lượng, nằm ngang, sao cho nó có thể lăn không trượt trên
một mặt phẳng nằm ngang. Độ cứng lò xo k = 3,0N/m.
Hệ đựơc thả từ trạng thái nghỉ ở vị trí mà lò xo kéo dãn 0,25m.
1. Tính động năng tịnh tiến và động năng quay của hình
trụ khi nó qua vị trí cân bằng.
2. Chứng minh khối tâm của hình trụ dao động điều
hòa với chu kì T = 2π

3M
2k

Bài 31 :
Một quả cầu đặc và một hình trụ đặc có cùng bàn kính, cùng khối lượng m, bắt đầu lăn không trượt từ trạng thái
nghỉ, cùng một lúc, từ cùng một mức trên cùng một mặt phẳng nghiêng. Cho biết momen quán tính của quả cầu
đặc và hình trụ lần lượt là : I =

2
1
mR 2 và I = mR 2
5
2

Hỏi vật nào có vận tốc tịnh tiến lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần :
1. Tại một mức cho trước nào đó.
2. Tại cùng một thời điểm cho trước nào đó.
Bài 32 :
Hai hình trụ bán kính R1 và R2 có momen quán tính lần lượt bằng I 1 và I2 có thể quay quanh các trục O 1 và O2
vuông góc với mặt phẳng hình vẽ. Bỏ qua ma sát ở các
trục. Ban đầu hình trụ lớn quay với tốc độ góc ω . Giữ trục O1
0
I1
0
I2
cố định, còn trục O2 được tịnh tiến sang phải cho đến lúc hình trụ
O1
O2
nhỏ tiếp xúc với hình trụ lớn và bị lực ma sát giữa hai hình trụ làm
R1
R2
cho quay. Cuối cùng hai hình trụ quay ngược chiều nhau với các tốc
độ góc không đổi khi không còn ma sát trượt. Tìm tốc độ góc ω của
2
hình trụ nhỏ theo I1 , I2 , R1 , R2 và ω .
0
Bài 33 :
Hai đầu một thanh mảnh dài l có gắn hai quả cầu nhỏ khối lượng m 1, m2. Thanh dao động quanh trục O nằm
ngang đi qua trung điểm của thanh. Tính chu kì dao động trong hai trường hợp :
a/ Bỏ qua khối lượng thanh.
b/ Thanh có khối lượng m3.
Bài 34 :
Một vành bán trụ mỏng đồng chất, bán kính R được đặt lên mặt phẳng như hình vẽ. Biết vị trí khối tâm G của nó

ω

cách tâm O một khỏang d =

2R

, gia tốc trọng trường là g.
π
Tìm chu kì dao động của vật khi làm cho OG lệch khỏi vị trí thẳng
đứng một chút rồi buông nhẹ. Coi rằng bán trụ không trượt và ma
sát lăn rất nhỏ. Momen quán tính của vành bán trụ đối với tâm O là
I 0 = mR 2

O
G

.

12

Tr¬ng v¨n thanh


Bài đọc thêm: MOMEN QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN
I. Định lí trục song song (Định lí Steiner): Gọi IG là momen quán tính của vật rắn đối với trục (∆) đi qua khối
tâm G, momen quán tính I của vật ấy đối với 1 trục (∆’) // (∆) và cách (∆) 1 khoảng a được tính bởi:
(∆’)

Chứng minh: Chọn hệ trục như hình vẽ, ta có:

(∆)

R2 = x2 + (y + a)2 = x2 + y2 + 2ay + a2 = RG2 + 2ay + a2

R

Theo định nghĩa:
I = ΣmR2 = ΣmRG2 + 2aΣ(my) + a2(Σm)

P

Lưu ý rằng ΣmRG2 = IG và Σm = M, ta có

O’

a

G

y

y

2

I = IG + Ma + 2aΣ(my)
Vì G là khối tâm và cũng là gốc tọa độ nên:
yG = = 0 ⇒ Σ(my) = 0
Vậy I = IG + Ma2 ĐPCM

R

x’

RG

x

y’

x

II. Bài toán: 3 cách tìm momen quán tính của 1 thanh đồng chất tiết diện đều có chiều dài L, khối lượng M đối
với trục quay vuông góc với thanh tại 1 đầu.
Cách 1: dùng định nghĩa
Chia thanh thành các đoạn nhỏ dài dx (xh), khối lượng mỗi đoạn là
dm = M
theo định nghĩa I = = = ML2
Cách 2: Dựa vào công thức IG = ML2 , ta nối thêm 1 thanh giống
hệt sao cho
trục quay đi qua khối tâm của thanh đã được nối, khi đó:
I’ = (2M)(2L)2 = ML2 ⇒ I = = ML2
Cách 3: Dùng định lí trục song song: I = IG + M(L/2)2 = ML2 + ML2 = 1,3ML2
III. Bài toán đề nghị: Tìm momen quán tính của 1 đĩa tròn đồng chất khối lượng M, bán kính R với trục quay
vuông góc với đĩa tại điểm cách tâm 1 khoảng (ĐS: I = MR2)
IV Con lắc vật lý: Tìm công thức tính chu kỳ dao động nhỏ của con lắc vật lý mà vật rắn có dạng 1 thanh đồng
chất tiết diện đều, trục quay ở 1 đầu thanh.
Giải: Ta có d = và ở phần II ta đã có I = ML2 nên T = 2π = 2π

13

BÀI TẬP ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN KHÓ CÓ LỜI GIẢI

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Destaque

Destaque (20)

BÀI TẬP ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN KHÓ CÓ LỜI GIẢI