Universidad Politécnica Estatal del Carchi Módulo de Álgebra

Universidad Politécnica Estatal del Carchi
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI
FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS
AMBIENTALES
ESCUELA DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO

MÓDULO DE ÁLGEBRA

PORTAFOLIO ESTUDIANTIL

HADDY DANIELA JÁCOME LUCERO

PRIMERO A

ING. OSCAR LOMAS

MIÉRCOLES; 05 DE FEBRERO DEL 2014

MODULO DE ALGEBRA

Página 1


CONTENIDO
INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 4
OBJETIVOS ................................................................................................................... 5
OBJETIVO GENERAL .............................................................................................. 5
OBJETIVOS ESPECÍFICOS ..................................................................................... 5
SILABO .......................................................................................................................... 6
CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES ............................................................... 7
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES ......................................................... 8
EXPONENTES Y RADICALES ................................................................................... 9
EXPONENTES ........................................................................................................... 9
RADICALES ............................................................................................................ 10
EXPRESIONES ALGEBRAICAS............................................................................... 11
¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN? .................................................................................. 12
PARTES DE UNA ECUACION .............................................................................. 13
¡Exponente! ............................................................................................................... 13
PRODUCTOS NOTABLES ........................................................................................ 14
Binomio de resta al cubo .......................................................................................... 15
Trinomio al cuadrado ................................................................................................ 15
Diferencia de cubos .................................................................................................. 16
Producto de dos binomios que tienen un término común ......................................... 16
FACTORIZACIÓN ...................................................................................................... 17
Factorización por factor común. ............................................................................... 17
Factorización de una diferencia de cuadros. ............................................................. 17
Factorización de un cuadrado perfecto ..................................................................... 17
Factorización de una suma o diferencia de cubos ..................................................... 17
MODULO DE ALGEBRA

Página 2

Factorización de cubos perfectos de binomios. ........................................................ 17
FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO. ........................................................... 18
ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO ............................................... 19
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ............................................................... 19
TRANSFORMACIONES LINEALES ..................................................................... 22
ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO .................................. 24
INECUACIONES ......................................................................................................... 26
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA ......................... 27
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA ..................... 29
PROGRAMACIÓN LINEAL ...................................................................................... 33
II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”: ............................................ 39
III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL .................................................................... 43
IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL: ........................................... 48
V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO .................................... 57
VII.BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................... 65

MODULO DE ALGEBRA

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INTRODUCCIÓN

El álgebra es el nombre que identifica a una rama de la Matemática que emplea
números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples operaciones
aritméticas. El término tiene su origen en el latín algebra, el cual, a su vez, proviene
de un vocablo árabe que se traduce al español como “reducción” o “cotejo”.
Hoy entendemos como álgebra al área matemática que se centra en las relaciones,
estructuras y cantidades. La disciplina que se conoce como álgebra elemental, en este
marco, sirve para llevar a cabo operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación,
división) pero que, a diferencia de la aritmética, se vale de símbolos (a, x, y) en lugar
de utilizar números. Esto permite formular leyes generales y hacer referencia a
números desconocidos (incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de ecuaciones y el
análisis correspondiente a su resolución. El álgebra elemental postula distintas leyes
que permiten conocer las diferentes propiedades que poseen las operaciones
aritméticas.
Por ejemplo, la adición (a + b) es conmutativa (a + b = b + a), asociativa, tiene una
operación inversa (la sustracción) y posee un elemento neutro (0).
Algunas de estas propiedades son compartidas por distintas operaciones; la
multiplicación, por ejemplo, también es conmutativa y asociativa.

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OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL
Recopilar la información otorgada por el docente referente al cronograma de
estudio en el módulo de algebra, para tener constancia del trabajo realizado en
el transcurso de todo el semestre y que esta información nos sirva como guía
de estudio.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Construir el portafolio estudiantil.
Comprender la información obtenida para adquirir nuevos conocimientos
referentes a cada uno de los temas.
Recolectar la información de manera grupal para que el trabajo sea productivo.

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SILABO

I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO
UPEC – MISIÓN
“Formar

MISIÓN – ESCUELA
profesionales La Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario

humanistas,

emprendedores

y contribuye al desarrollo Provincial, Regional y

competentes,

poseedores

de Nacional, entregando profesionales que participan

conocimientos

científicos

y en la producción, transformación, investigación y

tecnológicos; comprometida con dinamización

del

sector

agropecuario

y

la investigación y la solución de agroindustrial, vinculados con la comunidad, todo
problemas

del

entorno

para esto con criterios de eficiencia y calidad

contribuir con el desarrollo y la
integración fronteriza”
UPEC – VISIÓN

VISIÓN – ESCUELA

Ser una Universidad Politécnica Liderar a nivel regional el proceso de formación y
acreditada por su calidad y lograr
posicionamiento regional

la

excelencia

académica

generando

profesionales competentes en Desarrollo Integral
Agropecuario, con un sólido apoyo basado en el
profesionalismo y actualización de los docentes,
en la investigación, criticidad y creatividad de los
estudiantes, con una moderna infraestructura que
incorpore los últimos adelantos tecnológicos,
pedagógicos y

que implique un ejercicio

profesional caracterizado por la explotación
racional de los recursos naturales, producción
limpia, principios de equidad, participación,
ancestralidad, que den seguridad y consigan la
soberanía alimentaria

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CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES

Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3 y así
sucesivamente , forman el conjunto de los números enteros positivos o números
naturales.
Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…)
Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3…… forman el
conjunto de los enteros.
Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…)
El conjunto de los números racionales consiste en números como

y , que pueden

escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un numero racional es
aquél que puede escribirse como

donde p y q son enteros y q ≠ 0. El entero 2 es

racional puesto que 2 = . De hecho todo entero es racional.
Los números que se representan mediante decimales no periódicos que terminan se
conocen como números irracionales. Los números

y

son ejemplos de números

irracionales. Junto, los números racionales y los números irracionales forman el
conjunto de los números reales.
Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros se
selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a la derecha del
origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas

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PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número son
iguales entre sí.

Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números pueden
sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un número real.

Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números pueden
sumarse y multiplicarse en cualquier orden.

Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la
multiplicación, los números pueden agruparse en cualquier orden.

Propiedad de la identidad.- Existen números reales denotados 0 y 1 tales que para
todo número real a.

Propiedad del inverso.- Para cada número real

a, existe un único número real

denotado poa –a

Propiedad distributiva.-Establece que multiplicar una suma por un número da el
mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y después sumar todos
los productos.

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EXPONENTES Y RADICALES
EXPONENTES
Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va a
multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a la
derecha del valor base. Por ejemplo:
b es el valor base y -5 es el exponente
-2 es el valor base y 7 es el exponente
Leyes de los exponentes

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RADICALES
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima de un
número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado “x”.

n = índice
x = radicando
y = raíz
=signo radical
Leyes radicales

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las operaciones
aritméticas.
Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo término.
Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:

Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.
Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:

Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.
Ejemplo:

Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se llaman Polinomios.

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Suma o adición.-Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones
algebraicas en una sola expresión algebraica.
Resta o sustracción.-Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación
el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes.
Multiplicación.- Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del
polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se separan los
productos parciales con sus propios signos.
División.- Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio
separando los cocientes parciales con sus propios signos.

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?
Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=", por
ejemplo:
X

+

2

=

6

Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo que está
en la derecha (6)
Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"

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PARTES DE UNA ECUACION
Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las diferentes partes
(¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!) Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual
a 5, y todas sus partes:
Una variable es un símbolo para un número que
todavía no conocemos. Normalmente es una letra
como x o y.
Un número solo se llama una constante.
Un

coeficiente

es

un

número

que

está

multiplicando a una variable (4x significa 4 por x,
así que 4 es un coeficiente)
Un operador es un símbolo (como +, ×, etc) que
representa una operación (es decir, algo que
quieres hacer con los valores).

Un término es o bien un número o variable solo,
o números y variables multiplicados juntos.
Una expresión es un grupo de términos (los
términos están separados por signos + o -)
Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el
segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente es 4?"
¡Exponente!
Elexponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces usar el valor en
una multiplicación.
Ejemplos:

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82 = 8 × 8 = 64
y3 = y × y × y
y2 z = y × y × z

PRODUCTOS NOTABLES

Binomio de suma al cuadrado
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer
término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
(X + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

Binomio de resta al cuadrado
Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer
término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado
segundo.
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9
Suma por diferencia
Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25

Binomio al cubo
MODULO DE ALGEBRA

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Binomio de suma al cubo
Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado
del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del
segundo, más el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
= x 3 + 9x2 + 27x + 27
Binomio de resta al cubo
Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado
del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del
segundo, menos el cubo del segundo.
(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3
(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 =
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27
Trinomio al cuadrado
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno,
más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del
primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2 − x + 1)2 =
= (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 =
= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x =
= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1

Suma de cubos

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a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)

Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6

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FACTORIZACIÓN
Con frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el producto
de dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama factorización y nos
permite transformar polinomios complejos en el producto de polinomios simples.
Factorización por factor común.
Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se dice
que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e inmediatamente, después,
dentro de un paréntesis se anotan los cocientes que resulten de dividir cada uno de los
términos del polinomio entre el factor común.

Factorización de una diferencia de cuadros.
Se sabe que:

; por lo tanto una diferencia de cuadrados, es

igual al producto de dos binomios conjugados.

Factorización de un cuadrado perfecto
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado como
tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al primero y tercer
término del trinomio separándose estas raíces por medio del signo del segundo término
y elevando este binomio al cuadrado:

Factorización de una suma o diferencia de cubos
Se sabe que:

Factorización de cubos perfectos de binomios.

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FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.

Algunas veces en un polinomio os términos no contienen ningún factor común, pero
pueden ser separados en grupos de términos con factor común.
Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar
Comenzamos con la siguiente situación:
Cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización total
de la expresión.

FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA

MODULO DE ALGEBRA

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ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

El objetivo de esta unidad es repasar las ecuaciones lineales o de primer grado y
resuelve ecuaciones lineales por medio de propiedades. También resolveremos
problemas donde se plantean ecuaciones lineales con una incógnita. Para ello veremos
ejemplos de ecuaciones, cómo resolverlas y cómo traducirlas al lenguaje simbólico.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos
escribir de forma tradicional así:

Un sistema así expresado tiene "m" ecuaciones y "n" incógnitas, donde aij son
números reales, llamados coeficientes del sistema, los valores bm son números reales,
llamados términos independientes del sistema, las incógnitas xj son las variables del
sistema, y la solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2,
..., sn) tales que al sustituir las incógnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se
verifican a la vez las "m" ecuaciones del sistema.
Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma:

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Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensión m×n formada por los
coeficientes del sistema, y la designamos por A.
Designamos por X a la matriz columna formada por las incógnitas.
Denotamos por

B

a la matriz columna formada por los términos

independientes.
y llamamos matriz ampliada de dimensión m×(n+1) a la matriz que se obtiene al
añadir a la matriz del sistema (= matriz de coeficientes) la columna de los términos
independientes, y la denotamos por A*, es decir

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:
Ax = b,
DondeA es una matrizm por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector
columna de longitud m. El sistema anteriormente mencionado de eliminación de
Gauss-Jordán se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que
provengan los coeficientes.

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Si el cuerpo es infinito (como es el caso de los números reales o complejos), entonces
solo puede darse una de las tres siguientes situaciones:
el sistema no tiene solución (en dicho caso decimos que el sistema está sobre
determinado o que es incompatible)
el sistema tiene una única solución (el sistema es compatible determinado)
el sistema tiene un número infinito de soluciones (el sistema es compatible
indeterminado).
La ecuación 2x - 3 = 0 se llama ecuación lineal de una variable. Obviamente sólo
tiene una

solución.

La ecuación -3x + 2y = 7 se llama ecuación lineal de dos variables. Sus soluciones
son pares ordenados de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen
despejando una variable y dando valores cualesquiera a la otra.
La ecuación x - 2y + 5z = 1 se llama ecuación lineal de tres variables. Sus
soluciones son ternas ordenadas de números. Tiene infinitas soluciones que se
obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a las otras dos.

En general, una ecuación lineal de "n" variables es del tipo :

Las soluciones son las secuencias de números s1, s2, s3, ..., sn que hacen
verdadera la igualdad.
Si los coeficientes valen 0 y el término independiente no, la ecuación se llama
incompatible. No tiene solución y también se denomina ecuación imposible,
proposición falsa o igualdad absurda.

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Si los coeficientes y el término independiente son nulos, se dice que la
ecuación es una identidad.

TRANSFORMACIONES LINEALES
Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un
vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con vectores es muy
sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico,
lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para
poderlos trabajar más fácilmente.
Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas
no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual
simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés
demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede
lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación
cuyo dominio y condominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes
condiciones:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K, y T una función de V en W.
T es una transformación lineal si para cada par de vectores de u y v pertenecientes a V
y para cada escalar k perteneciente a K, se satisface que:

MODULO DE ALGEBRA

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Los sistemas de ecuaciones lineales son ecuaciones que tienen n incógnitas, las cuales
podemos representar en una notación matricial, se puede utilizar una técnica llamada
superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que
es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo
cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una
transformación lineal.
A partir de una ecuación lineal podemos hacerle las transformaciones lineales para
tener como resultado escalares.

MODULO DE ALGEBRA

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ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica
donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso
en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:

donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el
coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.
Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:

con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde
n = 2 se conoce como ecuación cuadrática
Las ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al menos
una vez elevada al cuadrado (x2). Por ejemplo: 3x2 - 3x = x - 1.
Pasemos al primer miembro de la ecuación todos los términos de forma que en el
segundo miembro quede 0. Obtenemos:
3x2 - 4x + 1 = 0, que es la forma en que deberemos expresar todas las ecuaciones de
segundo grado para resolverlas.
En muchos casos, una vez conseguida esta forma, la ecuación se puede simplificar, lo
cual es muy conveniente.

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Ejemplos:
1.

2.

3.
Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

MODULO DE ALGEBRA

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INECUACIONES
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se
relacionan por uno de estos signos:

<

menor que

≤

menor o igual que

>

mayor que

≥

mayor o igual que

2x − 1 <
7
2x − 1 ≤
7
2x − 1 >
7
2x − 1 ≥
7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la
verifica.
La solución de la inecuación se expresa mediante:
1. Una representación gráfica.
2. Un intervalo.
2x − 1 < 7
2x < 8

x<4

(-∞, 4)

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INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Para

resolverlassesiguenlosmismospasosqueenlasecuacionesdeprimergradoconuna

incógnita:
Quitar paréntesis.
Quitar denominadores.
Agrupar términos semejantes a ambos lados de la desigualdad.
Despejar la incógnita.
En este último paso hay que tener en cuenta una propiedad de las desigualdades:
“Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un número negativo
cambiael sentido de la misma”.
La soluciónde una inecuación de este tipo puede ser:
Un conjuntode números reales quese suele expresar en forma de intervalo.
Cualquier número real.
Ningún número real. Entonces se dice que no tiene solución.
La solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante,
que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.
2x + y ≤ 3
1º Transformamos la desigualdad en igualdad.
2x + y = 3
2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.
x = 0;

2 · 0 + y = 3; y = 3;

(0, 3)

x = 1;

2 · 1 + y = 3; y = 1;

(1, 1)

3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.

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4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad. Si
se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la
solución será el otro semiplano.
2x + y ≤ 3
2·0+0≤3

0≤3

Sí

0>3

No

2x + y > 3
2·0+0>3

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INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

Una inecuación de segundo grado se expresa de forma general de una de las siguientes
formas:
ax 2 + bx + c > 0
ax 2 + bx + c ≥ 0
ax 2 + bx + c < 0
ax 2 + bx + c ≤ 0

Una inecuación de segundo grado es una inecuación en donde encontramos números,
una variable (que llamaremos x) que esta vez la podemos encontrar multiplicándose a
ella misma, y un símbolo de desigualdad.
Un ejemplo de inecuación de segundo grado podría ser:
2x2−x<2x−1
Donde podemos observar que el término 2x2 es el término cuadrático, característico de
las inecuaciones de segundo grado, ya que si éste no estuviera, tendríamos una
inecuación de primer grado.
Para resolver una inecuación de segundo grado usaremos un método compuesto por
una serie de pasos a seguir.
Una de las cosas que se nos hará falta para este método es la fórmula de resolución de
ecuaciones de segundo grado que recordamos a continuación:
Dada la ecuación de segundo grado: ax2+bx+c=0, las soluciones vienen dadas por la
fórmula:
x+=−b+b2−4ª √2ax−=−b−b2−4ac√2a
Puede ser que tengamos dos, una o ninguna solución en función del valor
de b2−4ac√ (para más información consultar el tema de ecuaciones de segundo grado).
MODULO DE ALGEBRA

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Método a seguir para la resolución:
Dada la inecuación, hacerle los cambios adecuados hasta dejar un cero en uno de los
lados

de

la

inecuación,

consiguiendo

una

expresión

del

tipo: ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0 donde los valores b y c son números reales que
pueden ser positivos o negativos e incluso cero y a es un valor positivo. En caso de
encontrar un valor de a negativo, multiplicaremos por (−1) toda la inecuación,
cambiando así el signo de a (y en consecuencia, el signo de los demás términos y el
orden de la desigualdad).
Buscaremos

las

soluciones

de

la

ecuación ax2+bx+c=0,

inducida

por

la

inecuación ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0.
Puede ser que tengamos tres opciones:
Si no tenemos soluciones de la ecuación, debemos separar dos casos:
Si ax2+bx+c>0: La solución es cualquier valor real: todos los números cumplen la
inecuación.
Si ax2+bx+c<0: Ningún valor de x cumple la inecuación, por lo tanto, la inecuación no
tiene solución.
Si nos dibujamos la gráfica de y=ax2+bx+c observaremos que no corta el eje X, ya que
la ecuación no tiene soluciones. Al ser además el valor de a positivo, toda la gráfica se
encuentra por encima del eje X, con valores y positivos, por lo tanto, si la inecuación
tiene signo mayor que (o mayor o igual que), cualquier punto es solución de la
inecuación, y si tiene signo menor que (o menor o igual que), ningún punto será
solución.
Si teníamos la inecuación ax2+bx+c>0, y realizamos el procedimiento:
ax2+bx+c>0⇒(x−x1)2>0⇒(x−x1)(x−x1)>0
⇒{(x−x1)<0⇒x<x1(x−x1)>0⇒x>x1
Hemos de considerar los dos últimos casos válidos ya que un producto de dos números
es positivo si éstos dos son a la vez positivos o negativos.
MODULO DE ALGEBRA

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Así que la solución de la inecuación serán los x que
Cumplan x<x1 y x>x1 donde x1 es la solución de la ecuación ax2+bx+c=0.
En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo ax2+bx+c⩾ aparte de las mismas
0,
soluciones que considerábamos antes, añadiríamos la solución x1 y el resultado sería
tener como región solución toda la recta real.
Si teníamos la inecuación ax2+bx+c<0, haremos:
ax2+bx+c<0⇒(x−x1)2<0⇒ No tenemos solución
Ya que un número elevado al cuadrado siempre será positivo, y estamos exigiendo que
sea negativo.
En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo ax2+bx+c⩾ sí tendríamos una
0,
solución: justamente la solución de la ecuación x1.
Si tenemos dos soluciones, x1 y x2, considerando además que x1<x2, haremos el
siguiente procedimiento:
(Recordemos que el valor de a siempre es positivo)
Si ax2+bx+c>0:
ax2+bx+c>0⇒(x−x1)(x−x2)>0⇒
⇒{a) (x−x1)>0 y (x−x2)>0b) (x−x1)<0 y (x−x2)<0
⇒{a) x>x1 y x>x2b) x<x1 y x<x2
Y como hemos supuesto que x1<x2, nos quedamos con las desigualdades x<x2 y x<x1.
Si ax2+bx+c<0:
ax2+bx+c<0⇒(x−x1)(x−x2)<0⇒
⇒{a) (x−x1)>0 y (x−x2)<0b) (x−x1)<0 y (x−x2)>0
⇒{a) x>x1 y x<x2b) x<x1 y x>x2
y como hemos supuesto que x1<x2, nos quedamos con las desigualdades x<x2 y x<x1.
MODULO DE ALGEBRA

Página 31

Una vez hayamos encontrado la región donde se cumple la inecuación, ya hemos
terminado.
Recordad que en el algoritmo de resolución solo hemos empleado desigualdades
estrictas (menor que, mayor que), pero el mismo razonamiento sirve para
desigualdades del tipo mayor o igual que y menor o igual que.
Ejemplos:
x2+x+2>−1−x
Resolución:
x2+x+2>−1−x⇒x2+2x+1>0
Encontramos las soluciones de la ecuación x2+2x+1=0:
x=−2±4−4 √2=−1
Hay una única solución.
Siguiendo el esquema que hemos dado, la solución es x<−1 y x>−1, es decir, todos los
puntos menos −1.
x2+2<−1−2x
Resolución:
x2+2<−1−2x⇒x2+2x+1<0
Encontramos las soluciones de la ecuación x2+2x+1=0:
x=−2±4−4 √2=−1
Hay una única solución.
Siguiendo el esquema que hemos dado, no tenemos soluciones posibles.
−x(x−1)−x<−1
Resolución:
−x(x−1)−x<−1⇒−x2+x−x+1<0⇒−x2+1<0⇒x2−1>0
MODULO DE ALGEBRA

Página 32

Encontramos las soluciones de la ecuación x2−1=0: x=±1
Como tenemos dos soluciones, la solución del problema (siguiendo las indicaciones)
es x<−1 y x>1.

PROGRAMACIÓN LINEAL

MODULO DE ALGEBRA

Página 33

La programación lineal es un conjunto de técnicas racionales de análisis y de
resolución de problemas que tiene por objeto ayudar a los responsables en las
decisiones sobre asuntos en los que interviene un gran número de variables.
El nombre de programación lineal no procede de la creación de programas de
ordenador, sino de un término militar, programar, que significa 'realizar planes o
propuestas de tiempo para el entrenamiento, la logística o el despliegue de las
unidades de combate'.
Aunque parece ser que la programación lineal fue utilizada por G. Monge en 1776,
se considera a L. V. Kantoróvich uno de sus creadores. La presentó en su libro
Métodos matemáticos para la organización y la producción (1939) y la desarrolló en
su trabajo Sobre la transferencia de masas (1942). Kantoróvich recibió el premio
Nobel de economía en 1975 por sus aportaciones al problema de la asignación
óptima de recursos humanos.
La investigación de operaciones en general y la programación lineal en particular
recibieron un gran impulso gracias a los ordenadores. Uno de momentos más
importantes fue la aparición del método del simplex. Este método, desarrollado por
G. B. Dantzig en 1947, consiste en la utilización de un algoritmo para optimizar el
valor de la función objetivo teniendo en cuenta las restricciones planteadas.
Partiendo de uno de los vértices de la región factible, por ejemplo el vértice A, y
aplicando la propiedad: si la función objetivo no toma su valor máximo en el vértice
A, entonces existe una arista que parte del vértice A y a lo largo de la cual la función
objetivo aumenta. Se llega a otro vértice.
El procedimiento es iterativo, pues mejora los resultados de la función objetivo en
cada etapa hasta alcanzar la solución buscada. Ésta se encuentra en un vértice del
que no parta ninguna arista a lo largo de la cual la función objetivo aumente.

Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente usados para
abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias

MODULO DE ALGEBRA

Página 34

sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones importantes beneficios y
ahorros asociados a su utilización.
La programación lineal estudia las situaciones en las que se exige maximizar o
minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que
llamaremos restricciones.
Función objetivo
La programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función
objetivo, que es una función lineal de varias variables:
f(x,y) = ax + by.
Restricciones
La función

objetivo está

sujeta

a

una

serie

de restricciones,

expresadas

por inecuaciones lineales:
a1x + b1y ≤ c1
a2x + b2y ≤c2
...

...

...

anx + bny ≤cn
Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.

MODULO DE ALGEBRA

Página 35

Solución factible
El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones,
determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona
de soluciones factibles.

Solución óptima
El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles
básicas y el vértice donde se presenta lasolución óptima se llama solución
máxima (o mínima según el caso).

Valor del programa lineal
MODULO DE ALGEBRA

Página 36

El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor
del programa lineal.

Pasos para resolver un problema de programación lineal
1. Elegir las incógnitas.
2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.
3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.
4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las
restricciones.
5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son
pocos).
6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál
de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener
en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado).

Ejemplo de programación lineal
Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas.
El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de
tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada
chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster.
El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €.
3 .Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
pantalones chaquetas Disponible

MODULO DE ALGEBRA

Página 37

Algodón 1

1,5

750

poliéster 2

1

1000

x + 1.5y ≤ 750

2x+3y≤1500

2x + y ≤ 1000
Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos
restricciones más:
x≥0
y≥0

MODULO DE ALGEBRA

Página 38

II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:

CÓDIG

NIVEL

O
DOCENTE:

PRIME
RO

Oscar René Lomas Reyes Ing.

TELEFONO:

0986054587

062-932310

e-mail: oscar.lomas@upec.edu.ec
oscarlomasreyes@yahoo.es

CRÉDITOS T

1

CRÉDITOS P

2

TOTAL

3

CRÉDITOS
HORAS T

16

HORAS P

32

TOTAL HORAS

PRE-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados

MODULO DE ALGEBRA

48

CÓDIGOS

Página 39

antes de éste módulo)
1.

Nivelación Aprobada

CO-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en

CÓDIGOS

paralelo a éste módulo)
1. Física Aplicada 1

EJE DE FORMACIÓN:(En la malla ubicado en

PROFESIONAL

un eje con un nombre)
ÁREA DE FORMACIÓN:(En la malla agrupado

MODULO DE ALGEBRA

Agrícola

Página 40

con un color y un nombre)

LIBRO(S)BASE DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio )
Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México
LIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible
en la UPEC para estudio)
Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España.
Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia
Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.
Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.

MODULO DE ALGEBRA

Página 41

http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.
Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012
Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO:(Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la
ESCUELA y, a los logros de aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas
El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del entorno a través del
conocimiento matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos, análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los
finanzas, la economía, al campo empresarial de manera preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así
fortalecer el aprendizaje académico pedagógico de los educandos.

MODULO DE ALGEBRA

Página 42


III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL
Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA).
Escaso razonamiento lógico matemático
Competencia GENÉRICA - UPEC:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO)
Desarrollar el pensamiento lógico
Competencia GLOBAL - ESCUELA:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS
GENÉRICA)
Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural
Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO:(Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS
GENÉRICA y GLOBAL)
Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas para plantear y resolver problemas
del entorno.

MODULO DE ALGEBRA

Página 43


LOGROS DE APRENDIZAJE

DIMENSIÓN

NIVELES

(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE

(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el

DE LOGRO

COMPETENCIA, SUB -

logro)

PROCESO

COMPETENCIAS)

COGNITIV

Seleccione de los sugeridos por la Escuela

O

para perfil de Ingenierías
El estudiante es capaz de:

1. TEÓRIC

Identificar los términos básicos utilizados FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o

O

durante el desarrollo del pensamiento ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de

BÁSICO

lógico matemático.

una disciplina o resolver problemas en ella.

RECORD
AR
MLP
2. TEÓRIC

Diferenciar

MODULO DE ALGEBRA

los

conceptos

básicos CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el

Página 44

O

utilizados

para

el

desarrollo

de VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER

AVANZA pensamiento lógico matemático.

dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR

DO

JUNTOS los vocablos.

ENTEND

PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de

ER

investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas
y métodos.

3. PRÁCTI
CO

Demostrar la utilidad de las matemáticas

BÁSICO

para el desarrollo del razonamiento lógico

y métodos.

APLICAR matemático.
4. PRÁCTI
CO

Plantear alternativas mediante la aplicación PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de
de la matemática que permitan dar investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas

AVANZA solución a los problemas planteados

y métodos.

DO
ANALIZ
AR
5. TEÓRIC

Argumentar el planteamiento que dará CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el

O

MODULO DE ALGEBRA

VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER

Página 45

PRÁCTI

solución a los problemas planteados.


CO
BÁSICO


EVALUA


R

y métodos.
Construir expresiones algebraicas que 1. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o
contribuyan a la solución de problemas del ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de
entorno.

6. TEÓRIC
O
PRÁCTI
CO
AVANZA

una disciplina o resolver problemas en ella.
2. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el
VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER

DO

3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de

CREAR

y métodos.
4.

METACOGNITIVO.-Si

el

estudiante

llega

a

adquirir

EL

CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN GENERAL, así como la

MODULO DE ALGEBRA

Página 46

sensibilización y el conocimiento del propio conocimiento.

Trabajo interdisciplinar:(Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la
COMPETENCIA ESPECÍFICA).
Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas discretas.

MODULO DE ALGEBRA

Página 47

IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:

CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE
LOS LOGROS ESPERADOS

LOGROS DE

HO
ESTRATEGIAS

APR

DIDÁCTICAS

END

RA
S
CL

Estrategias, métodos y

AS

técnicas

IZAJ

E

E
(Acciones sistémicas,
ELEMENTOS DE
COMPETENCIA, SUB COMPETENCIAS)
El estudiante será capaz de

MODULO DE ALGEBRA

COGNITIVOS

PROCEDIMENTALES

¿Qué TIENEque

¿Saber cómo TIENE

saber?

queaplicar el

¿Saber qué y cómo

conocimiento?

T P

AFECTIVO

TIENEactuar

MOTIVACIONALES

Página 48

axiológicamente?
Identificar

los

términos Sistema de Números

Utilizar organizadores

Demostrar comprensión sobre

básicos utilizados durante el Reales

gráficos para identificar las

los tipos de números reales

desarrollo del pensamiento

clases de números reales


Recta de números
Reales
Operaciones Binarias
Potenciación y
Radicación
Propiedades
fundamentales
Aplicaciones

1. Caracterizar los

Utilizar organizadores
gráficos para ubicar los
elementos

Disposición para trabajar en

números reales

equipo

que existe

para la

Utilizar una actitud reflexiva y
critica sobre la importancia de la
matemática básica

Relacionar en la uve
heurística
Identificar los diferentes

Aceptar opiniones diferentes
Potenciar el clima positivo

demostración
2. Seleccionar los
argumentos y
hechos que
corroboraron los
números reales.
CONVERSACIÓN

propiedades en potenciación

Aceptar errores y elevar el

y radicación

autoestima para que pueda

Hacer síntesis gráfica
Repasar los conocimientos
adquiridos y aplicarlos a la
vida

MODULO DE ALGEBRA

DEMOSTRAR.

del

profesional

actuar de manera autónoma y
eficiente

HEURISTICA
1. Determinación del
problema.
2. Dialogo mediante
preguntas.
3. Debatir, discutir,

Página 49

2

4

Turístico

intercambiar
criterios, hurgar la
ciencia, discutir la
ciencia, búsqueda
individual de la
solución,
socializar la
solución.

Diferenciar los conceptos Expresiones

Aplicar operaciones

básicos utilizados para el algebraicas:

mentales

desarrollo de pensamiento nomenclatura y

clasificación.
Polinomios
clasificación.
Operaciones con
Polinomios: adición,
resta, multiplicación y

MODULO DE ALGEBRA

tipos polinomios
Aplicar operaciones
mentales en la resolución de
un sistema de ecuaciones.

Aceptar opiniones divergentes
Destacar la solidaridad en los

INDUCTIVODEDUCTIVO

ambientes de trabajo

INDUCTIVO

Potenciar la resolución de

1.Observación

problemas
Valorar las participaciones de
los demás

2. Experimentación.
3. Información (oral,
escrita, gráfica, etc.)

Demostrar grado por lo que

Página 50

2

4

división.

tipos de productos notables

Productos notables.

Resolver ejercicios

Descomposición
Factorial

hacemos

4. Dramatización.
5. Resolución de
problemas.
6. comprobación.
7. Asociación
(especial temporal y
casual)
8. Abstracción.
9. Generalización.
10. Resúmenes.
11. Ejercicios de
fijación.
CONVERSACIÓN
HEURISTICA
1. Determinación del

MODULO DE ALGEBRA

Página 51

problema.
2. Dialogo mediante
preguntas.
3. Debatir, discutir,
intercambiar
criterios, hurgar la
ciencia, discutir la
ciencia, búsqueda
individual de la
solución,
socializar la
solución.
Máximo común divisor
Demostrar la utilidad de las
matemáticas

para

Resolver ejercicios con

Utilizar una actitud crítica y

de polinomios.

polinomios sencillos y

reflexiva sobre el tema.

el Mínimo común

complejos

desarrollo del razonamiento múltiplos de

Aplicar procesos de


resolución adecuados para

polinomios.
Operaciones con

resolver problemas.
Resolver ejercicios

MODULO DE ALGEBRA

Cooperar en el desarrollo del
conocimiento.
Demostrar confianza en el
desarrollo del proceso.

RAZONAR

3

1. Determinar las
premisas.
2. Encontrar la
relación de
inferencia entre las
premisas a través

Página 52

6

fracciones.
Aplicaciones

aplicando en forma conjunta

Cooperar con el grupo en la

los máximos y los mínimos

resolución de funciones.

del término medio.
3. Elaborar las
conclusiones.

Distinguir los componentes

RELACIONAR.

de las expresiones
racionales

1. Analizar de
manera
independiente los
objetos a
relacionar.
2. Determinar los
criterios de
relación entre los
objetos

Plantear

alternativas

mediante la aplicación de la
matemática que permitan
dar

solución

a

los

Plantear ecuaciones lineales. Trabajar con eficiencia y
Ecuaciones lineales,

Identificar los sistemas

resolución

líneas y su clasificación

en la resolución de problemas.
Demostrar interés en el trabajo

Sistemas lineales y

Elaborar modelos

clasificación.

problemas planteados

eficacia respetando los criterios

matemáticos en la solución

individual y de equipo
Respetar las opiniones del grupo

MODULO DE ALGEBRA

EXPOSICION
PROBLEMICA.
1. Determinar el
problema.
2. Realizar el
encuadre del

Página 53

3

6

Resolución de

Aplicaciones

y fuera de él.

Implementar procesos de

Expresar

resolución adecuados en

soluciones propuestas valorando

problemas reales.

ecuaciones lineales.

de problemas de la carrera

problema.

las

coherencia

iniciativas

de

en

las

cada

participante.

3. Comunicar el
conocimiento.
4. Formulación de la
hipótesis.
5. Determinar los
procedimientos
para resolver
problemas.
6. Encontrar solución
(fuentes,
argumentos,
búsqueda,
contradicciones)

Argumentar
planteamiento

el Definición y
que

dará clasificación.

solución a los problemas
planteados.

Utilizar creatividad y capacidad

EXPOSICIÓN

ecuaciones cuadráticas

de análisis y síntesis respetando

PROBLEMICA

los criterios del grupo.

Ecuaciones reducibles a

Reducir a expresiones

cuadráticas

sencillas las expresiones

Demostrar razonamiento crítico

cuadráticas

y reflexivo cooperando en la

Resolución de

MODULO DE ALGEBRA

Nombrar la definición de

1. Determinar el
problema
2. Realizar el

Página 54

3

6


Resolver ejercicios sobre

por factoreo.

expresiones cuadráticas

Resolución por

Ejercitar las operaciones

completación de un

con polinomios

trinomio cuadrado.

obtención de resultados

incompletos.

encuadre del
problema
3. Comunicar el
conocimiento
(conferencia ,video
)
4. Formulación de la
hipótesis (
interacción de las
partes)

Construir

expresiones Fórmula general para

Aplicar la fórmula general

Valorar la creatividad de los

algebraicas que contribuyan resolver ecuaciones

para la resolución de

demás

a la solución de problemas cuadráticas.


del entorno.

Aplicaciones de la

Distinguir los componentes

ecuación cuadrática.

de

las

racionales

expresiones

Respetar el criterio del grupo.

1. Determinar los
procedimientos
para resolver
problemas.
2. Encontrar la
solución ( fuentes
,argumentos,
búsqueda
,contradicciones)

MODULO DE ALGEBRA

Página 55

3

6


MODULO DE ALGEBRA

Página 56

V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO
FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE
indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados


DIMENSIÓN

ELEMENTOS DE

(Elija el grado de

COMPETENCIA, SUB -

complejidad que

COMPETENCIAS)

UD. EXIGIRÁ

INDICADORES DE

1°

LOGRO DE
INGENIERIA
descripción

TÉCNICAS e
INSTRUMENTOS de

2°

3°

SUPLE

PAR

PAR

PAR

TORIO

CIAL

CIAL

CIAL

EVALUACIÓN

para alcanzar el
logro)
Identificar

los

términos

básicos FACTUAL.

utilizados durante el desarrollo del
pensamiento lógico matemático.

Interpretar
información.

Deberes
Trabajos
Consultas
Participación
virtual
Pruebas

MODULO DE ALGEBRA

Document
o
Document
o
Document

10%
10%
10%
10%

o

50%

Chat-Foro

10%

Página 57

Portafolio

Reactivos
Document
o

Diferenciar los conceptos básicos CONCEPTUAL.

Interpretar la

utilizados para el desarrollo de

información.


Deberes
Trabajos
Consultas
Participación
virtual
Pruebas
Portafolio

Document
o
Document
o
Document

10%
10%
10%
10%

o

50%

Chat-Foro

10%

Reactivos
Document
o

CONCEPTUAL.
Demostrar

la

utilidad

MODULO DE ALGEBRA

de

las

Modelar, simular
sistemas complejos.

Deberes
Trabajos

Document
o

10%
10%

Página 58

matemáticas para el desarrollo del

Consultas

razonamiento lógico matemático.

Participación
virtual
Pruebas
Portafolio

Document
o
Document
o
Chat-Foro

10%
10%
50%
10%

100%

Reactivos
Document
o
Plantear alternativas mediante la PROCESAL

Analizar problemas y

aplicación de la matemática que

sistemas complejos.

permitan

dar

solución


a

los

Deberes
Trabajos
Consultas
Participación
virtual
Pruebas

MODULO DE ALGEBRA

Document
o
Document
o
Document

10%
10%
10%
10%

o

50%

Chat-Foro

10%

100%

Página 59

Portafolio

Reactivos
Document
o

Argumentar el planteamiento que CONCEPTUAL

Desarrollar una

dará

estrategia para el

solución

a

los

problemas

planteados.

diseño.

Deberes
Trabajos
Consultas
Participación
virtual
Pruebas
Portafolio

Document
o
Document
o
Document

5%
5%
5%
5%

o

25%

Chat-Foro

5%

Reactivos
Document
o

Construir expresiones algebraicas FACTUAL.

Interpretar

que contribuyan a la solución de

información.

MODULO DE ALGEBRA

CONCEPTUAL.

Deberes
Trabajos

Document
o

5%
5%

Página 60

problemas del entorno.

PROCESAL
METACOGNITIV
O

Modelar, simular
sistemas complejos.
Analizar problemas y
sistemas complejos.

Consultas
Participación
virtual
Pruebas
Portafolio

Document
o
Document
o
Chat-Foro

5%
5%
25%
5%

100%

Reactivos
Document
o

ESCALA DE VALORACIÓN

9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio

7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable

Nivel ponderado de aspiración y

8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio

4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable

alcance

MODULO DE ALGEBRA

Página 61

VI.

GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS
HORAS


AUTÓN

APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE

OMAS

T

ELEMENTOS DE
COMPETENCIA, SUB -

INSTRUCCIONES

RECURSOS

P

PRODUCTO

COMPETENCIAS)

Identificar los términos básicos Consulte información en Libros.

Diferencia los diferentes tipos de sistemas de 2

utilizados durante el desarrollo el

números reales.

del

pensamiento

matemático.

internet

y

lógico especializados

textos
los

Copias

4

conceptos de números Documentos en pdf.
reales,

presentar

en

organizadores gráficos.

Descarga

de

documentos de la web.

Prueba
Diferenciar los conceptos básicos Consulta

sobre

utilizados para el desarrollo de definición

de

MODULO DE ALGEBRA

la Libros.

Identifica los tipos de polinomios

2

un

Página 62

4


monomio y polinomio.

Copias

Grado de un polinomio y Documentos en pdf.
su ordenamiento

Descarga

de

Distinguir
Demostrar la utilidad de las

plenamente Libros.

Distinguir plenamente entre expresiones racionales 3

entre

expresiones

e irracionales

Copias

racionales e irracionales
matemáticas para el desarrollo del
Plantear alternativas mediante la Dar
solución
a Libros.
Dar solución a ecuaciones de primer grado
Documentos en pdf.
razonamiento lógico matemático.
aplicación de la matemática que ecuaciones de primer Copias
Descarga
de
permitan dar solución a los grado
Documentos en pdf.
Descarga
de

6

3

6

Argumentar el planteamiento que Identificar los tipos de Libros.

Identificar los tipos de soluciones que pueden 3

6

dará solución a los problemas soluciones que pueden

presentarse


planteados.

presentarse en la solución
de
cuadráticas.

MODULO DE ALGEBRA

Copias

en

la

solución

de

expresiones

cuadráticas

expresiones Documentos en pdf.
Descarga

de

Página 63

Construir expresiones algebraicas

3

6

16

32

1

2

que contribuyan a la solución de
problemas del entorno.
PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel )
TOTAL

CRÉDI
TOS

3

MODULO DE ALGEBRA

Página 64

VII. BIBLIOGRAFÍA.

BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA)
Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México
COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA)
Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España.
Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia
Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.
Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.
http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.
Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012
Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

MODULO DE ALGEBRA

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DOCENTES:
Firma:
Nombres y Apellidos

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Oscar Rene Lomas Reyes

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UNIVERSIDAD PO
ESCUELA DE DESAR
MÓ
Nombre: Haddy Daniela Jácome Lucero
Docente: Ing. Oscar Lomas
Paralelo: 1ro "A"
Fecha: Miércoles; 27 de noviembre del 2013

CÁLCULO DE DEPRE

FECHA DE
COM PRA

FECHA
ACTUAL

Nº DE DÍAS
Nº DE AÑOS
TRANSCURR TRANSCURR
VALOR DEL
IDOS
IDOS
ACTIVO FIJO BIEN

VALOR
RESIDUAL

Nº DE AÑOS
DEPR.

01/12/2013

05/02/2014

66

0,18 VEHÍCULO

50000

2500

01/11/2000

05/02/2014

4844

13,27 EDIFICIOS

320000

16000

01/08/2010

05/02/2014

1284

3,52 M AQUINARIA

8000

400

01/02/2011

05/02/2014

1100

3,01 VEHÍCULO

3400

170

01/04/2012

05/02/2014

675

1,85 EQUIPOS DE C.

5000

250

01/10/2006

05/02/2014

2684

7,35 M UEBLES DE O

25000

1250

01/05/2013

05/02/2014

280

0,77 VEHÍCULO

17000

850

01/06/2007

05/02/2014

2441

6,69 M UEBLES DE O

30000

1500

01/03/2002

05/02/2014

4359

10000

500

01/11/2013

05/02/2014

96

40000

2000

01/12/2003

05/02/2014

3719

10,19 VEHÍCULO

01/02/2004

05/02/2014

3657

10,02 M AQUINARIA

01/04/2005

05/02/2014

3232

8,85 EDIFICIOS

01/09/2008

05/02/2014

1983

01/10/2009

05/02/2014

1588

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11,94 EDIFICIOS
0,26 EQUIPOS DE C.

9000

450

55000

2750

200000

10000

5,43 EQUIPOS DE C.

8000

400

4,35 M UEBLES DE O

1000

50

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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI
ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO
MÓDULO DE ALGEBRA
DEBER DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Nombre: Haddy Jácome
Docente: Ing. Oscar Lomas
Paralelo: 1RO "A"
Fecha: Martes; 21 de enero del 2014
PRIMERO
Maq A

Maq B

Horas

Camión
Perinola
Acabado

2
3
5

1
1
1

Utilidad

7

2

10

≤
≤
≤

20

Variables

80
50
70
Z MAX=

40
50
70
110

Se debe producir 10 camiones y 20 perinolas para maximizar las utilidades en $110

SEGUNDO
Maq A
Maq B

DVD Vista DVD Xtreme
1
2
3
2

Utilidad
Variables

50

80

6

Horas
≤
≤

24
24
Z MAX=

18
30
780

6

Se debe producirse 6 DVD Vista y 6 DVD Xtreme para incrementar las utilidades en $780

TERCERO
Alimento A Alimento B
Carbohidratos
2
2
Proteínas
4
1
Utilidad
Variables

1,2

≥
≥

0,8

4

Totalidad
16
20
Z MIN=

16
20
8

4

Se debe comprar 4 unidades de alimento A y 4 unidades de alimento B para minizar el costo a $8

CUARTO
Mezcla I
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Nutriente A
Nutriente B
Nutriente C

Mezcla II
2
6
4

2
2
12

≥
≥
≥

Requerimientos
80
120
240

Página 115
80
200
240


CUARTO
Mezcla I

Mezcla II

Nutriente A
Nutriente B
Nutriente C

2
6
4

2
2
12

Utilidad

8

10

Requerimientos
80
120
240

80
200
240

Z MIN=

≥
≥
≥

340

Variables
30
10
Se debe comprar 30 bolsas de mezcla I y 10 bolsas de mezcla II para minimizar el costo en $340 para satisfacer lo

QUINTO
Mina I
Mineral A
Mineral B

Mina II
100
200

200
50

50

60

Utilidad

Producción
3000
2500

3000
2500

Z MIN=

≥
≥

1100

Variables
10
10
Se debe procesar 10 toneladas de la mina I y 10 toneladas de la mina II con el fin de minimizar el costo de produc

SEXTO
Grado bajo
Grado
medio
Grado alto
Utilidad

Refinería I Refinería II
2000
1000
3000
1000

2000
1000

25000

≥

8000

9000

≥
≥

14000
5000

14000
5000

20000

Z MIN=

120000

Variables
4
1
Se tiene que operar 4 días en la refinería I y 1 día en la refinería II para satisfacer los requerimientos de producción
$120000

SÉPTIMO
Cámara A
Polímero I
Polímero II
Utilidad

Cámara B
10
20

4
30

600000

300000

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≥
≥

100
420
Z MIN=

100
420
6600000
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Variables
6
10
Se debe incluir 6 unidades del polímero I y 10 unidades del polímero II para minimizar el costo de construcción en

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TRABAJOS EN
CLASE

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