Apostila de Matemática Financeira - www.comocalcular.com.br

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  1. 1. Apostila de Matemática Financeira Parte 01Autor:Guilherme YoshidaFacebook:facebook.com/guilhermeyoshida90Google+:https://plus.google.com/108564693752650171653Blog:Como Calcular – www.comocalcular.com.brCurta a Página do Blog no Face:facebook.com/BlogComoCalcular www.comocalcular.com.br
  2. 2. Capítulo 11.1 - Conceito dos Elementos Básicos da Matemática FinanceiraPorcentagem – Representa parte de um número.Capital(C) – Valor aplicado.Juros(J) – Rendimento de uma aplicação.Taxa de Juros – Porcentagem aplicada a um capital que rende juros.Montante(M) – É o capital acrescido de juros.Capitalização – Incidência da taxa de juros sobre o capital.Desconto – É o abatimento dado sobre um título de crédito quando resgatado antes do seuvencimento.Valor Atual ou Valor Líquido(A) – Valor de um montante com desconto.Valor de Face ou Valor Nominal(N) – Valor total de um título na data do vencimento.1.2 – Taxa de Juros e Taxa UnitáriaTaxa unitária(i) é a taxa de juros dividida por 100. A taxa de juros é mais usada quandoqueremos representar uma taxa. Ex.: 14%, 5%. Já a taxa unitária é mais usada quando vamosresolver as operações matemáticas.Como passar taxa de juros para taxa unitária?Exemplos e exercícios: www.comocalcular.com.br
  3. 3. 1.3 – Fator de Capitalização e de DescapitalizaçãoFator de capitalização é a taxa unitária que devemos multiplicar a um determinado valor paraque tenhamos o valor com aumento. Ex.: Se um produto custava R$ 200 e teve um aumentode 30%, quanto custa o produto agora? Basta multiplicar os R$ 200 pelo fator de capitalização,que é 1,3. Assim o produto passou a custar R$ 260.Como calcular o fator de capitalização?Exemplos e exercícios:Aumento de 15,6% Aumento de 22,3%Aumento de 0,89% Aumento de 59,31%Aumento de 67% Aumento de 9,8%Fator de descapitalização é a taxa unitária que devemos multiplicar a um determinado valorpara que tenhamos o valor com desconto. Ex.: Se um produto custava R$ 400 e teve umdesconto de 25%, quanto custa o produto agora? Basta multiplicar os R$ 400 pelo fator dedescapitalização, que é 0,75. Assim o produto passou a custar R$ 300.Como calcular o fator de descapitalização?Exemplos e exercícios:Desconto de 20% Desconto de 69,5%Desconto de 39,8% Desconto de 47,02%Desconto de 15,4% Desconto de 99,32% www.comocalcular.com.br
  4. 4. Capítulo 22.1 - Taxa Proporcional e Taxa EquivalenteTaxa proporcional é utilizada no regime de capitalização simples, quando aplicamos taxa dejuros simples. Para encontrarmos a taxa proporcional, basta multiplicarmos a taxa peloperíodo de tempo que ela será empregada.Exemplo:Em regime de juros simples, uma aplicação rende 5%a.m. Qual é a taxa de rendimentosemestral? Se em um mês rende 5%, então em seis meses vai render 30%.Taxa equivalente é utilizada no regime de capitalização composta, quando aplicamos taxa dejuros composto. Para determinarmos a taxa equivalente vamos aplicar uma fórmula bemsimples.i = taxa unitárian = período de aplicaçãoExemplo:Uma compra foi parcelada em quatro vezes com taxa de juros composto de 3%a.m. Qual seráa taxa de juros total paga ao final das prestações?Exercício:Uma dívida foi renegociada e parcelada em dez vezes com taxa de juros composto de 4,2%a.m.Qual é a taxa equivalente dessa renegociação?2.2 - Taxa Aparente e Taxa RealTaxa aparente não leva em consideração a inflação. Então se você ganhou um aumento desalário de 9% e a inflação no período foi de 7%, isso significa que seu poder aquisitivo nãoaumentou 9%, é um aumento aparente.A taxa real tem como objetivo descontar a inflação do período.Como calcular a taxa real?Exemplo:Um investidor teve 12% de rentabilidade com seus investimentos em um ano. Sabendo que nomesmo período a inflação foi de 8%, qual foi a taxa real de rentabilidade desse investidor? www.comocalcular.com.br
  5. 5. Exercício:Em um ano a poupança rendeu 7%. No mesmo período a inflação apurada foi de 10%. Qual foia taxa real da aplicação na poupança?Uma aplicação em CDB rendeu 21% em dois anos de aplicação. Sabe-se que no primeiro ano ainflação foi de 9% e no segundo ano foi de 7,5%. Qual foi a taxa real dessa aplicação?2.3 - Taxa Nominal e Taxa EfetivaTaxa nominal é quando o período de capitalização é diferente do prazo informado. A grandevantagem da taxa nominal para o comércio é que ela deixa a taxa mais atraente por nãorepresentar a taxa real que será cobrada, que é a grande desvantagem para o consumidor.Exemplos:10%a.m / bimestre (capitalizada bimestralmente)30%a.a / dia (capitalizada diariamente)25%a.s / mês (capitalizada mensalmente)Taxa efetiva é quando o período de capitalização é igual ao do prazo informado. Com a taxaefetiva o consumidor sabe quanto pagara efetivamente ao final das prestações.Exemplos:10%a.m / mês (capitalizada mensalmente)30%a.a / ano (capitalizada anualmente)25%a.s / semestre(capitalizada semestralmente)Como calcular a taxa efetiva a partir da taxa nominal? Aplicando a técnica de taxaproporcional.Exemplo:Qual é a taxa efetiva semestral de uma taxa nominal de 36%a.a capitalizada bimestralmente?Use a proporção: 36%a.a = 6%a.bUse a equivalência: 6%a.b =Exercícios: 1) Qual é a taxa efetiva anual de uma taxa nominal de 42,6%a.s capitalizada mensalmente? 2) Qual é a taxa efetiva mensal de uma taxa nominal de 35%a.a capitalizada semestralmente? 3) Qual é a taxa efetiva bianual de uma taxa nominal de 22,5%a.a capitalizada trimestralmente? www.comocalcular.com.br
  6. 6. Capítulo 33.1 – Capitalização Simples e CompostaCapitalização simples é utilizada para calcular juros simples (tópico 3.2).Capitalização composta é utilizada para calcular juros composto (tópico 3.3).Vamos supor que um investidor aplicou um capital que rende uma taxa de juros de 10%a.m.Qual será a diferença dos rendimentos se o regime de capitalização for simples ou composta?Vejam a diferença quando um capital é aplicado a regime de capitalização simples e outro queé aplicado a regime de capitalização composta.No regime de capitalização simples os juros ao final de cinco meses de aplicação foram de R$50. Já no regime de capitalização composta os juros apurado no mesmo período foi de R$61,05.Enquanto na capitalização simples o montante cresce linearmente na capitalização composta omontante cresce exponencialmente. www.comocalcular.com.br
  7. 7. 3.2 – Juros Simples Juros Simples MontanteLegenda: J = Juros C = capital i = taxa unitária t= tempoÉ importante lembrar que para resolver os exercícios corretamente a unidade temporal dataxa e do período de aplicação deve ser os mesmos. Ex.: Se a taxa for i = 1%a.m, o tempo temque ser dado em meses. Se o a taxa for i = 1%a.s e o tempo for t = 36 meses, então devemospassar o tempo de meses para semestre, t = 6 semestres.Exemplo:Um investidor aplicou R$ 500 a uma taxa de juros simples de 4%a.m durante 1 semestre. Qualfoi o juros resgatado pelo investidor?C = 500i = 4%a.mt = 1 semestre = 6 meses (Simples assim!)Continuando esse exemplo, qual foi o montante resgatado?3.3 – Juros Composto MontanteLegenda: C = capital i = taxa unitária t= tempoEm juros compostos utiliza-se nos exercícios a fórmula do montante. Tendo o montante e ocapital, para encontrar os juros basta subtrairDa mesma forma que nos juros simples a unidade temporal da taxa e do período de aplicaçãodeve ser os mesmos.Exemplo:Um investidor aplicou R$ 700 a uma taxa de juros composto de 5%a.a durante 48 meses. Qualfoi o juros e o montante resgatado pelo investidor?C = 700i = 5%a.at = 48 meses = 4 anos www.comocalcular.com.br
  8. 8. Capítulo 4O desconto ocorre quando há antecipação no pagamento de um título. Assim, um ativo quevaleria R$ 2.000 se ficasse aplicado durante 2 anos, valerá somente R$ 1.400 se resgatado em1,5 ano de aplicação, por exemplo.4.1 – Desconto SimplesPrecisamos conhecer dois tipos de desconto simples: desconto comercial e desconto racional.4.1.1 – Desconto Comercial SimplesO desconto comercial simples é calculado com base no valor nominal do título. Outrasnomenclaturas comuns são: desconto bancário e desconto por fora.Dc = desc. comercial; N = valor nominal; id = taxa de desconto; A = valor atual; t = prazoExemplo:Um título com valor nominal de R$ 5.000 foi resgatado 4 meses antes do seu vencimento.Qual é o desconto comercial simples e o valor atual desse título se a taxa de desconto foi de3%a.m?N = R$ 5milt = 4 mesesid = 3%a.mOu4.1.2 – Desconto Racional SimplesO desconto racional simples é calculado com base no valor atual do título. Outrasnomenclaturas comuns são: desconto verdadeiro e desconto por dentro. www.comocalcular.com.br
  9. 9. Dr = desc. racional; N = valor nominal; id = taxa de desconto; A = valor atual; t = prazoExemplo:Um título de R$ 1000 foi resgatado 10 meses antes do seu vencimento. Considerando quea taxa de desconto racional simples foi de 4%a.m, qual foi o valor do desconto e o valorresgatado?N = 1000t = 10 mesesir = 4%a.m4.2 – Desconto CompostoAssim como no desconto simples, existem dois tipos de desconto composto: descontocomercial e desconto racional.4.2.1 – Desconto Comercial CompostoTambém conhecido como desconto por fora, o desconto comercial composto é calculadosobre o valor nominal do título.Dc = desc. comercial; N = valor nominal; id = taxa de desconto; A = valor atual; t = prazoExemplo:Um título de R$ 1.000 foi resgatado 5 meses antes do seu vencimento. Considerando que ataxa de desconto comercial composto foi de 2%a.m, qual foi o valor do desconto e o valorresgatado?N = 1000t = 5 mesesir = 2%a.m www.comocalcular.com.br
  10. 10. 4.2.1 – Desconto Racional CompostoConhecido como desconto por dentro ou racional.Dr = desc. racional; N = valor nominal; i = taxa de desconto; A = valor atual; n = prazoColoquei a fórmula do desconto, mas a maneira mais fácil de calcular o valor do desconto éusando – .Exemplo:Um título de R$ 2.000 foi resgatado 3 meses antes do seu vencimento. Considerando que ataxa de desconto racional composto foi de 2%a.m, qual foi o valor resgatado?N = 2000n = 3 mesesir = 2%a.m www.comocalcular.com.br

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