multiplicacion y division de monomios y polinomios

1. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS ENTERAS
En el presente documento encontrarás teoría y ejercicios
sobre multiplicación y división de expresiones
algebraicas, léelo detenidamente y de preferencia arma
tu propio resumen
El texto presentado en su totalidad fue tomado del libro:
♦ GONZALES, M. O. ; MANCIL, J. D. ; “ALGEBRA ELEMENTAL MODERNA”;
volumen I
SUERT
E
Sigue adelante, con un poco
de esfuerzo y dedicación las
matemáticas son fáciles.

2. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y
POLINOMIOS
Multiplicación de monomios.
Multiplicar dos monomios es formar otro monomio cuyos factores sean
todos y cada uno de los factores de los monomios dados.
El monomio resultante se llama producto de los monomios dados.
Ejemplo. Indicaremos el producto de los monomios - 3a2
b y +2a3
c
escribiendo:
(- 3a2
b)( 2a3
c)
En virtud de la definición dada y de la ley conmutativa de la
multiplicación de números relativos*, se puede escribir
(-3)(+2)a2
a3
bc
ADMINISTRA
EFECTIVAMENTE
TU TIEMPO

3. Pero sabemos que
a2
a:3
= a5
,
Luego si aplicamos la ley asociativa, el producto anterior puede
expresarse en forma reducida así
-6a5
bc
En lo sucesivo, cuando hablemos de producto de dos monomios
entenderemos el producto reducido, en la forma que muestra el ejemplo
anterior, siempre que esta reducción sea posible, esto es, siempre que
los monomios dados tengan coeficientes numéricos distintos de 1 y
algunos factores comunes. Por ejemplo, el producto de los
monomios ab y cd es el monomio abcd, el cual no es susceptible de
reducción alguna.
El ejemplo
(-3a2
b)( + 2a3
c) = - 6a5
bc
muestra que para obtener inmediatamente el producto reducido
.basta tener en cuenta la siguiente
REGLA. Multiplíquense los coeficientes numéricos de acuerdo (en el
ejemplo -3 por 2). El resultado será el coeficiente numérico del
producto de todos los factores literales que figuren en los monomios
dados, elevando cada uno a un exponente igual a la suma de los
exponentes de dicho factor en los distintos monomios.
La regla anterior puede desdoblarse en dos:
Regla de los coeficientes. Los coeficientes se multiplican siguiendo la
regla, ya conocida, para los números relativos (teniendo en cuenta, en
particular, la regla de los signos).

4. Regla de los exponentes. Los exponentes de las potencias que tienen
la misma base se suman, según el principio fundamental
am
• a" = am+
".
Otros ejemplos.
(-5a3
b2
c)(- 2abc3
) = +10 a4
b3
c4
(+4u4
v5
x)(- 2uvx3
) = -8 u5
v6
x4
Producto de un monomio por un polinomio.
Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la ley
distributiva, multiplicando el monomio por cada uno de los términos del
polinomio.
Ejemplos:
m(a + b) = ma + mb
m(a + b - c) = ma + mb –mc
(-2x) (3x – 2y + z) = -6x2
+4xy -2xz
Producto de un polinomio por otro polinomio.
Para multiplicar dos polinomios se aplica también la ley
distributiva. Resulta así un nuevo polinomio cuyos términos son los
productos de cada término del primer polinomio por cada término
del segundo polinomio
Ejemplo.
El producto de los polinomios a + b + c y x + y + z se indica
así
(a + b + c) (x + y + z)

5. Distribuyendo cada factor del polinomio (a + b + c) entre los
términos del polinomio (x + y + z) resulta:
(a + b + c) (x + y + z)
= ax + ay +az +bx +by +bz +cx +cy +cz
La idea es multiplicar cada término del primer polinomio por cada término
del segundo polinomio con la finalidad de obtener la respuesta
Ejemplo
1. Multiplicar x2
— 5x por 2x — 3
= (x2
— 5x) (2x — 3)
= (x2
)(2x)+ (x2
)(-3)+ (-5x)(2X) + (-5x)(-3)
= 2x3
– 3x2
-10x2
+15x
= 2x3
– 13x2
+15x

6. DIVISIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS
División de monomios.
Dividir un monomio por otro es encontrar un tercero cuyo producto por el
segundo sea el primero.
En la división algebraica se usa la misma terminología y notación que en
la división numérica
Ejemplo.
La división de 15x3
y2
por — 3x2
se indica así
(15x3
y2
) : ( -3x2
) o bien (15x3
y2
) / ( -3x2
)
En el Álgebra se prefiere generalmente la última notación.
El monomio que se divide se llama dividendo (15x3
y2
en el ejemplo
anterior). El monomio por el cual se divide se llama divisor (— 3x2
). El
monomio resultante se denomina cociente.
En el ejemplo que estamos considerando el cociente es — 5xy2
. En
efecto,
Con esfuerzo y
Amor todo es
posible

7. (-5xy2
)(-3x2
)= 15x3
y2
. Por tanto, escribiremos
15x3
y2
= — 5xy2
.
-3x2
Para obtener el cociente basta aplicar la siguiente regla
REGLA. Divídanse los coeficientes numéricos. El resultado obtenido será
el coeficiente numérico del cociente. Cada factor literal del dividendo o del
divisor lo será también del cociente pero con un exponente igual a la
diferencia entre los exponentes con que figura en el dividendo y en el
divisor Cuando un factor figure en el dividendo pero no en el divisor (o
viceversa) puede suponerse que tiene en éste (o en aquél) exponente
cero.
La regla anterior puede desdoblarse en dos:
Regla de los coeficientes: Los coeficientes se dividen siguiendo la regla
ya conocida para los números relativos (teniendo en cuenta, en particular,
la regla de los signos).
Regla de los exponentes: Los exponentes de las potencias que tienen la
misma base se restan, según el principio fundamental
am
= am-n
an
Y se tienen presente que:
a0
= 1
a -1
= 1 / a
Aplicando la regla enunciada al ejemplo considerado anteriormente
tendríamos:

8. 15x3
y2
15
= x(3-2)
y2
=5xy2
- 3x2
- 3
En la práctica el paso intermedio se realiza mentalmente.
Otro ejemplo.
(4a4
b2
c) / (-8 a2
b3
c) = 1/2 a2
b-1
División de un polinomio por un monomio.
Dividir un polinomio por un monomio es hallar otro polinomio cuyo
producto por el monomio sea igual al polinomio dado.
Regla. Para dividir un polinomio por un monomio basta dividir cada
término del polinomio por el monomio y formar el polinomio cuyos
términos son los cocientes así hallados.
En general, el polinomio resultante no será un polinomio entero, es decir,
sus términos contendrán divisores literales, o bien, factores elevados a
exponentes negativos.
Así, por ejemplo,
(a + b – c) / m
= a/m + b/m – c/m o en su efecto: am-1
+ bm-1
- cm-1
Otro ejemplo.
(x2
- 3xy) / x3
= x2
/ x3
- 3xy / x3
= X-1
- 3x-2
y

9. División entre polinomios
Consideremos dos polinomios ordenados según las potencias
descendentes de una letra x (pudiendo contener o no los polinomios con
las letras). Indicaremos esto usando la notación A(x) y B(x) para designar
los polinomios, y supondremos que el grado de A(x) es mayor o igual que
el de B(x)
Así, por ejemplo, podremos tener
A(x) = x3
+ 2x2
— 3x + 6
B(x) = x2
- x + 2
De modo que aun cuando los polinomios contengan otras letras, sólo nos
fijaremos, por el momento, en la letra ordenatriz x.
Lo importante antes de iniciar la división de un polinomio es ordenar el
mismo respecto a una letra ordenatriz, en el ejemplo la letra ordenatriz es
(x) y se ordena de manera descendente tomando como referencia la (x )
que tenga el mayor exponente (en el ejemplo x3
) y se ubican
descendentemente x2
y x; tomando en cuenta el valos absoluto y relativo
de los exponentes dados.
Definición. Dividir un polinomio A(x) por otro polinomio B(x), cuyo grado
sea igual o menor que el de A(x), es hallar otros dos polinomios C(x) y
R(x) que cumplan las siguientes condiciones:
♦ A(x) = B(x).C(x) + R(x).
♦ Grado de R(x) menor que el grado de B(x).
El polinomio A(x) se llama el dividendo, B(x) el divisor, C(x) el cociente
entero, y R(x) el resto. Cuando el resto R(x) es cero la división de A(x) por
B(x) se dice exacta, y se tiene

10. A(x)=B(x) C(x).
Para ver cómo debe precederse para hallar el cociente y el resto de una
división de polinomios, consideremos el caso particular siguiente:
B(x) = 3x2
- x + 4
C(x) = 2x — 3
R(x) = x - 5.
Se tendrá entonces:
A(x) = (3x2
- x + 4) (2x - 3) + (x - 5).
ó A(x) = 6x3
— Ilx2
+ 12x - 17
De modo que: 6x3
– llx2
+ 12x - 17 = (3x2
- x + 4) (2x - 3) + (x - 5).
La igualdad anterior se puede escribir también:
(6x3
- llx2
+ 12x - 17) - (3x2
- x + 4)(2x - 3) = x - 5
Lo cual expresa que el resto de la división es la diferencia entre el
dividendo y un cierto "múltiplo" del divisor.
Aplicando la propiedad distributiva al producto indicado en el primer
miembro tendríamos:
[1] (6x3
— llx2
+ 12x — 17) — (3x2
- x +4) (2x) - (3x2
- x + 4)(- 3) = x - 5
Puesto que el primer término del dividendo (6x3
) es el producto del primer
término del divisor (3x2
) por el primer término del cociente (2x), éste último
se puede hallar dividiendo 6x3
por 3x2
, esto es:
6x3
/ 3x2
=2x
Si ahora se multiplica 2x por el divisor completo 3x2
se obtiene
6x3
— 2x2
+ 8x

11. Y si esto se resta del dividendo en la forma que indica el primer miembro
de [1], se encuentra
6x3
- llx2
+ 12x - 17
6x3
- 2x2
+ 8x
- 9x2
+ 4x - 17
Que es lo que se llama el primer resto parcial. La igualdad [1] se puede
entonces escribir
[2] (-9x2
+ 4x - 17) - (3x2
- x + 4)(- 3) = x - 5.
Como el resto x — 5 es de grado menor que el divisor, los términos en x2
deben eliminarse, es decir:
-9x2
= (3x2
)(—3).
Por tanto, — 3, que es el segundo término del cociente, se puede hallar
dividiendo el primer término del resto parcial por el primer término del
divisor, a saber:
(-9x2
) / (3x2
) = (—3).
Finalmente, la igualdad [2] indica que el resto de la división se obtiene
restando del primer resto parcial el producto del divisor completo por — 3.
En la práctica las operaciones descritas se disponen de la manera
siguiente:
Dividendo 6x3
— llx2
+ 12x — 17 / 3x2
— x + 4 Divisor
6X3
—2x2
+ 8x — 3 2x – 3 Cociente
1er
resto parcial - 9x2
+ 4x — 17
- 9X2
+ 3x — 12
Resto x — 5

12. Resumiremos el procedimiento explicado en la siguiente
Regla. Supuestos ordenados el dividendo y el divisor en potencias
descendentes de una misma letra, se obtiene el primer término del
cociente dividiendo el primer término del dividendo por el primer término
del divisor; el primer resto parcial resulta restando del dividendo el
producto del divisor por él primer término del cociente; dividiendo ahora el
primer término de dicho resto parcial por el primer término del divisor se
obtiene el segundo término del cociente, y así sucesivamente, hasta
obtener un resto cuyo erado sea menor que el grado del divisor, el cual
será el resto de la división. Si este resto último es nulo la división será
exacta
Otros ejemplos.
Dividendo x3
+ 3x2
+ x + 4 / x - 2 Divisor
X3
- 2x2
x2
+ 5x + 11 Cociente
1er
resto parcial 5x2
+ x + 4
5X2
- 10x
11x + 4
11x - 22
Resto +26