PHI e o mundo hoje

5.276 visualizações

Publicada em

Publicada em: Educação, Turismo
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
5.276
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
37
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
98
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

PHI e o mundo hoje

  1. 1. Φ Phi maiúsculo O número de ouro não é mais do que um valor numérico cujo valor aproximado é 1,618. Este número irracional é considerado por muitos o símbolo da harmonia. A escola grega de Pitágoras estudou e observou muitas relações e modelos numéricos que apareciam na natureza, beleza, estética, harmonia musical e outros, mas provavelmente a mais importante é a razão áurea, razão divina ou proporção divina.
  2. 2. A HISTÓRIA DO NÚMERO DE OURO A história deste enigmático número perde-se na antiguidade. No Egito as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea: a razão entre a altura de uma face e a metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro. A pirâmide de Khéops, em Gisé.
  3. 3. Outro exemplo da proporção áurea na antiguidade é o Papiro de Rhind (Egípcio) ou Ahmes que mede 5,5 metros de comprimento por 0,32 metros de largura, datado aproximadamente no ano 1650 a.C onde encontramos um texto matemático na forma de manual prático que contém 85 problemas copiados em escrita hierática pelo escriba Ahmes de um trabalho mais antigo. Papiro de Rhind (Egípcio) ou Ahmes (Museu Britânico)
  4. 4. Partenon Grego Fídias foi o escultor e o arquiteto encarregado da construção deste templo. A designação adaptada para o número de ouro é a inicial do nome deste arquiteto - a letra grega Φ (Phi maiúsculo).
  5. 5. Os Pitagóricos usaram também a seção de ouro na construção da estrela pentagonal. Foi o primeiro número irracional de que se teve consciência que o era. Este número era o número ou seção de ouro apesar deste nome só lhe ser atribuído 2000 anos depois. Posteriormente, os gregos consideraram que o retângulo cujos lados possuía esta relação apresentava uma especial harmonia estética e lhe chamaram retângulo áureo ou retângulo de ouro, considerando esta harmonia como uma virtude excepcional.
  6. 6. LEONARDO DA VINCI (1452-1519) A excelência dos desenhos de Leonardo da Vinci revela os seus conhecimentos matemáticos bem como a utilização da razão áurea como garante de uma perfeição, beleza e harmonia únicas.
  7. 7. Simetria
  8. 8. Perspectiva Leonardo da Vince
  9. 9. O Homem Vitruviano Data: 1490 – Técnica: Lápis e tinta - Dimensão: 34 x 24 cm O Homem Vitruviano é baseado numa famosa passagem do arquitecto/arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio, em que ele descreve as proporções do corpo humano: Um palmo é a largura de quatro dedos Um pé é a largura de quatro palmos Um antebraço é a largura de seis palmos A altura de um homem é quatro antebraços (24 palmos) Um passo é quatro antebraços A longitude dos braços estendidos de um homem é igual à altura dele A distância entre o nascimento do cabelo e o queixo é um décimo da altura de um homem A distância do topo da cabeça para o fundo do queixo é um oitavo da altura de um homem A distância do nascimento do cabelo para o topo do peito é um sétimo da altura de um homem A distância do topo da cabeça para os mamilos é um quarto da altura de um homem A largura máxima dos ombros é um quarto da altura de um homem A distância do cotovelo para o fim da mão é um quinto da altura de um homem A distância do cotovelo para a axila é um oitavo da altura de um homem A longitude da mão é um décimo da altura de um homem A distância do fundo do queixo para o nariz é um terço da longitude da face A distância do nascimento do cabelo para as sobrancelhas é um terço da longitude da face A altura da orelha é um terço da longitude da face
  10. 10. Roda d`Água com Taças 1503 Desenho O Codex Atlanticus, guardado na Biblioteca Ambrosiana, em Milão, é a maior coleção de anotações e esboços de Leonardo, mas até isso representa apenas uma pequena parte de suas notas e manuscritos. Dentro desta coleção, muitas páginas estão dedicadas a bombas, moinhos d`água e diversos aparelhos hidráulicos. Leonardo se sentia frustrantemente limitado em muitas de suas invenções, pois as formas de energia motriz que hoje para nós são comuns - eletricidade, gás, gasolina e outros - simplesmente não estavam disponíveis. Mas ele podia soltar as rédeas da imaginação ao projetar aparelhos mecânicos movidos a água.
  11. 11. Desenho das proporções da Cabeça e do Olho data desconhecida Leonardo reforçava suas observações do corpo humano com o estudo da anatomia. Em Florença, teve permissão para fazer dissecações no hospital Santa Maria Nuova. Como sempre, anotou e desenhou. Embora tivesse um bom conhecimento do que ocorre por debaixo da pele, assim como total compreensão das relações entre as diferentes partes do corpo, como demonstram estas anotações sobre as medidas e ângulos do rosto, suas pinturas jamais parecem rígidas ou acadêmicas. Seu conhecimento informa mais do que dita a estrutura.
  12. 12. Em 1502 Leonardo da Vinci fez o projeto de uma ponte para cruzar um rio em Constantinopla, na Turquia. A ponte, projetada para ser feita em pedra, teve o projeto rejeitado pelo Sultão Bajazet II, de Constantinopla (Istambul) e nunca foi construída. Nunca é uma palavra que nunca deve ser usada porque acaba acontecendo sempre. Alias, sempre é outra palavra que nunca deve ser usada porque as vezes, nunca acontece. Então a ponte nunca foi construída, isto é, nunca, até agora, porque faz poucos anos o projeto foi realizado, não na Turquia, mas na Noruega. O projeto original previa perto de 350m e foi reduzido para 100m e pedras foram substituídas por madeira e modernos materiais de construção. A ponte foi realizada graças ao artista Vebjoern Sand, que analisou o assunto e convenceu autoridades norueguesas a realizar o projeto de Leonardo, com as devidas adaptações para o local. A ponte é uma passarela de 8 m de largura para ajudar pedestres na travessia de uma estrada de alta velocidade. Projetada 500 anos antes, continua sendo a coisa mais moderna e arrojada na paisagem em que se encontra agora. A ponte na Noruega - o projeto original Leonardo da Vinci - moderno, mesmo depois de 500 anos
  13. 13. FIBONACCI O Matemático Italiano Leonardo de Pisa nasceu na Itália por volta de 1175 e ficou conhecido como Fibonacci (filho de Bonaccio) (Fibonacci = filius Bonacci). Seqüência de Fibonacci, indica o número de pares ao final de cada mês: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...} {1, A razão entre os termos desta seqüência convergirá para o numero de ouro. Ф = ( 1 + √5 )) / 2 Esquema do problema dos coelhos.
  14. 14. O NÚMERO DE OURO NA: NATUREZA Pinha Sementes do girassol Moluscos náuticos vistos em seção. Truta
  15. 15. Construção do Retângulo Raiz √2 1 Um retângulo tem a propriedade de poder ser dividido infinitamente em retângulos menores proporcionais. Isto significa que, quando um retângulo é dividido ao meio, sucedem dois retângulos menores. Deve se observar que a 2 proporção de um retângulo aproxima-se bastante da razão áurea. As proporções do retângulo são 1:1,141 e a razão áurea é 1: 1,618. Construção de um retângulo, pelo método do quadrado. 1 - comece com um quadrado. 2 - trace uma diagonal dentro do quadrado e use-a como arco que toca a linha de base do quadrado. Prolongue os lados do quadrado e obterá, assim, um retângulo √2.
  16. 16. A Anatomia do Compartilhar Cavala Sardinha Perca Muitos peixes também apresentam proporções Truta áureas. Três seções de construção em proporção áurea, aplicadas ao corpo de uma truta, mostram as relações entre o olho e a barbatana da cauda em retângulos e quadrados áureos recíprocos. Além disso, as barbatanas individuais também guardam essas mesmas proporções. A forma do peixe azul tropical cabe de forma perfeita num retângulo áureo. Sua boca e guelras apresentam-se em razões áureas recíprocas em relação à altura do seu corpo.
  17. 17.  Corpo humano Comparação das proporções faciais (desenhos de Da Vinci e Dürer) O quadrado inscreve a altura do corpo; mãos e pés tocam o círculo cujo o centro é no umbigo. A figura é dividida ao meio na virilha pela seção áurea cujo lado superior do quadrado passa também no umbigo.
  18. 18. Geometria Modular O estudo da geometria é extremamente importante na formação de designers, artistas e arquitetos: não há divisão de espaços sem a Saint Chapelle modulação geométrica; não há sistemas construtivos sem suportes geométricos que definam a localização virtual de elementos. A divisão pela utilização de módulos concerne não somente ao plano, mas também, a outras dimensões do espaço. Sistema LEGO A geometria modular é portanto o estudo rigoroso de formas que podemos planejar no plano para conceber o espaço. Sistema ABSTRACTA
  19. 19. Capela do I.I.T., Mies van der Rohe – 1949/1952 Mies van der Rohe é mais conhecido por seus monumentais arranha-céus em aço e vidro. Ele foi um mestre em sistemas proporcionais e tais arranha-céus guardam formas e proporções tão semelhantes que poderiam ser classificados como um arquétipo único. Mies foi diretor da Faculdade de Arquitetura no Instituto de Tecnologia de Illinois (IIT) por vinte anos, e naquele período ele projetou todo o campus e muitos dos seus prédios. A capela do IIT é um bom exemplo do uso das proporções em pequena escala. A fachada do prédio é proporcionada à razão áurea, 1:1,618. O prédio está perfeitamente subdividido em cinco colunas por retângulos áureos, e quando eles são repetidos, como padrão, o prédio aparece como um módulo de 5x5 retângulos horizontais. Arquitetura
  20. 20. Arquitetura A razão áurea pode ser vista de pronto nestes desenhos. A fachada da frente da capela pode ser subdividida numa série de retângulos áureos, que circundam as grandes janelas superiores e as pequenas superiores, para ventilação. - As grandes janelas inferiores são quadradas. - O desenho em corte do interior, em direção ao altar, mostra que o perímetro da fachada frontal pode ser definido por três retângulos áureos. - O plano do perímetro da capela cabe perfeitamente num retângulo áureo. - O quadrado do retângulo áureo define o altar e as áreas de serviço e dispensa da capela. - Estas duas áreas estão separadas por uma pequena elevação do altar e grades.
  21. 21. Arte Poster Folies-Bergére, Jules Chéret, 1877
  22. 22. Poster Mostra Bauhaus - Fritz Schleifer, 1922
  23. 23. Diário, de Adolphe Mouron” - 1960 A relação áurea define simplesmente proporções ideais, já previamente intuídas pelo designer; é uma forma de verificação, e não um sistema (estaria fadado ao insucesso, se assim fosse, como todos os sistemas). quot;Diário, de Adolphe Mouron” - 1960.
  24. 24. Chaise Longue - Le Corbusier, 1929 Design de Produto Chaise Longue de Thonet - 1870
  25. 25. Brno Chair - Mies van der Rohe, 1929 Bentwood de Thonet
  26. 26. Plywood Chair - Charles Eames, 1946 Raios: A=1; B=4; C=6; D=8 M
  27. 27. Pedestal Chair - Eero Saarinen, 1957
  28. 28. Misturador Manual Braun - 1987
  29. 29. Volkswagen Beetle - Jay Mays, Freeman Thomas, Peter Schreyer, 1997
  30. 30. Análise Visão Posterior: A exemplo da visão frontal, a visão traseira pode ser inscrita num quadrado. O logotipo está colocado próxima ao centro do quadrado, e todas as superfícies e elementos são simétricos. A geometria do corpo do carro apresenta, ainda, outros detalhes; os faróis dianteiros e traseiros são elípticos, mas como repousam sobre curvas, aparentam ser circulares. O ângulo que rege o capô da mala está a 45°. Antena: O ângulo da antena é tangente ao círculo do para-lama da roda da frente e a posição da sua base alinha-se com o para-lama da roda traseira.
  31. 31. Cia. Brasileira de Petróleo Ipiranga - Verschleisser/Visconti, 1972 2/3 1/6
  32. 32. PORTOBRÁS - Verschleisser/Visconti, 1980
  33. 33. CEG Cia. Estadual de Gás - Verschleisser/Visconti, 1972
  34. 34. Os textos , ilustrações e obras de arte que constam deste trabalho foram retirados de pesquisas efetuadas nos sites que constam na bibliografia .
  35. 35. REFERÊNCIAS www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/ouro.htm www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm41/provaouro.htm members.tripod.com/caraipora/proporouro.htm www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/num_ouro.htm www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm203/numeros.htm pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib1.htm pascal.iseg.utl.pt/~ncrato/Expresso/FiFibonacci_Expresso_20041009.htm www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/num_ouro.htm www.perfeitauniao.org/pficial/2004/a_proporcao_aurea.htm Leo Visconti - Apresentação do Microsoft Office PowerPoint
  36. 36. • www.somatematica.com.br • www.pinturasbrasileiras.com • www.buscatematica.com • http://galeriadearte.vilabol.uol.com.br • www.ima.art.br/workshops.htm# • http://pt.wikipedia.org/wiki/Simetria • http://www.theart.com.br/biografias/davinci/davinci.htm • http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo /capitulos/cap21s3.html • http://paginas.terra.com.br/arte/mundoantigo/michelangelo/ • http://www.tg3.com.br/vinci/l-link.htm • http://paineis.org/INDICE.htm
  37. 37. Geometria Plana Alguns conteúdos que serão utilizados no estudo da Geometria Analítica
  38. 38. Ponto SÃO ENTES MATEMÁTICOS, SÓ Reta PODEMOS TER UMA IDÉIA DE CADA UM Plano DELES.
  39. 39. REPRESENTAÇÃO Normalmente usamos letras PONTO maiúsculas para designarmos AB C RETA Normalmente usamos letras minúsculas para designarmos a b c Plano Normalmente usamos letras gregas para designarmos. γβ θ
  40. 40. SEMI-RETA É a parte de uma reta que foi dividida por um ponto, cada uma das partes da reta recebe então o nome de semi-reta. B O ponto A dividiu a reta em duas bem ao meio cada lado A será representado: C AB ou AC
  41. 41. SEGMENTO Tomando-se uma reta e sobre ela definimos dois pontos A e B distintos. Chama-se SEGMENTO a parte da reta compreendida entre esses dois pontos inclusive, os quais passam a ser chamados de extremidades r B AB ou BA A
  42. 42. Posições Relativas de Duas Retas no Plano CONCORRENTES COINCIDENTES PARALELAS r r s s r s
  43. 43. EQUIDISTANTES MESMA DISTÂNCIA r Vamos observar a figura H M para concluirmos: E G D M I A I B A T J R I L Z Os pontos H,G,M,I,J,L pertencem a reta r, e são todos eqüidistantes de AB A reta r é a MEDIATRIZ de AB, e forma 90°.
  44. 44. Ponto Médio Por definição é o ponto que divide um segmento em dois outros segmentos congruentes ( mesma mediada). B C A PM =dist AC = dist CB
  45. 45. POSIÇÕES DE TRÊS PONTIOS NO PLANO ALINHADOS ou Vértices de um COLINEARES triângulo O det é ZERO O det é diferente de ZERO
  46. 46. estudar a Reta Vamos Podemos Determinar uma reta sempre que conhecermos. a) Dois pontos dela. b) Um ângulo e um ponto
  47. 47. Toda a reta como vimos, forma com o eixo y2 y1 x um ângulo cuja a sua tangente m chamamos de coeficiente angular e representaremos pela letra m. x2 x1 β>90 β<90 Logo m NEG. Logo m POSIT
  48. 48. Equações da RETA Já estudamos a equação da reta quando vimos Função: f(x) = mx + b Este termo independente passa a ser chamado de coeficiente linear e será o ponto que a Este m da função afim é o reta intercepta o coeficiente angular da reta eixo dos Y e nos fornece a inclinação.
  49. 49. Determinando a equação da reta: Temos agora condições de encontrar ou podemos aplicar a teoria do a equação da reta conhecendo: alinhamento de três pontos a) DOIS PONTOS x y 1 y2 y1 m x1 y1 1 0 x2 x1 x2 y2 1 (y y1 ) m( x x1 )
  50. 50. Conhecendo o ângulo c) Conhecendo UM b) que a reta forma com o ponto e o eixo dos X coeficiente angular 3 30 m y2 y1 3 m 45 m 1 x2 x1 60 m 3 (y y1 ) m( x x1 )
  51. 51. São duas retas que: Voltando ao Paralelismo 1. Não se cruzam. 2. Tem o mesmo coeficiente angular. 3. A distância entre pontos de m m intersecção com uma reta perpendicular são sempre iguais. 4. A solução do sistema entre as duas equações é sempre uma impossibilidade.
  52. 52. PERPENDICULAREISMO 1. São duas retas que formam entre sí um ângulo de 90º. Cruzam-se em um único 2. ponto determinado por 1 meio da resolução do m m sistema. 3. Seus coeficientes angulares guardam a relação INVERSO SIMÉTRICO.
  53. 53. É um polígono de três lados. 3 lados = EQUILÁTEROS Quanto aos 2 lados = ISÓSCELES seus Lados ESCALENO 3 lados ≠
  54. 54. ALGUNS ELEMENTOS Reta suporte da altura ALTURA relativa ao lado ou vértice MEDIANA Reta suporte ao lado
  55. 55. Triângulo Eqüilátero Características * Três lados Iguais * Sua altura l3 2 * Sua área 2 l 3 4 1 * Sua área D 2 A 1/3 da altura temos o RAIO da circunferência inscrita e a 2/3 o Raio da circunferência Circunscrita
  56. 56. Triângulo Isósceles * Dois lados iguais * A altura o divide em dois triângulos retângulos iguais b c h 1 * Sua área D 2 a
  57. 57. Triângulo Escaleno * Três lados diferentes 1 * Sua área D 2
  58. 58. Triângulo Retângulo * T. Pitágoras a2 = b2 + c2 * Um ângulo reto C .O sen h * Trigonometria cos C. A h C .O tan C. A * Área Cat.Cat 2
  59. 59. Quadrilátero Quadrado Q Paralelogramo u Retângulo A D Losango ou Rombo R I L Retângulo A Trapézio T Isósceles E R Escaleno o
  60. 60. Algumas Particularidades Paralelogramos As diagonais cruzam-se no PONTO MÉDIO Quadrado e no As diagonais também são PERPENDICULARES Losango Trapézio Prolongando os lados não paralelos optemos um triângulo
  61. 61. CIRCUNFERÊNCIA É um conjunto de pontos eqüidistantes . de um único ponto chamado centro
  62. 62. Elementos AE Arco E A AC EC BC Raio D CD Corda C AB Diâmetro B c
  63. 63. Reta Secante a r ¥ Circunferência A reta secante r sobre a .c circunferência ¥ determina uma corda onde sua mediatriz passa pelo centro da circunferência OBS. Três pontos determinam uma circunferência
  64. 64. Reta Tangente ¥ A Reta tangente a uma r circunferência é sempre .c perpendicular a reta suporte que contém o raio

×