Banco De QuestõEs 2008 Da Obmep

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Banco De QuestõEs 2008 Da Obmep

  1. 1. Uma palavra aos alunos e professores Uma palavra aos alunos e professores O Banco de Quest˜es foi concebido por solicita¸˜o de alunos e professores que tˆm o ca e participado da Olimp´ ıada Brasileira de Matem´tica das Escolas P´blicas (OBMEP). a u Com o objetivo de facilitar e motivar a prepara¸ao dos alunos para as provas, o Banco c˜ de Quest˜es inspirou a cria¸˜o de diversos clubes de matem´tica nas escolas para o ca a trabalhar com esse material. Nesses 3 anos temos recebido, com muita alegria, mensagens de alunos e pro- fessores informando-nos sobre incorre¸oes no Banco de Quest˜es, tais como erros c˜ o de digita¸ao, trocas de resposta, e alguns tamb´m nos oferecem outras solu¸oes c˜ e c˜ de alguns problemas. Essa troca tem propiciado um di´logo interessante e um a maior conhecimento rec´ ıproco entre a equipe da OBMEP e a rede p´blica escolar. u Aproveitamos para agradecer essa colabora¸ao. c˜ Os alunos e professores que tˆm usado o Banco de Quest˜es nesses 3 anos de e o existˆncia da OBMEP v˜o reparar que ele n˜o segue um modelo r´ e a a ıgido, a cada ano mudamos o seu formato, a quantidade e a dificuldade dos problemas. Esperamos dessa forma contribuir para dar aos alunos e professores uma vis˜o bem abrangente a do mundo fascinante que ´ o dos problemas de matem´tica. e a Parte dos problemas aqui apresentados fazem parte de provas de olimp´ ıadas nacionais e internacionais. Dessa forma pretendemos colocar os alunos da rede p´blica em contato com o mesmo tipo de prepara¸˜o que tˆm seus colegas em u ca e diversos pa´ ıses. Os problemas est˜o agrupados nos 3 n´ a ıveis por quest˜o de organiza¸ao; no en- a c˜ tanto aconselhamos todos os alunos a “passearem” tamb´m em outros n´ e ıveis dife- rentes do seu, e lembrem-se que ´ absolutamente natural encontrar dificuldades e em alguns problemas - elas devem ser vistas como desafios e n˜o como motivo de a desˆnimo. a Desejamos que esse Banco de Quest˜es torne o estudo da Matem´tica em sua o a escola mais motivante e instigador. Dire¸˜o Acadˆmica ca e da OBMEP OBMEP 2008 i
  2. 2. Uma palavra aos alunos e professores Organizado por: • Suely Druck (UFF) • Maria Elasir Seabra Gomes (UFMG) Com a colabora¸ao de: c˜ • Ana L´cia da Silva (UEL) u • Edson Roberto Abe (Col´gio Objetivo) e • F´bio Brochero (UFMG) a • Francisco Dutenhefner (UFMG) ii OBMEP 2008
  3. 3. Conte´ do u Uma palavra aos alunos e professores i N´ ıvel 1 1 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 N´ ıvel 2 11 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 N´ ıvel 3 19 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 iii
  4. 4. Uma palavra aos alunos e professores Solu¸˜es do N´ co ıvel 1 31 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Solu¸˜es do N´ co ıvel 2 51 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Solu¸˜es do N´ co ıvel 3 73 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Lista 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Lista 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Lista 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Lista 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 iv OBMEP 2008
  5. 5. Lista 1 N´ 1 ıvel N´ ıvel 1 Lista 1 1. O trajeto das formiguinhas - As formiguinhas Maricota e Nandinha passeiam numa varanda cujo ch˜o ´ formado por lajotas retangulares de 4 cm a e de largura por 6 cm de comprimento. Maricota parte do ponto M e Nandinha do N , andando ambas apenas pelos lados dos retˆngulos, percorrendo o trajeto a no sentido indicado na figura. r - M ....................................................... . . . . . . ........................................ ......................................... . . . . . . . . . . . . . . . . ........................... ............................ . . . . . . ............... . .............. . . . . . . . . . . . . . N r - ......................................... ......................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................... ............................ . . . . . . . . . . . . . . .............. .. . .............. (a) As duas se encontram depois de andarem a mesma distˆncia. Qual foi a essa distˆncia? a (b) Aonde elas se encontraram? 2. A soma ´ 100 - A soma de 3 n´meros ´ 100, dois s˜o primos e um ´ a e u e a e soma dos outros dois. (a) Qual ´ o maior dos 3 n´meros? e u (b) Dˆ um exemplo desses 3 n´meros. e u (c) Quantas solu¸oes existem para esse problema? c˜ OBMEP 2008 1
  6. 6. N´ 1 ıvel Lista 1 3. C´digo de barras - Um servi¸o postal usa barras curtas e barras longas o c para representar o C´digo de Endere¸amento Postal - CEP. A barra curta o c corresponde ao zero e a longa ao 1. A primeira e a ultima barra n˜o fazem ´ a parte do c´digo. A tabela de convers˜o do c´digo ´ mostrada abaixo. o a o e 11000 = 0 01100 = 5 00011 = 1 10100 = 6 01010 = 2 00001 = 7 00101 = 3 10001 = 8 00110 = 4 10010 = 9 (a) Escreva os CEP 36470130 na forma de c´digo de barras. o (b) Identifique o CEP que representa o c´digo de barras abaixo: o |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| 4. Atletas da escola - Numa escola, um quarto dos alunos joga somente vˆlei, o um ter¸o joga somente futebol, 300 praticam os dois esportes e 1/12 nenhum c deles. (a) Quantos alunos tem a escola? (b) Quantos alunos jogam somente futebol? (c) Quantos alunos jogam futebol? (d) Quantos alunos praticam um dos 2 esportes? ızima peri´dica - Qual ´ o algarismo da 1997a casa decimal de: 5. D´ o e 1 1 (a) (b) 22 27 2 OBMEP 2008
  7. 7. Lista 2 N´ 1 ıvel Lista 2 1. Ana na corrida - Para ganhar uma corrida, Ana deve completar os ultimos ´ 5 km em menos de 20 minutos. Qual deve ser sua velocidade em km/h? 2. Quadradinhos e o buraco - Quantos quadradinhos foram retirados do tabuleiro 10x20? Se o lado de cada quadradinho mede 1 cm, qual ´ a ´rea e o e a per´ ımetro do “buraco”? 3. Quadrados perfeitos no retˆngulo - Complete as seis casas da tabela, a colocando um algarismo em cada uma, de modo que os dois n´meros de trˆs u e algarismos formados na horizontal e os trˆs n´meros de dois algarismos for- e u mados na vertical sejam quadrados perfeitos. (a) Quais s˜o os n´meros? a u (b) Quantas solu¸oes existem? c˜ 4. Aula de divis˜o - Na aula sobre divis˜o a professora pediu que seus alunos a a colocassem n´meros no lugar das estrelas. Quais s˜o esses n´meros? u a u . . . . . . . . 38 ......................................... 75 .....................12...... . ....... ...... . . . . 3 .................. .................. . 42 .......................................... 4 7 5 OBMEP 2008 3
  8. 8. N´ 1 ıvel Lista 2 5. A festa de Rosa - Os convidados para festa de anivers´rio de Rosa come¸aram a c a chegar a partir das 18 horas. Maria chegou na meia hora depois de Cec´ ılia, mas meia hora antes de Alice. Rosa soprou as velinhas `s 21 horas e apenas a Cec´ n˜o estava, ela tinha outra festa e j´ tinha ido embora. Alice foi a ılia a a ultima convidada a ir embora, `s 23h15min. Quais das afirma¸˜es abaixo s˜o ´ a co a verdadeiras? (a) Cec´ ficou menos do que 3 horas na festa. ılia (b) Cec´ ficou menos tempo na festa do que Maria. ılia (c) Alice ficou mais tempo na festa do que Maria. 4 OBMEP 2008
  9. 9. Lista 3 N´ 1 ıvel Lista 3 1. Linhas de ˆnibus - No ponto de ˆnibus perto da casa de Quinzinho, existem o o duas linhas de ˆnibus que ele pode usar para ir a escola: uma passa de 15 em o 15 minutos e a outra de 25 em 25 minutos. (a) Se os dois ˆnibus passaram juntos `s 7 h 30 min, a que horas passar˜o o a a juntos novamente? (b) De 7 h 30 min at´ meia noite, quais os hor´rios em que os ˆnibus passar˜o e a o a juntos no ponto perto da casa de Quinzinho? 2. Quadrados dentro de um retˆngulo - a O ........................................................ . . . . . . retˆngulo da figura est´ dividido em 8 quadrados. a a . . . . . . . . . . . . O menor quadrado tem lado 1cm e o maior 14cm. . . . . . . . . . . . . . . . (a) Determine o lado dos outros quadrados. ........................................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. . (b) Qual ´ o per´ e ımetro do retˆngulo? a . . ..... ........................................................ . . . . . 3. Festa na escola - A professora Ana foi comprar p˜o de queijo para home- a nagear os alunos premiados na OBMEP e deparou-se com a seguinte quest˜o: a • cada 100 gramas de p˜o de queijo custam R$ 3, 20 e correspondem a 10 a p˜es de queijo; a • cada pessoa come, em m´dia, 5 p˜es de queijo. e a A professora tem 16 alunos, um monitor e 5 pais de alunos. A precis˜o da a balan¸a da padaria ´ de 100 gramas. c e (a) Quantos gramas de p˜o de queijo ela deve comprar para que cada pessoa a coma pelo menos 5 p˜es? a (b) Quanto a professora gastar´? a (c) Se cada pessoa comer 5 p˜es de queijo, sobrar´ algum p˜o de queijo? a a a OBMEP 2008 5
  10. 10. N´ 1 ıvel Lista 3 4. Ai que fome - Observe a tabela abaixo: Salgados Bebidas Doces Empada: R$ 3, 90 Refrigerante: R$ 1, 90 Sorvete: R$ 1, 00 Sandu´ ıche: R$ 2, 20 Refresco: R$ 1, 20 Cocada: R$ 0, 40 Pastel: R$ 2, 00 ´ Agua: R$ 1, 00 Bombom: R$ 0, 50 Maria deseja fazer um lanche contendo um salgado, uma bebida e um doce. Ela possui 5 moedas de R$ 0, 50 centavos, 7 moedas de R$ 0, 25 centavos, 4 moedas de R$ 0, 10 centavos e 5 moedas de R$ 0, 05 centavos. (a) Quantos reais Maria possui? (b) Se o valor da passagem de ˆnibus ´ R$ 0, 90 centavos, com essa quantia o e quais as poss´ ıveis combina¸oes que ela pode fazer? c˜ 5. Advinhe - Tenho n´meros naturais primos entre si. Se eu somar 50 a cada u um deles encontro n´meros de dois algarismos. Se eu subtrair 32 de cada u um deles tamb´m encontro n´meros naturais de 2 algarismos. Quais s˜o os e u a n´meros? u 6 OBMEP 2008
  11. 11. Lista 4 N´ 1 ıvel Lista 4 1. Produto de consecutivos - Dentre os n´meros 712, 548, e 1680 qual ´ u e o unico que pode ser escrito como um produto de quatro n´meros naturais ´ u consecutivos? 2. Pal´ ındromos - O ano 2002 ´ pal´ e ındromo 373 e 1221 porque ´ o mesmo quando lido da direita para e foram anos pal´ ındromos. a esquerda. (a) Qual ser´ o pr´ximo ano pal´ a o ındromo depois de 2002? (b) O ultimo ano pal´ ´ ındromo, 1991, era ´ ımpar. Quando ser´ o pr´ximo ano a o pal´ ındromo ´ ımpar? (c) O ultimo ano pal´ ´ ındromo primo ocorreu h´ mais de 1000 anos, em 929. a Quando ocorrer´ o pr´ximo ano pal´ a o ındromo primo? 3. O maior mdc - Quais s˜o os seis n´meros de dois algarismos cujo m´ximo a u a divisor comum ´ o maior poss´ e ıvel? 4. Quantidade de ´gua na terra - A Terra tem aproximadamente o vo- a lume de 1 360 000 000 km3 de ´gua que se distribuem nos oceanos, mares, a geleiras, regi˜es subterrˆneas (aq¨´ o a uıferos), lagos, rios e atmosfera. Somente a ´gua encontrada nos trˆs ultimos itens tem f´cil acesso ao consumo humano. a e ´ a Com estes dados complete a tabela a seguir: Especifica¸˜es co Volume de ´gua em km3 a Percentual Forma decimal do percentual ´ Agua salgada 97% ´ Agua doce 40 000 000 Gelo 1, 8% ´ Agua subterrˆnea a 0, 0096 Lagos e rios 250 000 Vapor de ´gua a 0, 00001 OBMEP 2008 7
  12. 12. N´ 1 ıvel Lista 4 5. Salas - Maria e Jo˜o querem dividir uma ´rea retangular de 10 m por 20 m. a a Eles querem ter uma sala de jantar quadrada, ao lado de uma sala de visitas, como mostra a planta ao lado. Eles precisam que a sala de visitas tenha mais de 20 m2 e menos de 25 m2 , e que a de visitas tenha 30 m2 . Quais as dimens˜es que cada sala pode ter para que a sala de jantar tenha a o menor ´rea poss´ a ıvel? Dˆ a resposta com aproxima¸ao de uma casa decimal. e c˜ jantar visitas 8 OBMEP 2008
  13. 13. Lista 5 N´ 1 ıvel Lista 5 1. Bolas - De quantas formas podemos repartir 14 bolas entre 3 crian¸as de c modo que cada crian¸a receba no m´ c ınimo 3 bolas? 2. Minutos - Uma prova de Matem´tica come¸a `s 12h 35min e tem dura¸ao a c a c˜ 5 de 4 horas. A que horas termina a prova? 6 3. Menor n´mero - Qual ´ o menor n´mero de 5 algarismos que se pode u e u formar com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 9, que seja divis´ por 4? ıvel 4. Contas do papagaio - Antˆnio tem um papagaio que faz contas fant´sticas o a com n´meros inteiros, mas n˜o sabe nada sobre decimais. Quando Antˆnio u a o sopra um n´mero em seu ouvido, o papagaio multiplica esse n´mero por 5, u u depois soma 14, divide o resultado por 6, finalmente subtrai 1 e grita o resul- tado. (a) Se Antˆnio soprar o n´mero 8, qual n´mero o papagaio grita? o u u (b) Se o papagaio gritou 3, qual o n´mero que Antˆnio soprou em seu ouvido? u o (c) Porque o papagaio nunca grita o n´mero 7? u 5. Soma maior que 34 - Quantos n´meros de 4 algarismos existem cuja soma u de seus algarismos ´ maior do que 34? e OBMEP 2008 9
  14. 14. N´ 1 ıvel Lista 6 Lista 6 1. Sem 1’s - Roberto quer escrever o n´mero 111 111 como um produto de u dois n´meros, nenhum deles terminado em 1. Isso ´ poss´ u e ıvel? Por quˆ? e 2. N´meros equilibrados - Um n´mero ´ dito equilibrado se um dos seus u u e algarismos ´ a m´dia aritm´tica dos outros. Por exemplo, 132, 246 e 777 s˜o e e e a equilibrados. Quantos n´meros equilibrados de 3 algarismos existem? u 3. N´meros primos - Quais os n´meros entre 70 e 110, cujos triplos somados u u mais um d˜o um n´mero primo? a u 4. Quadro moderno - Para fazer um quadro bem moderno para sua escola, Roberto divide uma tela quadrada em 8 partes com 4 faixas de mesma largura e a diagonal, como na figura. Ele pinta o quadro de azul e verde, de modo que duas partes vizinhas tenham cores diferentes. No final, ele repara que usou mais verde do que azul. Que fra¸ao do quadro foi pintada de azul? c˜ 10 OBMEP 2008
  15. 15. Lista 1 N´ 2 ıvel N´ ıvel 2 Lista 1 1. Sapo Cururu - Cururu ´ um sapo estranho, ele se desloca apenas com dois e tipos de saltos, veja a seguir : Salto tipo I: 10 cm para Leste e 30 cm para Norte; Salto tipo II: 20 cm para Oeste e 40 cm para Sul. 20cm 30cm 40cm 10cm Tipo II Tipo I (a) Como Cururu pode chegar a um ponto situado a 190 cm para Leste e 950 cm para Norte de sua casa? ´ (b) E poss´ Cururu chegar a um ponto situado a 180 cm a Leste e 950 cm ıvel ao Norte de sua casa? OBMEP 2008 11
  16. 16. N´ 2 ıvel Lista 1 2. Distribuindo algarismos em linhas - Joana escreveu uma seq¨ˆncia em ue 10 linhas usando os algarismos de 0 a 9, seguindo o padr˜o: a 0 1 1 0 2 2 2 1 1 0 3 3 3 3 2 2 2 1 1 0 . . . Qual o algarismo mais usado? Quantas vezes esse algarismo foi utilizado? 3. Ser´ que existe? - Existe um n´mero inteiro N tal que a u 2008 × N = 222 . . . 2 ? ´ 1 1 1 1 4. Limite de uma soma - E verdade que 3 + 3 + 3 < ? 4 5 6 12 5. Parte inteira - A parte inteira de um n´mero inteiro x ´ o maior inteiro u e que ´ menor ou igual a x. Vamos denot´-lo por [x]. Por exemplo: e a [2, 9] = 2, [0, 88] = 0 e [−1, 7] = −1. Calcule: √ 28756 2007 √ (a) [ 12] (b) (c) − (d) [ 3 −111] 12777 2008 12 OBMEP 2008
  17. 17. Lista 2 N´ 2 ıvel Lista 2 1. Soma nove - Quantos n´meros inteiros entre 10 e 999 tˆm a soma de seus u e algarismos igual a 9? 2. Retˆngulos - As medidas dos lados de um retˆngulo s˜o n´meros pares. a a a u Quantos desses retˆngulos existem com ´rea igual a 96? a a 3. N´mero de retas - Sabemos que dois pontos distin- u tos em um plano determinam uma e somente uma reta. Quantas retas s˜o determinadas pelos pontos marcados a no quadriculado ao lado? 4. Cubo - Pedro quer pintar uma caixa na forma de um cubo de tal maneira que as faces que tˆm uma aresta em comum s˜o pintadas em cores diferentes. e a Calcule o n´mero m´ u ınimo de cores necess´rias para pintar o cubo. a ´ 5. Area - Um terreno retangular foi divido em 4 terrenos, tamb´m retangulares. e As ´reas de 3 deles est˜o dadas na figura em km2 . Qual ´ a ´rea do terreno a a e a que foi dividido? OBMEP 2008 13
  18. 18. N´ 2 ıvel Lista 3 Lista 3 1. Inteiro mais pr´ximo - Determine o n´mero inteiro mais pr´ximo de: o u o 19 19 85 43 29 15 11 1 7 2 (a) + (b) + + + (c) − − − + 15 3 42 21 14 7 10 2 5 3 2. Brincando com n´meros ´ u ımpares - Beatriz adora n´meros ´ u ımpares. Quantos n´meros entre 0 e 1000 ela pode escreve usando apenas algarismos u ´ ımpares? ´ 3. Agua no jarro - Jo˜o e Maria tˆm um jarro grande, cada, com um litro de a e ´gua em cada um. No primeiro dia, Jo˜o coloca 1 ml da ´gua do seu jarro no a a a jarro da Maria. No segundo dia, Maria coloca 2 ml da ´gua do seu jarro no a jarro do Jo˜o. No terceiro dia, Jo˜o coloca 3 ml da ´gua do seu jarro no jarro a a a da Maria, e assim por diante. Depois de 200 dias, quantos mililitros de ´gua a tem no jarro de Maria? 4. Formiga no cubo - Uma formiga parte de um v´rtice de um cubo andando e somente sobre as arestas at´ voltar ao v´rtice inicial. Ela n˜o passa duas vezes e e a por nenhum v´rtice. Qual ´ o passeio de maior comprimento que a formiga e e pode fazer? 5. Promo¸˜o - Em uma promo¸ao, Joana comprou blusas de R$15, 00 cada e ca c˜ cal¸as de R$17, 00 cada, gastando ao todo R$143, 00. Quantas blusas e cal¸as c c Joana comprou? 14 OBMEP 2008
  19. 19. Lista 4 N´ 2 ıvel Lista 4 1. Soma de cubos - Se x + y = 1 e x2 + y 2 = 2, calcule x3 + y 3 . 2. O revezamento em uma corrida - Numa competi¸˜o de revezamento, ca cada equipe tem dois atletas que tˆm que correr 21 km cada um. O segundo e atleta s´ inicia a corrida quando o primeiro atleta termina a sua parte e lhe o passa o bast˜o. O recorde dessa competi¸˜o ´ de 2 horas e 48 minutos. Na a ca e equipe de Jo˜o e Carlos, Jo˜o inicia a corrida e corre a sua parte com uma a a velocidade de 12 km/h. Para bater o recorde, qual deve ser a velocidade de Carlos? 3. Produtos consecutivos - Divida os n´meros 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17 em dois u grupos de tal forma que multiplicando todos os n´meros de um grupo e todos u do outro encontramos n´meros consecutivos. u 4. Distraindo na fila - Vivi, Tˆnia e Rosa est˜o em fila, n˜o necessariamente a a a nessa ordem e gritam, cada uma sucessivamente, um m´ltiplo de 3: u 3 , 6 , 9, 12 , 15 , 18 , . . . . . , . . , ., . Vivi foi a primeira a gritar um n´mero maior que 2003 e Rosa a primeira a u gritar um n´mero de 4 algarismos. Quem gritou o n´mero 666? E o 888? u u OBMEP 2008 15
  20. 20. N´ 2 ıvel Lista 4 5. N´mero e o dobro - Um n´mero menor do que 200 ´ formado por 3 alga- u u e rismos diferentes, e o dobro desse n´mero tamb´m tem todos os algarismos u e diferentes. Ainda, o n´mero e seu dobro n˜o tˆm algarismos em comum. Qual u a e ´ esse n´mero? Quantas solu¸oes tˆm esse problema? e u c˜ e 16 OBMEP 2008
  21. 21. Lista 5 N´ 2 ıvel Lista 5 1. Invertendo os algarismos - Quantos n´meros entre 10 e 99 existem tais u que invertendo a ordem de seus algarismos, obtemos um n´mero maior que o u n´mero original? u 2. Raz˜o entre segmentos - Na figura, O ´ a e R o centro do semi-c´ ırculo de diˆmetro P Q, e a RM ´ perpendicular a PQ. Se o arco P R ´ o e e dobro do arco RQ, qual ´ a raz˜o entre P M e a P O M Q e M Q? 3. Triˆngulos - a Quais os triˆngulos cujas medidas dos lados s˜o n´meros a a u inteiros e com per´ ımetro 15 cm? 4. N´mero interessante - O n´mero 119 ´ muito interessante porque dividido u u e por 2 deixa resto 1, dividido por 3 deixa resto 2, dividido por 4 deixa resto 3, dividido por 5 deixa resto 4 e finalmente dividido por 6 deixa resto 5. Existem outros n´meros de trˆs algarismos com esta mesma propriedade? u e 5. Time vencedor - Um time de futebol ganhou 60% das 45 partidas rea- lizadas. Qual ´ o n´mero m´ e u ınimo de partidas que ele precisa jogar para atingir a porcentagem de 75% de vit´rias? o OBMEP 2008 17
  22. 22. N´ 2 ıvel Lista 6 Lista 6 1. Brincando com dados - Dois dados s˜o lan¸ados. Qual ´ o percentual do a c e produto dos n´meros obtidos nos 2 dados ser divis´ por 6? u ıvel 2. Contando solu¸˜es - Quantos s˜o os pares de n´meros inteiros positivos co a u xy (x, y) tais que = 144? x+y 3. C´ ırculos tangentes - Os v´rtices de um triˆngulo de lados 3 cm, 4 cm e e a 5 cm s˜o centros de trˆs c´ a e ırculos dois a dois tangentes . Qual ´ a soma das e ´reas destes trˆs c´ a e ırculos? 4. Grupo de amigos - Jo˜o, Jorge, Jos´ e Jan s˜o bons amigos. Jo˜o n˜o tem a e a a a dinheiro, mas seus amigos tˆm. Jorge deu a Jo˜o um quinto de seu dinheiro, e a Jos´ deu um quarto de seu dinheiro e Jan deu um ter¸o de seu dinheiro. Se e c todos eles deram para Jo˜o a mesma quantidade de dinheiro, que fra¸˜o do a ca dinheiro do grupo ficou com Jo˜o? a 5. Um trap´zio is´sceles - Na figura, e o o trap´zio ABCD ´ is´sceles, AB ´ pa- e e o e A B r 4 ¡ rr 4 „ ¡ rrP 44 „ ralelo a CD e as diagonais AC e BD ¡ 4 „ ¡ 4rrr „ 4 rr cortam-se no ponto P . Se as ´reas dos a ¡ 4 4 „ ¡ 4 rr „ triˆngulos a ABP e P CD s˜o 4 cm2 a ¡ 44 rr „ ¡ 4 r„ e 9 cm2 , respectivamente, qual ´ a ´rea e a D C do triˆngulo a P BC? 18 OBMEP 2008
  23. 23. Lista 1 N´ 3 ıvel N´ ıvel 3 Lista 1 1. Problema de nota - Um professor prop˜e 80 problemas a um aluno, in- o formando que lhe atribuir´ cinco pontos por problema resolvido corretamente a e lhe retirar´ trˆs pontos por problema n˜o resolvido ou resolvido incorreta- a e a mente. No final o aluno tinha oito pontos. Quantos problemas ele resolveu corretamente? 2. Quadrados e triˆngulos - Na figura tem-se 16 pontos formando um reti- a culado quadrado e duas retas, r e s, perpendiculares entre si. (a) Quantos quadrados podemos construir, de tal maneira que seus v´rtices e perten¸am ao reticulado, por´m nenhum de seus lados sejam paralelos `s c e a retas r e s? (b) Quantos triˆngulos is´sceles podemos construir, de tal maneira que seus a o v´rtices perten¸am ao reticulado, por´m nenhum de seus lados sejam e c e paralelos `s retas r e s? a OBMEP 2008 19
  24. 24. N´ 3 ıvel Lista 1 3. C´lculo de ´reas - Em cada uma das figuras a seguir tem-se um quadrado a a de lado r. As regi˜es hachuradas em cada uma destas figuras s˜o limitadas por o a lados desse quadrado ou por arcos de c´ ırculo de raio r de centros nos v´rtices e do quadrado. Calcule cada uma dessas ´reas em fun¸ao de r. a c˜ (a) (b) 4. Seq¨ˆncia de algarismos - Todos os n´meros naturais de 1 em diante s˜o ue u a escritos consecutivamente formando a seguinte seq¨ˆncia de algarismos: ue 1234567891011121314151617181920212223... Qual algarismo aparece na posi¸ao de n´mero 206 788? c˜ u 5. Soma constante - Coloque os n´meros 663, 664, 665, 666, 667, 668, 669, u 670 e 671, sem repetir, em uma tabela 3 × 3, de tal maneira que a soma em cada linha, em cada coluna e cada diagonal seja 2001. Caso n˜o seja poss´ a ıvel, justifique sua resposta. 20 OBMEP 2008
  25. 25. Lista 2 N´ 3 ıvel Lista 2 1. Contando os zeros - Quantos zeros existem no final do n´mero u 92007 + 1? 2. C´ ´ ırculos dentro do quadrado - E poss´ colocar um certo n´mero de ıvel u c´ ırculos dentro de um quadrado de 1 cent´ ımetro de lado, tal que a soma dos raios destes c´ ırculos seja maior que 2008 cent´ ımetros? Os c´ ırculos podem ser apenas tangentes, n˜o vale interse¸˜o de c´ a ca ırculos em 2 pontos. 3. Construindo um n´mero - Encontre um n´mero de oito algarismos u- u u sando somente os algarismos 1, 2, 3, 4, cada um deles duas vezes, tal que: (i) exista um unico algarismo entre os dois algarismos 1; ´ (ii) existam dois algarismos entre os dois algarismos 2; (iii) existam trˆs algarismos entre os dois algarismos 3; e (iv) existam quatro algarismos entre os dois algarismos 4. 4. N´mero na circunferˆncia - Os n´meros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 foram u e u escritos (em uma ordem desconhecida) ao redor de uma circunferˆncia. Lendo e esses n´meros de 3 em 3 no sentido hor´rio, formam-se 9 n´meros de trˆs u a u e algarismos. Determine a soma desses 9 n´meros. u 5. Cada pe¸a em seu lugar - Cinco pe¸as de metal, confeccionadas, respecti- c c vamente, de ouro, prata, bronze, platina e n´ ıquel, foram colocadas em 5 cofres numerados de 1 a 5. Cada cofre cont´m uma pe¸a, e o problema consiste em e c descobrir qual pe¸a est´ em qual cofre. c a OBMEP 2008 21
  26. 26. N´ 3 ıvel Lista 2 Na porta de cada cofre est´ escrita uma informa¸˜o. Das 5 informa¸˜es, 4 s˜o a ca co a falsas e a unica que ´ verdadeira ´ aquela na porta do cofre que cont´m a pe¸a ´ e e e c de ouro. Veja as informa¸oes: c˜ Cofre 1: O ouro est´ no cofre 2 ou 3. a Cofre 2: A prata est´ no cofre 1. a Cofre 3: O bronze n˜o est´ aqui. a a Cofre 4: O n´ ıquel est´ no cofre cujo n´mero ´ inferior de 1 ao que cont´m o a u e e ouro. Cofre 5: A platina est´ no cofre cujo n´mero ´ superior de 1 ao que cont´m a u e e o bronze. 22 OBMEP 2008
  27. 27. Lista 3 N´ 3 ıvel Lista 3 1. Soma de quadrados - Encontre trˆs n´meros em uma progress˜o aritm´tica e u a e de raz˜o 2, tal que a soma de seus quadrados seja um n´mero formado de a u quatro algarismos iguais. 2. Adivinhe o n´mero - Um n´mero quando dividido por 3, tem resto 1; por u u 4 tem resto 2; por 5 tem resto 3; por 6, tem resto 4. Qual o menor n´mero u inteiro positivo que satisfaz tais propriedades? 3. Um c´digo - Na express˜o abaixo, cada letra corresponde a um algarismo, o a e letras diferentes correspondem a algarismos diferentes. Determine esses al- garismos. 6 × AOBM EP = 7 × M EP AOB 4. Calculando distˆncias - Na figura a ABC ´ um triˆngulo equil´tero de e a a 3 cm de lado; e o triˆngulo retˆngulo a a BCD tem lados 3 cm, 4 cm e 5 cm. Calcule a distˆncia entre os pontos A e D. a OBMEP 2008 23
  28. 28. N´ 3 ıvel Lista 3 5. Calculando lados de um triˆngulo - Na figura, a ABC ´ um triˆngulo e a equil´tero, e o ponto P ´ tal que P A = 3 cm, P B = 4 cm e P C = 5 cm. a e Calcule o comprimento dos lados do triˆngulo a ABC. 24 OBMEP 2008
  29. 29. Lista 4 N´ 3 ıvel Lista 4 1. Amigo Oculto - Um grupo de 5 amigos decide brincar de “ amigo oculto”. Para isso, cada um dos 5 amigos compra um presente para seu amigo oculto. Pelas regras do jogo cada um troca exatamente um presente com um unico ´ amigo. De quantas maneiras os presentes podem ser trocados? 2. Contando solu¸oes - Quantos s˜o os pares de n´meros inteiros positivos c˜ a u xy (x, y) tais que = 144? x+y 3. Determinando uma seq¨ˆncia - Em uma seq¨ˆncia de 80 n´meros, qual- ue ue u quer termo, salvo os extremos, ´ igual ao produto de seus termos vizinhos. O e produto dos 40 primeiros termos da seq¨ˆncia ´ 8. O produto de todos os ue e termos tamb´m ´ 8. Determine os dois primeiros termos desta seq¨ˆncia. e e ue 4. Construindo uma cerca - Carina est´ desenhando a planta de um jardim a
  30. 30. retangular que ter´ um de seus lados num muro a ......................................................................................................................... ...........
  31. 31. .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . reto de pedras. Ela comprou 140 m de cerca, em
  32. 32. . . . . . . . . . . . . . . . .
  33. 33. jardim . . . . . peda¸os de 1m cada um para cercar os 3 outros c . . . . . . . . . . . .
  34. 34. . . . . . . . . lados. Ela n˜o pode cortar esses peda¸os e deve a c . . . . . . . .
  35. 35. . . . . . . . . . . . ....................................................................... ........................................................................ gastar todos eles. (a) Se os dois lados vizinhos ao muro de pedra tˆm 40 m cada um, qual ser´ e a o comprimento do terceiro lado? ´ (b) E poss´ ıvel que o maior dos lados a ser cercado tenha 85 m? E 65 m? Justifique. OBMEP 2008 25
  36. 36. N´ 3 ıvel Lista 4 5. Um quadril´tero especial - Na figura abaixo, os lados do quadril´tero a a da figura tˆm medidas inteiras e distintas, os ˆngulos ABC e ADC s˜o retos, e a a AD = 7 cm e BC = 11 cm . Quanto medem os lados AB e DC? B x A 11 7 y D C 26 OBMEP 2008
  37. 37. Lista 5 N´ 3 ıvel Lista 5 1. Trˆs quadrados - e No desenho abaixo, o quadrado ABCD tem ´rea de a 30 cm2 e o quadrado F HIJ tem ´rea de 20 cm2 . Os v´rtices A, D, E, H e I a e dos trˆs quadrados pertencem a uma mesma reta. Calcule a ´rea do quadrado e a BEF G. G C B F J D A E H I 2. Bolinha de gude - Trˆs amigos jogam uma partida de bolinha de gude com e a seguinte regra: o perdedor de cada rodada dobra as bolinhas dos outros jo- gadores; (ele d´ aos outros dois o n´mero de bolinhas de modo que fiquem com a u o dobro do que tinham no in´ da jogada). O 1◦ jogador perdeu a primeira ıcio rodada, o 2◦ jogador a segunda, o 3◦ a terceira rodada e todos terminaram com 64 bolinhas cada um. Com quantas bolinhas cada amigo come¸ou a partida? c 3. Uma soma - Calcule o valor da soma 1 1 1 1 1 S= + + + ... + + 1·2 2·3 3·4 2006 · 2007 2007 · 2008 OBMEP 2008 27
  38. 38. N´ 3 ıvel Lista 5 4. Dobrando papel - Uma folha retangular ABCD de ´rea 1000 cm2 foi do- a brada ao meio e em seguida desdobrada (segmento M N ); foi dobrada e desdo- brada novamente (segmento M C) e finalmente, dobrada e desdobrada segundo a diagonal BD. Calcule a ´rea do peda¸o de papel limitado pelos trˆs vincos a c e (regi˜o escura no desenho). a - A M B F E D C N 5. Uma ´rea - No triˆngulo ABC, M ´ o ponto m´dio do lado AC, D ´ um a a e e e ponto sobre o lado BC tal que AD ´ bissetriz do ˆngulo B AC e P ´ o ponto de e a e interse¸ao de AD e BM . Sabendo que a ´rea de ABC ´ 100 cm2 , AB = 10 cm c˜ a e e AC = 30 cm, calcule a ´rea do triˆngulo AP B. a a 28 OBMEP 2008
  39. 39. Lista 6 N´ 3 ıvel Lista 6 ´ 1. Ultimos algarismos - Quais s˜o os dois ultimos algarismos do n´mero a ´ u 2008 8 + 88 + 888 + · · · + 88 · · · 88 ? 2. Idades m´ltiplas - Quando Isabel nasceu sua m˜e estava fazendo anivers´rio u a a de 20 anos. Se Isabel e sua m˜e viverem mais de 50 anos, quantas vezes a idade a das duas foram n´meros m´ltiplos? u u 3. Blocos diferentes - Ana tem um cubo de 10 cm de lado. Ela cortou o cubo em cubinhos de 1 cm de lado, e com esses cubinhos ela brinca de formar outros blocos retangulares, mas sem que sobrem cubinhos. Por exemplo ela formou um bloco de 10 × 20 × 5. Quantos blocos diferentes ela pode construir com os cubinhos sem sobrar nen- hum? 4. Quadro negro - A Ana escreveu os n´meros de 1 at´ 10 000 no quadro u e negro e depois apagou todos os m´ltiplos de 7 e 11. Qual ´ o n´mero que ficou u e u na posi¸ao 2008? c˜ OBMEP 2008 29
  40. 40. N´ 3 ıvel Lista 6 5. Conjunto sem m´ltiplos - Qual ´ o subconjunto de {1, 2, . . . , 100} com o u e maior n´mero poss´ de elementos e sem elementos que sejam m´ltiplos um u ıvel u do outro? 30 OBMEP 2008

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