Presentazione sul calcolo infinitesimale

1. Laboratorio di tecnologie dell’istruzione e dell’apprendimento IL CALCOLO INFINITESIMALE IL CALCOLO INFINITESIMALE Studentesse: Ciotola Antonella De Biase Giuliana Tomasso Francesca

5. Derivata di una funzione reale a variabile reale IL CALCOLO INFINITESIMALE

6. La derivata di una funzione è uno dei cardini dell’analisi matematica e del calcolo infinitesimale IL CALCOLO INFINITESIMALE

7. Derivata destra e derivata sinistra Si chiama derivata destra di f in x 0 il: Si chiama derivata sinistra di f in x 0 il: IL CALCOLO INFINITESIMALE

9. Teorema di continuità Il teorema asserisce che se f ( x ) è derivabile in x 0 allora f ( x ) è anche continua in x 0 . Notiamo che l'opposto non è sempre vero: ad esempio, la funzione f ( x ) = | x | è continua su tutto il dominio, ma non è derivabile nel punto x = 0, perché la derivata destra non coincide con la derivata sinistra. Dimostrazione La dimostrazione si effettua con l'uguaglianza f ( x ) = f ( x 0 ) + f '( x 0 )( x − x 0 ) + o ( x − x 0 ) da cui: Quindi la funzione è continua in x 0 IL CALCOLO INFINITESIMALE

11. Osservazioni E’ indispensabile che x 0 sia interno al dominio la funzione deve essere derivabile nel punto x 0 , altrimenti il teorema non ha senso. Ogni punto in cui la f '( x ) si annulla (cioè è uguale a zero) è chiamato punto stazionario. I massimi e minimi relativi sono chiamati punti stazionari di f '( x ). IL CALCOLO INFINITESIMALE

17. Regole di derivazione Derivate semplici Derivate di funzioni IL CALCOLO INFINITESIMALE

18. E’ possibile rappresentare degli esempi attraverso programmi di programmazione che permettono di vedere, attraverso degli algoritmi, il grafico delle derivate. Vediamo come, attraverso il programma MATLAB, si sviluppa la funzione: y = 3 sen5x+2 cos5x IL CALCOLO INFINITESIMALE

19. IL CALCOLO INFINITESIMALE ESERCIZI 1. y=x 3 sen 2x 2. y = x 2 e x + x e 3. y = 4x 2 cos(4x 3 +6x+2) 4. y = 2 arctag e 2x 5. y = sen 3 x 4

20. La teoria degli integrali IL CALCOLO INFINITESIMALE

21. Si dice integrale indefinito di una data funzione f(x) la totalità della primitive della funzione f(x), in simboli: IL CALCOLO INFINITESIMALE Si dice che F(x) è una primitiva della funzione f(x) se si verifica che: F'(X) = f(x) Integrale indefinito

23. IL CALCOLO INFINITESIMALE Integrale definito Sia f una funzione definita sull'intervallo I = [ a , b ], f : [ a , b ]  R , limitata su tale intervallo. Si scelgono n + 1 punti nell'intervallo [ a , b ] dei quali il primo coincidente con a e l'ultimo con b : a = x 0 < x 1 < ... < x n = b. Si indica tale suddivisione dell'intervallo [ a , b ] con D. Si pone: m i = inf { f ( x ) : x i  1 < x < x i } e M i = sup {f (x) : x i  1 < x < x i } somma inferiore somma superiore La funzione f si dice integrabile in [a, b] secondo Riemann se: ed il valore comune di questi due estremi si chiama integrale di f in [a, b] e si indica , [a, b] si dice dominio di integrazione , f funzione integranda .

32. Integrali Immediati IL CALCOLO INFINITESIMALE Il Puzzle degli Integrali Integrali