Ângulos
   autor Antonio Carlos

      O ÂNGULO E SEUS ELEMENTOS
           Duas semi-retas que não estejam 
  contidas na...
Cont.




         
Definição.
        Todo ângulo possui dois lados e um
    vértice. Os lados são as semi-retas que 
    determinam. O vért...
     
Cont.
   Ângulos
   Observe agora dois casos em que as 
    semi-retas de mesma origem estão 
    contidas na mesma reta...
As semi-retas não coincidem. ângulos
rasos ou de meia- volta.




                    
Cont.




         
Ângulo é duas semi-retas que
têm a mesma origem.
   MEDIDA DE UM ÂNGULO
             A medida de um ângulo é dada pela 
...
     
O transferidor
   Para medir ângulos utilizamos um 
    instrumento denominado transferidor. O 
    transferidor já vem g...
Unidades.
   O minuto corresponde a do grau. Indica-se um
    minuto por 1'. 
                               1º=60'
   ...
Ângulos.

   Como medir um ângulo, utilizando o
    transferidor
   Observe a seqüência
   O centro O do transferidor d...
Leitura de um Ângulo.

   Observe as seguintes indicações de ângulos e suas 
    respectivas leituras:
                 ...
Ângulo agudos




                 
Determine a medida do ângulo AÔB
na figura:




                 
Solução.

   Medida de AÔB = x
   Medida de BÔC = 105º
   Como m ( AÔC) é 180º, pois é um ângulo 
    raso, temos:
   ...
Determine a medida do ângulo não-
convexo na figura:




                  
Solução.

   Verificamos que o ângulo não-convexo na 
    figura (x) e o ângulo convexo (50º) formam, 
    juntos, um âng...
Construção.
   Ângulos
   Como construir um ângulo utilizando
    o transferidor
   Observe a seqüência utilizada na 
 ...
   Colocamos o centro do transferidor 
    sobre a origem da semi-reta (A). 
   Identificamos no transferidor o ponto (C...
Cont.




         
Cont.
   Traçamos a semi-reta , obtendo o 
    ângulo BÂC que mede 50º. 
   Os ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º  são 
    ...
TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES

   Como vimos, quando trabalhamos com medidas de 
    ângulos, utilizamos o sistema sexagesima...
Cont.
   Transforme 5º35' em minutos. 
   Solução
                   5º = 5 . 60' = 300'
                   300' +  35...
Cont.
   transforme 8º em segundos. 
   Solução
   Sendo 1º = 60', temos:
                  8º = 8 . 60'= 480
   'Sen...
Cont.
   Transforme 3º35' em segundos. 
   Solução
                   3º = 3 . 60'= 180'
                   180' +  35...
Cont.
   Transforme 2º20'40'' em segundos. 
   Solução
                    2º = 2 . 60' = 120'
                    120...
Cont.
   Ângulos
   Transformando uma medida de
    ângulo em número misto
   Transforme 130' em graus e minutos. 
   ...
Solução:




            
Transforme 150'' em minutos e
segundos.




                    
Transforme 26.138'' em graus,
minutos e segundos




                 
Medidas fracionárias de um
ângulo

   Transforme 24,5º em graus e minutos. 
   solução
                    0,5º  = 0,5 ...
Transforme 5'54''  em minutos


   Solução
                      60''  1'
                      54''  x         
     ...
OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE
ÂNGULOS.




              
Cont.




         
Subtração




             
90º  -  35º49'46''




                      
80º48'30''  -  70º58'55''




                      
Multiplicação por um número
natural




                
5 . ( 12º36'40'')




                     
Divisão por um número natural




                 
( 45º20' ) : 4




                  
( 50º17'30'' ) : 6




                      
ÂNGULOS CONGRUENTES




            
Cont.
    
   Verifique que AÔB e CÔD têm a mesma 
    medida. Eles são ângulos congruentes
    e podemos fazer a seguin...
Cont.
                             Dois ângulos são 
    congruentes quando têm a mesma 
    medida. 




               ...
ÂNGULOS CONSECUTIVOS




            
Os ângulos AÔC  e CÔB possuem:
Vértice comum: O
Lado comum:  




                   
Os ângulos AÔC e AÔB possuem:
Vértice comum: O
Lado comum:  




                   
Os ângulos CÔB  e AÔB possuem:
Vértice comum: O
Lado comum:




                   
ÂNGULOS ADJACENTES


 Os ângulos AÔC  e CÔB não possuem pontos internos comuns 




                                
Cont.
 Os ângulos AÔC  e  AÔB possuem pontos internos comuns 




                                 
Cont.
  Os ângulos CÔB  e AÔB possuem pontos internos comuns 




                               
Definição:
        Dois ângulos são adjacentes quando 
    são consecutivos e não possuem pontos 
    internos comuns. 

...
 Duas retas concorrentes




                  
BISSETRIZ DE UM ÂNGULO




             
Cont.
   Verifique que a semi-reta  divide o 
    ângulo AÔB em dois ângulos ( AÔB e 
    CÔB ) congruentes.
   Nesse ca...
Definição.
   Bissetriz de um ângulo é a semi-reta 
    com origem no vértice desse ângulo e 
    que o divide em dois ou...
Construção com o uso do compasso.
        Centramos o compasso em O e com uma abertura 
        determinamos os pontos C e...
Cont.




         
Cont.
   Centramos o compasso em C e D e com 
    uma abertura superior à metade da 
    distância de C  a D traçamos arc...
Ângulo agudo é o ângulo cuja
medida é menor que 90º. Exemplo




                  
Ângulo obtuso é o ângulo cuja
medida é maior que 90º. Exemplo




                   
Ângulo reto é o ângulo cuja
medida é 90º. Exemplo:




                  
RETAS PERPENDICULARES 




             
Duas retas concorrentes que não
formam ângulos retos entre si são
chamadas de oblíquos. Exemplo:  




                    
ÂNGULOS COMPLEMENTARES




             
Dois ângulos são complementares
quando a soma de suas medidas é 90º.


              Os ângulos que medem 42º e 48º são 
...
Complemento.
   Para calcular a medida do complemento 
    de um ângulo, devemos determinar a 
    diferença entre 90º e ...
Resolva.
   Qual a medida do complemento de um ângulo 
    de 75º? 
   Solução
   Medida do complemento = 90º - medida ...
Dizemos que esses ângulos são
adjacentes complementares




                  
Observe os ângulos AÔB e BÔC  na
figura abaixo: ÂNGULOS
SUPLEMENTARES




                 
OPV.




        
Resolva.




            
Cont.
   x + 60º  = 3x - 40º  ângulos o.p.v 
            x - 3x    = - 40º - 60º
             -2x       =  - 100º
    ...
Antonio Carlos Carneiro Barroso
   Professor de Matemática
   Graduado pela UFBA
   Pós graduado em Metodologia e Didát...
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âNgulos Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso 01072009

  1. 1. Ângulos autor Antonio Carlos O ÂNGULO E SEUS ELEMENTOS         Duas semi-retas que não estejam  contidas na mesma reta, e que tenham a  mesma origem, dividem o plano em duas  regiões: uma convexa e outra não-convexa.        Cada uma dessas regiões, junto com  as semi-retas, forma um ângulo. Assim, as  duas semi-retas determinam dois ângulos:
  2. 2. Cont.    
  3. 3. Definição.       Todo ângulo possui dois lados e um vértice. Os lados são as semi-retas que  determinam. O vértice é a origem  comum dessas semi-retas.       O ângulo convexo, de vértice O e  lados , é indicado por: AÔB, BÔA ou Ô.    
  4. 4.    
  5. 5. Cont.  Ângulos  Observe agora dois casos em que as  semi-retas de mesma origem estão  contidas na mesma reta. Nesses casos,  formam-se também ângulos.   As semi-retas  coincidem. Temos aí o  ângulo nulo e o ângulo de uma volta.     
  6. 6. As semi-retas não coincidem. ângulos rasos ou de meia- volta.    
  7. 7. Cont.    
  8. 8. Ângulo é duas semi-retas que têm a mesma origem.  MEDIDA DE UM ÂNGULO            A medida de um ângulo é dada pela  medida de sua abertura. A unidade padrão de  medida de um ângulo é o grau, cujo símbolo é  º.            Tomando um ângulo raso ou de meia- volta e dividindo-o em 180 partes iguais,  determinamos 180 ângulos de mesma medida.  Cada um desses ângulos representa um  ângulo de 1º grau (1º).    
  9. 9.    
  10. 10. O transferidor  Para medir ângulos utilizamos um  instrumento denominado transferidor. O  transferidor já vem graduado com  divisões de 1º em 1º. Existem dois tipos  de transferidor: Transferidor de 180º e  de 360º.  O grau compreende os submúltiplos     
  11. 11. Unidades.  O minuto corresponde a do grau. Indica-se um minuto por 1'.                               1º=60'  O segundo corresponde a do minuto. Indica-se  um segundo por 1''.                               1'=60''Logo, podemos  concluir que:  1º  =  60'.60 = 3.600''Quando um ângulo é  medido em graus, minutos e segundos,  estamos utilizando o sistema sexagesimal.    
  12. 12. Ângulos.  Como medir um ângulo, utilizando o transferidor  Observe a seqüência  O centro O do transferidor deve ser colocado  sobre o vértice do ângulo.   A linha horizontal que passa pelo centro deve  coincidir com uma das semi-retas do ângulo .   Verificamos a medida da escala em que passa  a outra semi-reta .     
  13. 13. Leitura de um Ângulo.  Observe as seguintes indicações de ângulos e suas  respectivas leituras:                                        15º               (lê-se "15 graus'')                                        45º50'          (lê-se ''45 graus e 50  minutos'')                                       30º48'36''     (lê-se ''30 graus, 48  minutos e 36 segundos'')  Observações  Além do transferidor, existem outros instrumentos que medem  ângulos com maior precisão. Como exemplos temos o  teodolito, utilizado na agrimensura, e o sextante, utilizado em  navegação.  A representação da medida de um ângulo pode também ser  feita através de uma letra minúscula ou de um número.    
  14. 14. Ângulo agudos    
  15. 15. Determine a medida do ângulo AÔB na figura:    
  16. 16. Solução.  Medida de AÔB = x  Medida de BÔC = 105º  Como m ( AÔC) é 180º, pois é um ângulo  raso, temos:                m (AÔB) + m (BÔC) = m (AÔC)                                     x + 105º = 180º                                               x   = 180º - 105º                                               x   = 75º  Logo, a medida de AÔB é 75º.    
  17. 17. Determine a medida do ângulo não- convexo na figura:    
  18. 18. Solução.  Verificamos que o ângulo não-convexo na  figura (x) e o ângulo convexo (50º) formam,  juntos, um ângulo de uma volta, que mede  360º. Assim:  x + 50º = 360º  x = 360º - 50º  x = 310º  Logo, o valor do ângulo não-convexo é 310º.    
  19. 19. Construção.  Ângulos  Como construir um ângulo utilizando o transferidor  Observe a seqüência utilizada na  construção de um ângulo de 50º:  Traçamos uma semi-reta .     
  20. 20.  Colocamos o centro do transferidor  sobre a origem da semi-reta (A).   Identificamos no transferidor o ponto (C)  correspondente à medida de 50º.     
  21. 21. Cont.    
  22. 22. Cont.  Traçamos a semi-reta , obtendo o  ângulo BÂC que mede 50º.   Os ângulos de 30º, 45º, 60º e 90º  são  ângulos especiais.   Eles podem ser desenhados com  esquadro.    
  23. 23. TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES  Como vimos, quando trabalhamos com medidas de  ângulos, utilizamos o sistema sexagesimal.  Observe nos exemplos como efetuar transformações  nesse sistema:  Transforme 30º em minutos.   Solução  Sendo 1º = 60', temos:                  30º = 30 . 60'= 1.800  'Logo, 30º = 1.800    
  24. 24. Cont.  Transforme 5º35' em minutos.   Solução                  5º = 5 . 60' = 300'                  300' +  35'= 335'  Logo, 5º35'= 335'.    
  25. 25. Cont.  transforme 8º em segundos.   Solução  Sendo 1º = 60', temos:                 8º = 8 . 60'= 480  'Sendo 1'= 60'', temos:                  480'= 480 . 60'' = 28.800''  Logo, 8º = 28.800''.    
  26. 26. Cont.  Transforme 3º35' em segundos.   Solução                  3º = 3 . 60'= 180'                  180' +  35' = 215'                  215' .  60''  = 12.900''  Logo, 3º35'= 12.900''    
  27. 27. Cont.  Transforme 2º20'40'' em segundos.   Solução                   2º = 2 . 60' = 120'                   120' + 20'  = 140'                    140'. 60''= 8.400''                    8.400'' + 40'' = 8.440''  Logo, 2º20'40'' = 8.440''    
  28. 28. Cont.  Ângulos  Transformando uma medida de ângulo em número misto  Transforme 130' em graus e minutos.   Solução                     
  29. 29. Solução:    
  30. 30. Transforme 150'' em minutos e segundos.    
  31. 31. Transforme 26.138'' em graus, minutos e segundos    
  32. 32. Medidas fracionárias de um ângulo  Transforme 24,5º em graus e minutos.   solução                   0,5º  = 0,5 . 60' = 30'                   24,5º= 24º + 0,5º = 24º30'  Logo, 24,5º = 24º30'.      Transforme 45º36' em graus.   solução                       60'   1º                       36'   x                                                                             x = 0,6º  (lê-se ''seis décimos de  grau'')  Logo, 45º36'= 45º + 0,6º = 45,6º.    
  33. 33. Transforme 5'54''  em minutos  Solução  60''  1'                     54''  x                                                              x = 0,9'   ( lê-se ''nove décimos de minuto'')  Logo, 5'54'' = 5'+ 0,9'= 5,9'    
  34. 34. OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULOS.    
  35. 35. Cont.    
  36. 36. Subtração    
  37. 37. 90º  -  35º49'46''    
  38. 38. 80º48'30''  -  70º58'55''    
  39. 39. Multiplicação por um número natural    
  40. 40. 5 . ( 12º36'40'')    
  41. 41. Divisão por um número natural    
  42. 42. ( 45º20' ) : 4    
  43. 43. ( 50º17'30'' ) : 6    
  44. 44. ÂNGULOS CONGRUENTES    
  45. 45. Cont.     Verifique que AÔB e CÔD têm a mesma  medida. Eles são ângulos congruentes e podemos fazer a seguinte indicação    
  46. 46. Cont.                            Dois ângulos são  congruentes quando têm a mesma  medida.     
  47. 47. ÂNGULOS CONSECUTIVOS    
  48. 48. Os ângulos AÔC  e CÔB possuem: Vértice comum: O Lado comum:      
  49. 49. Os ângulos AÔC e AÔB possuem: Vértice comum: O Lado comum:      
  50. 50. Os ângulos CÔB  e AÔB possuem: Vértice comum: O Lado comum:    
  51. 51. ÂNGULOS ADJACENTES Os ângulos AÔC  e CÔB não possuem pontos internos comuns     
  52. 52. Cont. Os ângulos AÔC  e  AÔB possuem pontos internos comuns     
  53. 53. Cont. Os ângulos CÔB  e AÔB possuem pontos internos comuns     
  54. 54. Definição:       Dois ângulos são adjacentes quando  são consecutivos e não possuem pontos  internos comuns.     
  55. 55.  Duas retas concorrentes    
  56. 56. BISSETRIZ DE UM ÂNGULO    
  57. 57. Cont.  Verifique que a semi-reta  divide o  ângulo AÔB em dois ângulos ( AÔB e  CÔB ) congruentes.  Nesse caso, a semi-reta  é denominada  bissetriz do ângulo AÔB.    
  58. 58. Definição.  Bissetriz de um ângulo é a semi-reta  com origem no vértice desse ângulo e  que o divide em dois outros ângulos  congruentes.     
  59. 59. Construção com o uso do compasso. Centramos o compasso em O e com uma abertura  determinamos os pontos C e D sobre as semi-retas  ,     
  60. 60. Cont.    
  61. 61. Cont.  Centramos o compasso em C e D e com  uma abertura superior à metade da  distância de C  a D traçamos arcos que  se cruzam em E.  Em seguida  Traçamos , determinando assim a  bissetriz de AÔB.     
  62. 62. Ângulo agudo é o ângulo cuja medida é menor que 90º. Exemplo    
  63. 63. Ângulo obtuso é o ângulo cuja medida é maior que 90º. Exemplo    
  64. 64. Ângulo reto é o ângulo cuja medida é 90º. Exemplo:    
  65. 65. RETAS PERPENDICULARES     
  66. 66. Duas retas concorrentes que não formam ângulos retos entre si são chamadas de oblíquos. Exemplo:      
  67. 67. ÂNGULOS COMPLEMENTARES    
  68. 68. Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.            Os ângulos que medem 42º e 48º são  complementares, pois 42º + 48º = 90º.            Dizemos que o ângulo de 42º é o  complemento do ângulo de 48º, e vice-versa.  Para calcular a medida do complemento de  um ângulo, devemos determinar a diferença  entre 90º e a medida do ângulo agudo dado.    
  69. 69. Complemento.  Para calcular a medida do complemento  de um ângulo, devemos determinar a  diferença entre 90º e a medida do  ângulo agudo dado.    
  70. 70. Resolva.  Qual a medida do complemento de um ângulo  de 75º?   Solução  Medida do complemento = 90º - medida do  ângulo  Medida do complemento = 90º - 75º  Medida do complemento = 15º  Logo, a medida do complemento do ângulo de  75º é 15º.       
  71. 71. Dizemos que esses ângulos são adjacentes complementares    
  72. 72. Observe os ângulos AÔB e BÔC  na figura abaixo: ÂNGULOS SUPLEMENTARES    
  73. 73. OPV.    
  74. 74. Resolva.    
  75. 75. Cont.  x + 60º  = 3x - 40º  ângulos o.p.v            x - 3x    = - 40º - 60º            -2x       =  - 100º                x       = 50º  Logo, o valor de x é 50º     
  76. 76. Antonio Carlos Carneiro Barroso  Professor de Matemática  Graduado pela UFBA  Pós graduado em Metodologia e Didática  Trabalho no Colégio Estadual Dinah  Gonçalves em Valéria Salvador –Bahia  Meu blog  http://ensinodematemtica.blogspot.com  Salvador 01/07/2009    

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