Matemática Financeira - Inflação

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Material de Apoio do livro Matemática Financeira, dos autores Washington Franco Matias e José Maria Gomes, da Editora Atlas.

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Matemática Financeira - Inflação

  1. 1. Washington Franco Mathias José Maria Gomes Matemática Financeira Com + de 600 exercícios resolvidos e propostos 5ª Edição
  2. 2. Capítulo 8 INFLAÇÃO Mathias Gomes
  3. 3. Inflação - Caracterização Inflação: elevação continuada e persistente nos preços de bens e serviços, num dado intervalo de tempo. Deflação: quando ocorre uma queda conti- nuada e persistente nos preços de bens e serviços, num dado intervalo de tempo. Mathias Gomes
  4. 4. Inflações Elevadas Na América Latina País Período Taxa anual equivalente Argentina 1947-60 27% a.a. 1960-74 27% a.a. Brasil 1947-60 16% a.a. 1960-74 36% a.a. 1947-60 31% a.a. Chile 1960-71 25% a.a. 1949-60 11% a.a. Uruguai 1960-70 49% a.a. Mathias Gomes
  5. 5. Inflações Elevadas Incidência das Hiperinflações País Período (19XX) Taxa média mensal Número de meses de hiperinflação Áustria out./21 a ago./22 47,10% 11 Alemanha ago./22 a nov./23 322% 16 China (Xangai) ago./48 a abr./49 400% --- China (Chunking) ago./48 a abr./49 298% --- Grécia nov./43 a nov./44 365% 13 Hungria mar./23 a fev./24 46% 10 Hungria ago./45 a jul./46 19800% 12 Polônia jan./23 a jan./24 81,40% 11 Rússia dez./21 a jan./24 57% 26 Mathias Gomes
  6. 6. Índices de Preços EXEMPLO • Um índice de preços procura medir a mu- dança que ocorre nos níveis de preço de um período para outro. • Índices de preços diferentes medem infla- ções diferentes. • O emprego de um dado índice requer uma análise prévia, para determinar se o índice proposto é adequado ao objetivo. Mathias Gomes
  7. 7. Exemplo As vendas do Grupo Trevo, que fabrica e vende produtos agrí- colas e industriais, foram as seguintes: 1987 - Cr$ 121 milhões 1988 - Cr$ 850 milhões 1989 - Cr$ 14,2 bilhões Como os produtos são agrícolas e industriais, resolveu- -se usar o IGP-DI, que teve a evolução seguinte: 1987 - 0,26 1988 - 2,02 1989 - 28,62 a) Calcular a taxa de crescimento aparente (ou nominal: va- mos usar “aparente” apenas para diferenciar a taxa nominal) das vendas, ano a ano; Mathias Gomes
  8. 8. Exemplo b) Deflacionar a série de vendas com o IGP-DI e calcular a ta- xa real de crescimento para cada ano. Resolução: a) Crescimento aparente: o crescimento das vendas, em termos nominais, é obtido dividindo-se o valor de um ano pelo valor do ano anterior e depois subtraindo-se um. Ano Vendas correntes (Cr$ milhões) % de acréscimo 1987 121 - 1988 850 602,48 1989 14.200 1.570,59 Assim, de 1987 para 1988, obtemos: 1 + crescimento aparente = 850/121 = 7,0248 Mathias Gomes
  9. 9. Exemplo crescimento aparente = 7,0248 - 1 crescimento aparente = 6,0248 Ou seja: crescimento aparente = 602,48% Podemos verificar que, em valor nominal, as vendas cresceram 602% de 1987 para 1988 e 1570% de 1988 para 1989. b) Para deflacionar a série de vendas, construímos o índice base 100 em 1987, simplesmente dividindo os valores do índice em cada ano pelo valor do índice em 1987: Ano IGP-DI IGP-DI com base 100 em 1987 1987 0,26 1,0000 1988 2,02 7,7692 1989 28,62 110,0769 Mathias Gomes
  10. 10. Exemplo O cálculo foi feito do seguinte modo: Por exemplo, em 1989: 2,02/0,26 = 7,7692 A seguir, calcula-se a série deflacionada de vendas e a taxa de crescimento real: Ano Vendas Nominais IGP-DI Vendas Deflacionadas Taxa de (Cr$ milhões) (2) (Preços de 1987) crescimento (1) (1) : (2) real (% a.a.) 1987 121 1,0000 121 - 1988 850 7,7692 109,4 -9,6 1989 14.200 110,0769 129 17,9 Mathias Gomes
  11. 11. Exemplo Para calcular as vendas deflacionadas, por exemplo em 1988, fazemos: 1 + taxa real = 109,4/121 = 0,914 Logo: taxa real = 0,914 -1 taxa real = - 0,096 Portanto: taxa real = - 9,6% Podemos concluir que, em 1988, as vendas decresce- ram 9,6% em relação a 1987. Em 1989 as vendas apresenta- ram um crescimento real de 17,9% em relação a 1988. Final- mente, se compararmos as vendas de 1989 com as de 1987 deflacionadas (basta dividir 129 por 121 subtrair um, verifi- camos um crescimento de 6,6% em dois anos. Mathias Gomes
  12. 12. Taxa de Juros Aparente e Taxa de Juros Real Taxa de Juros Aparente: é a taxa que vigora nas operações correntes. A taxa aparente, quando existe inflação, po- de ser decomposta em: • Uma parte devida à inflação. • Uma parte correspondente aos juros reais. Mathias Gomes
  13. 13. Taxa de Juros Aparente e Taxa de Juros Real EXEMPLO Sendo: i = taxa de juros aparente j = taxa de inflação r = taxa de juros real A relação entre as taxas é: 1+ i 1+ r = 1+ j Mathias Gomes
  14. 14. Exemplo a) Uma letra de câmbio foi adquirida por $ 1.000,00 em dezem- bro de 19X4 para resgate em dezembro de 19X5 pela quantia de $ 1.350,00. Calcular: 1. A taxa de juros aparente. 2. A taxa de juros real, admitindo como taxa de inflação os ín- dices: Data Índice 2 OR Dez./19X4 534 105,41 Dez./19X5 690 130,93 Mathias Gomes
  15. 15. Exemplo Resolução: A taxa de juros aparente é: C = C0 (1+i) 1.350 = 1.000 (1+i) Portanto: i = 35% a.a. A taxa de juros real é dada por: (1 + i ) r= −1 (1 + j ) onde j é a taxa de inflação. Se adotarmos o índice 2 como medida da inflação, te- mos: 690 1 + j1 = = 1,2921 534 Mathias Gomes
  16. 16. Exemplo 1+ i 1,35 Portanto: 1 + r1 = = = 1,0448 1 + j1 1,2921 Logo: r1 = 4,48% a.a. Adotando como medida da inflação a OR, temos: 130,93 1+ j = = 1,2421 105,41 1,35 r2 = = 1,0869 1,2421 r 2 = 8,69%a.a. Mathias Gomes
  17. 17. Exemplo b) Uma pessoa fez uma aplicação em dezembro de 19X1, que resgatou após um ano. O juro aparente recebido foi de 15%. Calcular o juro real recebido, adotando como medida da infla- ção no período o índice 2 da FGV (igual a 343 em dezembro de 19X2 e igual a 297 em dezembro de 19X1). Resolução: Se a taxa aparente é de 15% em 1 ano, tem-se: 1 + i = 1,15 1 + j = 343/297 = 1,1549 Logo, como: 1 + i = (1+r).(1+j) Temos: 1,15 = (1+r).(1,1549) 1 + r = 1,15/1,1549 = 0,9958 Mathias Gomes
  18. 18. Exemplo r = -0,0042 ou r = -0,42% a.a. Isto significa que, na aplicação feita, houve uma perda (ou juro negativo) de 0,42% em um ano. Mathias Gomes
  19. 19. Exemplo a) O Banco A oferece $ 100.000,00 à taxa de juros de 8% a.a. mais correção monetária. Uma vez que o empréstimo foi con- tratado em junho de 19X1, para ser amortizado em 5 parcelas semestrais, construir a planilha de financiamento pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) com e sem correção monetá- ria. Considerar como correção monetária a variação no va- lor das OR dada pela tabela a seguir: Mathias Gomes
  20. 20. Exemplo MESES 19X1 19X2 19X3 Junho 54,01 65,75 74,97 Julho 55,08 66,93 75,80 Agosto 56,18 67,89 76,48 Setembro 57,36 68,46 77,12 Outubro 58,61 68,95 77,87 Novembro 59,79 69,61 78,40 Dezembro 60,77 70,07 79,07 Pergunta-se: Qual será a taxa aparente dentre destas hipóte- ses ? Se o Banco B cobrar 20% a.a. de juros aparentes, qual é o melhor financiamento ? Mathias Gomes
  21. 21. Exemplo Resolução: 1) A planilha sem correção monetária é a se- guinte: Semestres Saldo Devedor Amortizações Juros Prestação 0 100.000 - - - 1 80.000 20.000 4.000 24.000 2 60.000 20.000 3.200 23.200 3 40.000 20.000 2.400 22.400 4 20.000 20.000 1.600 21.600 5 - 20.000 800 20.800 Total - 100.000 12.000 112.000 Mathias Gomes
  22. 22. Exemplo O cálculo do índice de correção monetária é feito por semestre: DEZ . X 1 60 ,77 1° semestre: = ≅ 1,1252 JUN . X 1 54 ,01 JUN . X 2 65 ,75 2° semestre: = ≅ 1, 2174 JUN . X 1 54 ,01 DEZ . X 2 70 ,07 3° semestre: = ≅ 1, 2974 JUN . X 1 54 ,01 JUN . X 3 74 ,97 4° semestre: = ≅ 1,3881 JUN . X 1 54 ,01 5° semestre: DEZ . X 3 79 ,07 = ≅ 1, 4640 JUN . X 1 54 ,01 Mathias Gomes
  23. 23. Exemplo Resolução: 2) Corrigindo a planilha anterior através dos ín- dices calculados, tem-se: Semestres Índice Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 - 100.000,00 - - - 1 1,1252 90.016,00 22.504,00 4.500,00 27.004,80 2 1,2174 73.044,00 24.348,00 3.895,68 28.243,68 3 1,2974 51.896,00 25.948,00 3.113,76 29.061,76 4 1,3881 27.762,00 27.762,00 2.220,96 29.982,96 5 1,4640 - 29.280,00 1.171,20 30.451,20 Total - - 129.842,00 14.901,60 144.744,40 Calculando-se a taxa de retorno associada ao fluxo das prestações, encontramos 13,43% ao semestre. Portanto, a taxa de juros aparente é de 28,66% ao ano. Logo, será preferível o financiamento do banco B que cobra apenas 20% a.a. de juros nominais. Mathias Gomes
  24. 24. Exemplo b) A agência bancária “Dog-Cat Bank Ltd.”, sediada em Idaho, USA, oferece à empresa brasileira Tavesa (Tartaruga Veloz S.A.) um empréstimo de US$ 9.000,00 à taxa de 12% a.a. e estabele- ce a amortização do principal em 3 parcelas anuais iguais. O pagamento da amortização e dos juros devidos será feito em dólares, o que acarreta um encargo financeiro adicional que é o recebimento, junto ao Banco Central, de 25% dos juros a serem remetidos. Essa percentagem é a do Imposto de Renda sobre remessas de juros para o exterior. O contrato será assinado em 31.12.X2, quando a taxa de compra é de $ 6,18/US$, vencendo a primeira amortização em 31.12.X3. (Para considerações sobre a desvalorização cambial, referir-se à tabela a seguir). Uma banco brasileiro, o Difasa (Dinheiro Fácil S.A.), sabendo da oferta, visitou o cliente e propôs-lhe idêntica quantia à taxa no- minal de 25% a.a. Qual é a melhor alternativa? Mathias Gomes
  25. 25. Exemplo Resolução: O dólar para a venda foi o seguinte: Data $/US$ 31.12.X3 6,220 31.12.X4 7,435 31.12.X5 9,070 A planilha, em dólares, foi montada levando-se em conta um imposto de remessa de 25% sobre juros, ou seja, como o “Dog-Cat” não tem nada a ver com isto, há um acréscimo de 1/3 do juro devido como IR: Mathias Gomes
  26. 26. Exemplo Ano Saldo Devedor Amortização Juros Imposto de Renda Prestação 0 9.000,00 - - - - 1 6.000,00 3.000,00 1.080,00 360,00 4.440,00 2 3.000,00 3.000,00 720,00 240,00 3.960,00 3 - 3.000,00 360,00 120,00 3.480,00 Total - 9.000,00 2.160,00 720,00 11.880,00 Utilizando o valor do dólar para venda, podemos conver- ter a prestação em $: Ano Prestação 0 - 1 27.616,80 2 29.442,60 3 31.563,60 Mathias Gomes
  27. 27. Exemplo O valor emprestado, convertido em moeda de compra em 31.12.X2 ($ 6,18/US$) dá $ 55.620,00. Logo, para calcularmos o custo deste empréstimo, basta en- encontrar a taxa i, tal que: 55.620,00 = 27.616,80(1+i)-1+ 29.442,60(1+i)-2+ 31.563,60(1+i)-3 Acha-se: i = 26,75% a.a. Dado o fato de que a taxa nominal ofertada pelo banco bra- sileiro é de 25% a.a., portanto inferior ao banco estrangeiro, con- clui-se que a melhor alternativa é de tornar-se o empréstimo inter- no. Mathias Gomes

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