2. Un diagrama de árbol es una manera muy
adecuada para representar experimentos
compuestos
Sirve especialmente cuando el segundo
experimento depende del primero
Diagramas de árbol
3. Las primeras ramas parten de un punto
central.
Habrá tantas ramas como resultados
posibles.
Encima de la línea de la rama se pone la
probabilidad correspondiente
A1
P(A1)
P(A2)
A2
P(A3)
A3
4. Veamos un ejemplo
Tenemos una urna con 3 bolas blancas, 5
negras y 2 rojas.
Sacamos una bola
5. Nombramos a los sucesos B=Bola blanca, N=Bola
negra, R=Bola roja
Recordamos que la probabilidad de cada suceso
son los casos favorables entre los casos posibles.
Así por ejemplo, la probabilidad de que salga
negra será P(N)=5/10, ya que hay 5 bolas negras
y 10 en total.
B
3/10
5/10
N
2/10
R
6. Fíjate que la suma de las probabilidades tiene
que ser uno. 3/10+5/10+2/10=1
B
3/10
5/10
N
2/10
R
7. Supongamos un nuevo experimento, en el que
sacamos dos bolas.
El árbol de sucesos para la primera bola sigue
siendo el mismo, pero ¿qué pasa con la segunda?
Vamos a ver que pasa si la primera bola es
blanca
B
3/10
5/10
N
2/10
R
8. Una vez que hemos
sacado una bola
blanca, tenemos 9
bolas en total, y sólo 2
blancas.
El árbol de sucesos
ahora es el siguiente: Segunda bola
B
2/9
Primera bola
5/9
N
2/9
R
9. Las probabilidades que obtenemos ahora son
las condicionadas.
Por ejemplo, la primera rama es la
probabilidad de que la segunda bola sea
blanca, si la primera lo ha sido, es decir,
P(segunda blanca/primera blanca). Por
comodidad, lo representamos como P(B/B
El árbol de sucesos ahora es el siguiente:
Segunda bola
B
P(B/B)=2/9
Primera bola
P(N/B)= 5/9
N
P(R/B)= 2/9
R
10. Unimos los dos esquemas.
Ahora tenemos que hacer lo mismo para la bola
negra y la roja.
Segunda bola
B
2/9
Primera bola
5/9
B N
3/10
2/9
5/10
N R
2/10
R
11. Si la primera bola es
negra, tenemos 9
bolas en total, y sólo
2 blancas.
El árbol de sucesos
ahora es el siguiente:
Segunda bola
B
3/9
Primera bola
4/9
N
2/9
R
12. Por último, si la
primera bola es roja,
el árbol de sucesos
ahora es el siguiente:
Segunda bola
B
3/9
Primera bola
4/9
N
1/9
R
13. Unimos todos los árboles. Segunda bola
B
Primera bola 2/9
5/9
B N
2/9
3/10 R
B
3/9
5/10
4/9
N N
2/9
R
2/10
B
3/9
R 5/9
N
1/9
R
14. Este árbol es útil, sin embargo no nos dice algo tan
sencillo como la probabilidad de que la primera bola
sea blanca y la segunda negra.
La probabilidad de un suceso compuesto en el
diagrama de árbol se haya multiplicando las
probabilidades de las ramas
Por ejemplo, la probabilidad que la primera bola sea
blanca y la segunda negra será 3/10 · 5/9 = 15/90.
Reduciendo, obtenemos 1/6
Segunda bola
B
Primera bola 2/9
5/9
B N P(B∩N) =
2/9
3/10 R
B
3/9
5/10
4/9
N N
2/9
15. De la misma manera, procedemos en las otras dos
bolas
La probabilidad de que las dos bolas sean blancas
será 3/10 · 2/9 = 6/90. Reduciendo, obtenemos 1/15
La probabilidad que la primera sea blanca y la
segunda roja será 3/10 · 6/90. Reduciendo,
obtenemos 1/15
Segunda bola
B P(B∩B) = 6/90
Primera bola 2/9
5/9
B N P(B∩N) = 15/90
2/9
3/10 R P(B∩N) = 6/90
B
3/9
5/10
4/9
N N
2/9
16. Continuamos con el resto. Segunda bola
B P(B∩B)= 6/90
Primera bola 2/9
5/9
B N P(B∩N)= 15/90
2/9
3/10 R P(B∩R)= 6/90
B P(N∩B)= 15/90
3/9
5/10
4/9
N N P(N∩N)= 20/90
2/9
R P(N∩R)= 10/90
2/10
B P(R∩B)= 6/90
3/9
R 5/9
N P(R∩N)= 10/90
1/9
R P(R∩R)= 2/90
17. Al final del diagrama de árbol tenemos
todos los sucesos elementales, 9 en total.
Sus probabilidades suman 1.
B P(B∩B)= 6/90
Primera bola 2/9
5/9
B N P(B∩N)= 15/90
2/9
3/10 R P(B∩R)= 6/90
B P(N∩B)= 15/90
3/9
5/10
4/9
N N P(N∩N)= 20/90
2/9
R P(N∩R)= 10/90
2/10
B P(R∩B)= 6/90
3/9
R 5/9
N P(R∩N)= 15/90
1/9
R P(R∩R)= 2/90
18. Para hallar muchas probabilidades habrá
que sumar las correspondientes a varios
sucesos elementales.
B P(B∩B)= 6/90
Primera bola 2/9
5/9
B N P(B∩N)= 15/90
2/9
3/10 R P(B∩R)= 6/90
B P(N∩B)= 15/90
3/9
5/10
4/9
N N P(N∩N)= 20/90
2/9
R P(N∩R)= 10/90
2/10
B P(R∩B)= 6/90
3/9
R 5/9
N P(R∩N)=10/90
1/9
R P(R∩R)= 2/90
19. Por ejemplo, si nos piden la probabilidad de que la
segunda bola sea blanca, sumaremos
P(B∩B)+P(N∩B)+P(R∩B)=6/90+15/90+6/90=27/90
B P(B∩B)= 6/90
Primera bola 2/9
5/9
B N P(B∩N)= 15/90
2/9
3/10 R P(B∩R)= 6/90
B P(N∩B)= 15/90
3/9
5/10
4/9
N N P(N∩N)= 20/90
2/9
R P(N∩R)= 10/90
2/10
B P(R∩B)= 6/90
3/9
R 5/9
N P(R∩N)=10/90
1/9
R P(R∩R)= 2/90
20. Aunque las fracciones deben de ponerse
reducidas, es conveniente no hacerlo hasta que no
hayamos terminado todas las cuentas, para que
resulten más sencillas.
B P(B∩B) = 6/90 = 1/15
Primera bola 2/9
5/9
B N P(B∩N) = 15/90 = 1/6
2/9
3/10 R P(B∩R) = 6/90= 1/15
B P(N∩B) = 15/90 = 1/6
3/9
5/10
4/9
N N P(N∩N) = 20/90 = 2/9
2/9
R P(N∩R) = 10/90= 1/9
2/10
B P(R∩B) = 6/90= 1/15
3/9
R 5/9
N P(R∩N) = 15/90= 1/6
1/9
R P(R∩R) = 2/90= 2/9