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variâncias. Os dados obtidos nasamostras são:        ଶ݊ଵ =10 ‫ݏ‬ଵ = 5,22        ଶ݊ଶ =21 ‫ݏ‬ଶ = 16,99. Qual a conclusão?3)D...
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10 distribuição f

  1. 1. Distribuição F de Fisher-SnedecorDenomina-se variável F com ‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ grausde liberdade e indica-se por ‫ܨ‬௩భ ,௩మ ouF(‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ), a função definida por: మ ఞభ /௩భ మ ఞభ ௩మF(‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) = మ = మ . ఞమ /௩మ ఞమ ௩భOnde ‫ݒ‬ଵ e ‫ݒ‬ଶ são, respectivamente, os ଶ ଶgraus de liberdade de ߯ଵ e ߯ଶ e estasduas ߯ ଶ são independentes. ଶ ∑೙(௫೔ ି௫̅ )మ ଶ ∑೙(௫೔ ି௫̅ )మComo ܵ = భ e ߯௡ିଵ = భ ௡ିଵ ఙమtemos‫1−݊= ݒ‬ ௌమ మ ఞೡ‫.ݒ‬ ܵଶ = ߪ ଶ . ߯௩ ଶ → = ఙమ ௩Substituindo-se na definição, temos:
  2. 2. మ ఞభ /௩భ మ మ ௦భ ⁄ఙభ మ ௦భ మ ఙమ ଶF(‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) = మ = మ మ = మ . మ onde ‫ݏ‬ଵ , ఞమ /௩మ ௦మ ⁄ఙమ ௦మ ఙభ ଶ‫ݏ‬ଵ são estimativas independentes de ଶ ଶߪଵ ݁ ߪଶ ଵ ௩మ (௩భ ିଶ)F(‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) = , ‫ܨ‬௠௔௫ = . ୊(௩మ ,௩భ ) ௩భ (௩మ ାଶ) ௩మ‫ߤ = ) ܨ( ܧ‬ி = (௩ se ݊ > 2 మ ିଶ) మ ଶ௩మ (௩భ ା௩మ ିଶ) ଶ(ܸ‫= ) ܨ ߪ = ) ܨ(ܴܣ‬ se ݊ > 4 ୴భ (௩మ ିଶ)మ (௩మ ିସ)Uso de TabelasExemplos:1)Determ. ‫ܨ‬ఈ , tal que ܲ(‫ܨ ≥ )02,6( ܨ‬ఈ ) =5%2)Determ. ‫ܨ‬ఈ , t. q. ܲ(‫ܨ ≥ )51,6( ܨ‬ఈ ) = 0,053)Determ. ‫ܨ‬ఈ , t. q. ܲ(‫ܨ ≤ )02,01( ܨ‬ఈ ) =0,954)Determ. ‫ܨ‬ఈ , t. q. ܲ(‫ܨ ≤ )01,8( ܨ‬ఈ ) = 0,01
  3. 3. 5)Determ. ‫ܨ‬ఈ , t. q. ܲ(‫ܨ ≥ )02,01( ܨ‬ఈ ) =0,95I.C. para um Quociente de Variânciasࡼሼ‫ܨ‬ଵ ≤ ‫ݒ(ܨ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) ≤ ‫ܨ‬ଶ ሽ = ૚ − ߙ ఈ‫ܨ‬ଵ : ࡼሼ‫ݒ(ܨ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) ≤ ‫ܨ‬ଵ ሽ = ૛ ఈ‫ܨ‬ଶ : ࡼሼ‫ݒ(ܨ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) > ‫ܨ‬ଶ ሽ = ૛ మ ௦భ మ ఙమ మ ௦భComo ‫ݒ( ܨ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ ) = మ . మ →‫ܨ‬ଵ ≤ మ . ௦మ ఙభ ௦మ మఙమ మ ≤ ‫ܨ‬ଶఙభ మ௦మ మ ఙమ మ ௦మ మ . ‫ܨ‬௦భ ଵ ≤ మ ఙభ ≤ మ . ‫ܨ‬ଶ ௦భ Invertendo-se a మ ௦భ ଵ మ ఙభ మ ௦భ ଵrelação, → మ. ≤ మ ≤ మ. logo o IC ௦మ ிమ ఙమ ௦మ ிభ మ ఙభpara మ é: ఙమ మ ௦భ ଵ మ ఙభ మ ௦భ ଵࡼቄ మ. ≤ మ ≤ మ. ቅ = ૚ − ߙ ௦మ ிమ ఙమ ௦మ ிభ ଶ ଶcom ‫ݏ‬ଵ ≥ ‫ݏ‬ଶ
  4. 4. Exemplos:1)De duas populações normais levantou-se amostras de tamanhos 9 e 11, ଶ ଶobtendo-se ‫ݏ‬ଵ = 7,14 e ‫ݏ‬ଶ = 3,21.Construir um IC para o quociente dasvariâncias das duas populações ao nívelde 10%.2) De duas populações normais levantou-se amostras de tamanhos 10 e 16, ଶ ଶobtendo-se ‫ݏ‬ଵ = 5,22 e ‫ݏ‬ଶ = 16,9.Construir um IC para o quociente dasvariâncias das duas populações ao nívelde 10%.T.H. para Quociente de Variâncias
  5. 5. మ ఙభ‫ܪ‬଴ : మ =݇ ఙమ మ ఙభ మ ఙభ మ ఙభ‫ܪ‬ଵ : మ ≠݇ ou మ >݇ ou మ <݇ ఙమ ఙమ ఙమ మ ௦భ మ ఙమ మ ௦భ ଵ‫ܨ‬௖௔௟௖ = మ ௦మ .ቂఙమ ቃ = మ ௦మ .௞ భ ௛ బExemplos:1)De duas populações normais levantou-se amostras com as seguintescaracterísticas :Pop. A: ݊௔ =21, ∑ ‫ݔ‬௔ = 100, ∑ ‫ݔ‬௔ ଶ = 496Pop. B: ݊௕ =9, ∑ ‫ݔ‬௕ = 45, ∑ ‫ݔ‬௕ ଶ = 273Ao nível de 10%, testar as hipóteses : మ ఙభ‫ܪ‬଴ : మ =1 ఙమ మ ఙభ‫ܪ‬ଵ : ఙమ ≠1 మ2)Deseja-se testar ao nível de 5% seduas populações têm as mesmas
  6. 6. variâncias. Os dados obtidos nasamostras são: ଶ݊ଵ =10 ‫ݏ‬ଵ = 5,22 ଶ݊ଶ =21 ‫ݏ‬ଶ = 16,99. Qual a conclusão?3)De duas populações normais A e Bextraíu-se amostras obtendo-se: ଶPop. A : ݊஺ୀ 13, ∑ ‫ݔ‬஺ = 91, ∑ ‫ݔ‬஺ = 697 ଶPop. B : ݊஻ୀ 9, ∑ ‫ݔ‬஻ = 63, ∑ ‫ݔ‬஻ = 497 a) Determinar um IC para o quociente das variáveis, ao nível de 2% b) Ao mesmo nível, testar as hipóteses; ଶ ଶ ‫ܪ‬଴ : ߪଵ = ߪଶ ଶ ଶ ‫ܪ‬ଵ : ߪଵ ≠ ߪଶ4)Deseja-se avaliar dois analistas quantoà precisão na analise de uma certasubstância que contém carbono. A é
  7. 7. experiente e B é novo na empresa comexperiência na área desconhecida. Osresultados (desvios dos teores reais decarbono) obtidos foram:A: -10, 16, -8, 9, 5, -5, 5, -11, 25, 25, 22,16, -3, 40, 0, -5, 16, 30, 14, 22, 22B: -8, -3, 20, 22, 3, 5, 10, 14, -21, 22, 8.Em vista desses resultados, pode-seconcluir que os dois analistas têm amesma experiência no trabalho, ao nívelde 10%?5) A variabilidade no levantamento deimpurezas de uma certa substânciadepende da duração do processo usado.Levantaram-se duas amostras, umautilizando o processo 1 e outra o 2 detamanhos 26 e 13 respectivamente, ଶ ଶobtendo-se ܵଵ = 1,04 e ܵଶ = 0,51.
  8. 8. a) determinar um IC para o quociente dasvariâncias, ao nível de 10%.b) testar as hipóteses a 5%: ଶ ଶ ‫ܪ‬଴ : ߪଵ = ߪଶ ଶ ଶ ‫ܪ‬ଵ : ߪଵ > ߪଶ

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