Matriz, Sistema Linear e Determinante
1.0 Sistema de Equações Lineares
Equação linear de n variáveis x1, x2, ..., xn é uma...
2.0 Resolução de Sistemas Lineares usando
Redução por Linhas
Forma escalonada reduzida entre linhas (FERL):
 Se a linha n...
Teorema 2:
Um sistema linear homogêneo possui somente a solução trivial ou tem uma infinidade de
soluções, não havendo out...
Matrizes elementares:
Uma matriz que resulta de uma única operação elementar sobre linhas de uma matriz
identidade.
São se...
4.0 Determinantes
Produto elementar de uma matriz A de tamanho mxn é o produto de n entradas de A tais que
não há 2 delas ...
Teorema 11:
O determinante de uma matriz A de tamanho nxn pode ser calculado multiplicando as
entradas de uma linha (ou co...
é denominada matriz de cofatores de A. Sua transposta chama-se adjunta da matriz A,
denominada por adj(A).
Teorema 13:
Se ...
PROVA 2 – PROVAR TEOREMA 4.
Prove que se B = A-1
e C = A-1
, então B = C.
BA = I
(BA)C = IC → Como IC = C, temos:
(BA)C = ...
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  1. 1. Matriz, Sistema Linear e Determinante 1.0 Sistema de Equações Lineares Equação linear de n variáveis x1, x2, ..., xn é uma equação que pode ser expressa na forma a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, onde a1, a2, ..., an são constantes não todas nulas e b mais uma constante. Se b = 0, a equação é denominada equação linear homogênea. Uma coleção finita de equações lineares é denominada um sistema de equações lineares, ou sistema linear. Suas variáveis são chamadas de incógnitas. Solução de um sistema linear nas incógnitas x1, x2, ..., xn é uma sequência de n números s1, s2, ..., sn, tais que, se substituídas nos lugares das incógnitas, respectivamente, tornam verdadeira cada equação do sistema. O conjunto de soluções de um sistema linear é denominado conjunto-solução. Um sistema linear é consistente se houver pelo menos 1 solução e inconsistente se não existir solução. Teorema 1: Cada sistema de equações lineares tem nenhuma, uma ou uma infinidade de soluções, não havendo outras possibilidades. Operações elementares sobre as linhas:  Multiplicar toda uma linha por uma constante não-nula.  Trocar 2 linhas de posição.  Somar um múltiplo de uma linha a outra linha.
  2. 2. 2.0 Resolução de Sistemas Lineares usando Redução por Linhas Forma escalonada reduzida entre linhas (FERL):  Se a linha não é totalmente constituída de zeros, então o primeiro número não-nulo na linha é 1, que denominamos de pivô.  Se existem linhas totalmente constituídas por zeros, então elas estão agrupadas na base da matriz.  Em 2 linhas quaisquer que não são totalmente agrupadas por zeros, o pivô da linha inferior ocorre mais a direita do que o pivô da linha superior. Se R é a FERL de uma matriz A de tamanho nxn, então R tem uma linha de zeros ou R é a matriz identidade In. Eliminação de Gauss-Jordan:  Etapa para frente: introduzem-se os zeros abaixo dos pivôs.  Etapa para trás: introduzem-se os zeros acima dos pivôs. Se somente usarmos a primeira etapa, o procedimento é chamado eliminação gaussiniana / de Gauss. Pivotamento parcial: Nas eliminações de Gauss-Jordan e de Gauss é procedimento padrão efetuar uma troca de linhas a cada passo para colocar a entrada de maior valor absoluto na posição de pivô antes de introduzir o pivô. Retrossubstituição: Cada equação correspondente à forma escalonada por linhas é, sistematicamente, substituída na equação acima dela, começando da base e avançando para cima. Solução trivial: Um sistema homogêneo é um conjunto de equações homogêneas em que se observa que x1 = x2 = ... = xn = 0, sendo esta uma solução trivial. Qualquer outra solução é denominada solução não-trivial.
  3. 3. Teorema 2: Um sistema linear homogêneo possui somente a solução trivial ou tem uma infinidade de soluções, não havendo outras possibilidades. Teorema 3: Um sistema linear homogêneo com mais incógnitas do que equações possui uma infinidade de soluções. 3.0 Operações com Matrizes Duas matrizes são definidas como iguais se têm o mesmo tamanho e suas entradas são correspondentes. Se A é uma matriz quadrada e se existe uma matriz B de mesmo tamanho que A tal que AB = BA = I, dizemos que A é invertível / não-singular e que B é uma inversa. A e B são inversas uma da outra, pois AB = BA. Teorema 4: Se A é uma matriz invertível e B e C são ambas inversas de A então B = C, ou seja, uma matriz invertível tem uma única inversa. Teorema 5: Se A é invertível e n é um número inteiro não-negativo, então:     
  4. 4. Matrizes elementares: Uma matriz que resulta de uma única operação elementar sobre linhas de uma matriz identidade. São sempre quadradas. Teorema 6: Uma matriz elementar é invertível e a inversa também é uma matriz elementar. Teorema 7: Se A é uma matriz nxn, então as seguintes afirmações são equivalentes:  A FERL de A é In.  A pode ser expresso como um produto de matrizes elementares.  A é invertível. Algoritmo de Inversão: Para encontrar a inversa de uma matriz invertível A, encontre a sequência de operações elementares que reduz A a I e então efetue a mesma sequência de operações em I para obter A-1 . Maneira de Executar as tarefas simultaneamente: Se I não aparecer, A não é invertível. Se obtivermos uma linha de zeros do lado esquerdo, A não é invertível. Teorema 8: Se Ax = B é um sistema linear de n equações a n incógnitas e se a matriz de coeficientes A é invertível, então o sistema tem uma única solução, a saber, x = A-1 B.
  5. 5. 4.0 Determinantes Produto elementar de uma matriz A de tamanho mxn é o produto de n entradas de A tais que não há 2 delas da mesma linha ou da mesma coluna. Assim, se A = [aij], então cada produto elementar pode ser expresso na forma a1j1a2j2...anjn onde os índices de coluna constituem uma permutação {j1, j2, ..., jn} dos inteiros 1 à n, e os índices de linha estão ordenados naturalmente. A permutação é par ou ímpar se o número mínimo de trocas que são necessárias para colocar a permutação em ordem natural é par ou ímpar. Se a permutação for par, o sinal dela é positivo, se ímpar, negativo. O determinante de uma matriz quadrada A é denotado por det(A) e definido como a soma de todos os produtos elementares com sinal de A: O número de produtos elementares com sinal num determinante nxn é n!. Teorema 9: Se A é uma matriz quadrada com linha ou coluna de zeros, então det(A) = 0. Teorema 10: Se A é uma matriz triangular então det(A) é o produto das entradas na diagonal principal. Se A é uma matriz quadrada, então o menor da entrada aij é denotado por Mij e definido como o determinante da submatriz que sobra quando suprimimos de A a i-ésima linha e j-ésima coluna. O número Cij = (-1)i+j Mij é denominado cofator da entrada aij.
  6. 6. Teorema 11: O determinante de uma matriz A de tamanho nxn pode ser calculado multiplicando as entradas de uma linha (ou coluna) qualquer pelos seus cofatores e somando os produtos assim obtidos, ou seja, para cada 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ n temos 5.0 Propriedades dos Determinantes Se A é uma matriz nxn:  det(A) = det(AT)  Se B é uma matriz que resulta quando uma única linha ou coluna de A é multiplicada por K, então det(B) = Kdet(A).  Se B é uma matriz que resulta quando 2 linhas ou colunas de A são trocadas, então det(B) = –det(A).  Se A tem 2 linhas / colunas iguais, det(A) = 0.  Se A tem 2 linhas / colunas proporcionais, det(A) = 0.  Se A e B são matriz quadradas do mesmo tamanho, então det (AB) = det(A).det(B).  det(An ) = [det(A)]n .  Se A é invertível, então det(A-1 ) = 1/det(A). 5.1 Regra de Cramer Teorema 12: Se as entradas de qualquer linha (ou coluna) de uma matriz quadrada são multiplicadas pelos co-fatores das entradas correspondentes de uma linha / coluna diferente, então a soma dos produtos é zero. Se A é uma matriz nxn e Cij é o cofator de aij, então a matriz
  7. 7. é denominada matriz de cofatores de A. Sua transposta chama-se adjunta da matriz A, denominada por adj(A). Teorema 13: Se A é invertível, então Teorema 14 – Regra de Cramer: Se Ax = b é um sistema linear de n equações a n incógnitas, então o sistema tem uma solução única se, e somente se, det(A) ≠ 0, caso que a solução é: onde Aj é a matriz que resulta quando a j-ésima coluna de A é substituída por b. 6.0 Provas PROVA 1 – SE DET(A) ≠ 0, ENTÃO A É INVERTÍVEL. Prove que se ad – bc ≠ 0 então a FERL de L1 → L1 L2 → aL2 – cL1 L1 → (ad-bc)L1 – bL2 L2 → L2 L1 → L1/a(ad-bc) L2 → L2/(ad-bc)
  8. 8. PROVA 2 – PROVAR TEOREMA 4. Prove que se B = A-1 e C = A-1 , então B = C. BA = I (BA)C = IC → Como IC = C, temos: (BA)C = C → Lei da associedade da multiplicação: B(AC) = C → Como AC = I, temos: BI = C → Como BI = B, temos: B = C PROVA 3 – A É UMA MATRIZ QUADRADA INVERTÍVEL SE, E SOMENTE SE, DET(A) ≠ 0. Primeiro vamos verificar que det(A) e det(R) são ambos nulos ou não-nulos, sendo R a matriz na FERL de A. Veremos os efeitos das operações elementares sobre o determinante:  Se multiplicarmos toda uma linha por uma constante não-nula K, o determinante dessa nova matriz será K.det(A).  Se trocarmos 2 linhas de posição, o determinante dessa nova matriz será –det(A).  Se somarmos um múltiplo de uma linha a outra linha o determinante dessa nova matriz elementar não se altera. Nos 3 casos, os determinantes antes e depois das aplicações das operações elementares são ambas nulas ou não-nulas. Como R é feito por uma série de operações elementares em A, temos que se det(A) ≠ 0, det(R) ≠ 0 ou se det(A) = 0, det(R) = 0. Se R é a FERL da matriz Anxn, então R tem uma linha de zeros (det(R) = 0) ou R é uma matriz identidade In (det(R) = 1 ≠ 0). Para que A seja invertível, R = I. Se det (A) ≠ 0, det(R) ≠ 0; isso implica que R = I, portanto A é invertível. Se det(A) = 0, então det(R) = 0; isso implica que R ≠ I, portanto A não é invertível.

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